«Изюминки» ЕГЭ - 2011 LOGO

«Изюминки»
ЕГЭ - 2011
LOGO
LOGO
Брандспойт, закрепленный под определенным углом на
пожарной машине, выстреливает струю воды с постоянной
начальной скоростью. Высота струи воды описывается
формулой Y=ax2+bx+c , a= - 1/270, b=2/3, c=7/3 –постоянные
параметры. На каком максимальном расстоянии в метрах от
забора нужно поставить машину, чтобы вода перелетала
через верх? Высота забора равна 19 метров.
Необходимо найти наибольшее значение x, при котором
y(x)≥19
Решим неравенство:-1/270x2+2/3x+7/3≥19
-x2+180x+630 ≥ 5130
x2-180х+4500 ≤0
(x-30)(x-150) ≤0
30 ≤x ≤150
наибольшее значение x равно 150
Ответ:150
LOGO
При температуре 00С рельс имеет длину l 0=10м.
При прокладке путей между рельсами оставляют
зазор 11,4 мм. При возрастании температуры будет
происходить тепловое расширение рельса и его
длины будет меняться по закону : l (t0)=l0(1+αt) При
какой температуре между рельсами исчезнет
зазор.(Ответ выразите в градусах Цельсия).
α = 1,2 · 10 -5
l(t 0)=l 0(1+αt 0);подставим числовые значения:
10(1+ 1,2 · 10 -5 t 0)=10+11,4 · 10
10+12 · 10-5 t 0 = 10+11,4 · 10 -3
t0 = 0,95 · 10 2
t0 =95
Ответ:95
LOGO
Кран в днище бочки летнего душа забыли закрыть. Вода
вытекает из бочки, пока она не станет пустой. Пока в
бочке есть вода, высота столба воды меняется по закону
H(t)= 0,64t2 -2,08t+1,69
где t - время в минутах. Сколько минут вода будет
вытекать из бочки?
Для решения задачи достаточно решить
уравнение H(t)=0;
0,64t2 -2,08t+1,69 =0
64t2-208t+169=0
(8t-13) 2=0
t = 1,625
Ответ:1,625
LOGO
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на
большие глубины. Конструкция имеет форму бочки, а значит,
Архимедова сила, действующая на аппарат, будет определятся по
формуле FA=gπR2ℓρ, где R-радиус бочки, ℓ=5-его линейный размер, p1000 кг/м3, g=9,8 Н/кг- ускорение свободного падения. Определите
какой радиус (в метрах) может иметь аппарат, чтобы обеспечить его
эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении не
будет превосходить 588000 Н?(π=3)
Из условия следует неравенство FА≤588000.
Тогда 100•9,8•3•R2≤588000
15 R2 ≤60
R2 ≤4
R=√4=2
Ответ:2
LOGO
Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со
скоростью 𝑣0=20м/с и тормозящий ,с постоянным
ускорением a=4м/с 2 ,за t секунд начало торможения
проходит путь S= 𝑣0 t--at2 /2 .Определите (в секундах)
наименьшее время , прошедшее от момента начала
торможения , если известно , что за это время автомобиль
проехал не менее 42-х метров.
Из условия следует неравенство: S≥42.
20t-2 t2 ≥42
t2 - 10t+21≤0
t2 - 10t+21=0
t 1 =3;t 2 =7
Ответ:3
LOGO
При вращения ведёрка с водой на верёвке в вертикальной плоскости сила
давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимально в нижней
точке и минимальна в верхней точке, вода не будет выливаться ,если сила её
давления на дно будет неотрицательным во всех точках траектории. В
верхней точке сила давления P=m(𝑣²/L - g),где m – масса воды , 𝑣 –
скорость движения ведёрка, L - длина верёвки, g = 10 м/с² - ускорение
свободного падения. С какой минимальной
скоростью надо вращать
ведёрко, чтобы вода не вылилась из него, если длина верёвки равна 72,9 см?
При вращении ведёрка вода не будет выталкиваться из него ,
если в верхней точке траектории сила давления воды будет
неотрицательна, то есть необходимо выполнения условия
P≥0 . Решая это неравенство получим :
m(𝑣²/L - g)≥0; m(𝑣²/0,729 - 10) ≥0;
𝑣² ≥10•0,729; 𝑣² ≥7,29;
𝑣 є (-∞; - 2,7]U[2,7;+∞)
Так как по условию 𝑣>0, то минимальная скорость с которой
надо вращать ведёрко ,чтобы вода не выливалась из него,
равна 𝑣=2,7(м/с)
Ответ: 2,7
LOGO
Деталью прибора является вращающаяся катушка . Она состоит
однородных соосных цилиндров : центрального – массой m=3 кг и
радиусом R=25cм, и двух боковых массами по M=1кг , радиусами R+h .
Момент инерции катушки относительно оси вращения определяется
выражением І=(m+2M)R2/2 +M(2Rh+h2). При каком максимальном
значении hмомент инерции катушки не будет превышать предельных для
нее 2164,5 кг• см 2
Момент инерции катушки не превышает предельного значения
при выполнения условия I≤ 2164,5.Подставим исходные данные
и решим неравенство:
(m+2M)R2/2 +M(2Rh+h2) ≤ 2164,5
(3+2) • 25/2+1 •(2 •25h+h2) ≤ 2164,5
5 • 625+2 • (50h+h2) ≤ 2164,5 • 2
2 • (50h+h2) -1200 ≤ 0
-600+50h+h2 ≤ 0
h2 +50h- 600=0
h1=-60;h2=10
Ответ:10
LOGO
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью
𝑣₀=28км/ч., выезжает за его пределы и сразу после выезда начинает
разгоняться с постоянным ускорением а=32км/ч² расстояние от
мотоциклиста до города определяется выражением S= 𝑣₀t + at²/2.Найдите
наибольший промежуток времени (в минутах) в течении которого
мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если
оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее, чем 8км от города.
S=𝑣₀t+at²/2,подставим числовые значения в формулу:28t+32t²/2 ≤8
16t²+28t-8 ≤0
16t²+28 t -8=0
4 t²+7t-2=0
t₁=-2 t₂=0,25
-2 ≤t ≤0,25
Так как по смыслу задачи t ≥ 0,то t є [0;0,25]
Отсюда мотоциклист будет находится в зоне функционирования сотовой
связи 15 мин(т.к. 0,25 от часа 15 мин.)
Ответ:15
LOGO