Теорема 1

Уравнения и неравенства первой степени.
1.1. Решение уравнений первой степени в целых числах
Определение. Уравнения вида ax  by  c , где a, b, c  целые числа,
отличные от нуля, решения которых ищутся в целых числах, называются
неопределенными (или диофантовыми) уравнениями первой степени с двумя
целочисленными переменными x и y .
Решение диофантовых уравнений основано на следующих утверждениях.
Теорема 1. Если НОД1( a ; b ), то существуют такие целые числа x и y , что
имеет место равенство ax  by  d .
Это равенство называется линейной комбинацией или линейным
представлением наибольшего общего делителя двух чисел через сами эти
числа.
Теорема 2. Если в уравнении ax  by  1 НОД ( a ; b ) = 1, то уравнение
имеет, по крайней мере, одно целое решение.
Справедливость этой теоремы следует из теоремы 1.
Таким образом, чтобы найти одно целое решение уравнения ax  by  1 ,
если НОД ( a ; b ) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной
комбинации чисел a и b .
Теорема 3. Если в уравнении ax  by  c НОД ( a ; b ) = d > 1 и c не делится
на d , то уравнение целых решений не имеет.
Теорема 4. Если в уравнении ax  by  c НОД ( a ; b ) = d > 1 и c делится
на d , то исходное уравнение равносильно уравнению a1 x  b1 y  1 , в котором
НОД( a1 ; b1 ) = 1 .
Теорема 5. Если в уравнении ax  by  c , НОД ( a ; b ) = 1, то все целые
 x  x0  c  bt ,
, где  x0 ; y0  
 y  y0  c  at ,
решения этого уравнения заключены в формулах: 
целое решение уравнения ax  by  1 , t  любое целое число.
Приведенные теоремы позволяют установить следующее правило
решения в целых числах уравнения ax  by  c , НОД ( a ; b ) = 1:
1) находится целое решение уравнения ax  by  1 путем представления 1
как линейной комбинации чисел a и b (существуют и другие способы
отыскания целых решений этого уравнения, например, при использовании
цепных дробей);
2) составляется общая формула целых решений данного уравнения:
 x  x0  c  bt ,

 y  y0  c  at
где  x0 ; y0   целое решение уравнения ax  by  1 , t  целочисленный
параметр.
НОД – наибольший общий делитель двух целых чисел, т.е. наибольшее целое число на которое делятся оба
данных целых числа.
1
Придавая t определенные целые значения, можно получать частные
решения данного уравнения: наименьшие по абсолютной величине,
наименьшие положительные (если можно) и т. д.
1.1.1. Решите уравнения в целых числах:
2. y  5 x  12
3. 3x  5 y  0
4. 5 x  8 y  0
5. 2 x  3 y  13 6. 5 y  7 x  21 7. 7 x  13 y  71
8. 14 x  9 y  11
9. 2 x  3 y  7 10. 3x  4 y  11 11. 5 x  3 y  6
12. 7 x  4 y  3
1*. x  2 y  7
13. 7 x  5 y  12 14. 5 x  11 y  4
15*. 11x  8 y  73
16. 11x  7 y  31
1.1.2. Имеют ли следующие уравнения решения в натуральных числах:
17*. 2 x  6 y  25
18. 6 x  11y  48 19. 8 x  7 y  3 20. 9 x  6 y  17
21. 10 x  13 y  16 22. 13x  15 y  45 23. 8 x  6 y  12 24. 15 x 10 y  25
1.1.3. Решите уравнения в натуральных числах:
25 . 4 x  11y  47 26. 12 x  7 y  45 27. 11x  18 y  120
28. 15 x  49 y  11 29. 18 x  35 y  30 30. 45 x  27 y  117
*
31.
3x 2 y

 37
5
3
32.
x  15 y
3x  14 2 y  0,5
 20 33.

x  21
2
5
1.1.4. Найдите наименьшие натуральные решения уравнений:
34. 17 x  29 y  100 35. 13x  15 y  2
36. 52 x  64 y  388
37*. 16 x  25 y  1
38. 41x  36 y  187
39. 9 x  20 y  547
1.1.5. Решите в натуральных числах следующие системы уравнений:
2 x  5 y  5
2 y  3z  1
41*. 
x  5y  3
 x  11z  7
45. 
40. 
44. 
8 x  5 y  6
3 y  7 z  13
3x  y  z  14
4 x  y  3z  30
43. 
5 x  3 y  z  28
7 x  y  6 z  51
42. 
 x  2 y  3z  20
2 x  14 y  7 z  341
46. 
3x  5 y  4 z  37
10 x  4 y  9 z  473
1.1.6. Решите задачи.
47. Представьте число 200 в виде суммы двух различных целых
положительных чисел, одно из которых делилось бы без остатка на 7, а другое
– на 13, причем ни одно из них не делилось бы на 10.
48. Найдите два наименьших натуральных числа, разность которых равна
10, причем уменьшаемое делится на 8, а вычитаемое делится на 17.
49. Мастер делает за 1 час целое число деталей, большее 5, а ученик – на
две детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два
ученика вместе – на 1 час быстрее. Из какого числа деталей состоит заказ?
50. Все правильные несократимые дроби, числители и знаменатели
которых двузначные положительные числа, упорядочили по возрастанию.
5
?
Между какими двумя последовательными дробями оказалось число 8
51. Все правильные несократимые дроби, числители и знаменатели
которых двузначные положительные числа, упорядочили по возрастанию.
6
?
Между какими двумя последовательными дробями оказалось число 7
52. В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей, и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругой он обручился.
С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
(Пер. С. Н. Боброва)
Сколько лет прожил Диофант?