Document 5005205

• Пусть
– функция, и - два значения
независимой переменной из
; тогда
разность
называется
(или
) в точке х0 и обозначается х.
Таким образом,
Откуда следует, что
• Вследствие этого приращения значение
функции изменится на величину:
х
Эта разность называется
в точке , соответствующим
приращению х, и обозначается  , т. е.
,
Откуда
Пример
• Найдите приращение х и f в точке x0 ,
если f(x) = х2, x0 = 2 и а) х=1,9; б) х=2,1
• а) х= х- x0=1,9 - 2= - 0,1
f = f(х) – f (x0) = f(1,9) – f (2) = 1,92 -22 = -0,39
• б) х= х- x0=2,1 - 2= 0,1
f = f(х) – f (x0) = f(2,1) – f (2) = 2,12 -22 = 0,41
Задание №1
• Найдите приращение функции f в
точке х0, если:
• а) f(х) = 2х2 – 3 , х0 = 3, х = - 0,2;
• б) f(х) = 3х + 1 , х0 = 5, х = 0,01;
• в) f(х) = х2/2, х0 = 2, х = 0,1.
Непрерывность функции
• Функция f(х) называется непрерывной в точке
х0, если она определена в некоторой
окрестности этой точки и если предел функции
при х х0 равен значению функции в этой
точке.
• Функция , непрерывная в
каждой точке заданного
промежутка, называется
непрерывной на всём
промежутке.
• Являются ли непрерывными в каждой из точек
х1,х2,х3 функции, графики которых изображены
на рисунках?
Рассмотрим график функции y=f(x) и
геометрический смысл приращений х и f
Прямую l , проходящую через любые две точки графика
функции f , называют секущей к графику f. Угловой
коэффициент k секущей выражается через приращения
х и f :
• Выразим через приращения среднюю скорость
движения за промежуток времени [t0;t0+t]:
Выражение:
называется средней скоростью изменения
функции на промежутке с концами х0 и х0+х
Производная
• Производной функции f в точке х0
называется число, к которому
стремится разностное отношение
при х, стремящемся к нулю.
• Функцию, имеющую производную в точке х0,
называют дифференцируемой в этой точке.
• Нахождение производной функции f называют
дифференцированием.
Примеры:
1. х’=1;
2. С’=0;
3. (х2)’=2х;
(хn)’=nхn-1
4. (х3)’=3х2;
5.
6.
Производная
Правила вычисления производных
1. Производная суммы равна сумме
производных:
(f+g)'=f'+g'
2. Производная произведения:
(f·g)'=f'g+fg'
Правила вычисления производных
3. Производная частного:
4. Производная степенной функции:
Задание №2
Найдите производную функции f в
точке х0, если:
а) f(х)=х3, при х0 = 2; -1,5;
б) f(х)=4-2х, при х0 = 0,5; -3;
в) f(х)=3х-2, при х0 = 5; -2;
г) f(х)=х2, при х0 = 2,5; -1.
Вар.48(5) Найдите значение
производной функции
•Вар.8(5) Тело движется по прямой так, что
расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S= 5t-0,5t2(м), где t - время
движения в секундах. Найдите скорость
тела через 2 с после начала движения.
Вар.79(5) Тело движется по прямой так, что
расстояние S от начальной точки
изменяется по закону S= 12t-3t2(м), где t время движения в секундах. Через сколько
секунд после начала движения тело
остановится?
•Вар.86(5) Тело движется по прямой так, что
расстояние S до него от некоторой точки А
этой прямой изменяется по закону
S= 0,5t2+3t +2 (м),
где t - время движения в секундах. Через
какое время после начала движения
скорость тела окажется равной 15 м/с?
•Вар.4(4) Найдите угловой коэффициент
касательной, проведённой к графику
функции f(х)=3х3+2х-5 в его точке с
абсциссой х=2.
•Вар.31(5) Дана функция f(х)=5+4х-3х2 .
Найдите координаты точки её графика, в
которой угловой коэффициент касательной
к нему равен -5.
Вар.23(5) f(х)=1/3х3+5х2-1. Найдите
координаты точек её графика, в которых
касательные к нему параллельны оси
абсцисс.
• Найдите производную функции :
1.
2.
3.
4.
Вар. 4.162 Найдите значение производной
функции
в точке х0=-2.
Задание
Найдите значение производной функции
в точке х0 = -3
1) 7
2) -5
3) 1
4) 13
Задание
Найдите значение производной функции
в точке х0 = -1
1) -9
2) -8
3) 0
4) 10
Задание
Найдите значение производной функции
в точке х0 = -2
1) 1
2) -4
3) 7
4) -7
Производные тригонометрических
функций
•Вар.54(5) Найдите производную функции
f(х)=2х2+sin x.
•Вар.5 (4) Найдите производную функции
f(х)=2х2 + tg x.
•Вар.39(5) Найдите значение производной
функции f(х)= tg х-2sin x при х=-∏/4.
•Вар.52(5) Найдите значение производной
функции f(х)= 4sin x – сos x при х=-∏/4.
•Вар.23(5) Найдите угловой коэффициент
касательной, проведённой к графику
функции f(х)= 4 cos x +3 в его точке с
абсциссой х=-∏/3.
•Вар.62 (5) К функции y=2sin x + 3cos x
проведены касательные в точках с
абсциссами х1=∏/2 и х2=3∏/2. Являются ли
эти касательные параллельными прямыми?
•Вар.4.157 Найдите значение производной
функции y= sin (4x- ∏/6) в точке х0=-∏/12.
Задание
Решите уравнение f’(x)=0, если :
Формула производной сложной
функции
• Если h(x) = g(f(x)), то
h’(x0) = g’(f(x0))·f’(x0)
Вычислите:
1. y= (3-5х+х2)50
2. h( x)= cos 3x
3. h(x) = sin(2x- ∏/4)
4.
Задание
Найдите производную функции f:
Задание
Найдите значение производной функции
y=sin(3x+7)-cos(3π+7) в точке х0 =0
1) 3cos 7
3) 3cos 1+3sin 7
2) 3cos 7-3sin 7
4) 3sin 7
Найдите значение производной функции
y=sin(5x+2)+cos(5x+2) в точке х0 =-1
1) cos 3-sin 3
3) cos 3+sin 3
2) 5cos 3-5sin 3
4) 5cos 3+5sin 3
Задание
Найдите значение производной функции
y=x·sin(2x+1) в точке х0 =-1
1) -2 cos 1-sin 1
3) -2cos 1+sin 1
2) 2cos 1-sin 1
4) -2cos 1
Вар. 4.160 Найдите значение производной
функции
в точке х0=0.
Задание
Найдите производную каждой из функций:
Задание
Решите неравенства f’(x)>0, если :