Теоретическая информатика. Алгебра логики. Титоров Даниил Юрьевич

Теоретическая информатика.
Алгебра логики.
Титоров Даниил Юрьевич
Реле
Реле состоит из: катушки, двух источников
тока, двух переключателей и лампочки.
принцип работы:
При переключении ключа (1), в катушке идет
ток и появляется электромагнитное поле (2).
Под действием поля металлический ключ (3)
притягивается к катушке , замыкая вторую
цепь. Под действием электрического тока
лампочка начинает светиться.
Реле было изобретено в 1831 году,
использовалось для работы телеграфа и позже
телефонной связи. Создатели не подозревали,
что с помощью реле можно создать
компьютер.
Краткая схема реле
В дальнейших схемах будут использоваться краткие схемы реле,
некоторые элементы на схеме опущены, но принцип действия
остается тем же самым.
Логические вентили
Объединение нескольких реле позволяет
получить логические вентили:
1.
2.
3.
логический вентиль «И»
логический вентиль «Или»
логический вентиль «Не»
проанализируйте каждый из предложенных
схем что произойдет если замкнуть каждый из
ключей?
Почему логические вентили получили такие
названия?
Набор из нескольких реле мы будем далее
использовать как единые логические вентили.
Логические вентили
Логический вентиль «И»
• два входа один выход;
• на выходе ток есть только если на оба входа
подан ток.
Логический вентиль «И»
• два входа один выход;
• на выходе ток есть если хотя бы на один вход
подан ток.
Логический вентиль «Не»
• один вход один выход;
• на выходе ток есть если на входе его нет (это
не противоречие, смотри схему вентиля).
Таблицы истинности
Можно изобразить в таблице все возможные состояния каждого
логического вентиля. Такие таблицы называются таблицы истинности.
В таблице показаны все возможные входящие значения от 00 до 11
(порядок значений имеет значение) и что мы имеем на выходе для
каждого набора.
Логические схемы
Соединяя логические схемы в определенной последовательности можно
получить логическую схему.
Например, на схеме, представленной на рисунке два вентиля «И», два
вентиля «Не» и один вентиль «Или».
Подставляя значения на входе, можно проследить какое значение будет
на выходе логической схемы.
Для того чтобы проанализировать все значения могут быть на выходе
нужно построить таблицу истинности для данной логической схемы.
Логические схемы в MS Excel
Можно построить в электронных таблицах модель логической схемы,
написать логическая функции, которые соответствуют каждому вентилю
и получить все возможные значения, которые может принять схема.
формула в ячейках:
C2 =И(A2;B2)
D2 =НЕ(A2)
E2 =НЕ(B2)
F2 ==И(D2;E2)
G2 =ИЛИ(C2;F2)
H2 =ЕСЛИ(G2;1;0)
Полусумматоры
У некоторых схем есть особые названия, например, у полусумматора. Он
называется так, потому что имитирует сложение двух младших разрядов
у двоичных чисел.
В самом деле 0 + 0 = 1 (первая строка истинности). 0 + 1 = 1 (вторая
строка истинности) и т.д.
Возможно складывать числа используя только механические реле!
Попробуйте построить модель полусумматора в MS Excel.
Сумматор
Сложение чисел во втором и большем разрядах по сути является
сложением трех чисел (двух чисел в каждом разряде, и еще одного бита
переноса, что пришел из младшего разряда).
Для выполнения такой операции необходим сумматор, который состоит
из двух полусумматоров и одного логического вентиля или.
Объединение сумматоров в группу для сложения многоразрядных
двоичных чисел образуют каскад сумматоров.
Попробуйте построить модель сумматора каскада сумматоров в MS Excel.
Тождественные схемы
Логических схем бесконечное количество. Для если к любой схеме мы
добавим еще один логический вентиль, то получим новую схему. При
этом многие схемы имея разное количество вентилей, возвращают
одинаковые значения. Такие функции называются тождественные.
Логические функции
Из всего бесконечного количества логических схем с двумя входящими
сигналами можно сделать не более шестнадцати различных наборов
выходящих значений. Следовательно существует шестнадцать
логических функций двух аргументов F1..F16.
На рисунке представлены все шестнадцать функций. Это число легко
вычислить:
Для функций из 2-х элементов 4 набора входных значений от 00 до 11.
Одна функция принимает значения от 0000 до 1111 всего вариантов 16.
n
Для n входных значений существует 22 различных функций.
Логические функции
Среди шестнадцати функций есть несколько знакомых. Например,
F9 = A and B
F15 = A or B
Легко заметить, что каждая функция имеет себе противоположную.
Например,
F2 = not F15
Функция F16 называется тождественно истинной (она принимает
значение равное 1 при любом входном значении).
Функция F1 называется тождественно ложной (она принимает значение
равное 0 при любом входном значении).
Круги Эйлера
Любую логическую функцию легко записать.
Для этого достаточно построить ее область
определения, описать ее значение на языке
множеств с помощью кругов Эйлера.
Рассмотрим, например, функцию F6.
На двух пересекающихся кругах закрасим
области, в которых F=1:
когда и А и В = 0 (т.е. точки не принадлежат ни
А и не В)
когда и А = 1 и В = 0 (т.е. точки принадлежат А,
но не принадлежат В)
Из рисунка видно что F6 = не В.
Но т.к. у функции два аргумента вернее
записать так: F6 = (не А и не B) или (А и не В)
Логические выражения
из таблицы видно, что
F = (не A и не B и C) или (не A и B и не C) или
(A и не B и не C) или (A и не B и C) или (A и B и не C)
с помощью кругов Эйлера можно упростить:
F = (A или B или C) и не (B и C)
Логические законы
Для упрощения логических функций (схем) можно использовать круги Эйлера, а
также формальные законы, которые помогут упростить сложное выражение.
Законов много, но многие очевидны, и все их можно легко доказать, например,
законы де Моргана.
Спасибо за внимание
www.titorov.ru