системы счисления. Система счисления

НЕМНОГО ИСТОРИИ
На ранних ступенях развития
общества люди почти не умели
считать. Они различали совокупности
двух и трех предметов; всякая
совокупность, содержавшая бóльшее число предметов,
объединялась в понятии «много». Предметы при счете
сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног.
По мере развития цивилизации потребность человека
в счете стала необходимой. Первоначально натуральные
числа изображались с помощью некоторого количества
черточек или палочек, затем для их изображения стали
использовать буквы или специальные знаки.
Индейцы и народы Древней Азии при счете
завязывали узелки на шнурках разной длины
и цвета. У некоторых богатеев скапливалось
по несколько метров этой веревочной
"счетной книги", поди вспомни через год, что
означают четыре узелочка на красном
шнурочке! Поэтому того, кто завязывал
узелки, называли вспоминателем.
ЧИСЛО — ЭТО АБСТРАКТНАЯ МЕРА
КОЛИЧЕСТВА.
ЦИФРА — ЭТО ЗНАК ДЛЯ ЗАПИСИ ЧИСЛА.
СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - способ отображения
чисел и правила действий над ними.
Существует множество способов записи чисел с
помощью цифр. Эти способы можно разделить
на:
 Позиционные (мультипликативные) системы
счисления;
 Смешанные системы счисления;
 Непозиционные (аддитивные) системы
счисления.
ДЕНЕЖНЫЕ ЗНАКИ - ЭТО ПРИМЕР СМЕШАННОЙ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Около 1100 года н. э. английский король Генрих I изобрел одну
из самых необычных денежных систем в истории, названную
системой «мерных реек». Эта денежная система продержалась
726 лет.
Деревянная полированная рейка с зарубками, обозначающими
номинал, расщеплялась по всей длине так, чтобы сохранить
зарубки.
НЕПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
 Непозиционная
система счисления система счисления, в которой для
обозначения чисел вводятся
специальные знаки, количественное
значение которых всегда одинаково и не
зависит от их места в записи числа.
ДРЕВНЕЕГИПЕТСКАЯ ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА
СЧИСЛЕНИЯ
1. Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов
Египтяне использовали палочки.
10. Такими путами египтяне связывали коров
100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после
разлива Нила.
1 000. Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда
не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению этого
цветка.
10 000. "В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх
указательный палец.
1 000 000. Увидев такое число, обычный человек очень удивится и
возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф
10 000 000. Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное,
поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего
солнца
- 1205,
- 1 023 029
РИМСКАЯ ПЯТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
- непозиционная
система счисления, в которой для записи
чисел используются буквы латинского алфавита( возникла
более 2500 лет у этрусков назад в Древнем Риме):
- I - означает "один";
- V - означает "пять";
- X - означает "десять";
- L - означает "пятьдесят";
- C - означает "сто";
- D - означает "пятьсот";
- M - означает "тысяча";
XXVIII =28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.
Выполнение арифметических
действий над многозначными
числами в этой записи очень трудно.
Тем не менее, римская нумерация
преобладала в Италии до 13 в., а
в других странах Западной Европы – до 16 в.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РИМСКИХ ЧИСЕЛ
ДРЕВНЕГРЕЧЕСКАЯ АТТИЧЕСКАЯ
ПЯТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Название происходит от области Греции – Аттики со столицей
Афины. В этой системе числа 1, 2, 3, 4 изображались
соответствующим количеством вертикальных полосок:
Число 5 записывалось знаком
(древнее начертание буквы "Пи", с
которой начиналось слово "пять" "пенте").
Числа 6, 7, 8, 9 обозначались
сочетаниями этих знаков:
Число 10 обозначалось
заглавной "Дельта" от слова "дека" "десять".
ДРЕВНЕГРЕЧЕСКАЯ ИОНИЙСКАЯ ДЕСЯТИЧНАЯ
АЛФАВИТНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Возникла в Милеете (греческая малоазиатская колония Ионии).
В ней числа 1 - 9 обозначаются первыми буквами
древнегреческого алфавита:
Для отличия цифр и букв писали черточки над
цифрами.
СЛАВЯНСКАЯ ГЛАГОЛИЧЕСКАЯ
ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Эта система была создана для обозначения чисел в
священных книгах западных славян.
Использовалась она с VIII по XIII в.

- 863
СЛАВЯНСКАЯ КИРИЛЛИЧЕСКАЯ
ДЕСЯТИЧНАЯ АЛФАВИТНАЯ
Славянская нумерация
просуществовала до конца XVII
столетия.
Тысяча
1000
Тьма
10 000
Легион
100 000
Леодр
1 000 000
Ворон
10 000 000
Колода
100 000 000
ДРЕВНЕИНДИЙСКИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Система счисления кхарошти имела хождение в Индии
между VI веком до нашей эры и III веком нашей эры.
Наряду с этой системой существовала в Индии еще одна
система счисления брахми.
НЕДОСТАТКИ НЕПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ



1. Существует постоянная потребность введения
новых знаков для записи больших чисел.
2. Невозможно представлять дробные и
отрицательные числа.
3. Сложно выполнять арифметические операции,
так как не существует алгоритмов их выполнения.
ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ




Позиционная система счисления (возникла в
Шумере (на территории современного Ирака) в период 4
и 3 тысячелетий до н. э.) - система счисления,
использующая для записи чисел ограниченное число
знаков, интерпретация которых зависит от места в
записи числа.
Место каждой цифры в числе называется позицией.
Количество цифр используемых в системе счисления
называется основанием.
Место для цифры, использованное в записи числа,
называется разрядом, а количество цифр в числе-
разрядностью.
ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
двоичная система счисления;
 система счисления с основанием е=2,718281828;
 троичная система счисления;
 пятеричная система счисления (у
ряда африканских племен и в
Древнем Китае );
 семеричной системе счисления;
 восьмеричная система счисления;
 двенадцатеричная система счисления;
 шестнадцатеричная система счисления;
 двадцатеричная система (у древних ацтеков и майя, и
среди населявших Западную Европу древних кельтов) ;
 шестидесятеричная (вавилонская) система счисления (00,
01, 02, ..., 59)

ВАВИЛОНСКАЯ ДЕСЯТИЧНАЯ
/ ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНАЯ

В древнем Вавилоне примерно во II тысячелетие до нашей эры была
такая система счисления - числа менее 60 обозначались с помощью двух
знаков: д ля единицы, и
для десятка.
- 3;
- 20;
- 59
302

Лишь в V веке до нашей эры был введен особый знак
- наклонный
клин для обозначения пропущенных разрядов, игравший роль нуля.
ДРЕВНЕКИТАЙСКАЯ ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА
СЧИСЛЕНИЯ
Возникла эта система около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае
1
6
2
7
8
3
9
4
5
10
100
1 000
O
10 000
0
5 * 100+4* 10+8 = 548
.
ДВАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
ИНДЕЙЦЕВ МАЙЯ ИЛИ ДОЛГИЙ СЧЕТ


Эта система применялась для календаря и астрономических
наблюдений. Характерной особенностью ее было наличие нуля
(изображение ракушки). Число 20 изображалось из двух цифр, ноль
.
и один наверху и называлось уиналу
число 21, это будет
У индейцев Майя 20 дней-кинов образовывали
месяц или уинал. 18 месяцев-уиналов образовывали
год или туну (360 дней в году) и так далее:
К'ин = 1 день.
Виналь = 20 к'ин = 20 дней.
Тун = 18 виналь = 360 дней = около 1 года.
К'атун = 20 тун = 7200 дней = около 20 лет.
Бак'тун = 20 к'атун = 144 000 дней = около 400
лет.
Пиктун = 20 бак'тун = 2 880 000 дней = около 8000
лет.
Калабтун = 20 пиктун = 57 600 000 дней = около
160 000 лет.
К'инчильтун = 20 калабтун = 1 152 000 000 дней =
около 3200000 лет.
Алавтун = 20 к'инчильтун = 23 040 000 000 дней =
около 64 000 000 лет.
Календарь
народа Майя
Цифры
календаря
народа Майя
 Более
удобной и общепринятой и
наиболее распространенной
является индо-арабская десятичная
система счисления, которая была
изобретена в Индии, заимствована
там арабами и затем через
некоторое время пришла в Европу
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9).
ИСТОРИЯ «АРАБСКИХ» ЧИСЕЛ

История наших привычных «арабских» чисел очень запутана. Нельзя
сказать точно и достоверно как они произошли.
 В XII в. Хуан из Севильи перевел на латынь книгу "Индийское искусство
счета", и индийская система счета широко распространилась по всей
Европе. А так как труд Аль- Хорезми был написан на арабском языке, то
за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название
- "арабская". Но сами арабы именуют цифры индийскими, а арифметику,
основанную на десятичной
системе –
индийским счетом.
Форма «арабских
чисел со временем
изменилась. Та форма,
в которой
мы пишем установилась в
XVI веке.
ТАКИМИ БЫЛИ НАШИ ЧИСЛА
Даже А. С.Пушкин
предложил свой
вариант формы
арабских чисел. Он
решил, что все
десять арабских
цифр, включая нуль,
помещаются в
магическом
квадрате.
ИСТОРИЯ НУЛЯ
Впервые нуль появился в древневавилонской системе
счисления, он использовался для обозначения пропущенных
разрядов в числах . Изобретателем формы нуля можно
считать великого греческого астронома Птолемея. Но
Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне.
Леонардо Фибоначчи, в своем сочинении "Liber abaci"
(1202) называет знак 0 по-арабски zephirum. Слово zephirum
– это арабское слово as-sifr, которое произошло от
индийского слова sunya, т. е. пустое, служившего названием
нуля. От слова zephirum произошло французское слово zero
(нуль) и итальянское слово zero. С другой стороны, от
арабского слова as-sifr произошло русское слово цифра.
Вплоть до середины XVII века это слово употреблялось
специально для обозначения нуля. Латинское слово nullus
(никакой) вошло в обиход для обозначения нуля в XVI веке.
ВЫПОЛНИТЕ ЗАДАНИЯ
Пирог
нужно печь в духовке
45 минут, сколько это будет в
секундах?
Нужно испечь десять пирогов,
сколько потребуется
времени?
ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

В двоичной системе счисления всего две
цифры, называемые двоичными (binary
digits). В двоичной системе основание равно
2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1).
ИЗ ИСТОРИИ
Двоичной системой счисления пользовался в
начале 17 в. Т.Харриот. Позднее Г.Лейбниц обратил
на двоичную систему внимание миссионеров,
отправлявшихся для проповеди христианства в
Китай в надежде убедить китайского императора в
том, что Бог (единица) сотворил все из ничего (нуля).
Однако вплоть до 20 в. двоичную систему
рассматривали как своего рода математический
курьез, и время от времени раздавались
предложения перейти от десятичной системы к
восьмеричной или двенадцатеричной, но отнюдь не
к двоичной системе.

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ 10-ТИЧНОЙ СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ В ДВОИЧНУЮ
ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ
11102+101002= 1000102
1110
+ 10100
10 00102
ПРАВИЛА УМНОЖЕНИЯ ДВОИЧНЫХ
ЧИСЕЛ
112*1102= 100102
110
* 11
110
+110
10 0102
1) Переведите целые числа из десятичной системы
счисления в двоичную.
а) 45
101101
б) 124
1111100
2) Переведите целые числа из двоичной системы в
десятичную.
а) 11010
26
б) 10010010
146
ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
В восьмеричной (octal) системе счисления
используются восемь различных цифр 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7. Основание системы - 8.
 В различных языках программирования
запись восьмеричных чисел начинается с 0,
например, запись 011 означает число 9.

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ 10-ТИЧНОЙ СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ
ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
В шестнадцатеричной (hexadecimal) системе
счисления применяется десять различных цифр и
шесть первых букв латинского алфавита
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).
A - 10; B – 11; C – 12; D – 13; E – 14; F - 15
Шестнадцатеричная система
счисления широко используется
при задании различных оттенков
цвета при кодировании
графической информации (модель
RGB).
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ 10-ТИЧНОЙ СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДВОИЧНЫХ, ДЕСЯТИЧНЫХ,
ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
1100
1101
1110
7
1111
Развёрнутая форма записи числа
В позиционной СС любое целое число может быть
представлено в виде:
Ар = ± (a0р0 + a1р1 + a2р2 +…+ an-2рn-2 + an-1·рn-1 ),
где А – само число,
р – основание СС,
аi – цифры данного числа,
n – число разрядов целой части числа

Например:
1 пример:
А8 = 75648= 4·80 + 6·81 + 5·82 + 7·83 = 4+ 48+ 320+ 3584 =
395610
Разряд 
3210
Таким способом можно перевести число из любой СС в
десятичную СС.
2 пример:
100112 = 1·20 + 1·21 + 0·22+0·23+1·24 = 1 + 2 + 0 + 0 + 16 = 1910
Разряд  4 3 2 1 0
1.
2.
Переведите из десятичной в двоичную, восьмеричную и
шестнадцатеричную системы счисления свою дату
рождения.
Разгадайте слово:

Переведите числа, записанные в различных системах
счисления, в десятичную систему счисления;

затем полученные после вычисления числа замените
буквами русского алфавита, которые имеют
соответствующие порядковые номера;

запишите полученное слово
Достоинства
позиционных систем счисления

Простота выполнения арифметических
операций

Ограниченное количество символов
для записи числа

Удобна для механического
представления чисел
ИНТЕРЕСНЫЕ
ФАКТЫ
НА ЦИФЕРБЛАТЕ ЭТИХ ЧАСОВ ЦИФРЫ, КОНЕЧНО,
ЕСТЬ, НО ОНИ НАПИСАНЫ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ
СЧИСЛЕНИЯ. ЗАТО ЭТИ ЧАСЫ ПОМОГУТ НАУЧИТЬСЯ
СЧИТАТЬ ДО ДВЕНАДЦАТИ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ С
ЗАКРЫТЫМИ ГЛАЗАМИ.