методичка по функции нескольких переменных

1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
1.1. Теоретические сведения
Приступая к изучению функций нескольких переменных
будем подробно останавливаться на функциях двух или трех
переменных. Определения и выводы для функций большего
числа переменных будут даваться по аналогии.
1.1.1. Что называется функцией двух переменных ?
Обозначим через D некоторое множество пар чисел
(х, у). На плоскости оно изобразится множеством точек с координатами х, у.
Определение. Если каждой паре чисел (х, у) из множества D по некоторому закону сопоставлено значение переменной z, то z называется функцией двух независимых переменных х, у. При этом множество D значений х и у при которых
определяется функция z, называется областью определения
этой функции.
Функцию двух переменных обозначают так:
z = f (x,y)
(1.1)
1.1.2. Что называется функцией трех и более
переменных ?
цией независимых переменных x, y, z, …, , v, t и обозначается:
u = f (x, y, z, …, , v, t).
Так же как и для функции двух переменных, можно говорить об области определения функции трех, четырех и более
переменных. Так, например, для функции трех переменных
областью определения является некоторая совокупность троек
чисел (x, y, z). Поскольку каждая упорядоченная тройка чисел
задает точку в пространстве, то область определения функции
трех переменных можно представить как совокупность точек
пространства.
Аналогично можно говорить об области определения
функции четырех и более числа переменных как о совокупности упорядоченных четверок чисел (x, y, z, t) и любого числа
упорядоченных чисел (x, y, z, … , v, t). Однако область определения функции четырех и большего числа переменных уже
не допускает простого геометрического истолкования.
1.1.3. Что является графиком функции двух
переменных ?
В уравнении (1.1.1) каждой точке М на плоскости с координатами (x, y) ставится в соответствие определенное значение переменной z. Тройка чисел (x, y, z = f (x, y)) определяет
в пространстве единственную точку Р (x, y, z = f (x, y)). Очевидно (см. рис. 1), что проекцией точки Р на плоскость ХОУ
является точка М (x, y).
Определение функции двух переменных легко обобщить
на случай трех и более переменных.
у
Определение. Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменной x, y, z, …, , v, t соответствует
определенное значение переменной u, то u называется функ-
р
у
м
х
Д
Рис. 1
Определение. Совокупность всех точек
Р (x, y, z = f (x, y)) называется графиком функции z = f (x, y).
В простейших случаях графиком функции z = f (x, y)
является поверхность, проекция которой на плоскость ХОУ
есть область D определения функции.
Уравнение (1.1.) может быть представлено в виде:
F (x, y, z) = 0. Если это уравнение является уравнением первой
степени, то оно представляет собой некоторую плоскость. Поверхность, которую представляет уравнение второй степени
называется поверхностью второго порядка. В разделе п.6 приведены канонические уравнения и построены изображения некоторых из них.
1.1.4. Что называется пределом функции двух
переменных ?
Определение. Функция f (x, y) имеет предел в точке
М0 (x0, y0) равный числу А, если она определена в некоторой
окрестности точки М0 (x0, y0), за исключением, быть может,
самой этой точки и если существует предел lim f (x, y) = A,
x x 0
yy0
каким бы ни было направление движения от точки М (x, y) к
точке М0 (x0, y0).
1.1.5. В каком случае функция называется
непрерывной в точке ?
Определение. Функция f (x, y) непрерывна в точке
М0 (x0, y0), если выполняются три условия:
1) f (x, y) определена в некоторой окрестности и в самой
точке;
2) существует предел lim f (x, y);
xx0
yх0
3) этот предел равен значению функции в точке
М0 (x0, y0).
lim f (x, y) = f (x0, y0).
x x 0
yy0
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то
точка М0 является точкой разрыва функции.
1.2. Примеры решения задач
Задача 1. Выразить объем V цилиндра как функцию его
высоты х и радиуса основания у.
Решение. Объем цилиндра равен V =  r2 H. В нашем
случае Н = х, r = y. Получаем V =  y2 x.
Задача 2. Найти значение функции f (x, y) = xy +
при х = 1, у = -1 и при х =
1
, у = 3.
2
Решение. f (1; -1) = 1  (-1) +
1
2


f  , 3 =
х
у
1
= -1 – 1 = -2
(1)
1
12
3
1
10
5
3+
= + =
= .
2
2
6
3
3
6
Задача 3. Найти и изобразить область определения
функций:
a) z = ln (x2 + y)
б) z = 1  х 2 + 1  у 2 .
Решение. а) Так как логарифмы определены только для
положительных чисел, то должно удовлетворяться неравенство
х2 + у > 0 или у > -х2.
Построим график параболы у = -х2 пунктирной линией,
т.к. мы имеем строгое неравенство у > -х2. Этому неравенству
удовлетворяют точки плоскости, расположенные выше параболы, не включая самой параболы.
у
Решение. а) Поверхность z = x2 –цилиндрическая с образующей параллельной оси ОУ (см. приложение 6.1).
Направляющей является парабола z = x2 в плоскости ХОZ.
Данная поверхность – параболический цилиндр.
z
0
х
y
x
б) Чтобы z имело действительное значение, нужно чтобы под каждым корнем было неотрицательное число, т.е.
нужно рассмотреть систему неравенств:
2
 х  1
1  х 2  0
- 1  х  1
х  1


 



2
2
у  1
1  у  0
- 1  у  1
 у  1
Изобразим геометрически:
у
уравнением однополостного гиперболоида с мнимой осью OZ
(см. приложение 6.3).
Исследуем данную поверхность методом сечения координатными плоскостями. В сечении данной поверхности и
плоскости х = 0 получим гиперболу
(1)
В сечении поверхности и плоскости у = 0 получим гиперболу
о
х
1
х2
z2
= 1.
4
36
(2)
В сечении поверхности и плоскости z = 0 получим эллипс
-1
Областью определения данной функции является совокупность точек плоскости, расположенная внутри квадрата,
включая границы.
Задача 4. Построить график функции двух переменных:
а) z = x2,
у2
х2
z2
+
= 1 задана каноническим
4
16
36
у2
z2
= 1.
16
36
1
-1
б) Поверхность:
б)
у2
х2
z2
+
= 1.
4
16
36
у2
х2
+
= 1.
4
16
(3)
Графиком данной функции является однополостной гиперболоид
lim
z
x 
y 
x2  y2
x2  k2x2
1 k2
0
=
=
=
= 0 при лю

lim
lim
2 4
2 2
x  k x
x2 y2
 0  x  k x
бом значении k.
(1)
Пример 7. Доказать, что lim
(3)
x0
y 0
0
-4
4
2
y
Решение. lim
(2)
x
x0
y 0
= lim
x 0
lim
x0
y 0
(x 2  y 2 ) 2
x3
1
x3
=
=
.
lim
3
3
3
3 3
x  0 x (1  k )
1 k3
x k x
.
Задача 8. Доказать, что lim
x 
y 
Решение.
2
lim
2
1  сos (x  y )
x0
y 0
2
2 2
(x  y )
0
0
х 2  у2
 sin α ~ α 
2
 =
= 
2
2 2
(x  y )
 при α  0 
=   = lim
x0
y 0
2
y 0
Задача 6. Найти
lim
x 
y 
x2  y2
.
x2 y2
Решение. Предел не зависит от направления, по которому х и у стремятся к бесконечности. Пусть у = kx, тогда
x2у
не существует.
x4  y2
Решение.
2 sin 2
 х 2  у2 

2 
2 
2 (x 2  y 2 ) 2
1

= lim
=
= .
lim
2
2 2
2
2 2
x0
x  0 4 (x  y )
2
(x  y )
y 0
x3
0
=   = (пусть у = kx) =
3
3
x y
0
Предел зависит от значения углового коэффициента k. Значит
предел не существует.
Задача 5. Найти
1  сos (x 2  y 2 )
x3
не существует.
x 3  y3
lim
x 
y 
x2у
x4  y2
пусть х  t, у  t, тогда

3
1
1
 lim t

 0
t   t 4  t 2 tlim
  t  1/t

0 
2
=   = пусть х  t, y  t , тогда
0 

t4
1
lim


4
4
2
t t

t



При разной скорости стремления х и у к бесконечности получаются разные ответы, а это значит, что предел не
существует.
Задача 9. Указать геометрическое место точек разрыва
функции
z=
3х  1
.
у  4х
Решение. Данная функция двух переменных z =
3х  1
у  4х
не определена там, где знаменатель обращается в нуль,
у – 4х = 0
или у = 4х. Прямая у = 4х является линией
разрыва данной функции.
1.3. Банк задач для самостоятельной работы
Задача 1. Выразить объем V правильной четырехугольной пирамиды как функцию ее высоты х и бокового ребра у.
Ответ. V =
2 2
(y – x2)  x.
3
Задача 2. Выразить площадь S треугольника как функцию его трех сторон х, y, z.
Ответ. S =
1
4
(х  у  z) (х  у  z) (х  у  z) (у  z  x) .
Задача 3. Выразить объем z конуса как функцию его образующей х и высоты у.
Ответ. z =
π 2
(x y – y3).
3
б) z = у
х 2 1
+ х
при х = у =
у2 1
7. z =
х 2  у2 1 .
В задачах 8 – 14 найти и изобразить области определения
функций.
8. z = x + у .
9. z =
1
х 2  у2 1
10. z = arcsin
х
+
2
π
,
2
при х = 1, y = 2.
Ответ. а) 1; б) 2.
.
ху.
11. z = ln [x ln (y-x)].
12. u = х + у + z .
13. u = arcsin x + arccos y + arcsin z.
14. u = 1  х 2  у 2  z 2 .
Ответы. 5. Плоскость ХОУ. 6. Внутренность круга с
границей х2 + у2 = 4. 7. Внешность круга с границей
х2 + у2 = 1.
8. Полуплоскость у  0. 9. Внешность круга х2 + у2 > 1.
10. Две полосы
Задача 4. Найти значение функции:
а) z = esin (x+y)
В задачах 5 – 7 изобразить график функции двух переменных и указать ее область определения.
5. z = 1 + x2 + y2.
6. z = 4  х 2  у 2 .
11. Открытая область
0  х  2

 у0
 х0

x  y  x - 1
и
и
- 2  х  0
.

 у0
 х0
.

y  x  1
12. Первый октант, включая границы. 13. Куб, ограниченный
плоскостями х =  1, у =  1, z =  1. 14. Шар радиуса 1,
включая границу.
В задачах 15 – 23 найти пределы.
y
15. lim
x 1
y0
16. lim
x 0
y 3
ln (x  e )
x 2  y2
Ответ. ln 2.
.
27. z =
sin (xy)
.
x
Ответ. 3.
2
17. lim
x 0
y0
18. lim
x 0
y0
19. lim
x 0
y0
26. z =
2
1 - cos (x  y )
.
(x 2  y 2 ) x 2 y 2
x 2  y2
Ответ. .
.
Ответ. 2.
х 2  у2  1  1
.
х 2  у2
Ответ. 0.
х 2  у2  1 1
х
у

20. lim 1   .
х
x  
1
2
1- х - у2
.
у 2  2х
..
у 2  2х
Ответы. 24. Точка разрыва
25. Линия разрыва
26. Линия разрыва
27. Линия разрыва
(0, 0).
у = х.
х2 + у2 = 1.
у2 = 2х.
2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Ответ. еk.
2.1. Теоретические сведения
Ответ. 1.
2.1.1. Как определяются частные производные
функции двух переменных ?
y k
1
2
2
21. lim (1  x y )
x 2  y2
x 0
y0
.
22. lim
х
.
ху
Ответ. Не существует.
23. lim
х2  у2
.
х 2  у2
Ответ. Не существует.
x 0
y0
x 0
y0
В задачах 24 – 27 указать геометрическое место точек
разрыва функций.
24. z = ln х 2  у 2 .
25. z =
1
.
(х - у) 2
Пусть в некоторой области D задана функция двух переменных z = f (x, y) и пусть М0 (x0, y0) – некоторая внутренняя
точка области D. Дадим независимому переменному х приращение  х = х – х0, тогда функция z получит так называемое частное приращение по х:
х z = f (x0 +  x, y0) – f (x0, y0).
Определение. Частной производной от функции
z = f (x, y) в точке М0 (х0, y0) по независимой переменной х
называется конечный предел отношения частного приращения
х z по х к приращению  х при стремлении  х к нулю и
обозначается одним из символов:
 z  z (M 0 )  f (x, y)
,
,
, zx.
x
x
x
Итак, по определению:
f (x 0  Δ x, y)  f (x 0 , y 0 )
Δх z
z
= lim
= lim
.
 x 0 Δ x
 x 0
x
Δx
Аналогично определяется частная производная по у:
Δy z
f (x 0 , y 0  Δy)  f (x 0 , y 0 )
z
= lim
= lim
.
 у0 Δ у
 у0
у
Δy
Понятия частных производных для функций другого
числа переменных даются аналогично.
Например, функция u = f (x, y, z) будет иметь три частные производные:
u u u
,
,
, а функция n – переменных
x y z
F (x1, x2, …, xn) будет иметь n частных производных первого
порядка. При этом, чтобы найти частную производную по одной из переменных (хi), нужно все остальные независимые переменные считать постоянными и вычислять производную по
хi как от функции одного независимого переменного хi.
2.1.2. В чем заключается геометрический смысл
частных производных ?
Пусть функция z = f (x, y) определена в области D и
точка М0 (x0, y0) – внутренняя точка в D. Уравнение z = f (x, y)
задает некоторую поверхность. Если провести плоскость
у = у0, то сечение этой плоскости с поверхностью представляет собой некоторую линию, причем точка с координатами
Р (х0, y0, z (x0, y0)) принадлежит этой линии.
z
Определение 1. Частная производная
в точке
x
М0 (x0, y0) численно равна тангенсу угла наклона касательной
к сечению поверхности z = f (x, y) плоскостью у = у0.
Определение 2. Частная производная
z
в точке
x
М0 (x0, y0) численно равна тангенсу угла наклона касательной
к сечению поверхности z = f (x, y) плоскостью х = х0.
2.1.3. В чем заключается механический смысл
частных производных ?
Механический смысл частных производных следует из
их определения.
 f (x 0 , y 0 )
- скорость изменения функции в точке М0 (x0, y0) в
x
направлении оси ОХ.
 f (x 0 , y 0 )
- скорость изменения функции в точке М0 (x0, y0) в
у
направлении оси ОУ.
2.1.4. Когда функция z = f (x, y) называется
дифференцируемой в данной точке ?
Определение. Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в точке М0 (x0, y0), если в этой точке полное
приращение функции можно представить в виде:
 z = A  x + B  y + O (),
где А и В – числа,  = Δ х 2  Δ у 2 , O () – бесконечно малая
высшего порядка относительно  при  х  0,  y  0.
2.1.5. Что называется полным дифференциалом
функции двух переменных ?
Определение. Полным дифференциалом функции
z = f (x, y) называется главная часть полного приращения z,
линейная относительно приращений аргументов  х и y, т.е.
dz = A х + В y.
Дифференциалы независимых переменных совпадают с
их приращениями, т.е. dx = х и dy = y. Полный дифференциал вычисляется по формуле:
dz =
z
z
dx +
dy.
x
y
z
1
=
у
сos xy
y 1

   sin   .
x х

Задача 2. Найти частные производные функции трех переменных
U = 2x + 3y – 4z + x4 y3 z2.
Решение.
U
U
= 2 + 4x3 y3 z2;
= 3 + 3x4 y2 z2;
x
y
U
= -4 + 2x4 y3 z.
z
2.1.6. Вывести формулу применения полного
дифференциала к вычислению приближенного
значения функции в точке
При достаточно малом  = Δ х 2  Δ у 2
z  dz, т.е.
 f (x0 +  x, y0 +  y) – f (x0, y0) = dz (x0, y0), откуда
Задача 3. Под каким углом пересекаются плоские линии,
получающиеся в результате пересечения поверхностей
f (x0 +  x, y0 +  y) = f (x0, y0) +
z = x2 +
 z (х 0 , y 0 )
 z (x 0 , y 0 )
x +
y
x
y
(2.1.1)
Задача 1. Найти частные производные функции двух переменных
у
z = ln cos .
х
z=
х2  y2
плоскостью у = 2 ?
3
Решение. В результате пересечения эллиптического паy2
6
плоскостью у = 2 получим параболу
z = x2 + 2/3, а параболоида вращения z =
х2  y2
- параболу
3
х2
4
+ . Найдем точку пересечения этих парабол:
3
3
z  x 2  2/3
х2
4

2
2

х
+
2/3
=
+ ;

x
4
3
3

z 
3 3

2 2
x = 2/3; x2 = 1; x =  1.
3
z=
Решение. Дифференцируем функцию по х, рассматривая у как постоянную величину, получим:
y  y

   sin     2
x  x

и
раболоида z = x2 +
2.2. Примеры решения задач
z
1
=
x
сos xy
y2
6

.

Аналогично, считая x постоянной величиной, найдем
Нарисуем параболы в плоскости ХОZ
z
2
zx 
3
2
 z 
2 A
x2
4

3
3
1
-1
0
x
1
Рассмотрим точку А (1, 2, 5/3). Углом между двумя кривыми называется угол между касательными к этим кривым в
точке их пересечения. Используя геометрический смысл частных производных, мы найдем угловые коэффициенты касательных в точке А, а именно:
z1 = x2 + y2/6;
z2 =
у2
х2
+
;
3
3
k1 =
 z1
= 2 x x =1 = 2
х
k2 =
 z2
2
2
= x x =1 = .
3
3
х
Найдем тангенс угла между двумя прямыми по формуле:
k  k2
tg  = 1
1  k1  k 2
2  2/3
4 /3
4
tg  =
=
=
7
1  2  2/3
7/3
 = arctg 4/7.
Задача 4. Для функции z = f (x, y) = x2 + y найти полное приращение и полный дифференциал в точке (2, 1); сравнить их, если х = -0,1; y = 0,2.
Решение. Найдем полное приращение функции z:
z:= f (x + х,y + y)– f (x, y) = [(x + х)2 + (y + y)]– (x2 + y) =
= x2 + 2x  х + х2 + y + y - x2 - y = 2x  х + y + х2.
Линейная относительно х, y часть приращения функции
называется полным дифференциалом и обозначается dz, т.е.
dz = 2x  х + y.
Найдем численное значение z и dz согласно условию задачи.
z:= 2x  х + y + х2 = 2  2 (-0,1) + 0,2 + (-0,1)2 =
= - 0,4 + 0,2 + 0,01 = -0,19,
dz = 2x  х + y = 2  2 (-0,1) + 0,2 = -0,4 + 0,2 = -0,2.
С точностью до бесконечно малых высшего порядка можно
написать приближенное равенство: z  dz, которое используется в приближенных вычислениях.
Задача 5. Найти полный дифференциал функции
z = sin x2  ay.
Решение. Вычислительная формула полного дифференциала имеет вид:
dz =
z
z
dx +
dy.
x
y
Найдем частные производные данной функции
z
= cos x2  2x  ay,
x
z
= sin x2 ay ln a.
y
Полный дифференциал равен:
dz = (cos x2  2x  ay) dx + (sin x2 ay ln a) dy.
Задача 6. Вычислить приближенно 4 15,96 + 3 27,33 .
Решение. Используем формулу приближенного вычисления (2.1.6):
f (x0 + x, y0 + y)  f (x0, y0) +
 f (x 0 , y 0 )
 f (x 0 , y 0 )
x +
y.
x
y
Запишем наше выражение в виде функции
f (x, y) = 4 х + 3 у ,
где х = 15,96, y = 27,03.
Выберем за х0, у0 числа близкие к х и у.
Пусть х0 = 16, y0 = 27. Найдем приращения
аргументов:
x = х - х0,
x = 15,96 –16 = -0,04,
y = у – у0,
y = 27,08 – 27 = 0,08.
Найдем частные производные в точке (х0; у0) = (16; 27).
f
1
1 3
= х 4 =
;
4
x
4
4 х3
 f (x 0 , y 0 )
1
1
1
=
=
=
= 0,03
3
4
3
32
x
42
4 16
f
1
1  23
=
;
у =
3
3
y
3 у2
 f (x 0 , y 0 )
1
1
1
=
=
=
= 0,037.
2
3
2
y
27
33
3 27
Найдем f (x0, y0) = 4 х 0 + 3 у 0 = 4 16 + 3 27 = 2 + 3 = 5..
Подставляя найденные значения в формулу приближенных
вычислений, получим:
4 15,96 +
27,3  5 +0,03  (-0,04) + 0,037  0,03 =
= 5 – 0,0012 + 0,00111 = 5 – 0,00009 = 4,99991.
2.3. Банк задач для самостоятельной работы
В задачах 1 – 10 найти частные производные функций
1. z = x3 + y3 – 3 a xy.
2. z = x3 y – y3 x.
3. z = (5x2y – y3 + 7)3.
4. z = ln (x2 + y2).
5. z = xy.
6. z = (1 + ху)у
7. u = xy + yz + zx.
8. u = x3 + yz2 + 3yx – x + z.
9. u = (sin x)yz.


у 
в точке (1, 2)

2х 
z
z
1
Ответ.
= 1,
= .
4
x
у
z
z
Задача 11. Показать, что х 
+у
= ху + z, если
x
у
10.z = ln  х 
у
х
е
z = xy + x  .
Задача 12. Какой угол образует с положительным
направлением оси ОХ касательная к линии

х 2  у2
z 
4

 у4

в точке (2, 4, 5) ?
Ответ. 45.
Задача 13. Какой угол образует с положительным
направлением оси ординат касательная к линии
z  1  x 2  y 2

x  1
в точке (1, 1,
3)?
Ответ. 30.
Задача 14. Под каким углом пересекаются плоские линии, получающиеся в результате пересечения поверхностей
z = x2 +
1 2
y
6
и
z=
1 2
(x + y2) плоскостью у = 2 ?
3
4
Ответ.  = arctg .
7
Задача 15. Для функции f (x, y) = x + y2 найти полное
приращение и полный дифференциал в точке (3, 5); сравнить
их, если х = 0,1; y = - 0,3.
Ответ. z = -2,81, dz = -2,9.
Задача 16. Для функции f (x, y) = x2y найти полное
приращение и полный дифференциал в точке (1, 2); сравнить
их, если x = 0,1; y = 0,2.
Ответ. z = 0,662; dz = 0,6.
В задачах 17 – 19 найти полные дифференциалы функций:
17. z = x2 y4 – x3 y3 + x4 y2.
х2  у2
18. z = 2
.
х  у2
х
19. z = arcsin .
у
Вариант 3
1. z = x2  sin y
2. u = arctg (x y2 z)
1. z = x3  tg y
2. u = arccos (x y2 z)
3. z = ey/x
3. z = е х
4. u = ln
yz
x
Вариант 6
2  y2
х 3  у3
1. z =
2. u = ln (x +
2 /y
x 2  xz  yx
4. u =
Вариант 5
1. z = е х
2. u = x2 ln (y  z)
у + z)
В задачах 20 – 23 вычислить приближенно.
20. sin 1,59  tg 3,09.
Ответ. – 0,05.
3. z = cos x  arctg y
21. (4,05) 2  (2,93) 2 .
22. (1,04)2,02.
23. ln ( 3 1,03 + 4 0,98 - 1).
4. u =
Ответ. 4,996.
Ответ. 1,08.
Ответ. 0,005.
Вариант4
3. z = arcsin
х
2
у  z3
4. u = e
Вариант 7
ху
xz
y
Вариант 8
2.4. Варианты проверочной работы.
В задачах 1 – 2 найти частные производные функций, в
задачах 3 – 4 найти полные дифференциалы функций.
Вариант 1
1.
2.
3.
4.
2
Вариант2
2
z = x y + xy
u = х 2  у2  z2
z = x/y
u = x3 – 4x2 y + 5z
1. z = x + y + 2xy
2. .u = х 3  у 3  z 3
3. z = y/x
4. u = x2 – 3xy + yz
1. z = x  cos (y2)
2. u = 3 sin x  a z
3. z = е
1. z = x3  cos2 y
2. u = xyz
ху
4. u = arctg
3. z = ln
у
хz
4. u =
x
y
1 1 1
 
x y z
Вариант 9
Вариант 10
1. z = arcsin (x2 + y)
2
2
1. z = arctg (x + y2)
2
2. u = е х  у  z
3. z = х у  ln x
4. u =
2. u = (y z)sin x
3. z = у  ln (xy)
х y z
 
у z x
4. u =
хy zy xz


z
x
y
3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ, НЕЯВНОЙ
ФУНКЦИИ, ПОВТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
3.1. Теоретические сведения
3.1.1. Пусть z = f (x, y), где x =  (t), y =  (t), как
найти производную от сложной функции
z = f [( (t),  (t)] ?
Если  (t) и  (t) дифференцируемы, то производная от
сложной функции вычисляется по формуле:
d z z d x z d y




d t x d t y d t
(3.1.1)
3.1.2. Пусть z = f (x, y), где y =  (х), как тогда
вычисляется полная производная по х ?
Производная
dz
dx
вычисляется по форму-
ле:
z d y
d z z
+

d x x
y d х
(3.1.2)
3.1.3. Пусть z = f (x, y), где х = х (u, v), y = y (u, v). Как
вычислить частные производные
z
z
и
?
u
v
Частные производные вычисляются по формулам:
z
z x
z у
=
+
u
x u
y u
z
z х
z у
=
+
v
x v
y v
(3.1.3)
3.1.4. Как дифференцируют функции ,заданные
неявно ?
Ответ на этот вопрос дает теорема о существовании неявной функции.
Теорема. Пусть выполнены условия:
1) F (x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные
производные в точке М0 (x0, y0, z0) и некоторой ее окрестности.
2) F (x0, y0, z0) = 0.
3)
 F(x 0 , y 0 , z 0 )
 0.
z
Тогда равенство F (x, y, z) = 0 определяет неявную
функцию z = f (x, y), удовлетворяющую условиям 1) z = f (x, y)
однозначна и непрерывна в окрестности точки Р0 (x0, y0);
2) z (x0, y0 ) = z0; 3) имеет частные производные, которые вычисляются по формулам:
z
=x
F
x
F
z
;
z
=у
F
у
F
z
(3.1.4)
Формула для вычисления производной неявной функции
у = f (x), заданной уравнением F (x, y) = 0 вытекает из формул (3.1.4):
F
x
F
dy
=при условии, что
(х, y)  0.
F
у
dх
у
3.1.5. Что называют частными производными
второго порядка от функции z = f (x, y) ?
Пусть функция z = f (x, y) имеет в области D обе частz
z
ные производные первого порядка:
и
., которые сами
x
y
являются функциями х, у. Поэтому от них снова можно находить частные производные.
Определение. Частные производные от
z
z
и
назыx
y
ваются частными производными второго порядка от функции
z = f (x, y).
Частные производные второго порядка обозначаются
так:
 z 
  ;
2
x
 x 
2
 z
  z 
 ;
=
 у х
 x   у 
2 z
=

x
Производные
 z 
  ;
 x 
2
 z
  z 
 .
=
2
 у   у 
у
2 z

=
 x у
y
2 z
2 z
и
называются смешанными.
 x у
 у х
Для них справедлива теорема: Если функция z = f (x, y) в некоторой окрестности точки М0 (х0, y0) имеет непрерывные
вторые частные производные, то
 2 z (х 0 , y 0 )
 2 z (х 0 , y 0 )
=
,
 x у
 y x
т.е. смешанные производные, отличающиеся последовательностью дифференцирования, совпадают.
3.1.6. Как определяются частные производные
высших порядков ?
Производные второго порядка можно снова дифференцировать по х и у. Получим частные производные 3го порядка. Их будет, очевидно, уже восемь:
3 z
 x у 2
,
3 z
 y x 2
,
3 z
 x3
,
3 z
 x 2 у
,
3 z
,
 x у z
3 z
3 z
3 z
,
,
.
 y x y  y 2 x  x у 3
Определение. Частная производная n-го порядка от
функции z = f (x, y) есть производная от производной (n–1)-го
порядка.
Например:
4z

=
2
2
y
x y
  3z 


 x 2 y  .


Для функции любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично.
3.1.7. Что называют дифференциалом второго
порядка функции двух переменных ?
Определение. Дифференциалом второго порядка функции z = f (x, y) называется дифференциал от ее дифференциала первого порядка и обозначается:
d2 f (x, y) = d (d f (x, y))
Если функция z = f (x, y) имеет непрерывные частные
производные второго порядка, то вычислительная формула
для d2 f (x, y) имеет вид:
d2 f (x, y) =
 2f
 2f
 2f
2
dx
+
2
dx
dy
+
dy2
2
2
x y
y
x
3.2. Примеры решения задач
Задача 1. Найти полную производную
z = ln (x2 + y2), если х =
Решение. Частные производные
dz
функции
dt
t , y = t2 + 1.
Решение. Используем правило дифференцирования
сложной функции (3.1.1):
dу
2у
z
dх
2x
z
1
= 2
;
= 2
;
=
;
= 2 t.
2
2
x
dt
dt
у
x y
x y
2 t
Окончательно получаем:
dz
2у
2x
1
1
= 2

+ 2
2t= 2
2
2
dt
x y
x y
x  y2
2 t
 у


 4y t  .
 t

z
Задача 2. Найти частную производную
и полную
x
dz
производную
, если z = exy, где у =  (х).
dx
Решение. Частная производная по х равна:
z
= exy  у.
x
Полную производную найдем по формуле дифференцирования сложной функции (3.12):
dz
= exy  у + exy  х  (х) = exy (у + х  (х)).
dx
Задача 3. Найти
z
z
и
, если z = x + y2, где
u
v
x = v2 + sin u, y = ln (u2 + v).
z
z
и
, найдем по
u
v
формуле дифференцирования сложной функции (3.1.3):
z
= 1;
x
x
= 2v;
v
z
х
= 2y;
= cos u;
u
у
1
у
= 2
.
v
u v
2u
у
= 2
;
u
u v
Окончательно имеем:
4u y
2u
z
= 1  сos u + 2y  2
= cos u + 2
u
u v
u v
2у
1
x
= 1  2v + 2y  2
= 2v + 2
.
v
u v
u v
Самостоятельно рекомендуем решить задачи № 1 – 8.
Задача 4. Найти производную по х функции у, заданной неявно:
у2
х2
+
- 1 = 0.
а2
b2
Решение. Неявная функция задана уравнением
F (x, y) = 0. Искомую производную найдем по формуле (3.1.5):
Fx =
2у
2x
F
F
= 2 ; Fy =
= 2 ;
x
у
a
b
2x / a 2
x b2
dy
==
.
dx
2y / b 2
y a2
Задача 5. Найти частные производные функции z, заданной неявно
х2 – 2у2 + 3z2 – y z + y = 0.
Решение. Неявная функция задана уравнением
F (x, y, z) = 0. Искомые частные производные найдем по формуле (3.1.4):
F
F
F
Fx =
= 2х; Fy =
= - 4у – z + 1; Fz =
= 6 z – y.
x
у
z
z
z
1 - 4y - z
2x
=;
=.
x
6z  y
y
6z  y
Решение. Имеем:
z
z
= 4х – 3у;
= -3x + 3y2.
x
y
Поэтому dz = (4x – 3y) dx + (3y2- 3x) dy.
Далее найдем частные производные второго порядка:
2 z
x 2
2 z
= -3;
х  у
= 4;
2 z
у 2
= 6y.
Задача 6. Найти все частные производные второго порядка функции
z = x3 – 4 x2y + 5 y2.
Полный дифференциал второго порядка равен:
Решение. Сначала найдем частные производные первого
порядка:
Для данной функции будем иметь:
d2z = 4 dx2 – 6 dx dy + 6 y dy2.
Для закрепления данной темы предлагаем решить задачи
9 – 24.
z
= 3 х2 – 8 ху;
x
z
= - 4х2 + 10 у.
y
z
z
Мы видим, что
и
являются функциями двух
x
y
переменных, значит их можно еще дифференцировать по каждой переменной. Найдем частные производные второго порядка:
2 z
x 2
2 z
у 2
= 6х – 8 у;
2 z
= - 8 х;
у  x
= 10;
2 z
= - 8 х.
у  x
Еще мы убеждаемся в том, что смешанные производные равны, т.е.
2 z
2 z
=
.
 x у
у  x
Задача 7. Найти полные дифференциалы первого и второго порядков функции
z = 2x2 – 3 xy + y3.
d2 z =
2 z
x 2
dx2 + 2
2 z
2 z
dx dy + 2 dy2.
х  у
у
3.3. Банк задач для самостоятельной работы
dz
, если z = ex-2y, где x = sin t, y = t3.
dt
dz
Задача 2. Найти
, если z = arcsin (x – y), где x = 3t,
dt
Задача 1. Найти
y = 4t3.
Задача 3. Найти
dz
, если z = x2 + y2 + xy, где x = sin t,
dt
y = et.
dz
, если z = arctg (xy),где y = ex.
dt
u
du
Задача 5. u = ln (ex + ey).
= ? Найти
, если у = х3.
dx
х
z z
Задача 6. Найти
,
, если z = x2y – y2x, где
 u v
Задача 4. Найти
x = u  cos v, y = u  sin v.
u
 z z
,
, если z = x2 ln y, где x = ,
u v
v
Задача 7. Найти
y = 3u – 2v.
2 z
2 z
=
.
х  у у  x
Задача 16. z = xy. Показать,что
х
Задача 8. Показать, что функция z = arctg , где
у
x = u + v, y = u – v удовлетворяет соотношению
uv
z
z
+
= 2
.
u
v
v  u2
В задачах 9 – 13 найти производные функций, заданных
неявно.
4
9. х у – у х = а .
dy
=?
dx
3х 2 y  y 3
Ответ.
.
3xy 2  x 3
10. ху – ln y = a.
dy
=?
dx
у2
Ответ.
.
1  ху
3
3
dy
=?
dx
у 2х  е ху  сos (xy )
Ответ.

.
х
cos (xy)  e xy  x
z
z
12. х2 – 2у2 + z2 – 4x + 2z – 5 = 0.
=?
=?
y
x
z
2y
2x
z
Ответ.
=
;
=
.
y
x
z 1
z 1
z z
13. х2 + y2 – z2 – xy = 0. Найти
,
при х = -1,
x у
1
y = 0, z = 1
Ответ. –1; .
2
11. sin (xy) – exy – x2y = 0.
Задача 14. F (x,y, z) = 0. Доказать, что
z z

=1;
x у
у  z  x


= -1.
z  x  у
Задача 15. z = x3 + xy2 – 5 xy3 + y5. Показать, что
2 z
2 z
=
.
х  у у  x
Задача 17. z = sin (xу). Показать, что
 z
3 z
3 z
=
=
.
 у  x у
х  у 2
у 2  x
3
Задача 18. Найти все частные производные второго порядка
u = 2x +xy + yz.
Ответ.
2 u
x 2
=
 2u
 2u
=
= 0,
у 2
z 2
2u
 2u
 2u
=
=
= 1.
х  у
y  z
х  z
Задача 19. u = ex (x cos y – y sin y).
Показать, что
2 u
x 2
+
 2u
= 0.
у 2
Задача 20. V = xm yn zp. Найти
6 V
x y 3 z 2
.
Ответ. m n p (n – 1) (n – 2) (p – 1) xm - 1 yn - 3 z p – 2,
Задача 21. u = ex y z. Показать, что
3 u
2 u
u
= ху
+ 2х
+ u.
x y z
x y
x
В задачах 22 – 23 найти дифференциалы второго порядка.
22. z = xy2 – x2 y.
Ответ. d2 z = 2y dx2 + 4 (y – x) dx dy + 2x dy2.
23. u = y z x.
Ответ. d2 z = 2 (z dx dy + y dx dz + x dy dz).
Задача 24. z = sin (2x + y). Найти d3 z в точке (0, ).
Ответ. (2 dx + dy)3.
2. z2 +
3.4. Варианты проверочной работы
В первом задании найти
у2  z2 = 0
3. z = exy
 z z
,
; во втором найти частu v
ные производные функции z, заданной неявно, в третьем задании найти частные производные 2-го порядка.
Вариант № 1
2
х
3. z = ex/y
Вариант № 7
Вариант № 2
1. z = x2 y – y2 x, где
x = u  sin v, y = v cos u
2. x + y + z = a
y2
x2
z2
2. 2 + 2 + 2 - 1 = 0
a
b
c
3. z = x3 – 4 x2y + 5y2
3. z = ln (x + e-y)
2
2
2
2
Вариант № 8
1. z = e3x-2y, где
x = tg (uv), y =
1. z = 2xy – x, где
x = u2 + v, y = u + v2
2. y – x  ctg a z = 0
1. z = ln
ln u
v
x = u – v2, y = u2 + v
2. x cos y + y cos z + z cos x = 1
3. z =
х
у
2. x2 + y2 – z2 – xy = 0
3. z = ln (x2 + y2)
Вариант № 9
Вариант № 3
Вариант № 4
1. z = arctg
1. z = arctg (x – y), где
u
x= , y=uv
v
x
2. (yz) = (x)
2. x – y tg a z = 0
yz
3. z = arctg
Вариант № 5
1. z = tg ln (x y), где
v, y=
у ), где
x = cos (u-v), y = sin (u-v)
3. z = ey/x
x=u
1. z = ln sin (x
u
v
х
у
Вариант № 6
1. z = xy, где
x = sin (u+2v), y = sin (u-v)
x=
х
, где
у
Вариант № 10
х
, где
у
u 2  v2 , y =
1. z = arcsin
uv
2. x2 + 2y2 + z2 – 3 x y z – 2y = 0
3. z = x  sin (x + y)
х
, где
у
x = u cos v, y = v sin u
x 2  z 2 + ln x = 0
у
х
3. z = +
х
у
2.
4. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
А=
4.1. Теоретические сведения
4.1.1. Что называют максимумом (минимумом)
функции z = f (x, y) в точке М0 (x0, y0) ?
Пусть функция z = f (x, y) определена в области D и
точка М0 (x0, y0) является внутренней точкой этой области.
Определение 1. Функция z = f (x, y) имеет в точке М0
локальный максимум, если в некоторой окрестности этой точки функция удовлетворяет неравенству: f (x, y) < f (x0, y0).
Определение 2. В точке М0 (x0, y0) функция имеет локальный минимум, если в ее окрестности выполняется неравенство: f (x, y) > f (x0, y0).
Максимум и минимум функции называются экстремумом функции.
4.1.2. В чем заключаются необходимые условия
экстремума ?
Ответ на вопрос дает теорема.
Теорема 1. Если функция z = f (x, y) достигает экстремума в точке М0 (x0, y0), то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль в этой точке или не
существует.
Точки в которых
z
=0
x
порядка, непрерывные в точке М0 и ее окрестности. Введем
обозначения
z
= 0 (или не существуy
ют) называются критическими точками функции.
Теорема 2. Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой области и точка М0 (x0, y0), - ее критическая точка.
Пусть при этом функция имеет частные производные второго
 2 f (x 0 , y 0 )
,
 x2
В=
 2 f (x 0 , y 0 )
,
 x y
C=
 2 f (x 0 , y 0) )
y 2
.
Тогда:
1) если АС – В2 > 0, функция имеет в точке М0 локальный экстремум, причем если А > 0 – локальный минимум, если А < 0 – локальный максимум;
2) если АС – В2 < 0, экстремума в точке М0 нет;
3) если АС – В2 = 0, вопрос о наличии экстремума остается открытым (в этом случае требуется дальнейшее исследование).
4.1.4. Как найти наибольшее и наименьшее значение
функции в замкнутой области ?
Непрерывная в замкнутой области функция принимает
там наибольшее и наименьшее значения. Пусть функция
z = f (x, y) непрерывна в области D вместе со своими первыми
частными производными. Свои наименьшее и наибольшее
значения функция принимает либо на границе области либо
внутри ее. Чтобы найти эти значения, сначала находим критические точки внутри области из условия:
 z (x, y)
= 0;
x
 z (x, y)
= 0, затем находим наибольшее и наименьшее значеy
ния функции на границе области D. Сравнивая полученные
значения функции с ее значениями во внутренних критических точках области D, выбираем среди всех значений
наибольшее и наименьшее значения функций.
4.2. Примеры решения задач
Задача 1. Исследовать функцию z = x3 + xy2 + 6 xy на
экстремум.
Решение. Решение разобьем на три этапа.
1) Найдем критические точки, пользуясь необходимыми
условиями экстремума:
 z
 x  0


 z  0
  y
 z
2
2
  x  3x  y  6y  0
3x 2  y (y  6)  0

 


2 x (y  3)  0
  z  2 xy  6x  0
  y
 y (y  6)  0
 y  0, y  -6
или (1) 
 
, т.е. М1 (0, 0), М2 (0, -6).
x  0
 x0
3x 2 - 3 (-3  6)  0
y  - 3
или (2) 
х   3
3x 2 - 9  0
 
, т.е.

y

3
y

3


 
М3 = (- 3 ; -3), М4 = ( 3 ; -3).
Итак, мы нашли четыре критические точки.
2) Найдем частные производные второго порядка:
 2z
А=
= 6х,
 x2
 2z
B=
= 2y +6,
 x y
 2z
C=
= 2x.
 у2
3) Используя достаточные условия экстремума, исследуем характер критических точек:
М1 (0, 0), A = 0; B = 6; C = 0.  = AC – B2 = -36 < 0
значит в точке М1 (0, 0) экстремума нет.
М2 (0, -6), A = 0; B = -6; C = 0.  = AC – B2 = -36 < 0
экстремума нет.
М3 (- 3 , -3), A = -6 3 ; B = 0; C = -2 3 .  = AC – B2 =
= 36 > 0, значит в точке М3 (- 3 , -3) функция имеет экстремум, а т.к. А < 0, то это точка максимума.
М4 ( 3 , -3), A = 6 3 ; B = 0; C = -2 3 .  = AC – B2 =
= 36 > 0, значит в точке М4 ( 3 , -3) функция имеет экстремум,
а т.к. А < 0, то это точка минимума.
Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции z = x2 + 3y2 + x – y в области D: х  1, y  -1;
x + y  1.
Решение.
y
0
1
-1
2
х
D
Указанная область есть треугольник, заштрихованный на
рисунке. Решение разобьем на три этапа.
1) Найдем критические точки:
 z
  x  2x  1  0


  z  6y - 1  0
  y

 х  -1/2

 у  1/6
 М (-1/2, 1/6).
Эта точка не принадлежит данной области.
2) Исследуем функцию на границах области.
При х = 1 имеем z = 3y2 – у + 2, и задача сводится к
отысканию наибольшего и наименьшего значений функции
одного аргумента на отрезке -1  у  0
z = 6y – 1 = 0
y = 1/6  [-1, 0]. Найдем значения функции на концах отрезка:
z (-1) = 6
z (0) = 2.
При у = -1 имеем z = x2 + x + 4 на отрезке 1  х  2
z = 2х + 1 = 0 х = -1/2  [1, 2]
z (1) = 6
z (2) = 10.
При у = 1 – х имеем z = x2 + 3 (1 – x)2 + x – (1 – x) = x2 + 3 –
- 6x + 3x2 + x – 1 + x = 4x2 – 4x + 2 на отрезке 1  х  2
z = 8х - 4 = 0 х = 1/2  [1, 2]
z (1) = 2
z (2) = 10.
3) Из шести найденных значений функции выбираем
наибольшее и наименьшее:
z наибольшее = 10 в точке (2, -1)
z наименьшее = 2 в точке (1, 0).
Задача 3. При каких размерах открытая прямоугольная
ванна данной вместимости V имеет наименьшую поверхность 
Решение.
z
V=xyz
х
На рисунке обозначены размеры ванны
V
.
xy
Представим поверхность ванны (S) как функцию двух переменных х и у:
S = xy + 2 yz + 2 xz = xy +
2V 2V
.

x
y
Найдем экстремум данной функции S (x, y)
 z
 x  у 

 z  x   y
2V
0
x2
2V
0
y2
х 2 y  2 V
xу 2  2 V
 
х  y 

 х = у = 3 2V .
Критическая точка М ( 3 2 V ,
3
х 3  2 V

 3
у  2 V
2 V ).
Найдем частные производные второго порядка:
А=
C=
2S
 x2
2S
у
2
=
=
4V
x3
=
М
= 2.
4V
у3
4V
= 2;
2V
М
B=
2S
= 1;
 x у
 = АС – В2 = 2  2 – 1 = 3 > 0, A > 0  в точке М функция имеет минимум. Итак, размеры ванны должны быть: в основании - квадрат со стороной 3 2 V , высота
z=
у
 z=
V
=
xy
V
3
4V
2
=
3
1
V2
=
42
2
3
2V -
- в два раза меньше стороны основания.
4.3. Банк задач для самостоятельной работы
В задачах 1 – 5 исследовать функцию на экстремум.
1. z = (x – 1)2 + 2 y2.
Ответ. zmin = 0 в точке (1,0).
2. z = x3 + y3 - 3xy.
Ответ. В точке (0, 0) экстремума нет, в точке (1, 1) – минимум.
3. z = x3 + xy2 + 6xy.
Ответ. zmin = -6 3 в точке ( 3 , -3),
zmax = 6 3 в точке (- 3 , -3),
в точках (0, 0) и (0,-6) экстремума нет.
Задача 8. Определить наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 y в области х2 + у2  1.
Ответ. z наибольшее =
2

2 1 
в точке  
,
,

3 3


2
1 
2
,
z наименьшее = в точке  
.
3
3 
3 3

3 3
Задача 9. Найти прямоугольный параллелепипед данного объема V, имеющий наименьшую полную поверхность.
Ответ. Куб.
Задача 10. Сечение канала имеет форму равнобочной
трапеции данной площади А. Как выбрать его размеры, чтобы
омываемая поверхность канала была наименьшей.
4. z = y2 + x4.
Ответ. В точке (0, 0) – минимум.
5. z = xy3.
Ответ. В точке (0, 0) экстремума нет.
Задача 6. Определить наибольшее и наименьшее значения функции z = 1 + x + 2y в области: х  0, y  0, x + y  1.
Ответ. z наибольшее = 3 в точке (0,1),
z наименьшее = 1 в точке (0,0).
Задача 7. Определить наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2 – xy + 2y2 + 3x + 2y + 1
в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и
прямой х + у + 5 = 0.
Ответ. z наибольшее = 41 в точке (0,-5),
z наименьшее = -3 в точке (-2,-1).
l
a
Ответ.  =

2 А
π
, l=a=
.
4 3
3
3
Задача 11. Представить положительное число а в виде
произведения четырех положительных сомножителей так,
чтобы их сумма была наименьшей.
Ответ. а = 4 а  4 а  4 а  4 а .
5. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ,
ГРАДИЕНТ. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
5.1. Теоретические сведения
5.1.1. Что называется производной функции
u = f (x, y, z) в точке М0 (x0, y0, z0) по
направлению вектора S ?
Поместим начало вектора S в точку М0 (x0, y0, z0). На
векторе S возьмем точку М (х0 +  х, y0 +  y, z0 +  z) на
расстоянии  S = Δ x 2  Δ y 2  Δ z 2 от точки М0, при этом
функция u = f (x, y, z) получит приращение
u = f (х0 +  х, y0 +  y, z0 +  z) – f (x0, y0, z0).
Определение. Если существует конечный предел отΔu
, то этот предел называется производной
ΔS
функции u = f (x, y, z) по направлению S и обозначается
u
символом:
.
S
ношения lim
S
Если функция u = f (x, y, z) дифференцируема в некоторой окрестности точки М0 (x0, y0, z0), то
u
u
u
u
=
сos  +
cos  +
cos  (5.1), где
S
х
у
z
сos , cos  и cos  направляющие косинусы вектора S .
5.12. Что называется градиентом функции
u = f (x, y, z) в точке М0 (x0, y0, z0) ?
Определение. Вектор, координаты которого в декартовой системе координат равны значениям частных производных функции и в точке М0, называется градиентом
этой функции в заданной точке, и обозначается:
q rad u =
u
u
u
i +
j +
k
х
у
z
(5.2)
Градиент функции в точке М0 дает скорость (величину и направление) наибыстрейшего изменения функции в
точке
М0 (x0, y0, z0).
5.1.3. Какой вид имеют уравнения касательной
плоскости и нормали к заданной поверхности в
точке М0 (x0, y0, z0) ?
Пусть поверхность задана уравнением z = f (x, y), тогда, если функция f (x, y) дифференцируема в точке Р0 (x0,
y0), то уравнение касательной плоскости к поверхности z =
f (x, y) в точке М0 (x0, y0, z0) имеет вид
z – z0 =
 z (x 0 , y 0 )
 z (x 0 , y 0 )
(x – x0) +
(y – y0)
x
y
(5.3)
Уравнение нормали (прямой, проходящей через точку М0 (x0, y0, z0) перпендикулярно касательной плоскости)
запишется в виде:
y  y0
x  x0
z  z0
=
=
z (x 0 , y 0 )
z (x 0 , y 0 )
1
x
y
(5.4)
Если же поверхность задана уравнением F (x, y, z) = 0,
и в точке М0 (x0, y0, z0) функция F (x, y, z) удовлетворяет
условиям теоремы существования неявной функции z = f
(x, y), заданной уравнением F (x, y, z) = 0 (см. п. 3.1.4), то
уравнение касательной плоскости в точке М0 имеет вид:
 F (x 0 , y 0 , z 0 )
 F (x 0 , y0 , z 0 )
(х – х0) +
(у – у0) +
y
x
 F (x 0 , y0 , z 0 )
+
(z – z0) = 0
z
(5.5)
Соответственно уравнение нормали в этом случае запишется в виде:
x  x0
у  у0
z  z0
=
=
.
 F (x 0 , y 0 , z 0 )
 F (x 0 , y 0 , z 0 )
 F (x 0 , y 0 , z 0 )
x
у
z
(5.6)
5.2. Примеры решения задач
Задача 1. Найти производную функции u = xy + yz +
zx в точке А (2, 1, 3) в направлении, идущем от этой точки
к точке В (5, 5, 15).
Решение. Для вычисления производной используем
формулу (5.1). Найдем вектор S  AB и его направляющие
косинусы:
S  AB = (5 – 2, 5 – 1, 15 – 3) = (3, 4, 12).
 S  = 3 2  4 2  12 2 = 9  16  144 = 169 = 13.
cos  =
3
;
13
cos  =
4
;
13
cos  =
12
.
13
Найдем частные производные функции в точке А:
u
= x + z;
y
u

 = 4
  x A
u

 = 5
  y A
u
= y + z;
z
u

 = 3.
  z A
u
= y + z;
x
Производная по направлению будет равна:
u
3
4
12
12  20  36
68
=4
+5
+3
=
=
.
13
13
13
S
13
13
Рекомендуем решить самостоятельно задачи № 1 – 3.
Задача 2. Найти величину и направление градиента
функции u = 3x2 – 5y + 4z2 + xy в точке М0 (1, 0, -1).
Решение. Как следует из равенства (5.2), координаты
вектора qrad u есть частные производные функции u в
точке М0, найдем их:
u
= (6х + у) М 0 = 6 + 0 = 6,
x
u
= (-5 + x) М 0 = -5 + 1 = -4,
у
u
= 12z2 М 0 = 12  1 = 12.
z
qrad u = 6 i - 4 j + 12 k .
Величина градиента равна:
 qrad u  = 6 2  (4) 2  12 2 = 36  16  144 = 196 = 14.
Найти направление вектора – значит найти его
направляющие косинусы. Для вектора градиента будем
иметь:
cos  =
6
4
2
12
6
3
= ; cos  =
= - ; cos  =
= .
7
7
7
14
14
14
Задача 3. Написать уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности 3 xyz – z3 =8 в точке М0 (0, 2, -2).
Решение. Поверхность задана уравнением F (x, y, z) = 0.
F (x, y, z) = 3xyz – z3 – 8. Поэтому уравнения касательной
плоскости и нормали в точке М0 (x0, y0, z0) имеют вид (5.5 ) и
(5.1.6).
Найдем частные производные функции F (x, y, z) в точке
М0 :
F
= 3yz
x
М0
= -12;
F
= 3 xz
у
М0
= 0;
F
= 3xy – 3z2
z
М0
= -12.
Запишем уравнение касательной плоскости:
-12 (х – 0) + 0 (у – 2) – 12 (z + 2) = 0
или
-12 х – 12 z - 24 = 0, т.е. x + z + 2 = 0.
Запишем уравнение нормали:
х 0 у2 z 2


 12
0
 12
или
х у2 z2
.


1
0
1
Задача 4. Написать уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности z = 2x2 + 4y2 в точке М0 (2, 1, 12).
Решение. Поверхность задана в явном виде z = f (x, y),
поэтому уравнения касательной плоскости и нормали в точке
М0 (x0, y0, z0) имеют вид (5.3) и (5.4).
Найдем частные производные функции в точке М0
z
= 4х
x
М0
= 8;
z
= 8y
у
М0
= 8.
Уравнение касательной плоскости:
z – 12 = 8 (x – 2) + 8 (y – 1) или
8х + 8у – z – 16 – 8 + 12 = 0
8x + 8y – z – 12 = 0.
Уравнение нормали:
у 1
х2
z  12
=
=
.
8
8
1
Задача 5. К поверхности x2 + 2y2 + 3z2 = 21 провести
касательные плоскости, параллельные плоскости
х + 4у + 6z = 0.
Решение. Дана плоскость х + 4у + 6z = 0, ее нормальный
вектор N (1, 4, 6). Из условия параллельности плоскостей
имеем, что нормальный вектор n искомых плоскостей коллинеарен данному вектору N и равен n (t, 4t, 6t). Найдем на поверхности точки, в которых нужно провести касательные
плоскости.
 F
t
 x  2 x  t  x  2

 F
 4y  4 t  y  t


y

F
6z 6tz  t

 z

подставим в уравнение поверхности x2 + 2y2 + 3z2 = 21 и
найдем значение параметра t:
t2
+ 2 t2 + 3 t2 = 21,
4
21 2
t = 21,
4
t2 = 4, t =  2.
Получаем две точки на поверхности: М1 (1, 2, 2) и
М2 (-1,-2,-2). В точке М1 (1, 2, 2):
F
F
F
= 2,
= 8,
= 12,
x
у
z
и уравнение касательной плоскости запишется так:
2 (x – 1) + 8 (y – 2) + 12 (z – 2) = 0,
2x + 8y + 12z – 42 = 0,
x + 4y + 6z – 21 = 0.
В точке М2 (-1,-2,-2):
F
F
F
= -2,
= -8,
= -12.
x
у
z
Запишем уравнение касательной плоскости:
-2 (x + 1) - 8 (y + 2) - 12 (z + 2) = 0,
-2x - 8y - 12z – 42 = 0,
x + 4y + 6z + 21 = 0.
Для закрепления данной темы рекомендуем решить задачи № 11 – 17.
5.3. Банк задач для самостоятельной работы
Задача 1. Найти qrad z в точке (2, 1), если
z = x + y3 – 3xy.
Ответ. 9 i - 3 j .
3
Задача 2. Найти qrad z в точке (5, 3), если z = х 2  у 2 .
Ответ.
5
3
i j.
4
4
Задача 3. Найти qrad u в точке (1, 2, 3), если u = xyz.
Ответ. 6 i + 3 j + 2 k .
Задача 4. Найти величину и направление qrad u в точке
(2, -2, 1), если u = x2 + y2 + z2.
Ответ.  qrad u  = 6, cos  =
2
2
1
, cos  = - , cos  = .
3
3
3
Задача 5. Найти величину наибольшего подъема поверхности z = x2 + 4 y2 в точке (2, 1, 8).
Ответ. tg  = 4 5 .
Задача 6. Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z = ln (x2 + 4y2) в точке (6, 4, ln 100).
Ответ. tg   0,34.
Задача 7. Найти производную функции z = x2 – xy – 2y2
в точке Р (1, 2) в направлении, составляющем с осью ОХ угол
в 60.
Ответ. -
9
3.
2
Задача 8. Найти производную функции
z = x3 – 3x2 y + 3x y2 + 1 в точке (3, 1) в направлении, идущем
от этой точки к точке (6, 5). Пояснить ответ.
Ответ. 0.
Задача 9. Найти производную функции z = x2 + 4 y2 в
точке (2, 1) в направлении градиента. Сделать чертеж к задаче.
Ответ. 4 5 .
Задача 10. Найти производную функции z = ln (x + y) в
точке (1, 2), принадлежащей параболе у2 = 4х, по направлению этой параболы.
Ответ.
2
.
3
Задача 11. Найти производную функции u = x2 y2 z2 в
точке А (1, -1, 3) в направлении, идущем от этой точки к точке
В (0, 1, 1).
Ответ. –22.
Задача 12. Написать уравнение касательной плоскости и
уравнение нормали и параболоиду вращения z = x2 + y2 в
точке (1, -2, 5). Сделать чертеж.
Ответ. 2x – 4y – z – 5 = 0,
x 1 y  2 z  5
.


2
4
1
В задачах 13 – 15 для данных поверхностей найти уравнения касательных плоскостей и нормалей в указанных точках.
13. z = 2x2 – 4y2
в точке (2, 1, 4).
Ответ. 8x – 8y – z – 4 = 0,
x  2 y -1 z  4
.


8
8
1
14. z =
x 2  y 2 - xy в точке (3, 4, -7).
Ответ. 17x
+ 11y + 5z – 60 = 0,
x 3 y-4 z7
.


17
11
5
15. x3 + y3 + z3 + xyz – 6 = 0 в точке (1, 2, -1).
Ответ. x + 11y + 5z – 18 = 0,
x 1 y - 2 z 1
.


1
11
5
Задача 16. Показать, что поверхности
x + 2y – ln z + 4 = 0 и x2 – xy – 8x + z + 5 = 0
касаются друг друга (т.е. имеют общую касательную плоскость) в точке (2, -3, 1).
Задача 17. К эллипсоиду x2 + 2y2 + z2 = 1 провести касательную плоскость, параллельную плоскости x – y + 2z = 0.
11
= 0.
2
Ответ. x – y + 2z 
5.4. Варианты проверочной работы
Дано: функция z = f (x, y), точка А (x0, y0) и точка В.
Требуется найти: 1) qrad z в точке А; 2) производную функции в точке А в направлении, идущем от этой точки к точке В;
3) уравнения касательной плоскости и нормали в точке А.
1) z = 2x2 + xy
2) z = x2 + xy + y2
3) z = ln (x2 + xy2)
4) z = arctg (xy)
5) z = x3y + xy2
6) z = x2y + xy2
7) z = 3x4 + 2x2y3
8) z = ln (2x + 3y)
9) z = ln (3x2 + 4y2)
10) z = ln (5x2 + 4y2)
A (-1, 2); B (2, 6).
A (1, 1); B (3, 0).
A (1, 2); B (4, -2).
A (2, 3); B (6, 6).
A (1, 3); B (-4, 15).
A (1, 1); B (7, -7).
A (-1, 2); B (3, -1).
A (2, 2); B (-1, 4).
A (1, 3); B (3, 2).
A (1, 1); B (3, 0).
2)
8) 0; 9) -
3
;
5
12
39 5
3)
2
;
25
; 10)
4)
4
3 5
.
18
;
185
5) -
6
;
13
3
5
6) - ;
7) -
Геометрическим изображением функции двух переменных
z = f (x, y)
(6.1)
в прямоугольной системе координат является некоторая поверхность. Уравнение (6.1) может быть представлено в виде:
F (x, y, z) = 0. Если это уравнение является уравнением второй
степени, то поверхность, которую оно представляет, называется поверхностью второго порядка. Рассмотрим некоторые из
них.
6.1. Цилиндрическая поверхность
Ответы для второго задания:
1) -2;
6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
248
;
5
Пусть L – некоторая линия в пространстве (назовем ее
направляющей). Если через каждую точку этой линии провести прямую, параллельную некоторой прямой l (назовем ее
образующей), получим цилиндрическую поверхность.
Уравнение цилиндрической поверхности, направляющая
которой лежит в плоскости ХОУ, а образующая параллельна
оси OZ, имеет вид: F (x, y) = 0. Эта поверхность изображена на
рис. 1.
z
z
0
y
o
x
y
a
x
Рис.1
Рис. 2
Аналогично уравнения F (x, z) = 0 и F (у, z) = 0 определяют цилиндрические поверхности с образующими, параллельными осям ОУ и ОХ соответственно.
Примеры канонических уравнений цилиндров второго
порядка:
х 2 у2
=1

а2 b2
b
z
эллиптический цилиндр (направляющая –
у
эллипс с полуосями а и b, образующая параллельна оси OZ) (рис. 2).
х2 z2
=1

а2 c2
гиперболический цилиндр (направляющая –
у2 = 2 p z 
гипербола, образующая параллельна оси ОУ)
(рис. 3).
параболический цилиндр (направляющая –
парабола, образующая параллельна оси ОХ)
(рис. 4).
х
Рис. 3
z
z
c
b
y
y
a
x
x
Рис. 2
Рис. 4
Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида.
Если а = b = c = R, эллипсоид превращается в сферу:
x2 + y2 + z2 = R2.
6.2. Эллипсоид
Каноническое уравнение трехосного эллипсоида имеет
6.3. Однополостный гиперболоид
вид:
х 2 у2
z2
+
= 1.

а2 b2
c2
Чтобы изобразить эту поверхность на чертеже, применим “метод сечений”. Линия пересечения эллипсоида с плоскостью
ХОУ определяется системой уравнений:
х 2 у2
 2  2 1
а
b
 z0

Отсюда видно, что плоскость ХОУ пересекает эллипсоид
по эллипсу с полуосями а и b (рис. 2). Аналогичная картина
получается при пересечении эллипсоида с координатными
плоскостями ХОZ и УОZ. Линии пересечения – эллипсы с
полуосями а, c и b, с соответственно (рис. 2).
Каноническое уравнение:
х 2 у2
z2
= 1.

а2 b2
c2
Наименование “гиперболоид” происходит от того, что
среди сечений этой поверхности есть гиперболы. Например,
линия пересечения однополостного гиперболоида с плоскостью УОZ (рис. 3) задается системой уравнений - это гипербола с мнимой осью OZ:
 у2 z2
 2  2 1
b
c
 x0

(1)
 х 2 у2 z2
 2  2  2 1
а
b
c
 zh

2
1
b
a
x
3
y
не имеет решений. При z = + c в сечении – точки, которые
называются вершинами двуполостного гиперболоида. При
 z  > c в сечении эллипсы. Размеры их увеличиваются по мере возрастания z (рис. 4)
z
Рис. 3
Любая плоскость, параллельная плоскости ХОУ, пересекает гиперболоид по эллипсу (рис. 3):
х 2 у2
z2
 2  2 1 2
а
b
c
 zh

c
(2)
y
в частности,
 х 2 у2
 2  2 1
а
b
 z0

c
(3)
x
6.4. Двуполостный гиперболоид
Поверхность, представляемая уравнением
х 2 у2
z2
= -1,

а2 b2
c2
называется двуполостным гиперболоидом. Она состоит из
двух обособленных полостей. Действительно, ни одна из
плоскостей ХОУ не пересечет поверхности при  z  < c, т.к.
при этом система
Рис. 4
Сечения плоскостями XOZ и УOZ, которые представлены системами
z2 у2
 2  2 1
c
a
 y0

z2 у2
 2  2 1
,
c
b
 x0

являются гиперболами с действительной осью OZ.
6.5. Конус второго порядка
Поверхность, представляемая уравнением
2
2
2
у
х
z
 2 - 2 = 0, называется конусом второго порядка.
2
а
b
c
Линия пересечения плоскости XOZ (у = 0) с поверхнох2 z2
0
 
стью задается системой:  а 2 c 2
, которая представляет
 y0

х
z
х z
пару прямых
+ =0
- = 0, проходящих через
c
а
а c
Эллиптический параболоид – это поверхность, представляемая уравнением:
z=
х 2 у2

2р 2q
(р > 0, q > 0)
Сечения поверхности плоскостями ХОZ и УОZ – это
параболы х2 = 2 р z (y = 0) и y2 = 2 q z (x = 0) (рис. 6). Сечения
плоскостями, параллельными плоскости ХОУ, задаются системой:
 х 2 у2

h

,
2 Р 2 q
 zh

начало координат (рис. 5).
z
которая не имеет решения при h < 0.
При h = 0 плоскость z = 0 имеет с поверхностью одну
общую точку. При h > 0 сечение представляет собой эллипс,
размеры которого возрастают с увеличением h (рис. 6).
z
y
x
y
Рис. 5
Всякая плоскость, параллельная плоскости ХОУ (но не
совпадающая с ней), пересекает конус по эллипсу:
х 2 у2 h 2
 2  2  2
а
b
c .
 zh

6.6. Эллиптический параболоид
x
Рис. 6.
6.6. Гиперболический параболоид
Гиперболический параболоид – это поверхность, представляемая уравнением:
z=
х 2 у2

2р 2q
(р > 0, q > 0).
Сечения плоскостями XOZ и УОZ есть параболы:
(1) x2 = 2 p z (y = 0)
(2) y2 = -2 q z (x = 0)
Ветви параболы (1) направлены вверх, параболы (2) –
вниз. ( Рис. 7). В результате поверхность имеет седлообразный
вид.
z
2
y
1
x
Рис. 7
Всякая плоскость, параллельная плоскости ХОУ (но не
совпадающая с ней), пересекает поверхность по гиперболе:
х 2 у2

h

.
 2p 2q
z  h h  0

При z = 0 линия пересечения – пара прямых:
х
2p

у
2q
=0 и
х
2p

у
2q
= 0.
х 2 у2

= 0, т.е.
2р 2q
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического
анализа. – М.: Наука, 1975, гл. 10: Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. – С. 185 – 201, гл. II:
Применения дифференциального исчисления функций нескольких переменных. – С. 202 – 216.
2. Задачи и упражнения по математическому анализу.
Для втузов / Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А.
и др. – М.: Наука, 1968, гл. 6: Функции нескольких переменных. – С. 172 – 232.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1962, гл. 6: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. –
С. 288 – 344.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. – М.: Наука, 1970 – 1985. Т. 1, гл. УIII.
Функции нескольких переменных. – С. 243 – 304.