***** 1 - uic.unn.ru
advertisement
Математические модели Динамические системы “Модели” Математическое моделирование процессов отбора 2 Сейчас под моделью некоторого естественного объекта, явления или процесса мы понимаем другой объект, который в силу своей природы или конструкции обладает теми же существенными признаками, что и первый. Математическое моделирование процессов отбора 3 “реальные” “знаковые” Математическое моделирование процессов отбора 4 Математическое моделирование - это описание реального процесса с помощью математических понятий, т.е. происходит установление соответствия между свойствами некоторого математического объекта и свойствами реального. При этом отражаются логико-количественные характеристики последнего. Математическое моделирование процессов отбора 5 Объект, система или процесс, состояние которого в любой момент времени t однозначно характеризуется некоторым набором параметров называются фазовые координаты или фазовые переменные Математическое моделирование процессов отбора 6 Упорядоченный набор фазовый фазовых координат называется фазовым вектором, вектором состояния или точкой состояния. Математическое моделирование процессов отбора 7 Пример F 0 Обозначим координату как ,а скорость как . Тогда набор параметров характеризует состояние бруска. Математическое моделирование процессов отбора 8 Фазовая траектория Так как состояние объекта меняется с течением t, то его параметры будут функциями времени . Если каждая фазовая координата меняется с течением времени непрерывно, то это семейство будет непрерывной кривой в пространстве . Эта кривая называется фазовой траекторией. Математическое моделирование процессов отбора 9 Фазовая траектория Математическое моделирование процессов отбора 10 Фазовый портрет Совокупность фазовых траекторий, характеризующая состояния и движения динамической системы, отражающая качественные черты поведения системы, называется фазовым портретом. Математическое моделирование процессов отбора 11 Принцип детерминированности Пусть задано состояние объекта в некоторый начальный момент , т.е. известен вектор состояния Рассмотрим последующий момент времени .Обозначим очевидно . Математическое моделирование процессов отбора 12 Принцип детерминированности Если по любому известному начальному состоянию объекта в произвольный фиксированный момент времени можно однозначно определить состояние объекта в любой последующие момент времени , то говорят, что для данного объекта выполняется принцип детерминированности. Математическое моделирование процессов отбора 13 Пример Согласно второму закону Ньютона: или (1) Пусть в момент времени известен вектор состояния , тогда, интегрируя уравнения (1), имеем: (2) Математическое моделирование процессов отбора 14 Динамическая система Учитывая, что , соотношения (2) можно переписать следующим образом: Отсюда видно, что для определения вектора не обязательно знать величину. Математическое моделирование процессов отбора 15 Система, состояние которой однозначно определяется начальным состоянием и промежутком времени, прошедшим от начального момента, называется, динамической системой. Математическое моделирование процессов отбора 16 Модель роста популяции Рассмотрим популяцию бактерий одного вида. Состояние популяции в каждой момент времени t можно характеризовать численностью или количеством бактерий . Очевидно, . Математическое моделирование процессов отбора 17 Если условия существования бактерий не меняются, то их деление происходит с одинаковой частотой; количество делений за единицу времени, приходящееся на одну особь, постоянно. Математическое моделирование процессов отбора 18 Модель роста популяции Если промежуток времени мал, то количество делений на отрезке времени будет равно . Тогда Математическое моделирование процессов отбора 19 Отсюда получаем Переходя к пределу при , получаем дифференциальное уравнение роста популяции бактерий: Математическое моделирование процессов отбора 20 Фазовым пространством является множество неотрицательных действительных чисел: Фазовое пространство и фазовые траектории системы Математическое моделирование процессов отбора 21 Если задано начальное состояние , то интегрируя уравнение (3), получаем Математическое моделирование процессов отбора 22 Соотношения (4) описывают закон изменения состояния данной системы. Отсюда видно, что состояние определяется только начальным состоянием и промежутком времени , истекшим от начального момента. Следовательно, данная система является динамической. Математическое моделирование процессов отбора 23 Если в популяции сосуществуют n видов с разными коэффициентами размножения, - численность i–го вида, - коэффициент размножения i–го вида, то уравнение динамики численности популяции имеют вид: Математическое моделирование процессов отбора 24 Модель роста популяции с учетом полового размножения Пусть - численность популяции -численность особей мужского пола -численность особей женского пола обозначим , тогда Математическое моделирование процессов отбора 25 При начальном условии решение данного уравнения имеет вид: Математическое моделирование процессов отбора 26 В момент времени решение обращается в бесконечность. По начальному состоянию и моменту времени состояние можно однозначно определить до момента . Математическое моделирование процессов отбора 27 По начальному состоянию и промежутку времени , прошедшему с начального момента, состояние системы определить уже нельзя. Таким образом, данная системы динамической не является. Математическое моделирование процессов отбора 28 Системы дифференциальных уравнений Пусть задана система дифференциальных уравнений в нормальной форме: относительно функций . Математическое моделирование процессов отбора 29 Если ввести вектор–функции то уравнения (5) можно переписать в векторной форме . Математическое моделирование процессов отбора 30 Если вектор – функция не зависит явно от система (5) называется автономной. В противном случае, когда зависит явно от , система называется неавтономной. Математическое моделирование процессов отбора 31 Пусть заданы начальные условия Решением системы (5) при начальных условиях называется непрерывно дифференцируемая вектор–функция Математическое моделирование процессов отбора 32 Задача отыскания решения системы (5), удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши для системы. Математическое моделирование процессов отбора 33 Если в некоторой окрестности начальных условий функции непрерывны по совокупности переменных и удовлетворяют условию Липшица по аргументам , то в достаточно малой окрестности точки существует единственное решение задачи Коши. Математическое моделирование процессов отбора 34
