Ответы заданий по математике 4 -9 класс

Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 4 класса
1. (3-3)*3*3*3=0
(3-3)*3+3:3=1
(3-3+3+3):3=2
(3-3)*3*3+3=3
3+3-3+3:3=4
3+3:3+3:3=5
(3-3)*3+3+3=6
2. Ответ: 17р60к. 2м+т=26, м+2т=26 р80к 3м+3т=52р 80к , тогда м+т=17р 60 к. При
оценивании необходимо учитывать наличие в записи текста обратной задачи:
решение прямой задачи 4 балла, составление обратной задачи -1 балл, решение
обратной задачи-2 балла.
3. Существует несколько решений. Одно из них приведено на рисунке.
4. Ответ: 108г. Используя формулу площади поверхности куба, потребуется в 9 раз
больше краски, то есть 108 грамм.
5.
Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 5 класса
1. 2222 − 999 + 11 − 0 = 1234
2. Ответ: 8р40к. 2м+т=26, м+2т=26 р80к 3м+3т=52р 80к, тогда м+т=17р 60 к.
Если 26р -17р60к =8 р40 к (упаковка творога). При оценивании необходимо
учитывать наличие в записи текста обратной задачи: решение прямой задачи 4
балла, составление обратной задачи -1 балл, решение обратной задачи-2 балла.
3.
4
512
16
128
32
8
64
2
256
4. Ответ: 75км. В третий день путешественник прошёл четверть оставшегося
расстояния и ещё 3 км. Значит, остальные три четверти оставшегося расстояния
— это 3 + 18 = 21 км. Поэтому всё расстояние, которое осталось пройти
путешественнику к началу третьего дня, равно 21 : 3 · 4 = 28 км. Во второй день
он прошёл половину остатка и ещё 1 км. Значит, вторая половина остатка равна
28 + 1 = 29 км, а всего к началу второго дня ему оставалось пройти 29 · 2= 58 км.
В первый день путешественник прошёл пятую часть всего пути и ещё 2 км.
Значит, остальные четыре пятых оставшегося пути равны 2 + 58 = 60 км. А тогда
весь путь равен 60 : 4 · 5 = 75 км.
5. Ответ: 10см и 20см. На рисунке показано два способа разрезания
прямоугольника на два равных прямоугольника. (Убедитесь самостоятельно, что
если прямоугольник разрезать на два прямоугольника с одинаковым
периметром, то эти прямоугольники окажутся равными.) Обозначим половинку
одной из сторон исходного прямоугольника через а, а вторую — через b (см.
рисунок). Дима разрезал прямоугольник на два прямоугольника со сторонами 2а
и b, а Стёпа — на два прямоугольника со сторонами а и 2b. Из условия получаем
уравнения: 2·(2a + b) = 40 и 2·(a + 2b) = 50. Сложив эти два уравнения, получим:
2·(3a + 3b) = 90, или 6·(a + b) = 90, откуда a + b = 15. Вспоминая, что 2·(2a + b) =
40, откуда 2a + b = 20, легко найдём, что a = 5, а затем — что b = 10. А стороны
исходного прямоугольника равны 2a = 10 см и 2b = 20 см.
Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 6 класса
1. Ответ: на 20% меньше. Повышение цен на 25% означает, что новая цена товара
равна старой, умноженной на 5/4. Значит, на прежнюю зарплату можно купить
1 : 5/4 = 4/5 от старого количества товаров, то есть на 20% меньше.
2. Ответ: 8 минут. Понятно, что за 40 минут мастер выточит 4 детали, а ученик —
одну. Значит, мастер и ученик вместе выточат 5 деталей за 40 минут. А одну
деталь за 40 : 5 = 8 минут. При оценивании необходимо учитывать наличие в
записи текста обратной задачи: решение прямой задачи 4 балла, составление
обратной задачи -1 балл, решение обратной задачи-2 балла.
3. Ответ: За 15 часов. Пусть расстояние S км, скорость катера = х, скорость течения
реки =y. Тогда S/3=x+y S/5=x-y S/3-S/5=2y , тогда y=S/15. 15=S/y (за S можно
взять любое положительное число).
4. Ответ: 523152, 523656. Чтобы число одновременно делилось на 7, 8 и 9,
необходимо, чтобы оно делилось на НОК(7, 8, 9) = 504 (вспомните задачу 3).
Теперь выясним, какие из шестизначных чисел вида 523... делятся на 504. Сначала
поделим 523000 на 504 с остатком: 523000 = 504 · 1037 + 352. Чтобы получить
ближайшее к 523000 число, делящееся на 504, нужно взять число 504 · 1038 =
523152. Это одно из интересующих нас чисел. Следующее за ним число, делящееся
на 504, равно 523152 + 504 = 523656. Следующее число, кратное 504, уже будет
больше 524000. Таким образом, мы нашли все интересующие нас числа.
5.
Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 7 класса.
1. Ответ: На 30%. Пусть за год выпуск снижался на x %. Приняв исходный объём
выпуска продукции за 1, получим, что через год выпуск продукции составил
α = 1 – x/100, а через два года – α2. Отсюда α2 = 1 – 0,51 = 0,49, то есть α = 0,7.
2. Ответ: 21 м/с, 147 м. Пусть x (м) – длина поезда, y (м/с) – его скорость. Тогда x/y=7
и (x+378)/y=25 , откуда x=147 (м), y=21 (м/с). Скорость можно определить и сразу:
для проезда мимо платформы поезду потребовалось 25-7=18 (с). Следовательно,
его скорость 378:18=21 (м/с), длина его 21· 7=147 (м).
3. Ответ: по 4.
2+4 9+4 4+4
7+4 5+4 3+4
6+4 1+4 8+4
Самый большой разброс в тройке 9,5,1. Прибавим по х. Используя неравенство
треугольника, получим 9+х < 5+х+1+х, то есть х>3. Значит х =4. Проверка: 6,10,11
13,9,5
8,7,12 6,13,8 11,9,7 10,5,12 6,9,12 10,9,8 выполняется неравенство
треугольника.
4. Ответ: 8 косцов.Обозначим за x часть большого луга, которую половина артели
скосила за полдня. Тогда целая артель за полдня скосила 2x, а всего за первый день
на большом лугу было скошено 3x. Принимая весь большой луг за единицу,
получим уравнение 3x = 1, откуда x = 1/3. То есть за полдня половина артели скосит
треть большого луга. Поскольку маленький луг вдвое меньше большого, другая
половина артели за те же полдня скосит столько же, то есть две трети маленького
луга. Наконец, последнее условие задачи даёт, что оставшуюся треть маленького
луга один косец скосил за день. Половина артели скосила вдвое больше за вдвое
меньшее время, значит, в половине артели 1·2·2 = 4 человека, а во всей артели 8
человек.
5.
Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 8 класса.
1. Ответ: 40%. По формуле выведем, что |A∩B|=|A|+|B|-|A∪B|, а значит и там и там
было 80+60-100=40 процентов класса.
2. Ответ: 10 ч. Если бы Холмс поработал ещё 2 часа, то канава была бы вырыта
полностью. За эти два часа Холмс сделал бы оставшиеся 20% работы. Если за два
часа он делает 20% работы, то 100% он выполнит за 2 ч × 100/20 = 10 ч.
3. Ответ: 45. Запишем исходное число в виде 10a+b, где a – частное, а b – остаток от
деления числа на 10. Теперь заметим, что после того, как мы впишем нуль между
цифрой десятков и единиц наше число станет равным 100a+b. Запишем:
9(10a+b)=100a+b, откуда 10a=8b, 5a=4b. Значит, цифра b делится на 5, откуда b=0
или b=5. Поскольку a и b - не нули одновременно, a=4 и b=5. Исходное число – 45.
4. Ответ: ab/c. Пусть l – ордината точки пересечения прямых AB и CD. Тогда прямая
AB задается уравнением вида y = kx + l, поэтому числа a, b являются корнями
уравнения x2 – kx – l = 0. По теореме Виета их произведение равно – l. Аналогично
произведение абсцисс точек C и D равно – l, и, следовательно, абсцисса точки D
равна ab/c.
5. Отрезок AB виден из точек C и O под прямым углом. Поэтому точки A, B, C и O
лежат на окружности с диаметром AB. Углы ACO и BCO опираются на равные дуги
этой окружности. Следовательно, CO — биссектриса угла ACB.
Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 9 класса
1. Ответ: 5 человек. Пусть n — количество чашек (число человек в семье), а x —
количество выпитого молока (в чашках). Тогда количество выпитого кофе равно n x. Иляна выпила одну чашку кофе с молоком, которая состояла из одной четверти
всего молока (x/4) и одной шестой всего кофе ((n - x)/6).
x nx

 1 Получаем 3x + 2(n - x) = 12, x + 2n = 12. Так как n — целое число,
4
6
то из последнего равенства следует, что x — целое число, причём чётное (x = 12 -
2.
3.
4.
5.
2n). Кроме того, x n, так как количество выпитого молока, конечно, не больше,
чем общее количество напитка. Теперь небольшим перебором находим, что
последнее уравнение имеет три решения: n = 6, x = 0; n = 5, x = 2; n = 4, x = 4.
При этом первое и последнее решения отвечают случаю, когда все пили просто
молоко или просто кофе, а второе — когда пили действительно кофе с молоком
Ответ:150. Обозначим количество ступенек в видимой части эскалатора за n,
скорость бега мальчиков за u ступенек в секунду, а скорость движения эскалатора
за v ступенек в секунду (столько ступенек в секунду уезжают в невидимую часть
эскалатора). За время, которое Батр тратит на спуск по эскалатору, то есть делает
100 шагов, эскалатор перемещается на оставшиеся n - 100 ступенек. Время, за
которое это происходит, можно подсчитать двумя способами: 100/u = (n - 100)/v.
Аналогично вычислим время, за которое Очир спускается по поднимающемуся
эскалатору: 300/u = (300 - n)/v (обратите внимание: Очир, идя «навстречу»
эскалатору, сделал больше шагов, чем ступенек в видимой части эскалатора,
поэтому эскалатор за это время сдвинулся на (300 - n), а не на (n - 300) ступенек).
Из системы двух полученных таким образом уравнений надо найти n. Из первого
уравнения получаем 100v = u·(n - 100), а из второго 300v = u·(300 - n). Подставим
первое из этих выражений в левую часть второго, получим 3u·(n - 100) = u·(300 - n).
Сократив обе части на u (скорость бега мальчиков, разумеется, положительна и, в
частности, отлична от нуля, поэтому такое преобразование законно), получим
уравнение на n, из которого легко найти, что n = 150.
Ответ: 4 и 6 лет. Пусть одному сыну m, а другому – n лет. По условию mn + m + n
= 34. Отсюда (m + 1) (n + 1) = 35. m + 1 и n + 1 – делители числа 35, отличные от
1. Значит, одно из этих чисел равно 5, а другое – 7.
Ответ: 0,5. x2 – y2 + 6x + 4y + 5 = (x + 3)2 – (y – 2)2 = (x + y + 1)(x – y + 5) = 0.
Таким образом, график полученного уравнения состоит из двух прямых y = – x – 1
и y = x + 5, которые пересекают ось ординат в точках (0, –1) и (0, 5). x2 + y2 –
квадрат расстояния от точки M(x, y) до начала координат, поэтому, его значение
будет наименьшим, когда M – основание перпендикуляра, опущенного из точки
О(0, 0) на ближайшую к этой точке прямую. Учитывая, что обе прямые отсекают
от осей координат равнобедренные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 5,
получим, что ближе к точке О находится прямая y = – x – 1, тогда OM = 0,5.
а)Пусть A1, B1, C1 — середины сторон BC, AC, AB треугольника ABC; A2, B2, C2 —
основания высот. Поскольку треугольник CB2B — прямоугольный, то B2A1 = BC =
C1B1. Кроме того, A1C1 || B1B2. Поэтому A1C1B1B2 — равнобедренная трапеция.
Следовательно, точки A1, C1, B1 и B2 лежат на одной окружности. Аналогично
докажем, что точки A2 и C2 лежат на описанной окружности треугольника A1B1C1.
Кроме того, эта окружность содержит еще середины отрезков, соединяющих
вершины треугольника ABC с точкой пересечения его высот (окружность девяти
точек), касается вписанной и трёх вневписанных окружностей (теорема
Фейербаха); её центр является серединой отрезка, соединяющего центр описанной
окружности и точку пересечения высот.
б) Составим координатную модель. Треугольник остроугольный. Вычислим уравнение
окружности по координатам середин сторон А1, В1 , С1 . Составим систему и решим ее,
вычтем из 1-2, 1-3.
(6  а) 2  (0  b) 2  R 2

2
2
2
8b  4a  4  0
(4  a)  (4  b)  R

(10  a) 2  (4  b) 2  R 2 8a  8b  80  0

( x  7) 2  ( y  3) 2  10
Найдем уравнение прямых, содержащих высоты и стороны треугольника
BB2 : y  0,5 x
AA2: x  8
CC2: y   x  12
АС: y  x
ВС: y  2 x  24
Вычислим координаты основания высот, решив системы линейных уравнений, и
проверим принадлежат ли эти точки окружности
Н(8;4)-ортоцентр
В2 (9,6;4,8)
А2 (8;0)
С2 (6;6)
( x  7) 2  ( y  3) 2  10
середины отрезков, соединяющих вершины треугольника ABC с точкой пересечения
его высот имеют координаты А3(8;6) С3(4;2) В3(10;2) и принадлежат окружности
( x  7) 2  ( y  3) 2  10