proektcomgleb - Всероссийский фестиваль педагогического

Работу выполнил:
Комиссаров Глеб
ученик 11 «А» МБОУ СОШ № 1
г. Осташков, Тверская область
 Тихое позднее утро. На небе чуть брезжит рассвет. На углу улицы
одиноко стоит храм. Мимо него, низко опустив головы, быстро идут
прохожие. Мысли их заняты своими каждодневными делами, и они не
обращают внимание на окружающий мир. В это время я торопливо
иду в школу. Вдруг, когда я проходил мимо, зазвонили колокола,
возвещая о начале службы. Я взглянул наверх. Храм ярко выделялся на
фоне пламенеющего восхода. В этот момент он казался красивым и
величественным. Мой взгляд упал на купол.
 Меня заинтересовал вопрос : Почему купола
имеют именно такую форму?, и я решил
узнать об этом больше.
 Цель работы: выяснить, почему купола храмов
имеют именно такую форму?
 Познакомиться с историей развития храмов,
проанализировать, как исторически изменялась
форма куполов сооружений, показать применение
геометрии в понимании красоты купола.
 1) изучить литературу по теме, исторические сведения;
 2) раскрыть символику православного храма и его элементов;
 3) провести геометрические построения, как это делали
древние зодчие с помощью компьютерной программы;
 4) исследовать, соответствует ли полученным чертежам
купола:
- церкви в города Осташкова;
- других храмов Осташковского района.
Вознесенский
собор
Слова Ф.М. Достоевского «красота спасёт мир»
особенно актуальны сегодня, когда, разделённое
прагматизмом, равнодушием, противоречием,
общество пытается найти спасительные идеалы.
В народе всегда была жива идея о целящей силе
красоты. Может быть, поэтому не устаем мы
любоваться прекрасными и высокодуховными
созданиями русского религиозного искусства.
Разделенности и враждебности мира они
противопоставляли милосердие, веру и
всеобщее единение.
 Воплощением этой красоты являются
православные храмы.

 Архитектура храмов - область человеческой
деятельности , в которой тесно
переплетены и уравновешены наука ,
техника и искусство .
 Красота и гармония храмов подчинена
строгим законам математики. Зодчие всех
времен и народов : древние египтяне ,
греки , средневековые камнетесы ,
древнерусские плотники , говорили на
языке пропорций.
 Так , возьмем шедевр архитектуры - церковь
Покрова на Нерли. Она проста и имеет
небольшие размеры. Красота этого храма - в
его прекрасных пропорциях и
соотношениях.
церковь Покрова на Нерли
Архитектурное разнообразие храмов и их красота обеспечивается зачастую
формой их куполов.
 Особенностью храмостроения на Руси является многоглавие. Количество куполов
на храмах символично, от одного до семидесяти. Например:
- 1 - символизирует Единого Бога,
- 3 - Святую Троицу,
- 4 – евангелистов,
- 5 - Спаситель и четыре евангелиста,
- 7 - семь таинств Церкви,
- 9 - по числу ангельских чинов и т. д.

Собор Спаса на Крови в
Петербурге
(девятиглавый храм)
 Форма куполов изменялась от полусферической до «луковичной»
и восьмигранной формы. Не случайно первые купола были
полусферические, в древности идея вечности передавалась
формой круга, сферы. Строительство куполов требует сложных
технических расчетов и потому стало возможно на высокой
ступени развития инженерной мысли.
 Купол (итал. cupola — купол, свод) - полусфера или просто
часть сферы, ограниченная плоскостью, перекрывающее
преимущественно круглые, многоугольные, эллиптические в
плане помещения; образующими форм купола являются
различные кривые, выпуклые наружу.
Луковичный купол Житинного
Богородицкого женского
монастыря (г.Осташков)
История куполов началась в доисторические времена. Из материалов раскопок,
проводимых на острове Кипр, мы можем выяснить, что настоящему своду
предшествовал так называемый ложный, который был изобретен гораздо раньше
арки, где-то в 5 тысячелетии до нашей эры. Технологически сложные и большие
купола стали строить в древнем Риме.
 Позже традиция куполостроения была перенята византийской религиозной и
культовой архитектурой. Кульминацией этого периода стало применение
революционной парусной технологии при возведении Софийского собора в
Константинополе.
 В Западной Европе купола снова приобрели популярность в эпоху Ренессанса и
достигли расцвета в начале XVIII века в архитектуре барокко.

Софийский собор в
Константинополе
 Четыре самых больших купола:
• Пантеон (Рим)
• собор Санта-Мария дель
Фьоре во Флоренции
• мавзолей Гол Гумбаз в Индии
• собор святого Петра
в Риме
Сразу после крещения киевлян в 988 году в Киеве была построена Десятинная
церковь (989–996 гг.), разрушенная при взятии Киева Батыем. При Ярославе
Мудром построили главный храм Киева – Софийский собор.
 Образцом для строительства соборов в русских городах стал Успенский собор
Киево-Печерского монастыря, построенный греками в 1073–1089 гг.
 При Андрее Боголюбском были построены Успенский собор во Владимире (1158–
1160 гг.), позднее ставший главным храмом России (до постройки московского
Успенского собора ), дворец с храмом Рождества Богоматери в Боголюбове (1158–
1165 гг.) и церковь Покрова на Нерли (1158 год). При князе Всеволоде был построен
придворный Дмитриевский собор (1191 год).

Храм Христа
Спасителя
Геометрия расположения куполов
крестово - купольного храма
Луковичные
Полусфериче
ские
Шатровые
Шлемообраз
ные
 Купол-луковица имеет выпуклую форму, плавно заостряющуюся на
вершине, похожую на луковицу. Они имеют больший диаметр, чем
основание, на котором они установлены, а их высота обычно превышает
ширину. Обычно для наиболее распространённой луковичной главы
соотношение диаметра барабана (башни) к диаметру широкой части
(пучины) главы составляет 1 : 1,3, а к высоте главы – 1 : 1,6.
•Самый простой эскиз купола строится
таким образом:
В квадрате АВСD отмечаются
середины E, F,K его сторон AD,DC
и CB соответственно. Из точек
А,B,C,D как из центров проводят
дуги радиусом, который
составляет половину стороны
квадрата. Продолжение стороны
АВ квадрата пересекают двое из
дуг в точках М и N.
Купол Вознесенского
собора (Осташков)
В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений:
a : b = c : d.
 Отрезок прямой АВ можно разделить на две части таким образом, когда АВ : АС =
АС : ВС.
Это и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

 Золотое сечение – это такое пропорциональное деление
отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так
относится к большей части, как сама большая часть относится к
меньшей; или другими словами, меньший отрезок так
относится к большему, как больший ко всему
a : b = b : c или с : b = b : а.
 Отрезки золотой пропорции
выражаются бесконечной
иррациональной дробью AE = 0,618...,
если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382...
Для практических целей часто
используют приближенные значения
0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за
100 частей, то большая часть отрезка
равна 62, а меньшая – 38 частям.
 Свойства золотого сечения описываются
уравнением:
x2 – x – 1 = 0
Д = 1+4 =5
 Решение этого уравнения обозначим Ф и
оно равно:
= 1,6180339…
Деление отрезка прямой по
золотому сечению с помощью
линейки и циркуля.
BC = 1/2 AB; CD = BC
Если построить
равнобедренный
треугольник АВС,
«описанный» около
луковичного купола, то
основание АВ и высота СН
составляют золотую
пропорцию .
С
3,91
А
Н
6,3264
В
АВ
СН
=
 Позже мы рассмотрим (слайд 28) это
свойство на примере храмов Осташкова.
6,3264
3,91
= 1,6180339…
 Для построения более сложных эскизов вспомним о золотой пропорции,
которую мы ранее обозначали через Ф, установив, что ф =( √5+1)/ 2 =
1,618(…) . Допустим: АВ: 01С ≈ 1,618. Как построить отрезки АВ и 01С?
 Прежде всего выберем единицу измерения — отрезок е на рисунке внизу.
 Затем выполним преобразования АВ: О1С = 1,6 = 16 : 10 = 8 : 5. Это значит,
что АВ = 8 е, а О1С = 5е. Представим себе, что нам следует построить
равнобедренный треугольник ABC, у которого основание АВ и высота О1С
составляют золотую пропорцию. Тогда мы строим отрезок АВ = 8е, делим
его пополам точкой О1, и проводим перпендикуляр к АВ через точку О1, на
которой откладываем отрезок О1С = 5е. Треугольник АСВ послужит
основой для нового эскиза купола православной церкви.

1. Строится равнобедренный треугольник АСВ
(АВ – основание)

2. Проводится перпендикуляр ОТК к боковой
стороне ВС;

3. На высоте СО1 отмечается точка М так, что
СМ=О1В; через точку М проводится прямая,
перпендикулярная СО1, которая пересекает
отрезок О1К в точке О2;

4. Из точки О2 чертится окружность радиуса
О2К;

5. Отрезок О1В делится пополам и через
полученную середину проводится прямая,
перпендикулярная АВ, она пересекает
построенную окружность в точке L; через неё
далее проводится прямая, параллельная АВ, а в
пересечении с осью симметрии купола
получается точка Е;
 6. Из точки О1 строится окружность
радиуса О К, которая пересекает СО в
т. F, из точки О проводится
окружность радиуса МF так, чтобы
она пересекала сторону ВС в точке R;
 7. Затем из О3 проведем дугу
радиусом О3N до ее пересечения с
точкой С.
1
1
2
Линия, составленная из двух построенных дуг LKN и NC, образует половину
эскиза купола. Вторая половина получается при выполнении симметрии
относительно оси СО1.
 Шлемовидные купола получили свое название из-за
схожести с шлемом рыцаря. От луковичных куполов
шлемовидные отличаются тем, что наибольший диаметр
имеет основания. У шлемовидного свода высота всегда
меньше ширины.
Шлемовидные купола на храме в
городе Тверь.
 Полусферические купола – это очень древний стиль, который
сформировался ещё в древнем Риме. В отличии от шлемовидного
купола, верхушка купола сферического не оттянута.
Нила – Столобенского
пустынь, Осташковский
район
•
Рассмотрим полусферу радиуса r, окружность основания которой
расположена на плоскость XоY с центром в начале координат. Ось OZ
проходит через начало координат и перпендикулярна плоскости XOY. На
высоте z проводим сечение перпендикулярно оси OZ. В сечении получим
круг радиуса a.
• После строим сферу радиуса r.
 Шатровый купол — особый архитектурный тип, появившийся и
ставший распространённым в русском храмовом зодчестве.
Вместо купола здание шатрового храма завершается шатром. Шатровые
храмы бывают деревянными и каменными. Каменные шатровые храмы
появились на Руси в начале XVI века и не имеют аналогий в архитектуре
других стран.
 Большинство шатровых куполов завершаются луковичным верхом. Такие
купола называются сложными.
Часовня Нила
Столобенского
(Осташков)
 Рассмотрим шестиугольник, вписанный в окружность
радиуса r и с заданной точкой P на высоте h выше центра
окружности. Проводим линии из точки P к вершинам
восьмиугольника. Полученное таким образом тело и есть
шатровый свод, заметим, что шатровым сводов является
боковая поверхность правильной пирамиды. В основании
шатрового свода может быть и правильный шестиугольник.
Деревянный
шатровый купол
 Собор имеет
луковичный купол
 Основание треугольника АВС АВ= 12
C
A
B
H
см ( по чертежу)
 Высота СH= 7,5 см.Найдем отношение
АВ к СH :
АВ:СH = 12 : 7,5 =1,6… .
Следовательно можно сделать вывод,
что купол собора Троицы
Живоначальной построен по золотому
сечению и имеет «луковичную»
форму.
 Воскресенская
церковь имеет
луковичные купола
Колокольня
имеет шатровый
купол
Церковь имеет
сложный
шатровый купол,
завершающийся
«луковичным»
верхом.
Церковь Нила
Столобенского имеет
сферический купол.
Собор Богоявления
Господня
Церковь Петра и Павла
также имеет сферический
купол.
 Собор
имеет
шатровый
купол
Башня бывшего
Знаменского
монастыря
имеет чисто
шатровый
купол
Шатровый
свод
завершается
луковичным
куполом
Имеет сложный купол,
состоящий из:
- шатрового низа
- и верхнего луковичного
купола
Имеет сложный купол,
состоящий из:
- шатрового низа
- и верхнего
луковичного купола
Храм в с. Рогожа имеет
луковичные купола
Имеет сложный купол,
состоящий из:
- шатрового низа
- и верхнего
луковичного купола
Церковь имеет
луковичные купола,
а колокольня
завершается
сложным куполом
Имеет сложный купол,
состоящий из:
- шатрового низа
- и верхнего
луковичного купола
Сложные шатровые купола
Кравотынь. Церковь Введения
во храм Пресвятой Богородицы
 Итак, в этой работе я рассмотрел наиболее известные и часто
встречающиеся виды куполов, изучил их математические модели.
Также узнал, что:
 при постройке любых зданий необходимы знания геометрии.
 важно применение закономерностей и законов геометрии:
золотого сечения, симметрии – при построении куполов храмов
 Форма купола актуальна и сегодня тем, что вызывает восхищение при
простом созерцании, а в народе до сих пор считается, что красота лечит.
 Волошинов А. В. «Математика и искусство» 2000 г. «Просвещение»
 Виленкин, Н.Я., Ивашев-Мусатов, О.С., Шварцбурд, С.И. Алгебра





и математический анализ/ Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов,
С.И. Шварцбурд// Мнемозина, 2003. – с.29-35.
Кудрявцев, Л.Д., Кутасов, А.Д., Чехлов, В.И., Шабунин, М.И.
Сборник задач по математическому анализу, Интегралы. Ряды/
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин //Наука,
1986. – с.158-165.
Ресурсы интернета:
http://ru.wikipedia.org/wiki
http://www.rusarch.ru/zagraevsky1.htm
http://www.kgasa/about/faculties/engecological/mechanics/teachWork/termex/statika/lec10/content.html