Квазистационарные электромагнитные поля

Квазистационарные
электромагнитные поля
1.
2.
3.
4.
5.
План
Условия квазистационарности.
Закон Фарадея. Правило Ленца.
Самоиндукция. Индуктивность.
Взаимная индукция.
Энергия магнитного поля.
• 1. Условия квазистационарности.
• В природе существует большой класс явлений,
при которых электромагнитные поля зависят
не только от координат, но и от времени.
• При изменении тока его магнитное поле не
всегда будет соответствовать магнитному
полю постоянного тока такой силы, которая
рана силе переменного тока в
фиксированный момент. Если этим
несоответствием можно пренебречь, то мы
будем иметь дело с квазистационарными
электромагнитными явлениями, которые
обусловлены квазистационарными токами.
• Квазистационарным называют
переменный ток. если в каждый момент
времени его магнитное поле совпадает с
магнитным полем постоянного тока
того же значения, что и мгновенное
значение переменного тока.
•
максимальное(амплитудное) значение
силы тока
•
циклическая частота колебаний.
• Распределение зарядов в таких случаях
называют тоже квазистационарным.
• Критериями квазистационарности,
соблюдаемые в пределах точности задачи.
• 1.В каждом сечении проводника не
имеющего разветвлений сила тока может
быть принята одинаковой.
• 2. Размеры области, в которой
рассматривают явление, должны позволять
не учитывать конечности
скорости распространения электромагнитных
взаимодействий.
•
Последнее обстоятельство приводит к тому,
что эти взаимодействия в фиксированный
момент соответствуют распределению
зарядов
• которое было некоторое время назад.
• 2.Закон Фарадея. Правило Ленца.
• Магнитное поле порождается
электрическим током.
• Фарадей и Ампер пытались обнаружить
обратное явление -порождение тока
магнитным полем.
• В 1835 г. Фарадей открыл это явление.
Схема его установки показана на рис.1.
рис.1.
• При замыкании ключа К наблюдался
кратковременный всплеск тока в обмотке 2.
Этот ток возникал при изменении магнитного
поля в катушке 1. Изменение
распространялось по магнитопроводу,
выполненному в виде замкнутого сердечника
из ферромагнитного материала.
• Это явление названо электромагнитной
индукцией.
• По результатам описанного эксперимента был
установлен закон электромагнитной индукции
- закон Фарадея:
• ЭДС индукции численно равна скорости
изменения магнитного потока сцепленного с
катушкой в которой она возникает.
• Ленц сформулировал правило определения
полярности индуцированной ЭДС. Правило
Ленца:
• индуцированный ток имеет такое
направление, что создаваемое этим током
магнитное поле препятствует изменению
магнитного потока вызывающего
появление ЭДС индукции. Это правило
иллюстрируется
• на рис.2.
рис.2.
• Рис.2.А. Магнит движется так, что густота
линий индукции пересекающих площадь
витка увеличивается и возрастает магнитный
полок сцепленный с этим витком.
• Индукционный ток должен быть направлен
так, чтобы вектор напряженности,
порождаемого индукционным током
магнитного поля был направлен против
вектора напряженности поля движущегося
магнита.
• Рис.2.Б. поток вектора магнитной индукции
сцепленный с витком убывает и ток должен
быть направлен в противоположную, сторону.
• Закон Фарадея и правило Ленца объединены в
формуле
(1)
• Знак минус отражает тот факт, что полярность
ЭДС индукции должна быть такой, чтобы
индуцированное магнитное поле
препятствовало изменению магнитного
потока.
• Гельмгольц показал, что закон Фарадея
является отражением закона сохранения
энергии.
• Рассмотрим замкнутый контур с источником
ЭДС помещенный в неоднородное магнитное
поле (рис.3).
рис.3
• При протекании тока в контуре он будет
перемещаться. При этом будет совершаться
работа:
(2)
• Одновременно, в соответствии с законом
• Джоуля - Ленца будет совершаться работа по
преодолению активного сопротивления
контура R:
(3)
• Обе работы совершаются за счет энергии
источника ЭДС, которая имеет вид:
(4)
•
- заряд перенесенный через сечение
проводника за время dt,
• - ЭДС источника тока.
• По закону сохранения энергии:
(5)
(6)
• Разделим обе части уравнения (6) на ,
• получим:
(7)
(8)
• По закону Ома в числителе уравнения (8)
показана общая ЭДС, т.е. сумма ЭДС
источника и ЭДС индукции.
• Явление индукции используют в
генераторах переменного тока. Схема
поясняющая принцип работы такого
генератора приведена на рис.4.А.
Рис.4
• Рамка вращается в поле постоянного
магнита с угловой скоростью.
• Угол между нормалью к плоскости рамки и
вектором индукции магнитного ноля
изменяется по закону
.
• Поток вектора индукции равен:
(9)
• Следовательно,
(10)
• Уравнение (10) показывает, что
• ЭДС изменяется во времени по
гармоническому закону.
• Величина - амплитудное (максимальное)
значение ЭДС.
• Переменная ЭДС подключается к внешней
цепи через щетки, скользящие по кольцам
соединенным с концами рамки.
• 3. Самоиндукция. Индуктивность
• Рассмотрим виток (рис.5), по которому
течет переменный ток
(1)
•
- максимальное(амплитудное) значение
силы тока
•
- циклическая частота колебаний.
• Очевидно, что при этом будет изменяться
магнитный, поток сцепленный с витком и,
как следствие, появится ЭДС индукции в
витке.
Рис.5
• Явление возникновения ЭДС индукции при
изменении собственного тока называют
самоиндукцией.
• Энергетической характеристикой такого
процесса является ЭДС самоиндукции
(2)
• В контуре по закону Био - Савара - Лапласа
имеем:
(3)
• Вектор всегда перпендикулярен площади
контура. Поэтому можно записать:
• (4)
• Магнитная проницаемость оставлена под
интегралом так как среда внутри контура
может быть не однородной.
• Из последнего равенства следует, что
магнитный поток сцепленный с контуром
пропорционален току:
(5)
• Здесь
(6)
Коэффициент пропорциональности L называют
индуктивностью.
• Индуктивность контура - физическая
величина числено равная потоку вектора
магнитной индукции сцепленному с
контуром при единичной силе тока в
последнем.
• Для соленоида имеем
• (7)
• Здесь
• N - число витков,
• ФМ – поток сцепленный с одним витком.
(8)
• Для бесконечно длинного соленоида
магнитная
• индукция имеет вид
(9)
• Здесь
• S - площадь витка, п = N/l - число витков
на единице длины соленоида.
• Подставим уравнения (8) и (9) в уравнение
(7), получим:
•
(10)
• Домножив числитель и знаменатель на
l , получим выражение индуктивности
соленоида:
(11)
• Здесь
• V=lS - объем соленоида.
• ЭДС самоиндукции(2) можно выразить
следующим образом:
(2)
(12)
• Значение индукции зависит только от
среды и геометрической формы
электрического элемента. Поэтому в
недеформируемом контуре ЭДС
самоиндукции можно представить
выражением
(13)
• Уравнение (13) показывает, что ЭДС
самоиндукции пропорциональна
скорости изменения силы тока.
• 4. Взаимная индукция
• В некоторых приборах катушку
пронизывает магнитный поток возникший,
от сторонних источников. Например, от
другой катушки, расположенной но
соседству.
• Взаимной индукцией называют явление
возникновения ЭДС во всех проводниках
расположенных вблизи от цепи с
переменным током.
• Используют это явление в трансформаторах
(рис.6).
Рис.6
• Поток, сцепленный с каждой из обмоток
будет представлен суммой двух потоков.
• С первой катушкой будет сцеплен поток
(1)
• Здесь
• L1 и I1 индуктивность и ток в первой
обмотке,
• I2 - ток во второй обмотке,
• L1-2 - взаимная индуктивность первого и
второго контуров.
• Взаимная индуктивность зависит от среды и
взаимного расположения обмоток.
• Аналогичное уравнение можно записать
для второй обмотки
(2)
• Дифференцируя равенства (1) и (2)
получим значения напряжений на
обмотках:
(3)
•
(4)
•
• Обычно в обмотках среда одинакова, а ток
квазистационарен.
• Поэтому
(5)
• Если обмотка 1 подключена к источнику
питания и в ней течет переменный ток
• и если цепь обмотки 2 разомкнута, т.е.
• то в этом случае ток в первичной обмотке
определится внешней ЭДС иЭДС
самоиндукции
(6)
• Сопротивление обмоток мало. Таким
образом,
(7)
(8)
• Равенства (7) и (8) справедливы потому, что
потоки сцепленные с обоими обмотками
одинаковы.
• Отсюда следует выражение
(9)
• Если источник подключить ко второй
обмотке, то
(10)
•
•
•
•
•
•
•
Коэффициент трансформации
Здесь
N1 - число витков в первичной обмотке
трансформатора,
N2- число витков во вторичной обмотке
трансформатора.
• 5. Энергия магнитного поля
• Если цепь замкнуть, то энергия источника
будет расходоваться на преодоление
сопротивления и на изменение магнитного
потока сцепленного с контуром. Работу,
совершаемую при изменении магнитного
потока можно рассматривать как работу по
созданию магнитного поля.
• Элементарную работу, выполняемую при
приращении тока, можно определить как
(1)
• При нарастании тока от 0 до I получим:
(2)
• Здесь W- энергия магнитного поля
создаваемого током I.
• Из уравнения (2) следует энергетическая
трактовка индуктивности.
• Индуктивность контура – физическая
величина численно равная удвоенной
энергии магнитного поля создаваемого
протекающим по контуру током
единичной силы.
• Энергия однородного магнитного поля для
длинного соленоида:
(3)
• Здесь учтено
(11)
• Плотность энергии магнитного поля:
(4)
• Напряженность однородного магнитного
поля для длинного соленоида :
• В этом случае плотность энергии
магнитного поля:
•
,
•
(5)
• Уравнение (5) определяет плотность
энергии магнитного поля для длинного
соленоида без сердечника.
• Плотность энергии магнитного поля для
длинного соленоида с сердечником
определяется суммой энергии поля в
вакууме и в магнетике сердечника:
(6)
•
(7)
• Для вакуума
, для магнетика
,
• В этом случае получим плотность энергии
магнитного поля в магнетике:
(8)
• Относительная диэлектрическая
проницаемость среды
• Относительная магнитная проницаемость
среды может быть
и