f(-x) f(x)

Муниципальное
Общеобразовательное Учреждение
«Средняя Общеобразовательная
Школа №236 г.Знаменск»
Учитель математики Потапова Е.А.
f(x) -f(x)
f(x) f(-x)
Преобразование симметрии относительно оси х
f(x)  -f(x)
График функции у = -f(x) получается преобразованием
симметрии графика функции у = f(x) относительно оси х.
Замечание. Точки пересечения графика
с осью х остаются неизменными.
y  sin x
y   sin x
y x
y  x2
y  x
y  2x
2
yx
y  2 x
Преобразование симметрии относительно оси y
f(x)  f(-x)
График функции у = f(-x) получается преобразованием
симметрии графика функции у = f(x) относительно оси y.
Замечание. Точкa пересечения графика с осью y
остается неизменной.
y  log 2 ( x)
y  log 2 x
y  2 x
y  2x
y x
y x
y   x 
2
y  x2
Замечание 1.
График четной функции не изменяется при отражении
относительно оси у, поскольку для четной функции
f(-x)=f(x). Пример:
(-x)2 = x2.
Замечание 2.
График нечетной функции изменяется одинаково
как при отражении относительно оси х , так и при
отражении относительно оси у, поскольку для
нечетной функции f(-x)=-f(x).
Пример: sin(-x) =-sinx.
y  sin x
y  sin  x 
f(x) f(x-а)
Урок № 2
Параллельный
f(x) f(x) + b
перенос
вдоль
осей х и у.
Параллельный перенос вдоль оси х
f(x)  f(x-а)
График функции у = f(x-а) получается параллельным
переносом вдоль оси х на |a| вправо при а>0 и влево
при а <o.
Замечание: График периодической функции с периодом Т не
изменяется при параллельных переносах вдоль оси х на nT, nϵN.
y  sin x


y  sin  x  
3


3
y  x2
y   x  3
2
y  x  2
2
y x
y  x3
y  x2
Параллельный перенос вдоль оси y
f(x) f(x)+b
График функции у = f(x)+b получается параллельным
переносом вдоль оси y на |b| вверх при b>0 и вниз
при b <o.
y  sin x  2
y  sin x
y  sin x  1
y  cos x  2
y  cos x
y  x2
y  x2 1
y x
y  x 1
y  x 2
y  x2  2
f(x)  f(αx)
Урок №3
f(x) kf(x)
Сжатие и
растяжение
вдоль
осей x и у
Сжатие и растяжение вдоль оси x
f(x)f(αx), где α >0
α >1 График функции y=f(αx) получается сжатием
графика функции y=f(x) вдоль оси х в α раз.
0< α <1 График функции y=f(αx) получается растяжением
графика функции y=f(x) вдоль оси х в 1/α раз.
y  sin x
y  sin 2 x
Замечание. Точки пересечения графика
с осью y остаются неизменными.
y  2x
y x
x
y
2
Сжатие и растяжение вдоль оси y
f(x)kf(x), где k>0
k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика
функции y=f(x) вдоль оси y в k раз.
0<k<1 График функции y=kf(x) получается сжатием графика
функции y=f(x) вдоль оси y в 1/k раз.
1
y  cos x
2
y  2 cos x
y  cos x
y2x
y x
y  0,5 x
y  3x 2
y  x2
y  0,5 x 2
Замечание. Точки пересечения графика
с осью x остаются неизменными.
1 2
y x
10
y3 x
y x
y  0,5 x
Урок №4
Построение
графиков
функций
y=f(|x|)
и
y=|f(x)|
Построение графика функции у=|f(x)|
Части графика функции y=f(x), лежащие выше оси х и на оси х,
остаются без изменения, а лежащие ниже оси х –симметрично
отражаются относительно этой оси (вверх).
Замечание: Функция y=|f(x)| неотрицательна(ее график
расположен в верхней полуплоскости).
y  sin x
y  sin x
y  x2  4x  3
y  x2  4x  3
y  log 2 x
y  log 2 x
Построение графика функции у=f(|x|)
Часть графика функции y=f(x), лежащие левее оси у, удаляется ,а
часть, лежащая правее оси у – остается без изменения и, кроме
того, симметрично отражается относительно оси у (влево). Точка
графика, лежащая на оси у, остается неизменной.
Замечание: Функция y=f(|x|) четная (ее график симметричен
относительно оси у).
y  sin x
y  sin x
y  x2  4 x  3
y  x2  4x  3
y  log 2 x
y  log 2 x
Урок №5
Построение
графика
обратной
функции
Построение графика обратной функции
График функции у = g(x) , обратной для данной
функции у = f(x) , можно получить преобразованием
симметрии графика у = f(x) относительно прямой y=х.
Замечание. Описанное построение можно
производить только для функции, имеющей
обратную.
y  2x
Примеры графиков
взаимно обратных
функций:
y  log 2 x
y  x2 , x  0
y  arcsin x
1
y x
1
y  sin x,
  / 2  x   / 2
y  arccos x
1
1
1
1
y  cos x,
0  x   
Построение графиков сложных функций
с помощью последовательных преобразований
графиков элементарных функций(на примерах).
2
2
2
Пример 1. y  x  6 x  8  x  6 x  8   x  3  1
1) y  x 2  6 x  8  x  3  1
2
2) y  x 2  6 x  8   x  3  1
2
2) y  x 2  6 x  8   x  3  1
2
3) y  x 2  6 x  8
Пример 2. y  log 2  x  1 
1) y  log 2 x
2) y  log 2 x
2) y  log 2 x
3) y  log 2 x  1
3) y  log 2 x  1
4) y  log 2 x  1
Пример 3. y  3 sin 2 x  1
1) y  sin x
2) y  sin 2 x
2) y  sin 2 x
3) y  3 sin 2 x
3) y  3 sin 2 x
4) y  3 sin 2 x
4) y  3 sin 2 x
5) y  3 sin 2 x 1
Пример 4. Построить график функции :


y  cos x    1
2

 
• Сместим график функции y=cosx на вектор  ;1
2 
y  cos x