Расширяющаяся Вселенная.

Семинар 5:
Расширяющаяся Вселенная. Информация
1. Леонард Саскинд, Topics in string theory, лекции 6 - 8. (доступны он-лайн на сайте
Стэнфордского университета, США.)
2. Rolf Landauer: «Irreversibility and heat generation in the computing process» IBM Journal
of Research and Development, vol. 5,pp. 183—191, 1961.
3. Материалы предыдущих семинаров.
На Семинаре будет обсуждаться теория расширяющейся Вселенной с позиций
современной физики. Будет затронут вопрос связи информации с энергией.
В конце семинара будет совершена прогулка по метагалактике с помощью
программного обеспечения.
Метрика расширяющейся
Вселенной
Теория расширяющейся Вселенной выведена из астрономических наблюдений.
Установлено, что чем дальше от нас находится астрономический объект, тем больше
красное смещение длины испускаемой им волны.
Для объяснения Красного смещения наибольшее распространение получила
гипотеза о том, что оно связано с эффектом Доплера, то есть чем дальше от нас
расположен астрономический объект, тем быстрее он от нас удаляется.
Здесь: z – разница между наблюдаемой и испускаемой длинами волн,
v – скорость источника, vr – составляющая скорости в направлении наблюдателя
Данный факт связывают со свойствами пространства-времени.
Расширяющееся пространство
Создадим в пустом трехмерном пространстве световую вспышку. Лучи света
будут сферически распространяться в разные стороны таким образом, что
координаты по оси Х будут:
Х = сt
Уравнение сферы расширяющегося радиуса можно записать как:
(с𝑡)2 = 𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2
В Космологии обычно используют единицы Макса
Планка, в которых скорость света равна 1. Тогда
𝑡 2 = 𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2
или в дифференциальной форме
𝑑𝑡 2 = 𝑑𝑥 2 +d𝑦 2 +d𝑧 2
Назовем разность левой и правой части уравнения квадратом некоторой величины,
называемой интервалом, и обозначим ее через S.
𝑑𝑆 2 = −𝑑𝑡 2 + 𝑑𝑥 2 +𝑑𝑦 2 +𝑑𝑧 2
Используя понятие интервала, уравнение движения световой вспышки будет
выглядеть как:
S=0
Запись вида 𝑑𝑆 2 =f(x,y,z,t) называется метрикой пространства-времени, а конкретнее,
𝑑𝑆 2 = −𝑑𝑡 2 + 𝑑𝑥 2 +𝑑𝑦 2 +𝑑𝑧 2
Называют метрикой Минковского. Заметим, что данная метрика отражает самое
простое из всех возможных пространств, в котором не происходит никаких
экстраординарных событий.
Обычно сокращают, записывая просто:
𝑑𝑆 2 = −𝑑𝑡 2 + 𝑑𝑥 2
Вообразим бесконечный тонкий кусок резины. Из него собрана сфера,
которая расширяется. Покажем это с помощью математики используя метрику
пространства времени.
Ну а для того, чтобы учесть расширение нашего «резинового» шара, вводят
масштабный фактор a(t), таким образом, что расстояние между двумя точками будет
равно:
D(1, 2)=𝑥 𝑎(𝑡)
Тогда:
𝑑𝑆 2 = −𝑑𝑡 2 + 𝑎(𝑡)2 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗
Теперь найдем скорость удаления двух точек с помощью дифференцирования по
времени.
𝑉 1, 2 = 𝑥 𝑎 𝑡 =D𝑎/𝑎
𝑎
Величину 𝑎 и называют постоянной Хаббла (𝐻).
𝑉 = 𝐷𝐻
Выводы:
1. В Космологии на достаточно большом удалении
друг от друга объекты способны удаляться друг от
друга со скоростью больше, чем скорость света.
2. В настоящее время принято считать, что Н это
истинная константа, то есть она не меняется с
течением времени. Это подтверждается данными
экспериментальной космологии.
Выведем еще несколько формул, касающихся постоянной Хаббла.
По определению:
𝑑𝑎
= 𝐻𝑎,
тогда 𝑎 = 𝑒 𝐻𝑡
𝑑𝑡
Что соответствует модели так называемой расширяющейся Вселенной.
Принимают обозначение D=1/H, [D]=t
Ну а теперь с точки зрения метрики,
𝑑𝑆 2 = −𝑑𝑡 2 + 𝑒 2𝐻𝑡 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗
Что называется пространством De Sitter, и более точно отражает окружающее нас
«старое доброе» пространство, чем метрика Миньковского.
Учет гравитации
Факт разбегания галактик, который является на сегодняшний день самой
распространенной гипотезой, объясняющей красное смещение, заставляет задуматься о
том, что скрывается за данным обстоятельством. Для привлечения объяснения факта
разбегания Галактик используют так называемую темную энергию.
Итак, Вселена что больная расширяется. Но масса вещества в кубике
расширяющейся Вселенной остается постоянной при расширении размеров кубика.
Что же заставляет мир расширяться? Энергия вакуума. Энергия вакуума это довольно
туманная величина, о которой мало что знают в физике. Это прародитель всех
элементарных частиц и она имеет отношение к так называемому «полю дирака», или
динамическому вакууму.
Можно ли учесть энергию вакуума в метрике пространства?
2
𝑎
8𝐺
Запишем следующее уравнение:
=
 𝑡
𝑎
3
В этом уравнении левая и правая часть имеют размерности обратных квадратных
секунд, которые меняются так же, как плотность в зависимости от времени.
Проинтегрированное по всему пространству оно дает полное количество вещества,
следовательно, данное уравнение является уравнением сохранения.
Будем считать, что плотность, стоящая в правой части, является количеством
нуклонов на квадратный метр nm. (Именно нуклоны отвечают за обнаруживаемую
массу). Нуклоны это протоны и нейтроны. Тогда:
𝑛𝑚
0
 𝑡 =
=
𝑎(𝑡)3 𝑎(𝑡)3
Из
𝑎
𝑎
2
8𝐺
=
 𝑡
3
𝑑𝑎 1/2
𝑎
= С 𝑡
𝑑𝑡
1/2
𝑎2 𝑎 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 0
Следует, что
𝑎1/2 𝑑𝑎 = С 𝑡
Или, с точностью до констант,
1/2 dt
2 3/2
𝑎
= 𝑡С 0
3
𝑎3/2 = 𝑡 0
Таким образом, масштабный факто растет со временем! (гравитация никогда не
смогла бы остановить расширение)
Но в такой интерпретации, Вселенная со временем расширялась бы все
медленнее и медленнее, если бы причиной расширения была гравитация.
Рассмотрим далекое будущее, когда расширением благодаря гравитации можно
пренебречь.
Итак, мы установили, в «хорошем» уравнении расширения Вселенной,
действительно, расширение происходит за счет Темной энергии, поскольку член,
отвечающий за плотность материи, в далеком будущем (которым является наше
настоящее) можно со спокойной совестью исключить из рассмотрения.
𝑎
𝑎
тогда
и
2
0
=𝐻 + 3
𝑎
2
𝑎
𝑎
2
= 𝐻2
𝑎
=𝐻
𝑎
Что и было написано вначале!
Выводы:
Таким образом, с течением времени «а» ведет
себя экспоненциально от времени. Отсюда мы
делаем вывод, что мы живем в
экспоненциально расширяющемся мире .
Таким образом, в будущем плотность обычной
энергии будет пренебрежимо мала и все будет
состоять из энергии вакуума. ТО в далеком
будущем все, что мы будем видеть это наша
Галактика, и ничего больше.
Метрика, которой описывается такая
Вселенная называется метр кой де Ситера, и
является метрикой расширяющейся
Вселенной.
Такая Вселенная имеет свойства Горизонта.
Вторая часть нашего семинара будет посвящена свойствам Горизонта. Эти свойства
лучше всего изучать, используя математический аппарат, разработанный для объектов
глубокого космоса, называемых черными дырами.
Горизонт и его свойства.
Сверхмассивный объект «черная дыра».
Черная дыра (ЧД) является классическим примером сверхмассивного объекта.
Разберемся, что такое ЧД. ЧД это продукт эволюции звезд, который получается на
поздних стадиях эволюции звезды, когда силы лучевого давления уже не могут больше
уравновешивать силы гравитационного сжатия.
Тогда звезда сжимается и происходит вдавливание электронов в ядра атомов, и
вещество переходит в так называемое нейтронное состояние, плотность которого
может по разным оценкам достигать от 10^17гна метр кубический и выше (в
миллиарды раз). Земля при такой плотности имела бы размеры с горошину.
При очень большой плотности звезды свет не мог бы выходить за ее пределы. Если бы
вся плотность была сконцентрирована в точке, можно было бы подсчитать радиус, до
которого дошел бы свет, достигнув границу, через которую он не может пройти. Для
того, чтобы это подсчитать, вспомним формулу энергии гравитационного
взаимодействия двух тел:
U=
𝑚𝑀
G
𝑟
Где G - гравитационная постоянная, с – скорость света, Падая на тело массой М, тело
массой m приобретает кинетическую энергию
𝑚𝑣 2
𝐸=
2
Для безмассово частицы, которой является фотон, скорость была бы равна скорости
света с, и можно вычислить предельное расстояние, которое может преодолеть фотон.
𝑚𝑀
𝑚с2
G= 2
𝑟
𝑀
с2
G= 2
𝑟
r=
2𝑀𝐺
с2
Определенный таким образом радиус называется радиусом Шварцшильда (РШ), или
горизонтом событий.
Для того, чтобы разобраться со свойствами ЧД, напишем ее метрику. Для
этого начнем с метрики «плоского» (неискривленного пространства).
Уравнение движения светового луча и метрика пространства
В ТО пространство четырехмерно. Уравнение световой вспышки,
распространяющейся из начала координат выглядит как:
dX=cdt
X2=c2t2
По всем координатам: с2dt2=dx2+dy2+dz2
Очевидно, что с2dt2-dx2+dy2+dz2=0
Обозначим однако эту величину как тау квадрат и назовем ее интервалом.
Тогда уравнение tau2=0 будет являться уравнением движения света!
Для упрощения запишем только по иксу:
Вспомним, что физики всегда рисуют ось икс направленной вправо, а ось времени
направленной вверх.
Метрика ЧД
Возьмем метрику ЧД. Для сферически симметричной и не вращающейся ЧД такую
метрику описал Шварцшильд, и ее называют метрикой ШШ.
Установим скорость света равной 1, и
выберем ось таким образом, чтобы
углы равнялись нулю.
М – масса ЧД. Rs=2МG/c2 радиус ШШ.
Далеко от ЧД: знаменатель
уменьшается настолько, что метрика
становится метрикой плоского
Пространства.
Световой конус будущего
t
t=x
x
Световой конус прошедшего
Путешествие светового луча к поверхности ЧД
При r=2MC мы на так называемом горизонте. Поговорим о поведении светового
луча. Вдоль светового луча dw2=0. По какой траектории движется световой луч?
Диаграмма Пенроуза вращающейся ЧД показывает, что свет, попадающий на
вращающуюся световую орбиту вокруг ЧД вне РШ может выйти наружу и нести
информацию о событиях, происшедших во Вселенной в прошлом.
Световые лучи начнут замедляться. Прямо на горизонте световые лучи остановятся и
перестанут двигаться вообще.
Это легко видно из формул метрики ШШ.
Расст. От РШ
Откуда видно, что промежуток времени dt между событиями на луче,
Приближающемся к СШ, становится равным бесконечности.
Справедливо и обратное. Чтобы выйти с горизонта, Луч света должен затратить
бесконечно большое Время.
Очевидно, что в сходной ситуации окажется не только луч
Света, но и наблюдатель, приближающийся к РШ под
действием гравитации. Под действием метрики ШШ он
испытает замедление времени, вытекающее из
преобразований Лоренца. Это замедление будет
асимптотически приближаться к замедлению времени
светового луча, поскольку их скорости будут иметь
тенденцию к асимптотическому совпадению.
Вывод: Вселенная имеет свойства Горизонта.