«Единичная окружность в тригонометрии»

«Единичная окружность в
тригонометрии»
Автоматический показ
Зачем нужна единичная окружность?
Единичная окружность
необходима при изучении
тригонометрических функций и
построении их графиков, часто
используется в решении
тригонометрических уравнений и
неравенств при отборе корней.
Цель: повторить, как
устанавливается соответствие
между действительными
числами на числовой прямой
и точками единичной
окружности; рассмотреть
использование единичной
окружность при решении
различных задач.
Рис.1
Автоматический показ
Содержание
Урок 1 –
Урок 2 –
«Отображение точек числовой прямой на точки единичной окружности»
«Способ записи координаты точки единичной окружности»
Урок 3 – «Метод лепестков»
Урок 4 –
«Числовые промежутки на единичной окружности»
Урок 5 –
«Решение тригонометрических неравенств»
Итог
Урок 1
Определение
Способ задания соответствие
между множеством
действительных чисел и точками
единичной окружности
(криволинейная система координат)
Упражнения (тесты)
На содержание
Урок 1
Определение единичной окружности
Автоматический показ
• Окружность радиуса 1 с
центром в начале
координат называют
единичной окружностью.
Зададим соответствие между
множеством действительных
чисел и точками единичной
окружности следующим
образом:
Рис.2
Урок 1
Автоматический показ
Способ задания соответствия между множеством
действительных чисел и точками единичной окружности
Координатную прямую с началом отсчета в точке А будем
«наматывать», как нитку, на единичную окружность
сначала в положительном направлении – против хода
часовой стрелки,
потом в отрицательном – по ходу часовой стрелки.



4

4


4


4
Рис. 3
Вернуться
Урок 1
,
Так как длина окружности вычисляется по формуле С  2R, то
можно получить изображение таких чисел на окружности как:
2 ,
3 , 4 и т.д., учитывая, что R  1 и C  2 .
Рис.4
Обратите внимание, что построенное отображение не
является однозначным:
Урок 1
Автоматический показ
1. Каждому действительному
числу соответствует
единственная точка окружности.
2.Каждая точка окружности
изображает бесконечное
множество действительных
чисел.
В
С
А
3. Точки A, B, C, D назовем
узловыми.
Фактически, мы получили
принципиально новую систему
координат – криволинейную. Но
точка единичной окружности имеет
одну координату. (Почти все
также, как и в прямоугольной
системе координат.)
D
Рис.5
К упражнению I,1
Смотрите рис.3
Упражнение I.1
Урок 1
Назовите по одному положительному
или отрицательному числу, которые не
записаны на модели единичной
окружности, но соответствуют каждой из
узловых точек.
Выбери ответ:
Точке А соответствуют числа :
 3 ; 5 ;  4 ; 6 ;
Точке B соответствуют числа :
7
;
2

15
;
2
13
13
;  ;
2
2
Точке С соответствуют числа :
7 ;  6 ; 6 ;
 9 ;
Точке D соответствуют числа :
Рис.6
7
5
 ;
;
2
2
На упражнение I.2
Упражнение I.2
Урок 1
Выберите точки на единичной окружности,
соответствующие числам:
Нажмите здесь:

 2 :
A
F
G
P
 2 :
A
F
G
P
2
  2 :
3
C
D
L
M
5
  2 : B
4
E
K
N
B
E
K
N
:
A
F
G
P
2
4   :
3
C
D
L
M
6

6
5
  6 :
4
2 
Рис.7

6
Урок 2
Способы записи чисел,
соответствующих одной точке
единичной окружности
Упражнения:
II.1
II.2
На содержание
Способы записи чисел, соответствующих
одной точке единичной окружности
Урок 2
Автоматический показ
Pt

Pt

На окружности дана произвольная
точка Pt , которая получается
поворотом точки P0 на угол t радиан
вокруг точки О.
При обходе окружности на целое число
оборотов мы попадаем в исходную точку, а
значит, точке окружности наравне с Pt
некоторым числом t соответствует и любое
число вида t  2n, n  Z .
В данном случае точке Pt
соответствуют числа t    2n, n  Z.
К упражнению II.1
Упражнение II.1
Выберите все числа, соответствующие указанным
точкам единичной окружности
Урок 2
3
2
4
1
2n, n  Z
3
 n, n  Z
2
  2n, n  Z

  n, n  Z

2n   , n  Z


2
2

2
 2n, n  Z
 n, n  Z
 n, n  Z
7
  2k , k  Z
6

6

6
 k , k  Z
k 

4
 2k , k  Z
7
  k , k  Z
6
На упражнение II.2

4
, k Z
 2k , k  Z
3
  2k , k  Z
4

4
 k , k  Z
На содержание
Вернуться
к упражнению II.1
Вернуться к
упражнению II.1
Вернуться к
упражнению II.1
Вернуться к
упражнению II.1
Вернуться к
упражнению II.1
К упражнению II.2
Упражнение II.2
Выберите все числа, соответствующие указанным
точкам единичной окружности
Урок 2
1
7
  k , k  Z
6
7
  2k , k  Z
6
5
  2k , k  Z
6
7
2k   , k  Z
6
2

3

6

3
3
4

 2k , k  Z
7
   2n, n  Z
6

 2k , k  Z

7
  2n, n  Z
12

 k , k  Z
7
   n, n  Z
6

 2n, n  z
6
7
  2n, n  Z
12


3
 2
На урок 3
3

6
 2n, n  z

6
 2
 2n, n  z
На содержание
На содержание
Вернуться к упражнению II.2
Вернуться к упражнению II.2
Урок 3
Отбор чисел (Метод «лепестков»)
Пример1
Пример 2
Упражнения
На содержание
Отбор корней
(Метод «
лепестков»)
Урок 3
Автоматический показ
Решение многих тригонометрических уравнений приводит
к совокупности или системе их корней. Для грамотной
записи ответа, требующей, в частности, исключения
повторяющихся чисел, мы используем единичную
окружность.
Пример 1
Переписать данное условие так, чтобы в
них не было повторений.
Каждой серии чисел присваивается лепесток определенного
цвета:
m

x  4 , m  Z

 k
x   , k  Z
4 2

 x   3  2n, n  Z

4
Урок 3
m

x

, mZ

4

 k
x   , k  Z
4 2

 x   3  2n, n  Z

4
y
Решение
Теперь перенесем лепестки в нужные
места тригонометрической
окружности
Остается только записать числа,
соответствующие точкам, около
каждой из которых расположен хоть
один лепесток
Ответ:
О
Автоматический показ
х
Урок 3
Пример 2 Переписать данное условие так, чтобы в них не
было повторений.
 

x


 l, l  Z

2 4

 x  m, m  Z

7
x

 2p, p  Z

2
y
О
Автоматический показ
Решение
Каждой серии чисел опять присваиваем
лепесток определенного цвета.
Теперь перенесем лепестки в
нужные места тригонометрической
окружности
Мы видим, что ни у одной
точки не собрались три
лепестка, поэтому запись
упростить невозможно
х
Ответ:
На пример 3
 

x   2  4 l, l  Z

 x  m, m  Z

7
x

 2p, p  Z

2
Пример 3
Запишите без повторений значения х, заданные следующими
условиями.
Урок 3
Решение


х


 k , k  Z

2


x  t, t  Z
2

Автоматический показ
Недопустимые точки на единичной окружности будем
отмечать крестиками, а точки вида

2
выделим светлыми лепестками.
y
Выражение
x

t, t  Z
t, t  Z
2
задает четыре точки единичной
окружности, из которых только две
допустимы.
О
х
Ответ:
x  m, m  Z .
На пример 4
Пример 4
Запишите без повторений значения х, заданные следующими
условиями.
Урок 3


x

k, k  Z

2

 2
x


m,  Z

3
3

 x  2 n, n  Z .

3
y
О
Решение
Автоматический показ
Каждой серии чисел опять присваиваем
лепесток определенного цвета, а
недопустимые точки на единичной
окружности будем отмечать крестиками.
Точки, у которых стоит хотя
бы один лепесток, но нет
запрещающего знака
соответствую числам:
х


 x   3  2k , k  Z

2
x  
 2n, n  Z .
3

Урок 3
Упражнения
Переписать данное условие так, чтобы в
них не было повторений в заданиях 1 и 2.
3)Выбрать наибольшее
отрицательное число.
4)Переписать данное
условие так, чтобы в них
не было повторений
 
m

x

, mZ
 x    2k , k  Z  
2


 




2p

 x  6  k

x


 2h, h  Z
 x  4  k
3)  x 
, pZ
2) 

6
1) 
5
4)  



 x  7  2g , g  Z
 x   2k : k  Z  x   2k : k  Z 



6

x   n, n  Z .
4

6


2

 k
x

 , k Z

Выбери ответ: Выбери ответ:
Выбери ответ:

x   k , k  Z
2
x
x
x

4

4

4
k, k  Z

x   k , k  Z
6
x
 2k , k  Z
x
 k , k  Z
x


6
k, k  Z
4
x   , при p  1.
5
x  
 2k , k  Z
x
5
 k , k  Z
6
x
6
2
p, p  Z
5
2
, при p  1.
5

2

2
p, p  Z
5
На урок 4

6
3
Выбери ответ:
Нет решения
x  p, p  Z
x
m
 2m, m  Z
2
x
5
 k , k  Z
6
Упражнение I,1
Упражнение I,2
Вернуться
к упражнению I,1
Вернуться
к упражнению I,2
Урок 4
Запись промежутков
Упражнения
На содержание
Урок 4
Запись промежутков
Автоматический показ
Пример
Запиши все числа, соответствующие точкам выделенной дуги (или двух дуг)
на рисунке:
Решение
3
4

3
4 
Ответ:
3
 3



2

n
;

2

n
,
n

Z
 4

4
Около одного из концов дуги записываем одно
из чисел, соответствующих этой точке.
Рисуем стрелку, направленную к другому концу
отмеченной дуги.
Стрелка снабжается знаком «+», если
движение направлено против хода часовой
стрелки, и знаком «-» минус, если оно идет по
ходу часовой стрелки.
Записываем соответствующее число около
второго конца дуги.
Записываем ответ с учетом, что каждой точке
единичной окружности соответствует
бесконечное множество действительных чисел.
Урок 4
Упражнения
Поставь в соответствие числовому промежутку номер рисунка
1
3
5
7
2
4
6
8
5



2

n
;
1
 2n, n  Z 
 6
6

1
2
3
4
5
6
7
8
3



2

n
;

2

n
,
n

Z
 2

2
1
2
3
4
5
6
7
8
2n;   2n, n  Z 
1
2
3
4
5
6
7
8

 



2

n
;
 2n, n  Z 
 2
2

1
2
3
4
5
6
7
8

5
 
 

 2  2n; 4  2n    2  2n; 4  2n, n  Z 
1
2
3
4
5
6
7
8

 



2

n
;
 2n, n  Z 
 3
3

1
2
3
4
5
6
7
8
5



2

n
;
 2n, n  Z  1
 6
6

2
3
4
5
6
7
8
 
 

 2  2n; 2n    2  2n;   2n, n  Z 
1
2
3
4
5
6
7
8

5
 
 

 4  2n; 2  2n    2  2n; 4  2n, n  Z 
1
2
3
4
5
6
7
8
На урок 5
Урок 5
Решение тригонометрических
неравенств (примеры)
Задание
На содержание
Урок 5
Пример
Решить неравенство:
Решение
1
sin x 
2
Автоматический показ
Рассмотрим единичную
окружность:
1
5)Роль
1)Проведем
начальной
прямую
точкиyиграет

точка М, а конечной точка N.2

N
M
6)Ядро
решения точки
неравенства
2)Заштрихуем
на оси 1
y, для M
которых
 x  Ny 
2
7)Точкам
M и Nточки
«присваиваем
3)Выделим
имена»
единичной
окружности,
которые
5 им соответствуют.
и  соответственно
64)Вдоль
6 заштрихованной дуги
МN проведем стрелку
в 5

8)»Ядро»
ответа - направлении
x 
положительном
6
6
(против часовой стрелки).
9)Ответ:

5
 2n  x    2n, n  Z .
6
6
Урок 5
Самостоятельная работа
Реши неравенство:
1)2 sin x  2  0
Ответ
3
2) cos x 
2
Ответ
3)2 cos x  3  0
Ответ
Урок 5
1)2 sin x  2  0
Ответ:

5
2n   x    2n, n  Z .
4
4
К самостоятельной работе
Урок 5
3
2) cos x 
2
Ответ:
2n 

6
x

6
 2n, n  Z .
К самостоятельной работе
Урок 5
3)2 cos x  3  0
Ответ:

11
2n   x 
 2n, n  Z .
6
6
К самостоятельной работе
На итог
Подведем итог
Теперь ты можешь приступать к решению заданий
повышенной сложности по тригонометрии, то есть к
решению тригонометрических уравнений и задач. Ведь ты
теперь знаешь и умеешь
Смотри
Содержание
Урок 1 –
Урок 2 –
«Отображение точек числовой прямой на точки единичной окружности»
«Способ записи координаты точки единичной окружности»
Урок 3 – «Метод лепестков»
Урок 4 –
«Числовые промежутки на единичной окружности»
Урок 5 –
«Решение тригонометрических неравенств»
Смотри список литературы и
других ресурсов
Литература и другие ресурсы для
самостоятельной работы
 Практикум по элементарной математике.
Тригонометрия. Авторы – В.Н. Литвиненко, А.Г.
Мордкович, Москва, «Вербум – М», 2000.
 Лев Великович "Лоцман абитуриента в океане
математики" http://www.trizway.com/show.php?id=63&pg=1#a1
(Подключись к Интернету, скопируй эту ссылку в адресную строку в обозревателе и нажми
«Enter» ).
 Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина
http://mathnet.spb.ru/
(Подключись к Интернету, скопируй эту ссылку в адресную строку в обозревателе и нажми
«Enter» ).
Не упускай своих возможностей!
Твой учитель!
На содержание