Основы специальной теории относительности

Основы специальной
теории
относительности
Специальная (или частная) теория
относительности (СТО)
• Представляет собой современную физическую
теорию пространства и времени.
• Наряду с квантовой механикой, СТО служит
теоретической базой современной физики и
техники.
• СТО часто называют релятивистской теорией,
а специфические явления, описываемые этой
теорией, – релятивистскими эффектами.
 Эти эффекты наиболее отчетливо проявляются при
скоростях движения тел, близких к скорости света в
вакууме c ≈ 3·108 м/с.
Создатели СТО
Специальная теория относительности была
создана А. Эйнштейном (1905 г.).
Предшественниками
Эйнштейна,
очень
близко подошедшими к решению проблемы,
были нидерландский физик Х. Лоренц и
выдающийся
французский
физик
А. Пуанкаре.
Значительный вклад внесли Д. Лармор,
Д.Фитцджеральд, математик Г. Минковский.
Альберт Эйнштейн
(14.III.1879–18.IV.1955)
• Физик-теоретик, один из основателей современной
физики. Родился в Германии, с 1893 жил в
Швейцарии, в 1933 эмигрировал в США.
• В 1905 вышла в свет его первая серьезная научная
работа, посвященная броуновскому движению: «О
движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц,
вытекающем из молекулярно-кинетической теории».
• В том же году вышла и другая работа Эйнштейна «Об
одной эвристической точке зрения на возникновение и
превращение света». Вслед за Максом Планком он
выдвинул предположение, что свет испускается и
поглощается дискретно, и сумел объяснить
фотоэффект. Эта работа была удостоена Нобелевской
премии (1921).
• Наибольшую известность Эйнштейну все же принесла
теория относительности, изложенная им впервые в
1905 году, в статье «К электродинамике движущихся
тел».
Хендрик Антон Лоренц
(18.VII.1853–4.II.1898)
Нидерландский физик-теоретик, создатель
классической электронной теории. Работы в
области электродинамики, термодинамики,
оптики, теории излучения, атомной физики.
Исходя из электромагнитной теории Максвелла–Герца и вводя в учение об
электричестве атомистику, создал (1880–1909) классическую электронную
теорию, основанную на анализе движений дискретных электрических зарядов.
Вывел формулу, связывающую диэлектрическую проницаемость с плотностью
диэлектрика, и зависимость показателя преломления вещества от его плотности
(формула Лоренца–Лоренца), дал выражение для силы, действующей на
движущийся заряд в магнитном поле (сила Лоренца), объяснил зависимость
электропроводности вещества от теплопроводности, развил теорию дисперсии
света.
Для объяснения опыта Майкельсона–Морли выдвинул (1892) гипотезу
о сокращении размеров тел в направлении их движения (сокращение
Лоренца).
В 1904 вывел формулы, связывающие между собой пространственные
координаты и моменты времени одного и того же события в двух
различных инерциальных системах отсчета (преобразования Лоренца).
Подготовил переход к теории относительности.
Анри Пуанкаре
(29.IV.1854–17.VII.1912)
Французский математик и физик. Основные
труды по топологии, теории вероятностей,
теории
дифференциальных
уравнений,
теории
автоморфных
функций,
неевклидовой геометрии.
Занимался математической физикой, в
частности теорией потенциала, теорией
теплопроводности, а также решением
различных задач по механики и астрономии.
В 1905 написал сочинения «О динамике
электрона», в которой независимо от
А. Эйнштейна развил математические следствия
«постулата относительности».
Принцип относительности и преобразования Галилея.
Законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах
отсчета.
Этот принцип означает, что законы динамики инвариантны (т. е.
неизменны) относительно преобразований Галилея, которые позволяют
вычислить координаты движущегося тела в одной инерциальной системе
(K), если заданы координаты этого тела в другой инерциальной системе (K').
В частном случае, когда система K' движется
со скоростью υ вдоль положительного
направления оси x системы K
преобразования Галилея имеют вид:
x = x' + υxt,
y = y',
z = z',
t = t'.
В начальный момент оси координат обеих
систем совпадают.
Принцип относительности и преобразования Галилея.
Следствие преобразований Галилея - закон
преобразования скоростей при переходе от одной
системы отсчета к другой:
υx = υ'x + υ, υy = υ'y, υz = υ'z.
Ускорения тела во всех
инерциальных системах
оказываются одинаковыми.
Уравнение движения
классической механики не меняет
своего вида при переходе от одной
инерциальной системы к другой.
Постулаты СТО
В основе специальной
теории относительности
лежат два постулата
(или принципа),
сформулированные
Эйнштейном в 1905 г.
Эти принципы являются
обобщением всей
совокупности опытных
фактов.
Принцип относительности Эйнштейна:
Все законы природы инвариантны по отношению к
переходу от одной инерциальной системы отсчета
к другой.
Это означает, что во всех
инерциальных системах
физические законы (не только
механические) имеют
одинаковую форму.
Принцип постоянства скорости света:
Скорость света в вакууме не зависит от скорости
движения источника света или наблюдателя и
одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
Скорость света в СТО занимает
особое положение.
Это предельная скорость
передачи взаимодействий и
сигналов из одной точки
пространства в другую.
Принцип соответствия Н.Бора
Новая теория (СТО) не отвергла старую
классическую механику Ньютона, а только
уточнила пределы ее применимости.
Такая взаимосвязь между старой и новой,
более общей теорией, включающей старую
теорию как предельный случай, носит
название принципа соответствия.
Экспериментально установлено, что магнитное поле возникает
при движении заряда в вакууме.
В 19 веке пытались объяснить это явление как механический
процесс, и ученым представлялось разумным и естественным
выдвинуть гипотезу о существовании особой материальной
среды, названной эфиром, которая заполняет все пространство (в
том числе и физические тела).
Впервые эту гипотезу выдвинул в 1678 г. Гюйгенс, рассматривая
эфир как среду, в которой распространяются световые волны
подобно звуковым волнам в упругих средах.
Предполагали, что вследствие этого взаимодействия и
возникает магнитное поле.
Однако от такого классически понятного объяснения происхождения электромагнетизма пришлось отказаться после
экспериментов А. Майкельсона и Э. Морли (1881 и 1887 гг.).
Опыты Майкельсона и Морли
Майкельсон (Michelson) Альберт (19.XII.1852–
9.V.1931).Американский физик. В 1878–82 и
1924–26 провел измерения скорости света,
долгое время остававшиеся непревзойденными
по точности. В 1881 экспериментально доказал
и совместно с Э. У. Морли (1885–87)
подтвердил с большой точностью
независимость скорости света от скорости
движения Земли.
Морли (Morley) Эдвард Уильямс (29.I.1839–
1923)
Американский физик. Наибольшую
известность получили его работы в области
интерферометрии, выполненные совместно с
Майкельсоном. В химии же высшим
достижением Морли было точное сравнение
атомных масс элементов с массой атома
водорода, за которое ученый был удостоен
наград нескольких научных обществ.
Опыты Майкельсона и Морли
Цель опыта – измерить
скорость света относительно
«эфирного ветра»
(параллельно и
перпендикулярно движению
Земли).
Орбитальная скорость Земли
(υ = 30 км/с)
Ход опыта:
на массивной каменной плите,
плавающей в ртути,
монтировался специальный
интерферометр.
Свет от монохроматического точечного источника попадал на
полупрозрачную пластину и разделялся на два когерентных
пучка со взаимно перпендикулярными направлениями.
Опыты Майкельсона и Морли
После отражения от зеркал, установленных на
плите на определенных расстояниях, оба
пучка попадали в зрительную трубу, где
наблюдалась интерференционная картина.
Несимметричность обоих направлений
распространения света — одно параллельно
орбитальной скорости Земли, другое ей
перпендикулярно — должна была согласно
гипотезе неподвижного эфира повлиять на
картину интерференции, если повернуть
интерферометр на 90°.
Иными словами, «эфирный ветер», дующий в земной лаборатории навстречу орбитальному движению Земли, должен был оказывать различное
действие на каждый из световых пучков.
Однако наблюдаемая картина интерференции не выявила различий в
условиях прохождения света.
В рамках эфирной гипотезы этот экспериментальный факт Майкельсон
истолковал как ошибочность представления о неподвижности эфира.
Преобразования Лоренца
Кинематические формулы
преобразования координат и
времени в СТО называются
преобразованиями Лоренца.
Они были предложены в
1904 году еще до появления
СТО как преобразования,
относительно которых
инвариантны уравнения
электродинамики.
Для случая, когда система K'
движется относительно K со
скоростью υ вдоль оси x,
преобразования Лоренца имеют
вид:
Эта гипотеза, названная лоренцевым сокращением, не вытекала на тот
Не сомневаясь в существовании эфира, Лоренц заметил, что результаты
момент из каких-либо физических принципов и стояла особняком, будучи
опыта Майкельсона полностью объясняются, если сделать невероятное
призвана лишь справиться с отрицательным результатом опыта. Но тем не
предположение: размеры движущегося предмета сокращаются в
менее формула действительно оказалась верна! Её объяснение пришло
направлении движения! Так, если стержень длины l0 начинает двигаться
позже, уже в рамках теории относительности Эйнштейна.
вдоль своей оси со скоростью v, то его длина становится равной
Основной задачей механики является описание
движения, а именно — выяснение того, как меняются
координаты тела с течением времени.
Для описания движения нужно иметь систему отсчёта. В
классической механике в систему отсчёта:
1. тело отсчёта
2. жёстко связанная с телом отсчёта система координат
3. часы для измерения времени
Наблюдатель, находящийся в данной
системе отсчёта, имеет возможность
измерять координаты тела и
сопоставлять эти координаты с
показаниями часов.
В результате наблюдатель получает
зависимость координат тела от
времени; располагая такой
зависимостью, он может найти скорость
тела и другие кинематические
величины.
r = r(t)
x=x(t),
y=y(t),
z=z(t)
Одновременность событий
Сопоставление координат тела и показаний часов — ключевой
момент.
Здесь мы подходим к важнейшему понятию одновременности
событий.
Прежде всего, процитируем Эйнштейна.
Мы должны обратить внимание на то, что все наши
суждения, в которых время играет какую-либо роль, всегда
являются суждениями об одновременных событиях.
Если я, например, говорю: «Этот поезд прибывает сюда в 7
часов», — то это означает примерно следующее: «Указания
маленькой стрелки моих часов на 7 часов и прибытие поезда
суть одновременные события».
(А. Эйнштейн. «К электродинамике движущихся тел».)
Одновременность в классической механике
Вопрос, казалось бы, ясен: события являются
одновременными, если они происходят в один и тот же
момент времени по часам наблюдателя.
• Неважно, происходят ли данные события в одной
точке пространства или в различных точках. В
классической механике мы спокойно говорим об
одновременности пространственно разделённых
событий.
• Понятие одновременности имеет абсолютный смысл:
два события, одновременные в одной системе отсчёта,
будут одновременными и в любой другой системе
отсчёта. Во всех инерциальных системах отсчёта время
течёт одинаково — это выражается равенством t𝟎 = t в
преобразованиях Галилея.
Относительность одновременности
В действительности скорость сигнала является конечной
и не может превышать скорость света в вакууме.
Если мы, держа в руках секундомер, фиксируем по нему
время наступления окружающих событий и пытаемся
судить об их одновременности, то нам придётся
считаться с задержками прихода сигналов из различных
точек пространства.
Более того, эти задержки могут оказываться разными в
зависимости от того, находимся ли мы в покоящейся
системе отсчёта или в движущейся.
Что же получается — понятие одновременности вообще
теряет смысл?
Оказывается, нет! Эйнштейн предложил чёткую
программу преодоления указанных трудностей.
1.
2.
3.
Пусть в некоторой точке пространства имеются часы. Если в этой точке
происходит событие, то наши часы показывают время данного события.
Таким образом, если в этой самой точке происходят два события, то мы
всегда можем сказать, одновременны они или нет — просто сравнив
показания наших часов в моменты наступления событий.
Если же оба события происходят в разных точках системы отсчета, то для
измерения промежутков времени между ними в этих точках необходимо
иметь синхронизованные часы.
Чтобы синхронизировать часы, расположенные в различных точках
пространства, Эйнштейн предложил использовать световые сигналы.
Пусть в точках A и B имеются часы. Предположим, что из точки A в точку B посылается
световой сигнал, который отражается в точке B и возвращается назад в A. Пусть в момент
отправления сигнала часы A показывали 𝑡1 , а в момент возвращения сигнала показания тех
же часов A равны 𝑡2 . Тогда
Относительность одновременности
События, являющиеся одновременными в одной ИСО,
неодновременны в другой ИСО, движущейся
относительно первой
Рассмотрим теперь вторую инерциальную систему K', которая движется с
некоторой скоростью υ в положительном направлении оси x системы K.
В разных точках этой новой системы отсчета также можно расположить часы
и синхронизировать их между собой, используя описанную выше процедуру.
Теперь интервал времени между двумя событиями можно измерять как по
часам в системе K, так и по часам в системе K'.
Будут ли эти интервалы одинаковы? Ответ на этот вопрос должен находиться
в согласии с постулатами СТО.
Пусть оба события в системе K' происходят в одной и той же точке и
промежуток времени между ними равен τ0 по часам системы K'. Этот
промежуток времени называется собственным временем. Каким будет
промежуток времени между этими же событиями, если его измерить по
часам системы K?
Для ответа на этот вопрос рассмотрим следующий мысленный эксперимент.
На одном конце твердого стержня некоторой длины l расположена
импульсная лампа B, а на другом конце – отражающее зеркало M. Стержень
расположен, неподвижно в системе K' и ориентирован параллельно
оси y' (рис. 4.2.2). Событие 1 – вспышка лампы, событие 2 – возвращение
короткого светового импульса к лампе.
Относительность промежутков
времени
Рассмотрим следующий
мысленный эксперимент.
На одном конце твердого
стержня некоторой
длины l расположена
импульсная лампа B, а на
другом конце – отражающее
зеркало M.
Стержень расположен,
неподвижно в системе K' и
ориентирован параллельно
оси y' .
Событие 1 – вспышка лампы,
событие 2 – возвращение
короткого светового импульса к
лампе.
Относительность
промежутков времени
В системе K' оба
рассматриваемых события
происходят в одной и той же
точке.
Промежуток времени между
ними (собственное время)
2l
равен τ = .
c
Относительность промежутков времени
С точки зрения
наблюдателя,
находящегося в
системе K,
световой импульс
движется между
зеркалами
зигзагообразно и
проходит путь 2L,
равный
2L = 2
𝑙2
+
υτ 2
( )
2
l
Относительность промежутков времени
где τ – промежуток времени
между отправлением светового
импульса и его возвращением,
измеренный по
синхронизованным
часам C1 и C2, расположенными
в разных точках системы K
Но согласно второму постулату
СТО, световой импульс
двигался в системе K с той же
скоростью c, что и в системе K'.
Следовательно, τ = 2L / c.
Из этих соотношений можно
найти связь между τ и τ0:
l
τ=
τ0
𝜐2
1− 2
𝑐
Таким образом, промежуток времени между двумя
событиями зависит от системы отсчета, т. е.
является относительным.
Собственное время τ0 всегда меньше, чем промежуток
времени между этими же событиями, измеренный в любой
другой системе отсчета.
Этот эффект называют релятивистским замедлением
времени.
Замедление времени является следствием инвариантности
скорости света.
Чтобы
разрешитьэффектом
«парадокс
близнецов»,
С релятивистским
замедления
следует
внимание «парадокс
времени принять
связан таквоназываемый
неравноправие
систем отсчета, в которых
близнецов».
находятся
оба брата-близнеца.
Предполагается,
что один из близнецов
Первый
них, оставшийся
на Земле, ввсе
остается из
на Земле,
а второй отправляется
время
находится
в инерциальной
системе
длительное
космическое
путешествие
с
субсветовой
скоростью.
отсчета,
тогда
как система отсчета,
связанная
с космическим
кораблем,время в
С точки зрения
земного наблюдателя,
космическом корабле
течет медленнее, и
принципиально
неинерциальная.
когда астронавткорабль
возвратится
на Землю, он
Космический
испытывает
окажется гораздо
моложево
своего
братаускорения
при разгоне
время
старта, при
близнеца, оставшегося
на Земле.
изменении
направления
движения в
Парадоксточке
заключается
в том,ичто
подобное
дальней
траектории
при
заключение может
и второй
из
торможении
передсделать
посадкой
на Землю.
близнецов, отправляющийся в космическое
Поэтому заключение брата-астронавта
путешествие.
неверно.
Для него медленнее течет время на Земле, и
СТО предсказывает, что при возвращении
он может ожидать, что по возвращению после
на
Землю онпутешествия
действительно
окажется
длительного
на Землю
он
моложе
своего
брата,
оставшегося
на
обнаружит,
что его
брат-близнец,
оставшийся
Земле.
на Земле, гораздо моложе его.
Эффекты замедления времени пренебрежимо малы, если скорость
космического корабля гораздо меньше скорости света c.
Тем не менее, удалось получить прямое подтверждение этого
эффекта в экспериментах с макроскопическими часами.
Наиболее точные часы – атомные работающие на пучке атомов
цезия.
Эти часы «тикают» 9192631770 раз в секунду.
Американские физики в 1971 году провели сравнение двух таких
часов, причем одни из них находились в полете вокруг Земли на
обычном реактивном лайнере, а другие оставались на Земле в
военно-морской обсерватории США.
В соответствии с предсказаниями СТО, путешествующие на
лайнерах часы должны были отстать от находящихся на Земле
часов на (184 ± 23)·10–9 с.
Наблюдаемое отставание составило (203 ± 10)·10–9 с, т. е. в
пределах ошибок измерений.
Через несколько лет эксперимент был повторен и дал результат,
согласующийся со СТО с точностью 1 %.
Относительность расстояний
Пусть твердый стержень покоится в системе отсчета K',
движущейся со скоростью υ относительно системы отсчета K.
Стержень ориентирован параллельно оси x'. Его длина, измеренная
с помощью эталонной линейки в системе K', равна l0. Ее
называют собственной длиной. Какой будет длина этого стержня,
измеренная наблюдателем в системе K?
Под длиной l стержня в системе K,
относительно которой стержень
движется, понимают расстояние
между координатами концов стержня,
зафиксированными одновременно по
часам этой системы.
Если известна скорость
системы K' относительно K, то
измерение длины движущегося
стержня можно свести к измерению
времени:
длина l движущегося со
скоростью υ стержня равна
произведению υτ0,
где τ0 – интервал времени по часам в системе K между прохождением начала
стержня и его конца мимо какой-нибудь неподвижной точки (например,
точки A) в системе K . Поскольку в системе K оба события (прохождение
начала и конца стержня мимо фиксированной точки A) происходят в одной
точке, то промежуток времени τ0 в системе K является собственным временем.
Итак, длина l движущегося стержня равна
l = υτ0.
Найдем теперь связь
между l и l0.
С точки зрения наблюдателя в
системе K', точка A,
принадлежащая системе K,
движется вдоль неподвижного
стержня налево со скоростью υ,
поэтому можно записать
l0 = υτ,
где τ есть промежуток времени между моментами прохождения точки A мимо
концов стержня, измеренный по синхронизованным часам в K'.
Используя связь между промежутками времени τ и τ0 , найдем
l = 𝑙0 1 −
𝜐2
𝑐2
Таким образом, длина стержня зависит от системы отсчета, в
которой она измеряется, т. е. является относительной величиной.
Длина стержня оказывается наибольшей в той системе отсчета, в
которой стержень покоится.
Движущиеся относительно наблюдателя тела сокращаются в
направлении своего движения.
Этот релятивистский эффект носит название лоренцева
сокращения длины.
Расстояние не является абсолютной величиной, оно зависит от
скорости движения тела относительно данной системы отсчета.
Сокращение длины не связанно с какими-либо процессами,
происходящими в самих телах.
Лоренцево сокращение характеризует изменение размера
движущегося тела в направлении его движения.
Релятивистский закон сложения скоростей
Опять рассмотрим наши системы отсчёта K и К0 .
Пусть точка M движется вдоль общего направления
осей X и X0 .
Пусть u — скорость точки
M в системе K; в системе
К0 скорость этой точки
пусть будет 𝑢0 .
Классический закон
сложения скоростей
u = 𝑢0 + v не верен в СТО
Релятивистский закон сложения скоростей:
𝑢0 + v
При υ << c релятивистские формулы
u = v𝑢0
переходят в формулы классической
1+ 2
𝑐
механики:
При υ << c релятивистские формулы переходят в
формулы классической механики:
u=
𝑢0 +
v
=
v
𝑢0
1+
𝑐2
𝑢0 + v
1+0
= 𝑢0 + v
Пусть u0 = с и υ = c. Тогда:
c c
2c
u

c
c c
2
1 2
c
Релятивистская динамика
 Уравнения классической механики Ньютона оказались
неинвариантными относительно преобразований Лоренца,
и поэтому СТО потребовала пересмотра и уточнения
законов механики.
 В основу такого пересмотра Эйнштейн положил
требования выполнимости закона сохранения импульса и
закона сохранения энергии в замкнутых системах.
Релятивистская динамика
Предположим, что изолированное тело массы m покоится в
данной системе отсчёта.
E = m𝒄𝟐 - формула Эйнштейна
Здесь E — энергия тела, c — скорость света в вакууме.
Поскольку тело покоится, энергия E называется энергией покоя.
Энергия эта весьма велика; так, в одном килограмме вещества
заключена энергия
2
8
E = 1 · (3 · 10 ) = 9 ·1016 Дж
Интересно, какое количество топлива нужно сжечь, чтобы
выделилось столько энергии?
Возьмём, например, дерево. Его удельная теплота сгорания равна
q = 107 Дж/кг, поэтому находим: m = E/q = 9 ·109 кг.
Это девять миллионов тонн!
Ещё для сравнения: такую энергию единая энергосистема России
вырабатывает примерно за десять дней.
Поскольку энергия покоя тела прямо пропорциональна
его массе, изменение энергии покоя на величину ∆E
приводит к изменению массы тела на
∆m =
∆E
𝑐2
Так, при нагревании тела возрастает его внутренняя
энергия, и, стало быть, масса тела увеличивается! В
повседневной жизни мы не замечаем этого эффекта ввиду
его чрезвычайной малости.
Например, для нагревания воды массой m = 1 кг на ∆t =
100◦C (𝑐вод = 4200 Дж/(кг · ◦C)) ей нужно передать
количество теплоты:
Q = 𝑐вод m∆t = 4,2 ·105 Дж.
∆m =
𝑄
𝑐2
=
4,2 105
9 1016
≈ 4,7 · 10−12 кг
Снова рассмотрим неподвижную систему отсчёта K и
систему 𝐾0 , движущуюся относительно K со скоростью
v. Пусть тело массы m покоится в системе 𝐾0 .
Оказывается, при переходе в систему K энергия
преобразуется так же, как и время — а именно, энергия
тела в системе K, в которой тело движется со скоростью
v, равна:
E=
𝑚𝑐 2
𝑣2
1− 2
𝑐
Формула была также установлена Эйнштейном
Величина E — это полная энергия движущегося тела
Полная энергия будет равна энергии покоя только при
v = 0.
Выводы о возможных скоростях движения объектов в
природе.
1.Каждое массивное тело обладает определённой
энергией, поэтому необходимо выполнение неравенства
𝑣2
𝑐2
1 − > 0. Оно означает, что v < c:
скорость массивного тела всегда меньше скорости
света.
2. В природе существуют безмассовые частицы
(например, фотоны), несущие энергию. При
подстановке m = 0 в формулу её числитель обращается
в нуль. Но энергия-то фотона ненулевая!
Единственный способ избежать здесь противоречия —
это принять, что безмассовая частица обязана
двигаться со скоростью света.
Импульс в СТО
Релятивистский импульс тела с массой m, движущегося со
скоростью v записывается в виде
p=
𝑚𝑣
𝑣2
1− 2
𝑐
Связь энергии и импульса
𝐸 2 − 𝑝 2 𝑐 2 = 𝑚2 𝑐 4
Для фотона
E = pc
Масса в СТО
Масса m, входящая в выражение для импульса,
есть фундаментальная характеристика частицы,
не зависящая от выбора инерциальной системы
отсчета, а, следовательно, и от скорости ее
движения.
(Во многих учебниках прошлых лет ее было принято обозначать
буквой m0 и называть массой покоя. Кроме того, вводилась
так называемая релятивистская масса, зависящая от
скорости движения тела. Современная физика постепенно
отказывается от этой терминологии).
Релятивистское уравнение движения
Рассмотрим тело массы m, движущееся вдоль оси X под
действием силы F. Уравнение движения тела в
классической механике — это второй закон Ньютона:
ma = F
𝑑𝑝
F=
𝑑𝑡
𝑑(
F=
𝑚𝑣
1−𝑣2/с2
𝑑𝑡
)