Урок математики в 10 классе по теме:

Урок
математики в
10 классе по
теме:
«Производная
в физике и
технике»
Цели урока:
Дать понятие о возможностях применения
элементов дифференциального
исчисления в описании и изучении
процессов и явлений реального мира.
Изучение нового материала
1. С привлечением учащихся решить
задачу на отыскание мгновенной
скорости движения, если задан его закон;
зафиксировать, в чем состоит
механический смысл производной.
2. После этого поставить задачу
определения скорости и ускорения.
Обычно характер движения бывает таким, что при малых ∆t
средняя скорость практически не меняется , т.е. движение с
большей степенью точности можно считать равномерным.
Другими словами, значение средней скорости при ∆t→0
стремится к некоторому вполне определённому значению,
которое и называют мгновенной скоростью ‫(ט‬t○) материальной
точки в момент времени t○. Итак,
‫ט‬ср(∆t○)=∆x / ∆t→‫(ט‬t○) при ∆t→0.
Но по определению производной
∆x / ∆t→ x‫(׳‬t○) при ∆t→0.
По этому считают, что мгновенная скорость ‫(ט‬t) определенна
(только) для любой дифференцируемой функции х(t), при этом
‫(ט‬t)= x‫(׳‬t).
Коротко говорят: производная от координаты по времени есть
скорость. В этом состоит механический смысл производной.
Мгновенная скорость может принимать как положительные,
так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если
скорость на каком-либо промежутке времени (t1;t2)
положительна, то точка движения в положительном
направлении, т.е. координата растёт с течением времени, а
если ‫(ט‬t) отрицательна, то координата х(t) убывает.
Аналогичное положение и с ускорением движения.
Скорость движения точки есть функция от времени t. А
производная этой функции называется ускорением
движения:
α‫(׳ט=׳‬t).
Коротко говорят: производная от скорости по времени есть
ускорение.
Рассмотрим свободное падение
материальной точки.
Если координатную прямую направить
вертикально в низ, а начальное положение
материальной точки совпадает с 0, то, как
известно из физики,
х(t)=(gt²/2)= gt,
а ускорение а
а =(gt)‫=׳‬g
есть величина постоянная.
Пусть зависимость координаты точки, движущейся по прямой, от
времени выражается формулой
х(t)= а/2*t²+‫○ט‬t+х○,
Где а≠0, ‫ ○ט‬и х○ - постоянные. Найдём скорость и ускорение
движения.
Скорость этого движения такова:
‫=ט‬х‫(׳‬t)=(а/2t²+‫○ט‬t+х○)‫(=׳‬2а\2)t+‫ =○ט‬аt+‫○ט‬
Так как нам известна скорость движения как функция времени, мы
можем найти ускорение этого движения:‫(׳ט‬t)=(аt+‫=׳)○ט‬а. Мы видим
что ускорение при движении по квадратичному закону постоянно и
равно а. Если а>0, то это равноускоренное движение; если же а<0, то
равнозамедленное. Отметим также, что ‫(ט=○ט‬0), а х○=х(0).
Можно доказать, что если при движении по прямой ускорение а
постоянно, то движение происходит по квадратичному закону:
х(t)= а/2*t²+‫○ט‬t+х○,
Где ‫○ט‬-начальная скорость точки, а х○-начальная координата.
► Пусть у =f(х)-произвольная дифференцируема функция. Тогда мы
можем рассмотреть движение материальной точки по
координатной прямой, совершаемое согласно закону х =f(t).
Механический смысл производной позволяет дать наглядную
интерпретацию теорем дифференциального исчисления.