Задачи типа С2 • Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. a b Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися. b a Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым. b a1 a Дан куб АBCA1B1C1D1. Найдите угол между скрещивающимися прямыми АА1 и СВ1 D1 C1 A1 B1 Проведу через точку В1 в плоскости (ВСС1) прямую, параллельную АА1. Получу прямую ВВ1. Угол ВВ1С - искомый. Ответ : 450 D А С В Найдите угол между скрещивающимися прямыми АВ и СВ1 D1 C1 A1 B1 D А С В Проведу через точку В1 прямую, параллельную АВ. получу прямую А1В1. Угол А1В1С искомый Ответ : 900 Найдите угол между скрещивающимися прямыми АD1 и СВ1 D1 C1 A1 B1 Проведу через точку В прямую, параллельную АD1. получу прямую BC1. Угол BOC искомый O D А С В Ответ : 900 Найдите угол между скрещивающимися прямыми BC1 и СD1 D1 C1 A1 B1 Проведу через точку В прямую, параллельную CD1. получу прямую BA1. Угол A1BC1 искомый Так как стороны треугольника являются диагоналями равных квадратов, то этот треугольник является равносторонним. D А С В Ответ : 600 Переходим к задачам, содержащимся в материалах для подготовки к ЕГЭ. В правильной шестиугольной призме A…F1, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВD1 . E1 F1 A1 D1 C1 B1 E D F C А B Построю прямую, параллельную АВ1 в плоскости (EDD1). Рассмотрю треугольник ВЕD1 Искомый угол ВD1Е. ЕD1 = 2 , ВЕ=2, BD1 = 2. Косинус искомого угла найду, используя теорему косинусов. Ответ: 2 4 С2 В правильной шестиугольной призме A…F1, все рёбра которой равны 1, Найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВЕ1 . E1 D1 C1 F1 A1 B1 E D F С А В Выполню перенос прямой ВЕ1 в плоскость (АА1F) При этом FK = KF1. Угол В1АК – искомый. Рассмотрю треугольник В1АК АВ1 = 2, АК = 5 2 В1 F 1 = 3 В1К = 13 2 E1 D1 C1 F1 A1 К B1 E D F С А В Использую теорему косинусов для нахождения угла Ответ: 90о Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1 . Найдите угол между прямыми DM и CL, где М – середина ребра ВС, L – середина ребра АВ. А Построю в плоскости АВС прямую МК параллельную СL Рассмотрю треугольник КМD DM = MK = DK = 3 2 L 3 4 К 13 4 В Выражу сторону КD по теореме косинусов. D M С 1 Ответ: arccos 6 В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: SC = 17, AB = 15 3. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и ВС. Угол МКА – искомый. АК = 45/2, АО = 2/3 АК = 2/3 S 45/ 2 = 15. SO = 8 Опущу перпендикуляр из точки М на плоскость основания МО1. Рассмотрю треугольник МКО1. 2 МО1 = ½ SO = 4 О1К = /3 АК = 15 M A C О1 O B K tg МКА = МО1 : КО1 = 4:15. Ответ: arctg 4/15 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите угол между прямыми SВ и CD. S Прямые CD и ВE параллельны. Значит, угол SBE – искомый. Треугольник SBE равносторонний SB = SE = BE = 2. Ответ: 60о E F D A B C В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите синус угла между прямыми ВМ и DE, где М – середина ребра SC. Так как АВ параллельна ED, то требуется S найти синус угла АВМ Треугольник ВSE - равносторонний, BE = 2, SO = 3 , Опущу перпендикуляр ММ1 на плоскость основания. ММ1 = M F E М1 B ВМ1 = 3 2 Угол АВМ1 – прямой, ВМ = 6 2 АМ1 = 7 2 Из треугольника АММ1 АМ = O A 3 2 D C По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник АВМ прямоугольный с гипотенузой АМ. Следовательно, угол АВМ – прямой. Ответ: 1 10 2 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 4, а боковые рёбра равны 3 6 , найдите угол между прямыми ВG и AD, где G – точка на ребре SC, причём SG : GC = 1 : 2. S Прямая ВС параллельна AD, значит, требуется найти угол СВG Из треугольника SBC найду cos угла С по теореме косинусов. cosС 6 9 Из треугольника ВСG найду BG по теореме косинусов G F BG2 = 88 : 3, BG = 2 22 3 Применю ещё раз теорему косинусов к треугольнику BCG для нахождения косинуса угла В. D E A соsB B C 4 66 Ответ: arccos 2 66 33 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите угол между прямыми SF и BM, где M – середина ребра SC. В треугольнике FSC отрезок ОМ – средняя линия S Значит, ОМ параллельна FS и равна её половине Косинус угла М найду по теореме косинусов из треугольника ВМО. ВО2=ВМ2+ ОМ2 – 2ВМ ОМ cosМ 1 = 6/4 +1 – 2 6 1 cos М 2 2 cos M= 6 4 М F E 1 6 2 A О 1 B 3 2 1 3 2 D H1 2 C Ответ: arccos 6 4 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите синус угла между прямыми АL и BM, где M – середина ребра SC, а L- середина SB. Проведу в плоскости (BCS) прямую МР, S параллельную SB, и в плоскости (АВС) прямую PR, параллельную АВ. По признаку параллельности плоскостей (ASB)II(RMP). При этом RM II AL. Следовательно, RMB – искомый угол. 2 M L 2 E F D A H1 2 1 AH – высота в равностороннем треугольнике АОВ. 1 3 АН = 1 4 2 = RB C О 1 R 3 Проведу перпендикуляр к плоскости основания LH. LH = ½ SO = ½ 3 = 3 P ALH- равнобедренный прямоугольB ный треугольник. AL = 6 = RM = MB 2 Рассмотрю треугольник RMB, применив к нему для выражения стороны RB, теорему косинусов: RB2 = RM2 + MB2 – 2 RM MB. 3 2 2 2 2 6 6 6 6 2 cos M 2 2 2 2 3 6 6 6 cos M 4 4 4 2 3 cos M 4 sin M 1 9 7 7 16 16 4 Ответ: 7 4 Попробуем решить задачу типа С2, предложенную в одном из вариантов на предварительном экзамене, состоявшемся 25. 04 .2011. Длины всех рёбер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD равны. Найдите угол между прямыми PH и BM, где PH – высота пирамиды, а М – середина ребра АР. Р Прямые РН и ВМ – скрещивающиеся. Проведу в плоскости (СРА) прямую МК параллельную РН. M В треугольнике ВКМ угол К – прямой, угол М – искомый. Примем ребро пирамиды за единицу длины, тогда АН = РН= 2 , МВ = 3 , 2 2 МК = ½ РН = 2 . 4 С В cos М = МК : МВ = H D К А Ответ: arccos 6 6 2 4 : 3 2 = 6 6 Презентацию подготовила учитель математики МОУ гимназии №24 Арапова Елена Владимировна