МОДУЛЬ 11 квантовая физика 2015

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ
«СТРОЕНИЕ АТОМА»
Теория Бора
•
•
•
•
•
•
модель атома
линейчатый спектр атома
•
водорода
•
постулаты Бора
•
спектр атома водорода
опыты Франка и Герца
Основные понятия
квантовой механики
корпускулярно-волновой дуализм
волны де-Бройля
соотношение неопределенностей
Уравнение Шредингера
•
•
•
•
•
•
волновая функция и ее свойства
стационарные состояния
движение свободной частицы
частица в потенциальной яме
прохождение частицы через барьер
гармонический осциллятор
СТРОЕНИЕ АТОМА
Модели атома Томсона и Резерфорда.
Эксперименты Ленарда по рассеянию
Томсон предложил модель строения
электронов и Резерфорда по рассеянию αатома, согласно которой атом
частиц на тонких металлических пленках
представляет собой непрерывно
заряженный положительным зарядом
шар диаметром ~10–10м в который
"вкраплены" электроны ("как изюм в
пудинг").
Гармонические колебания электронов
около положений равновесия
(гармонические осцилляции) являются
причиной излучения (или поглощения)
монохроматических волн атомами.
Резерфорд предложил планетарную модель
атома.
Атом представляет собой систему зарядов, в
центре которой расположено положительное
ядро с зарядом Ze , размером 10-15—10-14м и
массой, практически равной массе атома, а вокруг
ядра, в области с линейными размерами ~10–10м, по
замкнутым орбитам движется Z электронов,
образуя электронную оболочку атома.
Модели атома Томсона и
Резерфорда.
В атоме, подавляющая часть которого состоит из пустого
пространства, электроны не могут находиться в
статическом равновесии. Их устойчивость может быть
только динамической, как у планет в астрономии.
Трудности теории Резерфорда
1. Согласно классической электродинамике,
ускоренно движущиеся электроны должны
излучать электромагнитные волны и
вследствие этого непрерывно терять энергию.
В результате электрон будет приближаться к
ядру и в конечном счете упадет на ядро.
2. Классическая планетарная модель атома не
объясняет линейчатого спектра атомов.
me 2
Ze  e

2
40 r
r
Линейчатый спектр атома водорода.
Экспериментальное исследование
спектров излучения разреженных газов
(отдельных атомов) показали, что
характерный линейчатый спектр
каждого элемента представляет собой
серии линий, положение которых
может быть описано простыми
эмпирическими формулами. Так,
положение линий атома водорода в
видимой области спектра описываются
формулой Бальмера:
1
1
1

)
2
2

2 n
1 1

  R ( 2  2 ) (n  3,4,5...)
2 n
1 1

серия Лаймана:   R ( 2  2 ) ( n  2,3,4...)
1 n
1 1
серия Пашена:   R(
 2 ) (n  4,5,6...)
2
3 n
 R(
1 1
 2 ) ( n  5,6,7...)
2
4 n
1 1
  R( 2  2 ) (n  6,7,8...)
5 n
1
1
  R( 2  2 ) (n  7,8,9...)
6
n
  R(
Постулаты Бора.
Первый постулат Бора (постулат
стационарных состояний):
существуют стационарные
состояния атома, находясь в
которых он не излучает энергии.
• Стационарным состояниям атома
соответствуют стационарные
орбиты, по которым движутся
электроны.
• Каждое стационарное состояние
характеризуется определенным
(дискретным) значением энергии.
• Движение электронов по
стационарным орбитам не
сопровождается излучением
электромагнитных волн.
Второй постулат Бора (правило частот):
при переходе атома из одного состояния в
другое испускается или поглощается один
фотон с энергией равной разности энергий
соответствующих стационарных состояний.
h  En  Em
Правило квантования орбит Бора
В стационарном состоянии атома
электрон, двигаясь по круговой
орбите, должен иметь квантованные
значения момента импульса,
удовлетворяющие условию
где me— масса электрона, υ — его
скорость на n -й орбите радиуса rn
mern  n (n  1,2,3...)
Излучение
Поглощение
Em  En
Em  En
Набор всевозможных
дискретных частот
квантовых переходов:
определяет линейчатый
спектр атома.
En  Em

h
Опыты Франка и Герца.
подтверждение первого
постулата Бора
E  4,86 эВ
подтверждение второго
постулата Бора
hc

 255нм
E
Спектр атома водорода по Бору.
Второй закон Ньютона
me 2
Ze  e

2
40 r
r
me 2 1 Ze  e

2
2 40 r 2
радиус n-й стационарной орбиты электрона:
условие квантование
момента импульса:
 2 40
rn  n
me Ze 2
2
(n  1,2,3...)
Полная энергия электрона в водородоподобной системе складывается из
кинетической и потенциальной энергий:
2
2
2
m

Ze
1
Ze
mern  n
E e 

2
40 r
2 40 r
Для водорода ( Z =1) радиус первой орбиты
электрона (первый боровский радиус):
 40
11
r1  n

5
,
28

10
м
2
me e
2
2
с учетом квантования орбит rn
1 Z 2 me e 4
En   2
n 8h 2 02
(n  1,2,3...)
Спектр атома водорода по Бору.
Целое число n , определяющее
энергетические уровни атома,
называется главным квантовым
числом.
Энергетический уровень с n = 1
называется основным (нормальным)
уровнем, а соответствующее ему
состояние атома называется основным
(нормальным) состоянием.
Уровни с n > 1 называются
возбужденными.
Минимальная энергия
атома водорода: E1 =–13,55 эВ.
Максимальная энергия E∞= 0 при n = ∞
называется энергией ионизации атома
Переход из стационарного состояния n в
стационарное состояние m
сопровождается испусканием кванта:
me e 4
R 3 2
8h  0
me e 4  1
1 
1
 1
h  En  Em  3 2  2  2   hR 2  2 
8h  0  n m 
m n 
Основные понятия квантовой механики
Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества.
предположение Луи де Бройля
как свету присущи одновременно
свойства частицы (корпускулы) и волны
(двойственная корпускулярно-волновая
природа света), так и электроны как и
любые другие частицы материи
наряду с корпускулярными обладают
также волновыми свойствами.
• Каждому объекту присущи как
корпускулярные характеристики —
энергия E и импульс p , так и волновые
характеристики — частота ν и длина
волны λ.
E  h  
p
h

• Любой частице, обладающей
импульсом сопоставляется волновой
процесс с длиной волны, определяемой
по формуле де Бройля:
h

p
Дифракция
электронов
Полная
энергия
частицы
E  h
Де Бройль предложил, что каждая
орбита в атоме водорода
соответствует волне,
распространяющейся по окружности
около ядра атома. Стационарная
орбита возникает в том случае, когда
волна непрерывно повторяет себя
после каждого оборота вокруг ядра.
Другими словами, стационарная
орбита соответствует круговой
стоячей волне де Бройля на длине
орбиты. Это явление очень похоже на
nλn = 2πrn.
стационарную
картину стоячих волн в
струне с закрепленными концами.
Некоторые свойства волн де Бройля.
Рассмотрим свободно движущуюся со скоростью υ частицу массой m.
• Фазовая скорость волн де Бройля:
больше скорости света в вакууме
фаз
E  
p  k
k
2

 E mc
c
 
 

k k p m 
2
d d ( ) dE


• Групповая скорость волн де Бройля: u 
dk d (k ) dp
Для свободной частицы
E  m 2c 4  p 2c 2
dE
pc 2
pc 2 mc 2
u




2
dp
E
mc
m 2c 4  p 2c 2

Групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы волны де Бройля перемещаются вместе с частицей.
фаз
E mc2
 
c
p m
Для фотона:
pc 2 mc 2
u

c
2
E
mc
2
Соотношение неопределенностей.
Соотношение неопределенностей —
квантовое
ограничение
применимости
Двойственная
корпускулярно-волновая
классической
механики
к микрообъектам.
природа микрочастиц
определяет
Для
микрочастицыодновременно
не существует состояний,
невозможность
точно
в
которых
ее
координаты
и
соответствующие
определить координату и импульс частицы.
им
проекции
импульса
имели бы
В общем
случае
это свойство
микрообъектов
одновременно
точные
значения.
называется соотношением
Для
неопределенностиГейзенберга:
энергии ∆E
неопределенностей
некоторого состояния системы и
промежутка времени ∆t, в течение которого
это состояние существует, также
выполняется соотношение
неопределенностей:
Следовательно, система, имеющая среднее
время жизни ∆t , не может
быть охарактеризована определенным
значением энергии; разброс энергии
∆ E = h/ ∆ t возрастает с уменьшением
времени жизни системы и частота
излученного фотона также должна иметь
неопределенность ∆ν = ∆ E/ h, т.е.
спектральные линии должны иметь конечную
ширину: δv = v ± ∆ E /h
Микрочастица не может иметь
одновременно определенную
координату и определенную
соответствующую проекцию
импульса, причем
неопределенности этих величин
удовлетворяют соотношениям
xp x  h yp y  h zpz  h
Et  h
Уравнение Шредингера
Волновая функция и ее свойства.
Для описания поведения квантовых
систем вводится волновая функция
(другое название — пси-функция) )
Ψ (x , y, z, t.). Она определяется таким
образом, чтобы вероятность dw того,
что частица находится в элементе
объема dV была равна:
dw | | dV
2
Волновая функция, характеризующая
вероятность обнаружения действия
микрочастицы в элементе объема
должна быть 1) конечной
(вероятность не может быть больше
единицы), 2) однозначной
(вероятность не может быть
неоднозначной величиной) и
3) непрерывной (вероятность не
может изменяться скачком).
Физический смысл имеет не сама функция Ψ,
а квадрат ее модуля Ψ2 = ΨΨ∗ , которым
задается интенсивность волн де Бройля
Величина Ψ2 имеет смысл плотности
вероятности ρw, а сама волновая функция
Ψ имеет смысл амплитуды вероятности.
dw
w 
|  |2
dV
Условие нормировки вероятностей
получается из того, что вероятность
существования частицы где-либо в
пространстве равна единице (интеграл
вычисляется по всему бесконечному
пространству).

2
r
|

|
dV  1


Уравнение Шредингера
4) Волновая функция позволяет вычислить
средние значения физических
величин, характеризующих данный
микрообъект.

r   r |  |2 dV

5) Волновая функция удовлетворяет
принципу суперпозиции: если система
может находиться в различных состояниях,
описываемых волновыми функциями
, то она также может находиться в
состоянии, описываемом
линейной комбинацией
этих функций
   Cn n
n
Уравнение Шредингера
h

2
2


  U ( x, y, z, t )   i
2m
t
2
2
2
  2  2  2 i   1 U ( x, y , z , t )
x y z
 ( x, y , z , t )
Уравнение Шредингера для стационарных состояний.
Важным частным случаем общего уравнения
функция U = U (x, y, z ) не зависит явно от
Шредингера, является уравнение
времени и имеет смысл потенциальной
Шредингера для стационарных
энергии.
состояний, в котором исключена
E
зависимость Ψ от времени и, поэтому,
( x, y, z , t )  ( x, y, z )  exp( i
значения энергии этих состояний

являются фиксированными (не изменяются
со временем).


2
E
E
E
E

exp( i t )  U exp( i t )  i(i t ) exp( i t )
2m




2

  U  E
2m
2m
  2 ( E  U )  0

t)
Движение свободной частицы.
Для свободной частицы U(x ) = 0 (пусть она движется вдоль оси x
).
 2 2m
 2 E  0
2
x

 i ( Et  p x x) 
 ( x, t )  A exp( it  ikx)  A exp  




px
E
A  const ,   , k 


 2 k 2 p x2
E

2m 2m
волновое число
непрерывный спектр энергий.
• свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической
волной де Бройля.
• этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности
обнаружения частицы в данной точке пространства Ψ2 =A2
• все положения свободной частицы в пространстве являются
равновероятными.
Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с
бесконечно высокими "стенками".
 2 2m
 2 E  0
2
x

 2
2

k
 0
2
x
2mE
k  2

2
За пределы "ямы" частица не проникает, поэтому волновая
функция вне "ямы" равна нулю, следовательно, на границах
"ямы" непрерывная волновая функция также должна
обращаться в нуль:
 ( x)  A sin kx  B cos kx
собственные значения энергии.
n 2 2  2
En 
2ml 2
B0
k
n
l
 (0)   (l )  0
k2 
2mE
2
минимально возможное значение энергии:
Emin 
 2 2
2ml 2
Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с
бесконечно высокими "стенками".
Emin 
 2 2
2ml 2
Энергия частицы в
бесконечно высокой
потенциальной
"яме" принимает лишь
определенные дискретные
значения, т.е. квантуется.
Квантованные значения
энергии n E называются
уровнями энергии, а
Собственные волновые функции
число n , определяющее
 n ( x)
энергетические уровни
l
l
частицы называется
2
2
2 n
 n ( x)dx  A sin
xdx  1
главным квантовым
l
числом.
0
0

 n ( x) 

2
n
sin
x
l
l
(n  1,2,3...)
 A sin
n
x
l
Прохождение частицы через потенциальный барьер.
Туннельный эффект.
Вид волновых функций, являющихся
решениями уравнения Шредингера
областей 1, 2 и 3 свидетельствует о
том, что:
1) В области 1 волновая функция
представляет собой сумму плоских
волн — движущейся в сторону барьера
и отраженной от барьера.
2) В области 2 в случае E < U
3) В области 3 имеется только волна,
прошедшая через барьер (B3 = 0 ), которая
имеет вид волн де Бройля с той же длиной
волны, но меньшей амплитудой.
q  i , где 
2m( E  U )

2mE
k  2

2m( E  U )
q 
2
2
2
Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект.
2mE
k  2

2
2m( E  U )
q 
2
2
Прохождение частицы через потенциальный барьер.
Туннельный эффект.
Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому
специфическому квантовому явлению, получившему название туннельного
эффекта, в результате которого микрообъект может "пройти" сквозь
потенциальный барьер.
Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента
прозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношение
квадратов модулей прошедшей и падающей волны. Для случая
прямоугольного потенциального барьера
| A3 |2
 2l

D

D
exp

2
m
(
E

U
)


0
2
| A1 |
 

Для потенциального барьера
произвольной формы
 2 x2

D  D0 exp    2m[U ( x)  E ]dx 
 x

1


h
p 
l
(p ) 2
2m
Линейный гармонический осциллятор
Линейный гармонический осциллятор —
система, совершающая одномерное
движение под действием квазиупругой силы,
является моделью, которая часто
используется при описании классических и
квантовых систем.
Пружинный, физический и математический
маятники — примеры классических
гармонических осцилляторов.
Уравнение Шредингера
m02 x 2 
 2 2m 
  0
 2  E 
2
x
 
2 
Собственные значения энергии
1

E   n  0
2

энергией нулевых
колебаний.
(n  0,1,2,...)
1
E 0   0
2
Потенциальная энергия
гармонического осциллятора
равна:
m02 x 2
U
2
Классический осциллятор не может
выйти за пределы "потенциальной
ямы" с координатами
− xmax ≤ x ≤ + x max .
Линейный гармонический осциллятор
Правилами отбора в квантовой механике называются условия, накладываемые
на изменения квантовых чисел.
1. Для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между
соседними подуровнями, т.е. переходы, удовлетворяющие правилу отбора:
∆n = ± 1
2. Энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями hω и
гармонический осциллятор испускает и поглощает энергию квантами.
3. Имеется отличная от нуля
вероятность обнаружить частицу за пределами области − xmax ≤ x ≤ + x max .
ВОПРОСЫ ВЫНОСИМЫЕ НА 1 КОЛЛОКВИУМ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Интерференция света
Дифракция Френеля
Дифракция Фраунгофера
Законы фотоэффекта
Квантовая гипотеза Планка. Масса и импульс фотона.
Давление света. Эффект Комптона
Закон Кирхгофа. Закон Стефана-Больцмана. Закон смещения Вина.
Абсолютно черное и серое тело. Тепловое излучение и его характеристики.
Основные характеристики фотометрии
Искусственная оптическая анизотропия. Вращение плоскости поляризации.
Двойное лучепреломление. Дихроизм
Поляризация света при отражении и преломлении.
Естественный и поляризованный свет. Закон Малюса.