Модели неевклидовой геометрии
реклама
«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать» Г. Галилей. «Египетские жрецы говорили, что царь разделил землю между египтянами, дав каждому по равному прямоугольному участку; из этого он создал себе доходы, приказав ежегодно вносить налог. Если же река отнимала что-нибудь, то царь посылал людей, которые должны измерить участок и уменьшить налог» ГЕРОДОТ. Точно находить площадь поля прямоугольной, треугольной, трапециевидной формы; Строить прямоугольный треугольник при помощи веревки, разделенной узлами на 12 частей; Знали, что отношение длины окружности к диаметру – число постоянное, приближенное значение которого - π или 22/7; Возводить усыпальницы фараонов в форме правильной пирамиды; Вычислять объем усеченной пирамиды, в основаниях которой квадраты по формуле: V = (a² + ab + b²) : 3 ПАПИРУС АХМЕСА (РАЙНДА) Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное ок. 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см. Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 и часто называется папирусом Райнда по имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее в Лондоне, а вторая часть — в Нью-Йорке. Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней. Московский математический папирус, находящийся в Государственном музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина, уступает папирусу Ахмеса по полноте (он состоит из 25 задач), но, вероятно, превосходит по возрасту. Установлено, что оригинал, с которого был переписан папирус Ахмеса, относится ко второй половине XIX века до н. э.; имя его автора неизвестно. Отдельные исследователи предполагают, что он мог быть составлен на основании ещё более древнего текста III тысячелетия до н. э. Во вступительной части папируса Райнда объясняется, что он посвящён «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Все задачи, приведённые в тексте, имеют в той или другой степени практический характер и могли быть применены в строительстве, размежевании земельных наделов и других сферах жизни и производства. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений. Для решения многих из них вырабатывались общие правила. Вместе с тем, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте переросла исключительно практическую стадию и приобрела теоретический характер. Так, египетские математики умели брать корень и возводить в степень, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией (одна из задач папируса Ахмеса сводится к нахождению суммы членов геометрической прогрессии). Множество задач, сводящихся к решению уравнений (в том числе квадратных) с одним неизвестным, связаны употреблением специального иероглифа «куча» (аналога латинского x, традиционно употребляемого в современной алгебре) для обозначения неизвестного, что указывает на оформление зачатков алгебры. Папирус Райнда, как и Московский математический папирус, показывает, что древние египтяне с лёгкостью справлялись с измерением площади треугольника и относительно точно определяли приближение числа π ≈ 3,16 ((16/9)²), тогда как на всём Древнем Ближнем Востоке оно считалось равным трём. Однако папирус свидетельствует и о недостатках египетской математики. Например, площадь произвольного четырёхугольника в них вычисляется перемножением полусумм длин двух пар противоположных сторон, тогда как равенство в таком случае имеет место только в прямоугольнике, а для произвольного четырёхугольника действует неравенство: сумма меньше равно произведения. Кроме того, обращает на себя внимание и то обстоятельство, что египетский математик пользуется только аликвотными дробями (вида 1/n, где n — натуральное число) и дробью 2/3. В других случаях дробь вида m/n заменялась произведением числа m и аликвотной дроби 1/n, что зачастую усложняло вычисления, хотя в отдельных случаях могло и облегчить их. ДРЕВНЯЯ ГРЕЦИЯ Самый известный математик этого периода – Фалес Милетский. Он предложил способ определения расстояния до корабля в море; Вычислил высоту египетской пирамиды Хеопса; Доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника; Ввел понятие движения, в частности, поворота; Доказал второй признак равенства треугольников и впервые применял его в задаче; Теорема Фалеса о равных отрезках, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла – самая «именная» его теорема. ФАЛЕС (THALES) МИЛЕТСКИЙ (ОК. 624 - ОК. 546 ДО Н.Э.) Греческий философ и математик из Милета (Малая Азия). Представитель ионической натурфилософии и основатель милетской школы, с которой начинается история европейской научной космогонии и космологии, физики, географии, метеорологии, астрономии, биологии. Таким образом Фалес считается родоначальником античной и, как следствие, европейской философии и науки. Считался первым из Семи мудрецов Греции. По преданию, путешествовал по странам Востока, учился у египетских жрецов и вавилонских халдеев. В Египте занимался изучением причин наводнений, нашел способ измерения высоты пирамид. По словам Геродота, Фалес предсказал солнечное затмение, наблюдавшееся 28 мая 585 до н.э. Для Фалеса характерен гилозоизм ("мир одушевлен и полон богов"). Пытаясь определить основу материального мира, пришел к выводу о том, что ею является вода. АФОРИЗМЫ И ВЫСКАЗЫВАНИЯ ФАЛЕСА: Философ Фалес много путешествовал, растратил все свои деньги и жил небогато, занимаясь исследованиями явлений природы. Он учил, что человеку нужна мудрость, а не деньги. Жители родного Милета насмехались над ним.— Ты поучаешь людей, а сам живешь в бедности,— говорили ему. Тогда Фалес занял в долг денег и скупил все маслобойни в городе. По его прогнозу должен был быть необычайно большой урожай маслин. Прогноз оправдался, и Фалес за одну осень заработал целое состояние. Тем самым он доказал, что если бы его интересовали деньги, то он со своими знаниями и умом мог бы стать богатейшим человеком. Самые известные высказывания: Блаженство тела состоит в здоровье, блаженство ума - в знании. Что легко? - Давать советы другим. Соблюдай меру. (начертано у входа в храм Аполлона в Дельфах). Мудрее всего - время, ибо оно раскрывает все. О друзьях должно помнить не только в их присутствии, но и в их отсутствии. Евклид или Эвклид, (др.- греч. Ευκλε?δης) Евклид (ок. 365 — 300 до н. э.) — древнегреческий математик. Работал в Александрии в 3 в. до н. э. Главный труд «Начала» (15 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики. Работы по астрономии, оптике, теории музыки. Вот первые четыре: Чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию; Чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжить неограниченно; Чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом; Чтобы все прямые углы были равны между собой. «Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей, сумма внутренних углов меньше 1800, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и, притом, с той стороны, с которой эта сумма меньше 1800». Рассказывают, что египетский царь Птолемей I пожелал лично познакомиться с прославленным математиком и его не менее известными сочинениями. Он милостиво выслушал доказательство двух теорем, но в начале третьей с ужасом воскликнул: «Неужели нет других путей для того, чтобы понять эти вещи?» На это Евклид с достоинством ответил: «Нет, в математике даже для царей нет других путей!» «Начала» Из дошедших до нас сочинений Евклида наиболее знамениты «Начала», состоящие из 15 книг. В 1-й книге формулируются исходные положения геометрии, а также содержатся основополагающие теоремы планиметрии, среди которых теорема о сумме углов треугольника и теорема Пифагора. Во 2-й книге излагаются основы геометрической алгебры. 3-я книга посвящена свойствам круга, его касательных и хорд. В 4-й книге рассматриваются правильные многоугольники, причем построение правильного пятнадцатиугольника принадлежит, видимо, самому Евклиду. Книга 5-я и 6-я посвящены теории отношений и ее применению к решению алгебраических задач. Книга 7-я, 8-я и 9-я посвящены теории целых и рациональных чисел, разработанной пифагорейцами не позднее 5 в. до н. э. Эти три книги написаны, по-видимому, на основе не дошедших до нас сочинений Архита. В книге 10-й рассматриваются квадратичные иррациональности и излагаются результаты, полученные Теэтетом. В книге 11-й рассматриваются основы стереометрии. В 12-й книге с помощью исчерпывания метода Евдокса доказываются теоремы, относящиеся к площади круга и объему шара, выводятся отношения объемов пирамид, конусов, призм и цилиндров. В основу 13-й книги легли результаты, полученные Теэтетом в области правильных многогранников. Книги 14-я и 15-я не принадлежат Евклиду, они были написаны позднее: 14-я — во 2 в. до н. э., а 15-я — в 6 в. Другие сочинения Евклида Вторым после «Начал» сочинением Евклида обычно называют «Данные» — введение в геометрический анализ. Евклиду принадлежат также «Явления», посвященные элементарной сферической астрономии, «Оптика» и «Катоптрика», небольшой трактат «Сечения канона» (содержит десять задач о музыкальных интервалах), сборник задач по делению площадей фигур «О делениях» (дошел до нас в арабском переводе). Изложение во всех этих сочинениях, как и в «Началах», подчинено строгой логике, причем теоремы выводятся из точно сформулированных физических гипотез и математических постулатов. Много произведений Евклида утеряно, об их существовании в прошлом нам известно только по ссылкам в сочинениях других авторов. В целом система построения геометрии Евклида актуальна и сейчас, даже существует термин «евклидова геометрия» - это та геометрия, которая изучается и по сей день в школе. Но некоторые математики не во всем соглашались с системой таких аксиом и определений и пытались её улучшить, тем более, что некоторые из них оказались ненужными. Например, что прямые углы равны. Это очевидно из других теорем. Особенное неудовлетворение всегда вызывал пятый постулат, утверждавший, что через любую точку плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной. Многие считали её теоремой и пытались неудачно её доказать. Однако, сделать это удалось лишь нашему соотечественнику – Н.И.Лобачевскому. Никола́й Ива́нович Лобаче́вский Дата рождения: 20 ноября (1 декабря) 1792 Место рождения: Нижний Новгород Дата смерти: 12 февраля (24 февраля) 1856 Место смерти: Казань Гражданство: Российская империя Научная сфера: математика Место работы: Казанский университет Альма-матер: Казанский университет Известен как: один из создателей неевклидовой геометрии Проблема пятого постулата или история создания неевклидовой геометрии полна трагедий, несбывшихся, надежд, разочарований. Трагичной оказалась судьба автора новой геометрии Н.И.Лобачевского: он умер в нищете, больной, и, даже его собственный сын, когда о Лобачевском заговорил весь мир, не знал, по какому собственно поводу его отец так прославился . ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО В чем суть открытия Лобачевского? Иногда можно услышать: «Лобачевский доказал, что линии, параллельные у Евклида, пересекаются в бесконечности». Это неверное истолкование геометрии Лобачевского. Создавая свою геометрию Лобачевский принимает всю систему аксиом Евклида ( конечно уже усовершенствованную в соответствии с современным развитием геометрии), кроме аксиомы параллельных (пятого постулата). Вместо V постулата он принимает противоположное предложение: «Через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесчисленное множество прямых, не встречающих данную прямую». Вместе с этим предложением он принимает остальные аксиомы Евклидовой геометрии и на этом основании строит новую геометрию. Получившаяся геометрия логически стройная, нигде противоречий не встречается. Лобачевский называет ее «воображаемой». «Воображаемая геометрия» существенно отличается от привычной геометрии Евклида и поэтому называется неевклидовой. Через точку С, лежащую вне прямой АВ, можно, предположил Лобачевский, провести хотя бы две прямые а и b, которые не пересекутся с прямой АВ. Точно так же не пересекают прямую АВ и прямые m, n, p, проходящие через точку С. сумма углов треугольника в «воображаемой геометрии» всегда меньше 1800. В последние годы жизни автор пытался доказать непротиворечивость своей геометрии. Но безуспешно. Чтобы получить такое доказательство, надо было построить модель геометрии. В 1868 году (через 12 лет после смерти Лобачевского) итальянский ученый Э. Бельтрами исследовал вогнутую поверхность называемую псевдосферой и доказал, что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского! Существуют и другие модели: немецкого математика Ф. Клейна, французского математика А. Пуанкаре и других. Модель Клейна Модель Бельтрами Модель Пуанкаре Для чего нужна человечеству геометрия Лобачевского? Основной заслугой Лобачевского, ценнейшим вкладом в сокровищницу мировой науки является преодоление привычных и интуитивно неопровержимых представлений - отказ от пятого постулата и создание обобщенной геометрии, в которой геометрия Евклида является лишь предельным частным случаем. « Идеи нашего гениального соотечественника, которые казались недопустимым парадоксом, теперь широко развитые и обобщенные, являются одним из краеугольных камней современной науки» - писал видный советский геометр, профессор П.К.Рашевский. Открытие неевклидовой геометрии произвело переворот не только в геометрии и даже не только в математике, но можно сказать, в развитии человеческого мышления вообще. Почему? Во-первых, потому, что если раньше существовала одна геометрия – евклидова, то теперь появилась другая – неевклидова геометрия. Во – вторых, новая геометрия явилась чистым порождением разума, отделившейся от окружающей действительности. Поэтому Лобачевский назвал ее «воображаемой». Появление неевклидовой геометрии было важным шагом в превращении математики в науку о логически мыслимых формах и отношениях. Этот процесс шел по всему фронту не только в геометрии, но и в алгебре, и в матанализе. Появились теория множеств, математическая логика. В геометрии вскоре за геометрией Лобачевского появилась многомерная евклидова геометрия. Лобачевский был назван «Коперником геометрии», но его можно назвать и Колумбом науки, открывшим новую ее область, за которой следовал материк новой геометрии и вообще новой математики. А в начале xx века было обнаружено, что геометрия Лобачевского совершенно необходима в современной физике! Например, в теории относительности Эйнштейна, в расчетах современных синхрофазотронов, в космонавтике. Для молодых людей, вступающих в жизнь, Лобачевский является замечательным примером. Его трудолюбие, настойчивость, мужество, стремление к новому в науке достойны восхищения.
