665К

ЛИТЕРАТУРА
Блохинцев Д.И., Основы квантовой механики
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Квантовая механика. Нерелятивистская теория
Мессиа А. Квантовая механика, т. 1-2
Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы.
Задачи по квантовой физике
Савельев И.В., Курс общей физики т.3 (5)
Суханов А.Д., Голубева О.Н., Лекции по квантовой физике
Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В., Квантовая физика, МГТУ 2004
Воронов В.К., Подоплелов А.В., Современная физика, URSS, 2005
ЧАСТЬ I. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Глава 1. Математический формализм
квантовой механики.
§1. Пространство квантовых состояний
Квантовая система, находящаяся в некотором состоянии А, изображается:
- волновой функцией Ψ𝐴 (𝑟, 𝑡)
- вектором состояния 𝐴 (кет-вектор)
Ψ𝐴 𝑟, 𝑡 ~ 𝐴
𝛼 − ∀ компл-ое число
𝛼Ψ𝐴 𝑟, 𝑡 ~𝛼 𝐴
Векторы 𝐴 и 𝛼 𝐴
изображают одно и то же состояние
Суперпозиция квантовых состояний:
Ψ 𝑆 = 𝛼Ψ 𝐴 + 𝛽Ψ 𝐵
𝑆 = 𝛼 𝐴 +𝛽 𝐵
Состояние 𝑆 - суперпозиция состояний 𝐴 и 𝐵
Множество кет- векторов образует комплексное векторное пространство
(определено умножение векторов на ком-ые числа)
Нулевой вектор 0 - квантовая система не существует.
Совокупность векторов 1 , 2 … 𝑁
если выполнение равенства
называется линейно независимой,
𝛼𝑖 𝑖 = 𝛼1 1 + 𝛼2 2 + ⋯ + 𝛼𝑁 𝑁 = 0
возможно только, если
𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑁 = 0
(𝛼𝑖 = 0 ∀𝑖)
Максимальное число линейно независимых векторов называется
размерностью пространства.
Любая совокупность из N линейно независимых векторов образует базис в
пространстве размерности N.
Произвольный вектор пространства может быть представлен как линейная
комбинация базисных векторов:
𝐴 =
𝛼𝑚 𝑚 = 𝛼1 1 + 𝛼2 2 + ⋯ + 𝛼𝑁 𝑁
N комплексных коэф-ов α образуют совокупность проекций вектора 𝐴 на
базисные направления.
Квантовое состояние 𝐴 - суперпозиция базисных состояний 𝑚 (m=1,2..N)
Сопряженное пространство.
Каждому кет-вектору 𝐴 сопоставим сопряженный ему бра-вектор А
Если 𝐴 ~Ψ𝐴 , то А ~Ψ ∗ 𝐴
Если 𝐵 = 𝛼 𝐴 , то 𝐵 = 𝛼 ∗ 𝐴 = 𝐴 𝛼 ∗
Множество бра-векторов образует сопряженное про-во состояний.
Сопряженные про-ва эквивалентны друг другу.
Скалярное произведение.
Каждой паре векторов 𝐴 и 𝐵 по некоторому правилу сопоставим
комплексное число – скалярное произведение:
𝐵𝐴 = 𝐵 𝐴
Если состояния изображаются волновыми функциями (координатное
представление), то
𝐵𝐴 =
Ψ ∗ 𝐵 Ψ𝐴 𝑑𝑉
Свойства скалярного произведения:
∗
1)
𝐵𝐴 = 𝐵𝐴
2)
0𝐴 = 𝐵0
3)
𝐵 (𝛼1 𝐴1 + 𝛼2 𝐴2 ) = 𝛼1 𝐵 𝐴1 + 𝛼2 𝐵 𝐴2
4)
𝐴𝐴 ≥0
(некоммутативность)
=0
( 0 − нулевой вектор)
(билинейность)
(положительная определенность)
Неотрицательное число 𝐴 =
𝐴 𝐴 называется нормой (длиной)
вектора 𝐴 .
𝐴 =0 ↔ 𝐴 = 0
Вектор единичной длины называется нормированным.
𝐴𝐴 =1
Два вектора называются взаимно ортогональными, если
𝐵𝐴 =0
( 𝐴 𝐵 = 0)
Взаимно ортогональные векторы линейно независимы.
Док-во
Пусть 𝐴 𝐵 = 0 и
𝛼 𝐴 +𝛽 𝐵 = 0 .
𝐴 (𝛼 𝐴 + 𝛽 𝐵 ) = 𝛼 𝐴 𝐴 + 𝛽 𝐴 𝐵 = 𝛼 𝐴 𝐴 = 0
𝐴𝐴 ≠0 ⇒𝛼=0
Аналогично док-во 𝛽 = 0.
В N-мерном прос-ве любая совокупность из N взаимно ортогональных
векторов составляет линейно независимую систему и может использоваться в
качестве (ортогонального) базиса. Такой базис называется
ортонормированным, если нормирован каждый из базисных векторов.
𝑚𝑛 =0 𝑚≠𝑛
𝑚𝑚 =1
Символ Кроникера:
𝛿𝑚𝑛
0 при 𝑚 ≠ 𝑛
=
1 при 𝑚 = 𝑛
Условия ортонормированности:
𝑚 𝑛 = 𝛿𝑚𝑛
Если 𝛾1 , 𝛾2 , … 𝛾𝑁 - некоторая последовательность, то
𝑁
𝛾𝑚 𝛿𝑚𝑛 = 𝛾𝑛
𝑚=1
Базисные векторы 1 , 2 , … 𝑁 изображают базисные состояния квантовой
системы.
Бра-векторы 1 , 2 , … 𝑁 образуют базис в сопряженном про-ве.
Каждый вектор может быть представлен как разложение по базису (каждое
квантовое состояние представляется как суперпозиция базисных состояний) :
𝐴 =
𝑎𝑚 𝑚
𝑚
𝑎𝑚 (𝑚 = 1,2, … N) - проекция вектора 𝐴 на базисное направление 𝑚
Разложение сопряженного вектора:
𝑚 𝑎∗ 𝑚
𝐴 =
𝑚
Проекции определяются однозначно:
𝑛𝐴 = 𝑛(
𝑎𝑚 𝑚 ) =
𝑚
𝑎𝑚 = 𝑚 𝐴
𝑚
𝑎𝑚 𝑛 𝑚 =
(𝑎∗ 𝑚 = 𝐴 𝑚 )
𝑚
𝑎𝑚 𝛿𝑛𝑚 = 𝑎𝑛
Скалярное произведение:
𝑚 𝑎∗ 𝑚 )(
𝐴𝐵 =(
𝑚
𝑛
𝑚,𝑛
𝑎∗ 𝑚 𝑏𝑚
𝐴𝐵 =
𝑚
Квадрат длины вектора:
𝐴
2
= 𝐴𝐴 =
𝑎𝑚
𝑚
Если вектор нормирован:
𝑎𝑚
𝑚
2
=1
𝑎∗ 𝑚 𝑏𝑛 𝑚 𝑛 =
𝑏𝑛 𝑛 ) =
2
𝑎∗ 𝑚 𝑏𝑛 𝛿𝑚𝑛
𝑚.𝑛
Величина 𝑃𝑚 = 𝑎𝑚 2 определяет вероятность того, что в результате
наблюдения квантовая система обнаружится в базисном состоянии 𝑚 .
𝑎𝑚 - комплексная амплитуда вероятности базисного состояния 𝑚 .
Пример. Двухуровневая система.
𝐸2
2
𝐸1
1
Состояние 𝐴 = 𝑎1 1 + 𝑎2 2 изображает квантовые переходы м/у
стационарными базисными сос-ми 1
и 2
𝑃1 = 𝑎1
2
- вероятность обнаружить систему в состоянии
1
𝑃2 = 𝑎2
2
- вероятность обнаружить систему в состоянии
2