Олимпиадная математика

Администрация города Вологды
Департамент Гуманитарной политики
Управление образования
муниципальное учреждение дополнительного образования детей
«Детско-юношеский центр "ЕДИНСТВО"
Рассмотрено на методическом
совете МОУ ДОД ДЮЦ
«Единство»
Протокол № от
УТВЕРЖДАЮ:
Директор МОУ ДОД ДЮЦ «Единство»
_________________М.В. Романова
_____________________2008 г.
Дополнительная образовательная программа
«Углубленное
изучение
математики»
«ОЛИМПИАДНАЯ МАТЕМАТИКА»
Возраст детей: 10-17 лет
Срок реализации: 5 лет
Автор:
Смирнов Алексей Иванович,
педагог дополнительного образования
МОУ ДОД ДЮЦ «Единство
Вологда
2008
Содержание
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Пояснительная записка
Цель, задачи
Учебно – тематический план
2.1. Первый год обучения
2.2. Второй год обучения
2.3. Третий год обучения
2.4. Четвертый год обучения
2.5. Пятый год обучения
Содержание программы
Номера
страниц
3-5
3
6
6
8
10
13
17
7
3.1. Первый год обучения
3.2. Второй год обучения
3.3. Третий год обучения
3.4. Четвертый год обучения
3.5. Пятый год обучения
Умения и знания учащихся
4.1. Первый год обучения
4.2. Второй год обучения
4.3. Третий год обучения
4.4. Четвертый год обучения
4.5. Пятый год обучения
Методическое обеспечение программы
Мониторинг обучения
Результативность работы по программе
Материально-техническое обеспечение программы
Литература
Приложения
2
7
9
11-12
14-16
18-19
7
7
8
13
16
20
19
22
31
34
35
37
Пояснительная записка
Образовательная программа «Углубленное изучение математики» является программой
естественно-научной направленности.
Настоящая программа курса математики включает классические разделы олимпиадной,
нестандартной математики и призвана восполнить отсутствие такого рода знаний в
школьной программе по математике.
Олимпиадные идеи не изучаются в школьном курсе по ряду причин.
Во-первых,
преподавание углубленного изучения математики требует наличия специалистов
высочайшей квалификации, которых в каждом регионе единицы. Во-вторых, далеко не все
школьники могут усвоить эти идеи, для усвоения нужны способности и прекрасное владение
базовым курсом математики. В-третьих, изучение олимпиадного материала всеми
школьниками нецелесообразно и не нужно самим ребятам, поскольку воспользоваться в
реальной жизни полученными знаниями смогут не все (а только те, кто выберет
соответствующие профессии). Несмотря на все эти причины углубленное изучение
математики, ввиду огромных возможностей по развитию интеллекта школьников,
отвоевывает всё больше места в школьных учебниках. Так в ряде учебников появились
сведения по комбинаторике, принцип Дирихле, математическая индукция, системы
счисления, логические задачи и многое другое.
В силу вышеизложенных причин гораздо эффективнее изучать олимпиадную
математику в учреждениях дополнительного образования. Подтверждением эффективности
может служить такой факт. Всегда на Российской олимпиаде школьников наиболее успешно
выступают команды не из тех регионов, в которых имеются сильные школы, а из тех
регионов, в которых существуют учреждения дополнительного образования, занимающиеся
обучением школьников в области олимпиадной математики. Примеры: Санкт-Петербург,
Краснодар, Киров.
Одна из направленностей работы детско-юношеского центра "Единство" естественнонаучная (математика). В рамках этой направленности реализуются программы
занятий по олимпиадной математике, информатике, физике, химии, биологии, проводятся
соревнования (олимпиады, математические бои) по предметам естественно-математического
цикла. Реализуя программу "Углубленное изучение математики", ДЮЦ "Единство"
учитывает потребности математически одаренных детей, для которых очень важно
приобщение к нестандартным идеям, работа в коллективе сверстников, увлеченных
математикой. Успешное выступление школьников на олимпиадах влияет на престиж города
и региона.
Цель: развитие интеллекта и способностей детей, совершенствование их
математической подготовки через преподавание олимпиадной математики.
Задачи:
1. Формирование знаний и умений по решению олимпиадных математических задач.
2. Развитие интеллекта школьников.
3. Развитие математических способностей школьников.
4. Развитие коммуникативных способностей школьников.
5. Развитие организационно-волевых качеств личности школьников.
6. Развитие исследовательских способностей школьников
7. Расширение кругозора школьников
Тип программы - адаптированная. В связи с отсутствием утвержденных
Министерством образования и науки программ по математике для учреждений
дополнительного образования была взята за основу программа факультативов по математике
для школ "За страницами учебника математики", рекомендованная Главным учебнометодическим управлением общего среднего образования Гособразования СССР и
опубликованная в сборнике "Программы средней общеобразовательной школы.
3
Факультативные курсы. Сборник №2. Часть 1. Математика. Биология. Химия. М.:
Просвещение, 1990."
Особенность программы – концентрическое расположение материала. Одна и та же
тема изучается несколько раз на разном уровне. Ежегодно по каждой теме сообщаются
новые идеи решения олимпиадных задач. Такое расположение материала позволяет
преподавателю вести занятия в группе, в которой школьники одного возраста находятся на
разных годах обучения.
Темы изучаемых занятий определяются не возрастом учащихся, а тем, сколько лет он
изучает олимпиадные идеи. Таково расположение материала во всех книгах, в которых
описывается опыт по организации творческих объединений в системе дополнительного
образования в ведущих математических центрах страны. И это не случайно: почти всегда 10классник, посещающий занятия первый год, будет решать задачи медленнее, чем 6-классник,
занимающийся второй год.
Возраст обучающихся: с 10 до 17 лет. В каждой группе обучаются школьники,
проходившие обучение одинаковое число лет. Допускается совместное изучение материала
школьниками смежных возрастов (например, в одной группе могут быть десятилетний и
двенадцатилетний воспитанник).
Режим занятий: каждая группа занимается два раза в неделю, занятия по 45 минут.
Распределение часов по темам дано из расчета 156 тематических часов в год. В случае
меньшего количества часов в неделю экономия времени может быть достигнута путем
исключения из рассмотрения отдельных тем или с помощью сокращения объема материала
внутри тем. Темы факультатива независимы друг от друга и могут изучаться в любом
разумном порядке; объем материала в каждой из них допускает естественное сокращение.
Тематическое планирование предусматривает организационные занятия для комплектования
групп, входного тестирования. Предусмотрено также время на индивидуальные и групповые
консультации.
Численность обучающихся в группе – 10 - 15 человек.
Основные направления деятельности
Основную часть времени школьники 3-7 классов решают задачи. Это же можно сказать
и о первом годе обучения для 8-11-классников. Теоретические факты могут быть как
открыты обучающимися на задачном материале, так и объяснены педагогом. Формы
занятий: лекции, практические занятия по решению задач, игровые занятия.
Занятия для школьников 8-11 классов, занимающихся более одного года, построены
следующим образом. После изучения определенной темы (лекции, занятия по решению
задач, домашняя подготовка) проводится зачет. В зависимости от успехов воспитанников
творческого объединения, а также от участия их на соревнованиях в течение года
формируется команда города, участвующая в Российских фестивалях юных математиков.
Такой способ изучения материала нацеливает детей на более качественное изучение
материала и позволяет командам города добиваться успеха на областных, зональных и
Российских соревнованиях. Кроме еженедельных занятий обучающиеся (если они входят в
состав команды) могут готовиться к соревнованиям на дополнительных занятиях,
проводимых перед соответствующими соревнованиями.
Настоящая программа по математике рассчитана только на работу в детском
объединении в системе дополнительного образования. Кроме занятий, в Центре по
воскресеньям, в праздничные и каникулярные дни проводятся математические соревнования,
олимпиады, бои и др.
Знания и умения обучающихся в творческом объединении
Обучающиеся должны знать содержание олимпиадных идей, изученных на занятиях, и
уметь применять их при решении задач. Проверкой результативности обучения может быть
олимпиада (городская для учащихся 8-11 классов, накопительная для 5-7-классников) и
другие математические соревнования, а также достижения школьников, полученные ими в
ходе научной деятельности. При этом успешность обучения определяется не местом,
4
занятым школьником на олимпиаде, а числом решенных им задач и сложностью самих задач.
Два раза в год в ходе промежуточной и итоговой аттестации осуществляется мониторинг
результатов обучения и личностного развития в ходе освоения дополнительной
образовательной программы. Для обучающихся выстраиваются индивидуальные маршруты
(траектории) освоения дополнительной образовательной программы.
Ожидаемые результаты
 Умение школьников принимать неочевидные решения, видеть нестандартные ход как
в учебной деятельности, так и в повседневной жизни.
 Значительное опережение сверстников в областях знаний, связанных с математикой.
 Успешное общение как с взрослыми, так и со сверстниками.
 Умение эффективно работать над поставленной проблемой в коллективе.
 Устойчивый интерес к предмету и к внепрограммному материалу.
 Способность самостоятельно изучать материал.
 Умение планировать свою деятельность.
 Способность к самоконтролю.
 Умение составлять олимпиадные математические задачи.
 Умение и потребность проводить исследования в различных сферах деятельности.
 Получение некоторыми школьниками научных результатов.
 Успешное выступление школьников на математических соревнованиях.
 Поступление школьников на математические специальности ведущих ВУЗов страны.
 Рост успеваемости по школьным математическим дисциплинам.
 Усвоение математического содержания программы.
 Наличие определенной культуры при решении математических задач.
 Умение применять знания в смежных с математикой областях деятельности.
Условия реализации программы
Для успешной реализации программы имеются: помещения, удовлетворяющие
требования к образовательному процессу в учреждениях дополнительного образования,
кабинет математики, компьютер, принтер и ксерокс для работы педагогов, телефон с
выходом на межгород, электронная почта. В качестве поощрения для наиболее успешно
занимающихся школьников используются награждения по результатам их олимпиадной
деятельности в течение года, поездки в лагеря и на сборы, на соревнования за пределы
города и области, обеспечение необходимой литературой
5
2. Примерный учебно - тематический план.
2.1. Первый год обучения
175,5 ч (4,5 часа в неделю, 39 недель). Из них: 8 ч – организационные занятия; 19,5 ч –
индивидуальные консультации; 14ч – резервное время
№ Тематический блок
Количество часов Всего
Итоги (форма
подведения)
Теория Практика часов
Организационные занятия
8
(комплектование группы,
собеседование, инструктаж по ТБ)
1. ВВОДНОЕ
1
1
Устный опрос
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОЛЬКЛОР
18
42
60
Тест
3. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
2
14
16
Зачет
4.
ОЛИМПИАДНЫЕ ИДЕИ
20
22
42
Зачет
5.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ
ТРУДНОСТИ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
СОРЕВНОВАНИЯ (резервное время)
Индивидуальные консультации
Итого:
4
19
23
Зачет
2
12
14
Зачет
109
19,5
175,5
6.
47
6
3. Содержание программы.
3.1. Первый год обучения
Тема: ВВОДНОЕ ЗАНЯТИЕ (1ч).
Знакомство с детьми, их интересами, пожеланиями. Знакомство с предметом изучения.
Проведение анкетирования. Знакомство с техникой безопасности на рабочем месте.
Тема: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОЛЬКЛОР (60 ч).
Фольклор: задачи о лампочках, о холодильнике и др. Криптарифмы (ребусы с
цифрами).Последовательности, угадывание закономерностей. Игры со спичками.
Математические игры (квадрат, пики-фазы и др.). Математические ребусы и шифровки.
Магические квадраты. Итоговое занятие по играм. Логические задачи:правда и ложь, рыцари
и лжецы. Логические задачи: метод таблиц. Нехватки и избытки, метод Прокруста.
Переправы. Переливания. Взвешивания. Математические парадоксы и софизмы. Задачишутки и задачи-смекалки. Итоговое занятие.
Тема: СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (16 ч).
Сведения из истории: шестидесятеричная система счисления Древнего Вавилона,
возникновение десятичной системы счисления. Пятеричная система счисления.
Восьмеричная и двоичная системы счисления. Системы счисления с другими основаниями.
Итоговое занятие по системам счисления.
Тема: ОЛИМПИАДНЫЕ ИДЕИ (42 ч).
Разрезание фигур на клетчатой бумаге. Задачи на раскраску. Итоговое занятие по
разрезанию фигур и раскраске. Четные и нечетные числа, действия с ними. Чередование.
Итоговое занятие по четности. Комбинаторика: перебор, кодирование. Комбинаторика:
таблицы, схемы. Решение задач с конца (обратный ход). Подсчет двумя способами. Задачи с
многовариантными решениями. Занимательные задачи.
Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ(23 ч).
Городские накопительные олимпиады. Задачи городского лагеря. Конкурс "Кенгуру".
Математические соревнования. Математический бой. Устная олимпиада. Зачет.
4. Умения и знания учащихся
4.1. Первый год обучения
 Устойчивый интерес к предмету и к внепрограммному материалу.
 Усвоение ряда идей и способов рассуждения.
 Понимание, почему задача не решена.
 Учащиеся должны знать содержание олимпиадных идей, изученных на занятиях.
 Уметь применять их при решении задач.
7
2. Учебно - тематический план
2.2. Второй год обучения
175,5 ч (4,5 часа в неделю, 39 недель). Из них: 8 ч – организационные занятия; 19,5 ч –
индивидуальные консультации; 12ч – резервное время
№ Тематический блок
Количество часов Всего
Итоги (форма
подведения)
Теория Практика часов
Организационные занятия
8
(комплектование группы,
собеседование, инструктаж по ТБ)
1. ВВОДНОЕ
1
1
Устный опрос
2. ДЕЛИМОСТЬ
2
18
20
Зачет
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОЛЬКЛОР
12
34
46
Тест
3.
4.
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
2
10
12
Зачет
5.
ОЛИМПИАДНЫЕ ИДЕИ
10
27
37
Зачет
6.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ
ТРУДНОСТИ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
СОРЕВНОВАНИЯ (резервное время)
Индивидуальные консультации
Резервное время
Итого:
4
12
16
Зачет
12
12
Зачет
113
19,5
12
175,5
7.
31
8
3. Содержание программы
3.2. Второй год обучения
Тема: ВВОДНОЕ ЗАНЯТИЕ (1ч).
Встреча с детьми, выяснение пожеланий учащихся. Повторение предмета изучения.
Проведение анкетирования. Знакомство с техникой безопасности на рабочем месте.
Тема: ДЕЛИМОСТЬ (20 ч).
Разбиение на пары. Чередование. Четные и нечетные числа, действия с ними.
Итоговое занятие по четности. Факториал, его свойства. Признаки делимости на делители
10k, 10k+1, 10k-1. Задачи и игры с использованием признаков и свойств делимости. Итоговое
занятие по признакам делимости.
Тема: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОЛЬКЛОР (46 ч).
Фольклор: задачи о лампочках, о холодильнике, задача обхода конем шахматной доски, о
ломаной и др. Криптарифмы (ребусы с цифрами). Последовательности, угадывание
закономерностей. Переправы. Переливания.
Математические игры (квадрат, пики-фазы и др.). Великаны и карлики в мире чисел.
Математические ребусы и шифровки. Математические парадоксы и софизмы. Разрезание
фигур.
Тема: СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (12 ч).
Сведения из истории: шестидесятеричная система счисления Древнего Вавилона,
возникновение десятичной системы счисления. Римская система счисления, системы
счисления других народов. Непозиционные и позиционные системы счисления.
Восьмеричная и двоичная системы счисления.
Тема: ОЛИМПИАДНЫЕ ИДЕИ (37 ч).
Шахматная раскраска. Раскраска "полоска". Диагональные раскраски. Раскраска
"кирпичики". Итоговое занятие по раскраске. Изображение данных задачи в виде графа.
Решение алгоритмических задач с помощью графов: задачи на переправы, переливания,
лифт, перекладывания, считалки. Задача о вычерчивании фигуры без отрыва от бумаги.
Итоговое занятие по графам. Решение задач с конца (обратный ход). Подсчет двумя
способами. В темноте берут. Принцип Дирихле в дискретной форме. Итоговое занятие по
принципу Дирихле. Игры – шутки (один из играющих побеждает независимо от игры обоих).
Симметричная стратегия. Разбиение объектов на пары. Идея заповедника. Идея отсутствия
выбора у одного или обоих игроков. Итоговое занятие по играм.
Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ(16).
Городские накопительные олимпиады. Задачи городского лагеря. Конкурс "Кенгуру".
Математические соревнования. Математический бой. Устная олимпиада. Зачет.
4. Умения и знания учащихся
4.2. Второй год обучения
 Значительное опережение сверстников в решении нестандартных задач.
 Усвоение большого числа идей.
 Умение отличать решенную задачу от нерешенной.
Наличие определенной культуры при решении математических задач.
9
2. Примерный учебно - тематический план
2.3. Третий год обучения
175,5 ч (4,5 часа в неделю, 39 недель). Из них: 8 ч – организационные занятия; 19,5 ч –
индивидуальные консультации; 12ч – резервное время
№ Тематический блок
Количество часов Всего
Итоги (форма
подведения)
Теория Практика часов
Организационные занятия
8
(комплектование группы,
собеседование, инструктаж по ТБ)
1. ВВОДНОЕ
1
1
Устный опрос
2. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
8
29
37
Зачет
3.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
20
32
52
Зачет
4.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ЛИНИИ
В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
4
20
24
Зачет
5.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
СОРЕВНОВАНИЯ
14
14
Зачет
6.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ
ТРУДНОСТИ
12
16
Зачет
107
19,5
12
175,5
Индивидуальные консультации
Резервное время
Итого:
4
37
10
3. Содержание программы
3.3. Третий год обучения
Тема: ВВОДНОЕ ЗАНЯТИЕ (1ч).
Встреча с детьми, выяснение пожеланий учащихся. Повторение предмета изучения.
Проведение анкетирования. Знакомство с техникой безопасности на рабочем месте.
Тема: СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (37 ч).
Сведения из истории: шестидесятеричная система счисления Древнего Вавилона,
возникновение десятичной системы счисления. Римская система счисления, системы
счисления других народов. Непозиционные и позиционные системы счисления.
Восьмеричная и двоичная системы счисления. Системы счисления с другими основаниями.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Действия над натуральными числами
в различных системах счисления. Свойства записи чисел в системах с различными
основаниями. Применение систем счисления: решение задач на взвешивания; игры,
использующие двоичную систему счисления; игры, использующие систему счисления,
основанную на ряде чисел Фибоначчи.
Тема: ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ (52 ч)
1. Делимость.
Целые и натуральные числа, определение делимости. Теорема о делении с остатком.
Текстовые задачи на делимость. Задачи на свойства делимости «на буквах». Разбиение на
пары. Чередование. Четные и нечетные числа, действия с ними. Четность как инвариант.
Разные задачи на чётность. Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел.
Решето Эратосфена. НОД и НОК. Алгоритм Евклида, другие способы нахождения НОД.
Лемма о разложении единицы. Китайская теорема об остатках. Задачи на простые числа,
НОД, НОК.
Основная теорема арифметики (единственность разложения числа на простые множители).
Признаки делимости на делители 10k, 10k+1, 10k-1. Задачи и игры с использованием
признаков и свойств делимости. Количество и сумма делителей. Совершенные числа. Числа,
имеющие нечетное число делителей.
2. Решение уравнений. Сравнения.
Факториал, его свойства. Делимость факториала на степень простого числа. Целая и
дробная часть числа, их свойства. Нерешенная проблема: уравнение x!y!=z!. Целозначные
многочлены, задачи на их построение и доказательство. Задачи, решаемые разбиением
множества чисел на классы. Теорема о рациональных корнях многочлена, решение задач.
Критерий Эйзенштейна, решение задач. Действия с остатками. Понятие о сравнениях,
действия с ними. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма (малая). Теорема Вильсона.
Решение сравнений. Простейшие диофантовы уравнения (1, 2 степени). Цикличность:
повторение последней цифры у степеней какого-либо целого числа. Повторение цифр, чисел
в различных ситуациях, предпериод. Длина периода десятичной дроби.
3. Раскраски.
Шахматная раскраска. Полоска. Диагональные раскраски. Кирпичики. Как составить задачу
на раскраску. Раскраска пространственных объектов. Разные раскраски. Задача о ящиках и
коробках (плоский и пространственный варианты).
4. Специальные вопросы.
Ряды Фарея, их построение. Спектр числа. Разбиения множества натуральных чисел.
Алгоритмы представления дроби в виде суммы дробей с числителем 1 (алгоритм Фибоначчи
и др.). Числа Фибоначчи, их свойства.
Тема: ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ (24 ч).
11
Центр окружности, описанной около треугольника. Центр окружности, вписанной в
треугольник. Точка пересечения медиан (центр тяжести треугольника). Точка пересечения
высот (ортоцентр).
Прямая Эйлера. Окружность девяти точек. Точка Микеля. Прямая Симсона. Точки Брокара.
Тема: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ (14 ч)
Математические игры (квадрат, пики-фазы и др.). Математический бой. Устная олимпиада.
Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ (16ч)
1. Фольклор. Логические задачи.
Фольклор: задачи о лампочках, о холодильнике, о переаттестации, о 20 грабителях, задача
обхода конем шахматной доски, о ломаной, о долготе и широте, о поезде, о справедливом
разделе и др. Круги Эйлера. Логические задачи: правда и ложь, рыцари и лжецы. Логические
задачи: метод таблиц. Криптарифмы (ребусы с цифрами). Последовательности, угадывание
закономерностей. Решение задач с конца (обратный ход). Подсчет двумя способами.
Переправы. Переливания. Взвешивания.
2. Графы.
Изображение данных задачи в виде графа. Решение алгоритмических задач с помощью
графов: задачи на переправы, переливания, лифт, перекладывания, считалки. Задача о
вычерчивании фигуры без отрыва от бумаги. Эйлеровы графы. Связность, деревья.
3. Углубление школьного курса.
Задачи на проценты. Задачи на движение. Задачи на сравнение чисел. Задачи на построение
примера в области арифметики. Магические квадраты, поиск слагаемых по попарным
суммам и др.). Общие способы заполнения для магических квадратов с нечетными
сторонами и сторонами, кратными четырем.
Таблицы.
4. Разборы олимпиад.
Накопительные олимпиады. Задачи городского лагеря. Уральский турнир. Турнир городов.
Конкурс "Кенгуру". Турнир Колмогорова.
12



4. Умения и знания учащихся
4.3. Третий год обучения
Самостоятельное решение значительного количества задач на новые (неизвестные)
идеи.
Изобретение своих способов решения, по красоте не уступающих авторским.
Первые успехи на городской олимпиаде, турнире городов за 8 класс.
2. Примерный учебно - тематический план
2.4. Четвертый год обучения
175,5 ч (4,5 часа в неделю, 39 недель). Из них: 8 ч – организационные занятия; 19,5 ч –
индивидуальные консультации; 12ч – резервное время
№ Тематический блок
Количество часов Всего
Теория Практика часов
8
Итоги (форма
подведения)
1
5
25
1
30
Устный опрос
Зачет
2
22
24
Зачет
4.
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛОГИКИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
4
16
20
Зачет
5.
МЕТОД КООРДИНАТ
2
14
16
Зачет
6.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ
2
28
30
Зачет
7.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ
ТРУДНОСТИ
Индивидуальные консультации
Резервное время
Итого:
5
18
23
Зачет
123
19,5
12
175,5
1.
2.
3.
Организационные занятия
(комплектование группы,
собеседование, инструктаж по ТБ)
ВВОДНОЕ
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
21
13
3. Содержание программы
3.4. Четвертый год обучения
Тема: ВВОДНОЕ ЗАНЯТИЕ (1ч).
Встреча с детьми, выяснение пожеланий учащихся. Повторение предмета изучения.
Проведение анкетирования. Знакомство с техникой безопасности на рабочем месте.
Тема: ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА (30 ч)
Множества и операции над ними. Множества натуральных, целых, рациональных и
действительных чисел. Развитие понятия числа. Рациональные числа и измерения.
Несоизмеримые отрезки и иррациональные числа. Плотность множества рациональных
чисел. Приближение действительных чисел десятичными дробями и практические
измерения. Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность
множества действительных чисел. Задачи о гостиницах. Понятие о равномощности
множеств; числовой и точечный континуумы. Построение взаимно однозначного
соответствия для нахождения мощности множеств. Канторово множество, ковер и кладбище
Серпинского, другие экзотические примеры. Теорема Кантора - Бернштейна. Теорема
Кантора. Континуум-гипотеза (обсуждение).
Тема: ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ (24 ч).
Высказывания. Операции над высказываниями. Формулы логики высказываний.
Кванторы. Символическая запись формулировок аксиом, теорем, определений. Формулы
логики предикатов. Построение аксиоматической теории. Полнота и непротиворечивость
аксиоматической теории. Алгебра логики. Решение логических задач средствами алгебры
логики.
Тема: ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ (20 ч).
Сведения из истории: классические задачи, неразрешимые с помощью циркуля и
линейки. Базовые построения. Построение треугольника по заданным элементам.
Построение треугольника по различным точкам. Общая схема решения задач на построение.
Метод геометрических мест точек (построение точек как пересечения двух линий). Метод
подобия. Метод гомотетии. Метод вписанных улов. Метод поворота. Метод спрямления.
Метод осевой симметрии. Метод центральной симметрии. Метод параллельного переноса.
Задачи на построение окружностей, касательных к окружностям. Алгебраический метод.
Построение отрезков заданной длины. Построения с помощью одной линейки. Построения с
помощью одного циркуля, на ограниченном куске плоскости. Построения с помощью
двусторонней линейки. Построения с помощью прямого угла.
Тема: МЕТОД КООРДИНАТ (16 ч).
Декартова система координат. Уравнения линий. Графики уравнений и неравенств.
Нахождение и обоснование свойств фигур. Решение задач на построение в координатах.
Кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола), их свойства. Распадающиеся кривые.
Понятие о классификации кривых второго порядка. Знаменитые кривые.
Тема: ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ (30 ч).
Осевая симметрия. Центральная симметрия. Поворот. Параллельный перенос.
Свойства движений. Понятие об ориентации плоскости. Теорема Шаля. Теоремы о
композициях двух симметрии, двух поворотов. Применение движений к доказательству
теорем и решению задач. Преобразование подобия. Применение теорем о подобии к
решению задач. Преобразование гомотетии.
14
Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ (23 ч)
1. Принцип Дирихле.
В темноте берут... Принцип Дирихле в дискретной форме. Обобщенный принцип Дирихле в
дискретной форме: раскраска фигур, расположение точек, числа определенного вида и др.
Принцип Дирихле в непрерывной форме, его применение при решении олимпиадных задач с
геометрическим содержанием: покрытие отрезков, покрытие площадей, углы и др.
2. Графы.
Задачи, решаемые без применения теории. Четность суммы степеней. Классы графов
(однородные, плоские и др.). Задача Рамсея, элементы теории Рамсея для графов. Маршруты,
связность, теоремы о связности и числе компонент. Расстояния на графе. Деревья, теоремы о
деревьях, задачи на редукцию (разбиение на компоненты, выделение максимального дерева
и др.). Циклический ранг. Эйлеровы циклы и графы, критерий. Гамильтоновы циклы,
достаточное условие. Теорема Эйлера и ее следствия. Ориентированные графы.
Теорема о четырех красках (обсуждение). Двудольные графы, критерий. Раскраски на
графах, оценки хроматического числа. Функция Гранди, её применение в теории игр.
Паросочетания, теорема Холла, следствие о гареме. Олимпиадные задачи.
3. Игры.
Игры – шутки (один из играющих побеждает независимо от игры обоих). Симметричная
стратегия. Разбиение объектов на пары. Идея заповедника. Идея отсутствия выбора у одного
или обоих игроков. Выигрышные и проигрышные позиции. Возможность воспользоваться
стратегией другого игрока. Другие идеи (обзор). Игра "Ним". Игра "Цзяньшицзы". Игра
Гранди, функция Гранди.
4. Алгебраические задачи.
Неравенства: неотрицательность квадрата, неравенство Коши для 2 чисел, действия с
неравенствами, оценка. Разложение многочлена на множители, выделение квадратов. Задачи
с часами (совпадение стрелок, углы между ними).
Алгоритм извлечения квадратного корня. Решение уравнений в целых числах. Поиск
функций, закономерностей.
5. Комбинаторная геометрия.
Формула Пика. Неравенство треугольника. Задачи о распилах куба. Разрезание доски.
Расположение точек, прямых и окружностей. Точки с целыми координатами. Триангуляции,
лемма Шпернера.
6. Разборы олимпиад.
Городская олимпиада. Задачи городского лагеря. Областная олимпиада. Уральский турнир.
Турнир городов. Турнир Колмогорова.


4. Умения и знания учащихся
4.4. Четвертый год обучения
Усвоение всех классических олимпиадных идей для старших школьников.
Возможность самостоятельного изучения математики, в том числе олимпиадной.
Успешность апелляций на олимпиаде, общение с профессионалами на равных.
15
2. Примерный учебно-тематический план
2.5. Пятый год обучения
175,5 ч (4,5 часа в неделю, 39 недель). Из них: 8 ч – организационные занятия; 19,5 ч –
индивидуальные консультации; 14ч – резервное время
№ Тематический блок
Количество часов Всего
Теория Практика часов
8
Итоги (форма
подведения)
1
1
22
1
23
Устный опрос
Зачет
УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И ИХ
СИСТЕМЫ
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И
ФАКТЫ ГЕОМЕТРИИ
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
4
32
36
Зачет
2
16
18
Зачет
2
12
14
Зачет
6.
КОМБИНАТОРИКА, ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
6
30
36
Зачет
7.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ
ТРУДНОСТИ
Индивидуальные консультации
Резервное время
Итого:
4
12
16
Зачет
124
19,5
12
175,5
1.
2.
3.
4.
5.
Организационные занятия
(комплектование группы,
собеседование, инструктаж по ТБ)
ВВОДНОЕ
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
20
16
3. Содержание программы
3.5. Пятый год обучения
Тема: ВВОДНОЕ ЗАНЯТИЕ (1ч).
Встреча с детьми, выяснение пожеланий учащихся. Повторение предмета изучения.
Проведение анкетирования. Знакомство с техникой безопасности на рабочем месте.
Тема: ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ (23 ч).
Методы задания функций. Четные и нечетные функции, свойства их графиков.
Периодические функции. Элементарные методы исследования функций: нахождение точек
пересечения с осями координат, нахождение особых точек (экстремумов, точек перегиба).
Асимптотическое поведение функций. Дробно-линейные функции и их графики. Понятие о
функциях нескольких переменных. Функции в природе и технике.
Тема: УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ (36 ч).
1. Уравнения.
Основные методы решения рациональных уравнений: разложение на множители, введение
новой переменной. Деление многочленов. Схема Горнера. Теорема Безу. Нахождение
рациональных корней многочлена. Неприводимость некоторых многочленов с целыми
коэффициентами над полем рациональных чисел (доказательство невозможности
разложения).
2. Неравенства.
Метод интервалов - универсальный метод решения неравенств. Методы доказательства
неравенств. Неравенства о "средних". Теорема о сумме обратных величин.
3. Системы уравнений.
Системы рациональных уравнений; основные методы решения. Системы линейных
уравнений; их решение с помощью определителей. Формулы Крамера. Метод Гаусса.
Тема: ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ФАКТЫ ГЕОМЕТРИИ (18 ч).
Теорема Пифагора и ее роль в геометрии. Различные доказательства теоремы
Пифагора. Теоремы Чевы. Теорема Менелая. Теорема Птолемея. Теорема Карно. Теоремы
Паппа и Дезарга. Теорема Паскаля.
Тема: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА (14ч).
Развитие понятия числа: натуральные, целые, рациональные, действительные и
комплексные числа. Комплексные числа в алгебраической форме и арифметические
действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая
форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической
форме. Возведение в степень комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение корней из
комплексных чисел. Комплексные корни многочленов. Понятие об основной теореме
алгебры. Применения комплексных чисел.
Тема: КОМБИНАТОРИКА, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (36 ч).
1. Комбинаторика.
Правила суммы и произведения. Факториал, перестановки, размещения, сочетания с
повторениями. Перестановки, размещения, сочетания без повторений. Биномиальные и
полиномиальные коэффициенты и формулы, их связывающие. Формула включений исключений. Диаграммы Юнга. Задачи о целых точках. Числа Каталана (формула с
факториалами, рекуррентное соотношение). Числа Фибоначчи. Другие виды чисел с
конечным числом слагаемых в рекуррентной формуле. Комбинаторные задачи различных
олимпиад.
17
2. Теория вероятностей.
Случайные события. Классическое определение вероятности. Вычисление вероятности с
помощью формул комбинаторики. Теорема сложения. Независимые случайные события.
Независимые испытания. Условная вероятность. Формула Бернулли. Понятие о законе
больших чисел. Занимательные задачи вероятностного характера.
Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ (16 ч)
1. Метод математической индукции. Метод математической индукции.
Доказательство тождеств. Поиск правой части тождества. Задачи на делимость.
Доказательство неравенств по индукции. Разновидности индукции: база не n=1,
использование предположения при меньших n. Индукция по степеням двойки. Совместная
индукция.
2. Задачи на построение примера.
Таблицы. Последовательности. Доказательство правильности примера. Построение примера
с помощью индукции, с помощью процесса.
3. Комбинаторная геометрия.
Количество целых точек внутри окружности и под гиперболой. Метод крайнего, применение
в геометрии. Индукция в геометрии. Инварианты в геометрии. Простейшие геометрические
задачи на максимум и минимум.
4. Инвариант.
Понятие инварианта. Инварианты: делимость, делимость суммы или разности. Масса.
Ориентация. Числовые инварианты.
5. Соответствие .
6. Цикличность.
Условие повторяемости в одну сторону, решение олимпиадных задач. Условие
повторяемости в обе стороны (без предпериода), решение задач.
7. Разборы олимпиад.
Городская олимпиада. Задачи городского лагеря. Областная олимпиада. Фестиваль юных
математиков. Турнир городов. Турнир Колмогорова.
4. Умения и знания учащихся
4.5. Пятый год обучения


Успешное участие в областных, Российских, международных соревнованиях.
Успешное использование знаний в смежных областях, научная деятельность.
18
5. Методическое обеспечение программы
Реализация программы предполагает наличие определенной структуры организации
деятельности, которая включает следующие образовательные творческие группы:
 основные
 специализированные;
Основная группа. Набор в группу проводится ежегодно в начале сентября из учащихся 5-11
классов. Состав группы 10—15 учащихся. Занятия проходят по очной форме обучения 1—2
раза в неделю по 2 часа. При поступлении, с целью определения уровня математических
знаний, школьниками выполняется вступительное задание. После выполнения
вступительного задания, обучающиеся совместно с педагогом составляют индивидуальную
траекторию освоения программы.
Специализированные группы. Контингент специализированных групп формируется из
обучающихся основных групп для усиленной подготовки к участию в математических
соревнованиях. Состав каждой группы - 5 – 10 человек разного возраста, формируется с
учетом рейтинга обучающихся.
Обучение в группах строится следующим образом:
 Лекции.
 Семинары-практикумы
 Математические бои
Основными критериями оценки эффективности образовательного процесса являются:
 степень сформированности у обучающихся основных знаний, умений и
навыков, предусмотренных программой;
 способность школьников практически применять знания в конкретных
условиях, таких как семинар, конференция, олимпиада;
 участие в научно-практических конференциях, фестивалях, слётах,
олимпиадах;
 личностный рост обучающихся.
Оценка успешности каждого воспитанника в обучении осуществляется через ведение
рейтингового протокола. Являясь наиболее адекватным средством, поддерживающим
деятельностный подход к учебному процессу во всех звеньях: потребность - мотивы - цель –
условия – средства – действия – операции, рейтинговая система помогает организовать
деятельность воспитанников так, чтобы оптимально использовать индивидуальные качества
личности. Это достигается путем резкого расширения поля возможных учебных действий
учащегося, предложенной ему возможности выбора, осуществления собственной стратегии
деятельности при изучении конкретной темы. Включаются механизмы адаптации
воспитанника, чтобы он смог наиболее полно проявить себя в деятельности.
Основные принципы рейтинговой системы:
 независимость от характера межличностных отношений педагога и воспитанника;
 незнание не наказывается, стимулируется только прогресс в знаниях (исключен
элемент страха);
 воспитанник волен сам выбирать стратегию своей деятельности;
 весовые оценки предполагаемой деятельности заранее определены, то есть между
педагогом и воспитанником заключается контракт: педагог, с одной стороны,
обязуется обеспечить ученика разнообразной деятельностью, направленной на
достижение глобальной цели, а учащийся, с другой стороны, обязуется участвовать в
этой деятельности так, чтобы можно было бы определить его рейтинг по заранее
подготовленному алгоритму;
 при достижении определенной рейтинговой суммы воспитанник может претендовать
на участие в олимпиадах, турнирах, фестивалях разных уровней.
19
Мониторинг личностного развития обучающихся
при освоении образовательной программы
Показатели
Методики
1. Уровень личностного
развития
2. Уровень саморазвития
3. Уровень обученности
4. Достижения в
соревнованиях
Индивидуальная карточка учета динамики личностного развития
ребенка (Приложение )
Карта саморазвития (Приложение )
Мониторинг результатов обучения ребенка по дополнительной
образовательной программе (Приложение )
Ведение рейтингового протокола
Формы оценки полученных знаний и навыков
1. Зачеты (контрольные работы). По окончании каждого курса теоретических занятий во
всех учебных группах проводятся зачёты. Их целью становится не столько определение
уровня освоения знаний, сколько повторение и закрепление пройденного материала.
Варианты зачётной оценки могут быть как полюсные («зачет», «не зачет»), так и по
принципу накопления баллов (от 0 до 10).
2. Участие в олимпиадах разного уровня является проверкой не только полученных
теоретических знаний, но и их практического осмысления.
3. Конференции исследовательских работ позволяют оценить эффективность и степень
освоения материала по исследовательской деятельности. Представление исследовательских
работ допускается в форме устного доклада или презентации. Эта форма отчётности
способствует формированию у обучающихся ответственности за выполнение работы, логики
мышления, умения говорить перед аудиторией, отстаивать своё мнение, правильно
использовать необходимую научную терминологию, корректно и грамотно вести дискуссию.
Система мотивирования учащихся к активной деятельности




Рейтинговая система оценки достижений;
Нетрадиционные формы проведения занятий;
Возможности подготовки поступления в ВУЗ, сдачи ЕГЭ, профориентации;
Система поощрений (грамоты, дипломы, участие в Слете, турнирах,
пополнение Портфолио и др.)
Структура организуемого процесса в творческом объединении
Этапы организации
процесса
1. Диагностический
2. Поисковый
Содержание деятельности
Деятельность педагога
Деятельность учащегося
Совместно
с
психологом, Тестирование
учащимся
предлагаются
методики диагностики уровня
развития
познавательных
процессов.
Организация совместно с ребёнком поиска причин возникновения
проблемы, взгляд на ситуацию со стороны (приём «глазами
ребёнка»)
20
3. Договорный
4. Деятельностный
5.Рефлексивнооценочный
На основе результатов диагностики составляются индивидуальные
маршруты
личностного
саморазвития
обучающегося
(Приложение), где вместе с педагогом ставятся задачи
самообразования, самовоспитания, намечаются пути и сроки их
решения.
Создает условия для реализации Участие в олимпиадах разного
индивидуального
маршрута уровня, в интеллектуальных
развития ребенка
конкурсах
Реализация задач собственного
индивидуального маршрута
Участие в традиционных
коллективных делах.
В конце первого полугодия и в Заполнение Карты саморазвития
конце
года
проводится
мониторинг
результатов
Самооценка
собственной
обучения и
личностного деятельности
развития
ребенка
(Приложение),
заполняет
индивидуальные карты учета
динамики личностного развития
ребенка
(Приложение).
На
основе
промежуточного
мониторинга
корректируются
цели и задачи.
21
6. МОНИТОРИНГ РЕЗУЛЬТАТИВНОСТИ ОБУЧЕНИЯ
ПО ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЕ
«УГЛУБЛЕННОЕ ИЗУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ»
Задачи
1. Развитие
интеллекта
школьников
2. Развитие
математических
способностей
школьников
Ожидаемый
результат
Умение
школьников
принимать
неочевидные
решения, видеть
нестандартные
ходы как в
учебной
деятельности, так
и в повседневной
жизни.
Значительное
опережение
сверстников в
областях знаний,
связанных с
математикой.
Параметры
Критерии
Изобретение
школьниками
способов решение
проблем по
красоте
превосходящих
авторские
(общепринятые
Статистика и красота,
оригинальность таких
решений
Количество человек,
отмечающих
изменения,
произошедшие в
ребенке
Педагогический
консилиум
Наличие
обращений за
помощью по
предмету со
стороны старших
школьников и
студентов к
кружковцам
Успешность
выступлений на
соревнованиях
Количество
обращений
Наблюдения
учителей,
беседа
Количество побед на
математических
соревнованиях за
более старшие классы
(возрастные группы)
Наличие и
адекватность
распределения ролей
в коллективе в ходе
совместного решения
проблем
Сравнение
коллективного и
суммы личных
результатов
Рост количества
друзей среди членов
кружка
Исчезновение
барьеров общения по
разным признакам
Длительность и
частота
(интенсивность)
занятий математикой
вне школы и кружка
«в свое
удовольствие»
Количество
обращений
Анализ
результатов
соревнований
3. Развитие
коммуникативных
способностей
школьников
Успешное
общение как со
взрослыми, так и
со сверстниками
Соотношение
коллективного и
индивидуальных
результатов
Изменения круга
общения ребенка
4. Развитие
организационноволевых качеств
личности
школьников
Умение
эффективно
работать над
поставленной
проблемой в
коллективе.
Устойчивый
интерес к
предмету и к
внепрограммному
материалу
Место учебного
предмета в жизни
ребенка
Обращение к
педагогу по
22
Методы
отслеживания
Анализ
разрозненной
информации
Наблюдение
Беседа
Эксперимент
Социометрия
Анкетирование
Наблюдение
Эксперимент
Беседа с
родителями
Наблюдение
Статистика
(беседы при
вопросам
содержания,
непосредственно
не связанным с
изучаемым
материалом
Способность
Наличие умения
самостоятельно
самостоятельно
изучать материал изучать трудные
или значительные
по объему темы
Умение
Развитие навыков
планировать свою планирования
деятельность
Способность к
самоконтролю
5. Развитие
исследовательских
способностей
школьников
Умение
составлять
олимпиадные
математические
задачи
Умение и
потребность
проводить
исследования в
различных
сферах
деятельности
Получение
некоторыми
школьниками
научных
результатов
Умение
распределять
нагрузку по
времени
Умение
контролировать
ход выполнения
работ, требующих
длительного
времени
Успешность
ребенка как
«математического
композитора»
Успешность
исследовательской
деятельности
Характер вопросов и
сообщений, глубина
заинтересованности
личной встрече,
по телефону, email)
Степень
самостоятельности
(участие педагога)
Качество усвоения
Самоанализ
Беседа
Проверка
письменных
работ
Наблюдение
Эксперимент
Беседа с
родителями
Количество
усвоенных компонент
(построение сложных
планов, учет
взаимосвязей при
«распараллеливании
работы)
Степень
равномерности
распределения
нагрузки
Эффективность и
результативность
контроля
Уровень сложности
задач
Количество задач в
год
Красота идей
Спонтанность
Результативность
Широта областей
исследования
Глубина
исследования
Самостоятельность Степень участия
при получении
руководителя
результатов
Новизна
результатов
Научная
значимость
результатов
23
Наличие
опубликованных
работ с теми же
результатами у
других авторов: если
«да» - то степень
известности
результатов для
школьника
Представляет ли
интерес в научных
кругах
Наблюдение
Эксперимент
Беседа с
родителями
беседа
Наблюдение
Беседа
Отчеты детей
чтение, анализ
Оценка
эксперта
Беседа с
ребенком и
руководителем
Переписка
Работа с
источниками
Переписка
Массовость
6.Формирование
знаний и умений
по решению
олимпиадных
математических
задач
Успешное
выступление
школьников на
математических
соревнованиях
Поступление
школьников на
математические
специальности
ведущих ВУЗов
страны
Рост
успеваемости по
школьным
математическим
дисциплинам
Усвоение
математического
содержания
программы
Наличие
определенной
культуры при
решении
математических
задач
Рост успехов
школьников
(каждого в
отдельности) и
статистика по
учебной группе
Наличие высокого
процента
школьников,
поступивших на
математические
специальности
ведущих ВУЗов
страны
Наличие учеников
для которых
математика стала
профессией
Улучшение
успеваемости по
математическим
дисциплинам
Количество
школьников,
занимающихся
научной
деятельностью
Сравнение уровня
соревнований,
набранных балов,
дипломов, мест
Анализ
информации от
детей, из школ
Статистика по ВУЗам
Анализ
достаточно
разрозненных
сведений из
бесед с детьми,
их родителями
и учителями
Статистика по
профилю обучения
Анализ
результатов
соревнований
Да/нет, если «да» то
список
Изменения в
текущей, срезовой и
итоговой
успеваемости
Беседа с
родителями и
учителями
Анализ
журналов
Эксперимент
(проверочная
работа)
Беседа
Эксперимент
(проверочная
работа)
Беседа
Глубина усвоения
математических
знаний
% материала,
который ребенок
запомнил
Широта
применения
математических
знаний
Количество и
значимость
параметров задачи,
при изменении
которых школьник
умеет ее решать
Отсутствие неверно
Наблюдение
понятых рассуждений
Сравнение
сверстниками и
результатов на
взрослыми
соревнованиях
до и после
апелляции с
последующим
выяснение
причины в
беседе с
ребенком
Беседа с
командами по
окончании
командных
соревнований
Расширение набора
Наблюдение
Умение понятно
излагать свои
мысли как устно,
так и письменно
Отсутствие
24
логических
ошибок в
рассуждениях
Умение
алгоритмизировать
процесс поиска
решения
7. Расширение
кругозора
школьников
Умение
применять знания
в смежных с
математикой
областях
деятельности
Улучшение
успеваемости,
успехов на
соревнованиях в
смежных с
математикой
областях
схем рассуждений,
выполняемых без
логических ошибок
Увеличение числа
известных школьнику
алгоритмов поиска
решения
Проверка
письменных
работ
Наблюдение
Беседа
Проверка
письменных
работ
Результативность
Наблюдение
применения
Беседа
алгоритмов поиска
Проверка
решения
письменных
работ
Корелляция между
Анализ
успешностью занятий достаточно
олимпиадной
разрозненных
математикой и
сведений из
успешностью занятий бесед с детьми,
математикой и
их родителями
естественнонаучными и учителями
дисциплинами
Анализ
(победы в
статистических
соревнованиях,
таблиц участия
успеваемость)
в
соревнованиях
Личная карта воспитанника творческого объединения
«Олимпиадная математика» (заполняется как дневник наблюдений)
Ф.И. воспитанника творческого объединения__________________________
Параметры
Критерии
1-й год
2-й год
3-й год
4-й год
5-й год
Изобретение
способов
решения
проблем по
красоте
превосходящих
авторские
(общепринятые
)
Наличие
обращений за
помощью по
предмету со
стороны
старших
школьников и
студентов к
воспитаннику
Успешность
выступлений на
соревнованиях
Статистика и
красота,
оригинальность
таких решений
Количество
человек,
отмечающих
изменения,
произошедшие
в ребенке
Количество
обращений
Количество
побед на
математически
х
соревнованиях
25
за более
старшие
классы
(возрастные
группы)
Соотношение
Наличие и
коллективного
адекватность
и
распределения
индивидуальны ролей в
х результатов
коллективе в
ходе
совместного
решения
проблем
Сравнение
коллективного
и суммы
личных
результатов
Изменения
Рост
круга общения
количества
воспитанника
друзей среди
членов
творческого
объединения
Исчезновение
барьеров
общения по
разным
признакам
Место учебного Длительность и
предмета в
частота
жизни
(интенсивность
воспитанника
) занятий
математикой
вне школы и
объединения «в
свое
удовольствие»
Обращение к
Количество
педагогу по
обращений
вопросам
Характер
содержания,
вопросов и
непосредственн сообщений,
о не связанным глубина
с изучаемым
заинтересованн
материалом
ости
Наличие
Степень
умения
самостоятельно
самостоятельно сти (участие
изучать
педагога)
трудные или
Качество
значительные
усвоения
по объему темы
Развитие
Количество
навыков
усвоенных
планирования
компонентов
26
Умение
распределять
нагрузку по
времени
Умение
контролировать
ход
выполнения
работ,
требующих
длительного
времени
Успешность
ребенка как
«математическ
ого
композитора»
Успешность
исследовательс
кой
деятельности
Самостоятельн
ость при
получении
результатов
Новизна
результатов
Научная
значимость
результатов
Массовость
(построение
сложных
планов, учет
взаимосвязей
при
«распараллелив
ании работы»)
Степень
равномерности
распределения
нагрузки
Эффективность
и
результативнос
ть контроля
Уровень
сложности
задач
Количество
задач в год
Красота идей
Спонтанность
Результативнос
ть
Широта
областей
исследования
Глубина
исследования
Степень
участия
руководителя
Наличие
опубликованны
х работ с теми
же
результатами у
других
авторов: если
«да» - то
степень
известности
результатов
для
воспитанника
Представляет
ли интерес в
научных кругах
Количество
школьников,
занимающихся
27
Рост успехов
воспитанника
Наличие
высокого
процента
школьников,
поступивших
на
математические
специальности
ведущих ВУЗов
страны
Наличие
учеников, для
которых
математика
стала
профессией
Улучшение
успеваемости
по
математически
м дисциплинам
Глубина
усвоения
математически
х знаний
Широта
применения
математически
х знаний
Умение
понятно
излагать свои
мысли как
устно, так и
письменно
Отсутствие
логических
ошибок в
рассуждениях
научной
деятельностью
Сравнение
уровня
соревнований,
набранных
балов,
дипломов, мест
Статистика по
ВУЗам
Статистика по
профилю
обучения
Да/нет, если
«да» то список
Изменения в
текущей,
срезовой и
итоговой
успеваемости
% материала,
который
ребенок
запомнил
Количество и
значимость
параметров
задачи, при
изменении
которых
школьник
умеет ее
решать
Отсутствие
неверно
понятых
рассуждений
сверстниками и
взрослыми
Расширение
набора схем
рассуждений,
выполняемых
28
без логических
ошибок
Умение
алгоритмизиро
вать процесс
поиска
решения
Увеличение
числа
известных
школьнику
алгоритмов
поиска
решения
Результативнос
ть применения
алгоритмов
поиска
решения
Улучшение
успеваемости,
успехов на
соревнованиях
в смежных с
математикой
областях
Корелляция
между
успешностью
занятий
олимпиадной
математикой и
успешностью
занятий
математикой и
естественнонау
чными
дисциплинами
(победы в
соревнованиях,
успеваемость)
Мониторинг результатов обучения ребенка по дополнительной образовательной
программе____Углубленное изучение математики___________
Название детского объединения___Олимпиадная математика
По_______10___________бальной системе
Ф.И.О. педагога Смирнов Алексей Иванович
Показатели
(оцениваемые
параметры)
Критерии
Степень
выраженности
оцениваемого
качества
1. Теоретическая подготовка ребенка
29
Возможное
количество
баллов
Методы
диагностики
1.1. Теоретические
знания (по основным
разделам учебнотематического плана)
1.2. Владение
специальной
терминологией
Соответствие
теоретических знаний
ребенка программным
требованиям
Осмысленность и
правильность
использования
специальной
терминологии
- минимальный
уровень
(ребенок овладел
менее чем ½ объема
знаний
предусмотренных
программой),
- средний уровень
(объем усвоенных
знаний составляет
более ½ ),
- максимальный
уровень (ребенок
освоил практически
весь объем знаний,
предусмотренных
программой)
- минимальный
уровень
(ребенок избегает
употреблять
специальные
термины),
- средний уровень
(ребенок сочетает
специальную
терминологию ),
- максимальный
уровень (ребенок
осознанно
употребляет
математическая
терминологию)
1
- минимальный
уровень
(ребенок сумел
правильно выполнить
не менее чем 50 %,
предусмотренных
программой),
- средний уровень
(правильно выполнил
более 60%),
- максимальный
уровень (ребенок
выполнил от 80% до
100% заданий
предусмотренных
программой)
- начальный уровень
(ребенок в состоянии
составить простейшие
задачи и задания)
- репродуктивный
уровень ( составляют
задачи и задания на
основе образца )
- творческий уровень
( проявляют элементы
творчества при
1
Тестирование,
Контрольный опрос
и результаты
накопительной
олимпиады
5,5
10
1
5,5
Собеседование,
математический
дактант.
Математический
словарь
10
2. Практическая подготовка ребенка
2.1.Практические
умения и навыки,
предусмотренные
программой
(по основным
разделам учебнотематического плана)
2.2. Творческие
навыки
Соответствие
практических умений
и навыков ребенка
программным
требованиям
Умение составлять
собственные заданий
и задачи
30
5,5
Математические
бои,
самостоятельные
работы
обучающихся
10
1
5,5
10
Контрольное
задание, олимпиады
составлении задания с
элементами
творчества)
3. Общеучебные умения и навыки ребенка
3.1. Учебноинтеллектуальные
умения
А) умение подбирать и
анализировать
специальную
литературу
(математические
справочники)
Самостоятельность в
подборе и анализе
литературы
Б) умение
пользоваться
компьютерными
источниками
информации
Самостоятельность в
пользовании
компьютерными
источниками
информации
В) умение
осуществлять учебноисследовательскую
работу (писать
рефераты, проводить
самостоятельные
исследования)
3.2. Учебнокоммуникативные
умения
А) умение слушать и
слышать педагога
Самостоятельность в
учебноисследовательской
работе
Адекватность
восприятия
информации идущей
от педагога
- минимальный
уровень умений
(ребенок испытывает
серьезные
затруднения при
работе с литературой)
- средний уровень
(работает с помощью
педагога )
- высокий уровень
(работает с
литературой
самостоятельно, не
испытывает
трудностей)
1
- минимальный
уровень умений
(ребенок испытывает
серьезные
затруднения при
работе с
компьютером)
- средний уровень
(работает с помощью
педагога)
- высокий уровень
(работает с
компьютером
самостоятельно, не
испытывает
трудностей)
1
- минимальный
уровень умений
(ребенок испытывает
серьезные
затруднения в
исследовательской
работе)
- средний уровень
(работает с помощью
педагога)
- высокий уровень
(ведет исследования
самостоятельно, не
испытывает
трудностей)
1
- минимальный
уровень умений
восприятия
информации
- средний уровень
умений восприятия
информации
1
31
5,5
Исследовательские
работы, рефераты,
проекты.
10
5,5
Наблюдение,
компьютерные
задания, работа в
Интернете,
компьютерные
тестирования.
10
5,5
Семинары,
Участие в
Научнопрактические
конференции.
10
5,5
Наблюдение
- высокий уровень
умений восприятия
информации
Б) умение выступать
перед аудиторией
В) умение вести
полемику, участвовать
в дискуссии
3.3. Учебноорганизационные
умения и навыки
А) умение
организовывать свое
рабочее место
Б) навыки соблюдения
правил безопасности
Свобода владения и
подачи
подготовленной
информации
Самостоятельность в
построении
дискуссионного
выступления
Самостоятельность в
организации своего
рабочего места
Соответствие навыков
программным
требованиям
10
- минимальный
уровень умений
владения и подачи
информации (с листа)
- средний уровень
умений владения и
подачи информации
(с листа с
привлечением ТСО)
- высокий уровень
умений владения и
подачи информации
(свободно с
использованием ТСО)
1
- минимальный
уровень умений в
построении
дискуссионного
выступления
- средний уровень
умений владения в
построении
дискуссионного
выступления
- высокий уровень
умений в построении
дискуссионного
выступления
1
- минимальный
уровень умений в
организации своего
рабочего места
- средний уровень
умений в организации
своего рабочего места
- высокий уровень
умений в организации
своего рабочего места
1
- минимальный
уровень навыков
соблюдения правил
безопасности
- средний уровень
навыков соблюдения
правил безопасности
- высокий уровень
навыков соблюдения
правил безопасности
Открытые занятия,
конференции,
семинары, круглые
столы,
5,5
10
Дискуссии, круглые
столы с
подведением итогов
олимпиад
5,5
10
Наблюдение
5,5
10
1
Наблюдение
5,5
10
В) умение аккуратно
выполнять работу
Аккуратность и
ответственность в
работе
- минимальный
уровень умения
аккуратно выполнять
работу
- средний уровень
умения аккуратно
32
1
5,5
Наблюдение
выполнять работу
- высокий уровень
умения аккуратно
выполнять работу
10
Мониторинг личностного развития ребенка в процессе освоения программы
дополнительного образования_______________ __________
Название творческого объединения________ Олимпиадная математика________
Ф.И.О. педагога Смирнов А.И.
Показатели
1.Организационно
волевые качества:
1.1. Терпение
1.2. Воля
Критерии
Степень выраженности
оцениваемого качества
Возможное
количество
баллов
Способность
переносить
известные
нагрузки в
течение
определенного
времени,
преодолевая
трудности
- Терпения хватает
менее, чем на ½ занятия
- Терпения хватает на ½
занятия
- Терпения хватает на
все занятие
1
А
5.5
Б
10
Л
Способность
активно
побуждать себя
Методы
диагностик
и
Н
Ю
Д
- Волевые усилия
ребенка побуждаются
извне
- Иногда – самим
33
1
5.5
10
Е
Н
к практическим
действиям
1.3.Самоконтроль
Умение
контролировать
свои поступки
2. Ориентационные
качества:
2.1. Самооценка
2.2. Интерес к
занятиям
3. Поведенческие
качества:
3.1. Конфликтность
3.2. Тип
сотрудничества
(отношение ребенка
к общим делам
детского
объединения)
ребенком
- Всегда – самим
ребенком
И
1
Е
- Ребенок находится под 5.5
постоянным контролем
извне
10
- Периодически
контролирует себя сам
- Постоянно
контролирует себя сам
Анкетирова
ние
Способность
оценивать себя
адекватно
реальным
достижениям
Осознанное
освоение
ребенком
образовательной
программы
- завышенная
- заниженная
- нормальная
1
5.5
10
- интерес к занятиям
продиктован извне
- интерес периодически
поддерживается самим
ребенком
- интерес постоянно
поддерживается самим
ребенком
1
5.5
10
Тестирован
ие
Способность
занять
определенную
позицию в
конфликтной
ситуации
Умение
воспринимать
общие дела. Как
свои
собственные
- Периодически
провоцирует
конфликты
- сам в конфликтах не
участвует, старается их
избегать
- Пытается
самостоятельно
возникающие
конфликты
- Избегает участия в
общих делах
- Участвует при
побуждении извне
- Инициативен в общих
делах
1
5.5
10
1
5.5
10
7. Результативность работы по программе.
34
Наблюдени
е
О результативности работы творческого объединения говорит тот факт, что его
воспитанники востребованы и являются участниками мероприятий образовательного
учреждения, муниципального, регионального, российского и международного уровней.
За 2004 - 2008 годы воспитанники
творческого объединения неоднократно
участвовали в различных математических конкурсах, математических боях, турнирах,
олимпиадах, фестивалях городского, областного, регионального, всероссийского уровней.
Учащиеся ежегодно получают дипломы на областных (от 40 до 85 % всех дипломов),
окружных олимпиадах школьников по математике, участвуют в финалах Российской
олимпиады по математике. Призеры областных олимпиад: Житов Андрей, Сорокин
Александр, Ожигин Антон, Сотникова Анна, Трифонов Вячеслав, Антонов Павел,
Мельников Сергей, Кравец Василий, Савкина Елена, Ситов Максим, Фомичев Андрей,
Потапова Анна, Соколов Мирослав, Клейменов Алексей, Крижановский Алексей, Рысина
Анна, Телков Михаил.
Участники Международного Турнира городов: Кравец Василий, Савкина Елена, Ситов
Максим, Фомичев Андрей, Гринченко Эдуард, Антонов Павел, Хусаинов Ильяс, Шохин
Андрей, Пьянкова Валерия, Золотов Алексей, Андреев Александр, Хусаинова София,
Ермолин Дмитрий, Тупикина Татьяна, Марюкова Надежда, Разбегаева Ксения, Шигаревский
Дмитрий.
Воспитанники творческого объединения неоднократно становились призерами
российских (окружных) олимпиад: Ситов Максим, Соколов Мирослав, Хусаинов Ильяс ,
Кравец Василий, Золотов Алексей.
Приобретенные в творческом объединении «Олимпиадная математика», знания, умения и
навыки помогают нашим выпускникам, поступившим
в вузы, колледжи быстрее
адаптироваться и продолжать реализовывать свой потенциал.
35
Уровень участия в
исследовательской,
просветительской, социально
значимой деятельности
2
Тема участия в исследовательской,
просветительской, социально
значимой деятельности
Ф.И. воспитанников
1
Форма участия в
исследовательской, творческой,
просветительской, социально
значимой деятельности
Год
3
4
5
Антонов Павел, Кравец Василий, Савкина
Елена, Ситов Максим, Фомичев Андрей,
Соколов Мирослав, Клейменов Алексей,
Золотов Алексей, Андреев Александр,
Вересов Павел, Ермолин Дмитрий,
Белякова Мария, Сухарева Наталья,
Гринченко Эдуард, Татанова Зинаида,
Мозгалева Оксана, Шохин Андрей,
Хусаинов Ильяс
Ситов Максим, Соколов Мирослав,
Хусаинов Ильяс
Олимпиа
да
Олимпиада
Областной
Олимпиа
да
Олимпиада
2005/
2006
Кравец Василий, Савкина Елена, Ситов
Максим, Фомичев Андрей, Соколов
Мирослав, Татанова Зинаида, Потапова
Анна
Фестивал
ь
2005/
2006
Антонов Павел, Кравец Василий, Савкина
Елена, Ситов Максим, Фомичев Андрей,
Соколов Мирослав, Клейменов Алексей,
Золотов Алексей, Андреев Александр,
Вересов Павел, Ермолин Дмитрий,
Белякова Мария, Сухарева Наталья,
Гринченко Эдуард, Татанова Зинаида,
Мозгалева Оксана, Шохин Андрей,
Хусаинов Ильяс
Турнир
Турнир
математическ
их боев,
математическ
ая драка
Турнир
городов
Российский
(окружной
этап)
Российский
2005/
2006
2005/
2006
2006/
2007
Кравец Василий, Макова Наталья,
Гринченко Эдуард, Хусаинов Ильяс,
Шохин Андрей, Золотов Алексей,
Хусаинова София
2006/
2007
2006/
2007
Кравец Василий, Золотов Алексей
2006/
2007
Кравец Василий, Савкина Елена, Ситов
Максим, Фомичев Андрей, Гринченко
Эдуард, Антонов Павел, Хусаинов Ильяс,
Шохин Андрей, Пьянкова Валерия,
Золотов Алексей, Андреев Александр,
Хусаинова София, Ермолин Дмитрий,
Тупикина Татьяна, Марюкова Надежда,
Разбегаева Ксения, Шигаревский Дмитрий
Кравец Василий, Хусаинов Ильяс, Золотов
Алексей
Результативнос
ть
1 2 3 …
м м м …
6
7
8
9
2
3
3
10
гра
мот
3
грамоты
7
дипломов
Международ
ный
18
грамот и
дипломов
Фестивал
ь
Олимпиа
да
Олимпиа
да
Олимпиа
да
36
Турнир
математическ
их боев,
математическ
ая драка
Олимпиада
Российский
Олимпиада
Российский
(окружной
этап)
Областной
Олимпиада
7
дипломов
Российский
1
2
2
грамоты
1
1
грамота
1
5
9
гра
мот
2006/
2007
2007/
2008
2007/
2008
2007/
2008
2007/
2008
2007/
2008
2007/
2008
Кравец Василий, Савкина Елена, Ситов
Максим, Фомичев Андрей, Гринченко
Эдуард, Антонов Павел, Хусаинов Ильяс,
Шохин Андрей, Пьянкова Валерия,
Золотов Алексей, Андреев Александр,
Хусаинова София, Ермолин Дмитрий,
Тупикина Татьяна, Марюкова Надежда,
Разбегаева Ксения, Шигаревский Дмитрий
Разбегаева Ксения, Красильников Василий,
Попов Дмитрий, Марюкова Надежда,
Хусаинова София, Шохин Андрей,
Хусаинов Ильяс, Суворов Иван, Разгонова
Елена, Шигаревский Дима, Кожина Елена,
Серков Антон
Команда города 10 -11 класс
Команда ДЮЦ – команда ВМЛ
Шигаревский Дима, Кожина Елена,
Разбегаева Ксения, Красильников Василий,
Хусаинова Софья, Хусаинов Ильяс, Шохин
Андрей, Марюкова Надежда, Рябев
Александр, Андреев Александр,Серков
Антон
Турнир
Турнир
городов
Международ
ный
17
дипломов
Олимпиа
да
математическ
ая
Муниципаль
ный
Математ
ические
бои
Матем.
бой
Олимпиа
да
Школьникистуденты
Муниципаль
ный
56 : 64
ДЮЦ -ВМЛ
Муниципаль
ный
Областная
58 : 48
Турнир
Международный Турнир
городов
Вологда –
областной
Череповец
Вологда –
Череповец
Шигаревский Дима, Кожина Елена,
Разбегаева Ксения, Красильников Василий,
Хусаинова Софья, Хусаинов Ильяс, Шохин
Андрей, Марюкова Надежда, Рябев
Александр, Андреев Александр,Серков
Антон
Математ
ические
бои
2007/
2008
5 человек
Турнир
2007/
2008
6 человек
Фестивал
ь
Куриленко Константин,
Хусаинов Ильяс
Шигаревский Дима
Математичес
кая
ВологдаСокол
Второй
Южный
математическ
ий
Российский
Фестиваль
юных
математиков
3
8
диплом
ов
7
грамот
Одно 3 место
6 дипломов
5 грамот
диплом
Счет
49 : 46
62 : 28
46 : 64
Российский
Российский
2007/
2008
Хусаинов Ильяс
Разбегаева Ксения
IV Федеральный Окружной этап
Всероссийской олимпиады школьников
по математике
2007/
2008
Хусаинов Ильяс
V Заключительный этап Всероссийской
олимпиады школьников по математике
37
3
Два Диплома
III степени
5 грамот
участников
3-7 место (из
20)
Диплом за
успешное
выступление,
2 спецприза:
диплом
лучшего
оппонента
Фестиваля
2 Диплома
лучшего
участника
Диплом III
степени
Грамота за
успешное
выступление
Диплом
участника
8. Материально-техническое обеспечение программы.
Для возможности полноценной реализации данной программы необходимо следующее
материально-техническое обеспечение:
 Персональные компьютеры.
 Специально оборудованное помещение для работы.
 Соответствующая мебель, оборудование, письменные принадлежности.
 Литература. Учебные пособия.
38
9. Литература
I. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА
1. Бугаенко В.О. Уравнения Пелля. М.:МЦНМО, 2001. 32 стр.
2. Колосов В.А. Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики. М.: Гелиос
АРВ, 2001. 256 стр.
3. Олимпиады. Алгебра. Комбинаторика. Новосибирск, 1979. 176 стр.
4. Прасолов В.В. Многочлены. М.:МЦНМО, 2003. 336 стр.
5. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной
математики. Арифметика и алгебра. М.:Наука, 1976. 384 стр.
6. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной
математики. Арифметика и алгебра. М.:Физматлит, 2001. 480 стр.
7. Черемушкин А.В.Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. М.:МЦНМО,
2002. 104 стр.
II. ГЕОМЕТРИЯ, КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник. М.:МЦНМО, 2003. 56 стр.
2. Екимова М.А., Кукин Г.П.. Задачи на разрезание. М.:МЦНМО, 2002. 120 стр.
3. Заславский А.А. Геометрические преобразования. М.:МЦНМО, 2003. 84 стр.
4. Мякишев А.Г.Элементы геометрии треугольника. М.:МЦНМО, 2002. 32 стр.
5. Мительман И.М. Раскрасим клетчатую доску. Ижевск, 2002. 56 стр.
6. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. М.: 2002.
III. ГРАФЫ
1. Оре. О. Теория графов. М.:Наука, 1980. 336 стр.
2. Харари.Ф. Теория графов. М., 2003. 296 стр.
3. Г. Фляйшнер. Эйлеровы графы и смежные вопросы. М.:Мир, 2002. 335 стр.
IV. СБОРНИКИ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ
1. LXV Московская математическая олимпиада. М.:МЦНМО, 2002. 24 стр.
2. LXVI Московская математическая олимпиада. М.:МЦНМО, 2003. 24 стр.
3. Бугаенко В.О.Турниры им. Ломоносова. М.:МЦНМО, 1998. 160 стр.
4.Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике. СПб.:Невский
диалект, 2002. 192 стр.
5. Заочные математические олимпиады. М.:Наука, 1981. 128 стр.
6.Российские математические олимпиады школьников. Ростов-на-Дону:Феникс, 1996. 640
стр.
7. Школьные математические олимпиады. М.: ДРОФА, 2002. 128 стр.
8. Физико-математические олимпиады. М.:Знание, 1977. 160 стр.
V. СБОРНИКИ, СОДЕРЖАЩИЕ ОБЩЕИЗВЕСТНЫЕ ИДЕИ
1. Батуров Д.П., Ноздрин А.И. Как научиться решать задачи по математике. Орел, 2002. 48
стр.
2. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. Киров:
АСА, 1994. 272 стр.Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи.
М.:МЦНМО, 2001. 96 стр.
3. Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Васильев Н.Б. Подготовительные задачи к LVII
Московской математической олимпиаде1994 года для 8-11 классов. М., 1994. 76 стр.
4. Мерзляков А.С. Четность и аналоги четности. Ижевск, 2002. 51 стр.
5. VI. ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ КРУЖКОВ в 5-7 классах
39
1. Козлова Е.Г.Сказки и подсказки. М.:МИРОС, 1994. 128 стр.
2. Мерзляков. А.С. Математика. Факультативный курс. Ижевск, 2002. 318 стр.
3. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике. М.:Просвещение, 2002. 207 стр.
4. Чулков П.В. Математика. Школьные олимпиады. 5-6 класс. М., 2003. 88 стр.
5. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 класс. М.,
2003. 208 стр.
40
ПРИЛОЖЕНИЯ
Математические бои
Цель: 1)Развитие устойчивого интереса к математике; 2) воспитание уважения друг к другу,
воспитание умения работать в команде.
Классы: 9 классы
Количество учащихся: 2 команды по 4 человека
Время проведения: 2 часа
Форма проведения: соревнование
Виды деятельности учащихся: выполнение математических заданий разных видов
Формы отслеживания результатов: работа экспертной комиссии
Формы поощрения: личное портфолио
Задания.
1. Докажите, что (1/2)-(1/3)+(1/4)-(1/5)+...+(1/98)-(1/99)+(1/100)>1/5 .
2. Отметьте 6 точек на плоскости так, чтобы от каждой на расстоянии 1 находилось ровно 3
точки.
3. Купец случайно перемешал конфеты 1-го сорта (по 3 р. за фунт) и конфеты 2-го сорта (по
2 р. за фунт). По какой цене надо продавать эту смесь, чтобы выручить ту же сумму, если
известно, что первоначально общая стоимость всех конфет 1-го сорта была равна общей
стоимости всех конфет 2-го сорта?
4. Дети держат в руках флажки. Тех, у кого в обеих руках поровну флажков, в 5 раз меньше,
чем тех, у кого не поровну. Когда каждый ребенок переложил по одному флажку из одной
руки в другую, тех, у кого в обеих руках поровну флажков, стало в 2 раза меньше, чем тех, у
кого не поровну. Могло ли быть так, что в начале более чем у половины детей в одной руке
было ровно на один флажок меньше, чем в другой?
5. Можете ли Вы опустить из данной точки A вне прямой l опустить перпендикуляр на эту
прямую, проводя не более трех линий? (Третьей прямой должен быть перпендикуляр).
6. 10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть
школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и
школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее
пяти задач.
7. В ряд лежат в некотором порядке семь монет (по одной с весами 1, 2, …, 7 граммов). Для
любой монеты (кроме крайних) известна сумма весов её соседей. У какого наибольшего
количества монет можно гарантированно узнать вес?
8. Двое играют в такую игру. За один ход из написанного на доске натурального числа k
можно вычесть любой его делитель и записать вместо k полученную разность. Проигрывает
игрок, получивший 1 или 0. Укажите все начальные значения k > 1, при которых второй
игрок может выиграть независимо от того, как играет первый.
9. N команд провели однокруговой (каждые две команды сыграли по одному матчу между
собой) турнир по футболу (победа – 3 очка, ничья – 1 очко, поражение – 0 очков). В итоге
все команды набрали по 10 очков. Найдите все возможные значения N.
10. В квадратиках записаны 6 чисел (см. рис. 1). Разрешается прибавлять по 1 к любым двум
числам, соединенным линией. Можно ли добиться следующего расположения (см. рис. 2)?
1
2
3
6
1
2
6
5
4
5
4
3
Рис. 1
Рис. 2
41
Решения.
1. Преобразуем сумму (1/2)-(1/3)+(1/4)-(1/5)+...+(1/98)-(1/99)+(1/100)=((1/2)-(1/3)+(1/4)(1/5))+((1/6)-(1/7))...+((1/98)-(1/99))+(1/100). Если подсчитать значение первой скобки
(четыре слагаемых), то получим 13/60, что больше 1/5, а остальные слагаемые положительные числа.
2. Смотри: четыре точки в вершинах квадрата и еще добавлено две точки в вершинах
равносторонних треугольников.
3. Сразу
напрашивающийся ответ "за 2 руб. 50 коп" - неверен. Обозначим
через
а
первоначальную стоимость всех конфет 1-го сорта. Тогда общая
выручка
за несмешанные конфеты 1-го и 2-го сорта составляла бы 2а
рублей. При этом конфет 1-го сорта у купца было бы (а/3) фунта, а конфет 2-го сорта (а/2)
фунта. Таким образом, за смесь, состоящую из (а/3) + (а/2) фунта, он должен выручить 2а
рублей. Значит, цена смеси конфет должна быть равна 2а/[(а/3) + (а/2)] рублей. Проведя
несложные арифметические действия, определим, что смесь конфет надо продавать по 2 руб.
40 коп. (а не по 2 руб. 50 коп.) за фунт.
4. В начале было n/6 детей, у которых в руках было поровну флажков, и 5n/6 детей, у
которых не поровну. Допустим, что в начале у n/2 + m детей в одной руке было ровно на
один флажок меньше, чем на другой. Тогда после перекладывания у этих n/2 + m детей будет
неравное количество флажков в руках, да и у тех n/6 детей, у которых в начале было
поровну, тоже будет не поровну. Значит, всего не поровну будет n/2 + m + n/6 > n/3. Мы
пришли к противоречию, которое доказывает, что в начале
менее, чем у половины детей в одной руке было ровно на один
флажок меньше, чем в другой.
5. Действительно проведено три линии: две окружности и
вертикальная прямая AA1.
6. Не будем учитывать по одному школьнику, решивших по
одной, две и три задачи. Тогда на остальных семерых приходится 35-1-2-3=29 задач. Если бы
не было хотя бы одного школьника, решившего не менее пяти задач, то все семеро решили
бы не более 7*4=28 задач. Противоречие.
7. Ответ: У трех монет.
Решение: Обозначим веса монет в порядке их расположения в ряду: x1, x2,…, x7. Из условия
задачи имеем уравнения: x1 + x3 = a2, x2 + x4 = a3, x3 + x5 = a4, x4 + x6 = a5,
x5 + x7 = a6, x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 28, где ak – сумма весов соседей k-й монеты (k = 2,
3, 4, 5). Отсюда x4 = a3 + a5 – (28 – a2 – a6). Значит, вес четвертой монеты установить можно.
Поскольку x2 = a3 – х4, x6 = a5 – х4, то и веса второй и шестой монет можно узнать. Если
монеты, лежащие в ряду имеют веса 2, 1, 5, 7, 3, 6, 4 или 4, 1, 3, 7, 5, 6, 2, тогда суммы весов
соседей каждой монеты в обоих случаях одинаковы, следовательно, гарантированно
установить веса первой, третьей, пятой и седьмой монет невозможно.
8. Ответ: 2 и все нечетные числа, начиная с 5.
Решение: Назовем число выигрышным, если игрок, делающий ход, когда на доске написано
это число, может выиграть независимо от действий противника; в противном случае назовем
число проигрышным. Исследуем числа в порядке возрастания. Число 2 – проигрышное: 2 – 2
= 0 и 2 – 1 = 1. Число 3 – выигрышное: 3 – 1 = 2, и ходящий с двойки наш противник
проиграет. Число 4 тоже выигрышное: 4 – 2 = 2. Число 5 проигрышное: 5 – 1 = 4, 5 – 5 = 0.
Покажем, что далее каждое четное число выигрышно, а каждое нечетное проигрышно. Из
42
четного числа можно вычесть 1 и получить проигрышное. Из нечетного вычитанием
делителя можно получить только четное число: 0 это проигрыш сразу, а 2 получить можно
только из 4. Все остальные четные выигрышны.
9. Ответ: 8, 9, 10, 11 команд.
Решение: За одну игру две команды вместе могут набрать 2 или 3 очка и значит за все n(n–
1)/2 игр может быть набрано не менее n(n–1) и не более 3n(n–1)/2. Поскольку каждая
команда набрала 10 очков, n(n–1)  10n  1,5n(n–1), откуда 8  n  11. Для каждого из этих
значений n нетрудно придумать турнир, в котором каждая из n команд набирает ровно по 10
очков. Пусть все n команд построены по кругу и каждая выиграла у 11–n следующих за ней
справа, со следующими 3n – 23 играет вничью, а остальным 11–n проигрывает.
10. Величина A+C+E-B-F-D постоянна при данной операции. Вначале она равна –3, а в конце
3.
A
B
C
F
E
D
Рис. 1
Методические рекомендации.
За 10-15 дней до начала предметной недели объявляется конкурс
математических кроссвордов (для 5-6 классов), сказок (для 2-4
классов).
Каждая из команд получает список задач, подготовленный жюри (задачи, естественно, у
команд одни и те же). Через некоторое время, отведенное для решения этих задач, команды
собираются в одном месте (с доской и мелом) и, наконец, начинается собственно бой.
Сначала, при помощи конкурса капитанов, определяется очередность выступления команд.
Капитанам одновременно задается какой-нибудь простой вопрос, на который они должны
тут же у доски, ответить.
Как только один из капитанов дает ответ, конкурс заканчивается - если ответ
правильный, то команда, давшая его, побеждает, если ответ неверен, автоматически
побеждает в конкурсе другая команда.
Победившая команда определяет, какая из команд первой будет "вызывать"
соперников, после чего должен последовать вызов на одну из задач списка.
Вызванная команда может принять вызов и выставить одного из своих членов как
отвечающего решение этой задачи - тогда вызвавшая команда посылает к доске оппонента,
который должен проверять решение. Если же задача не решена, то капитан сообщает об
отказе рассказывать решение. В этом случае происходит так называемая "проверка
корректности вызова". Решение должна рассказывать вызвавшая команда, вызванная же
команда выставляет оппонента.
Во всех случаях, кроме одного: при проверке корректности вызвавшая команда не
смогла изложить правильное решение (а на математическом бое за отсутствием ошибок
следит не только оппонент, но и жюри) - право на вызов переходит к другой команде. Если
же вызов оказался "неккоректным", команда, сделавшая его, наказывается определенным
штрафом и должна повторить вызов (уже, конечно, на другую задачу).
После того, как обсуждение задачи закончилось, жюри распределяет очки, исходя из
того, что каждая задача стоит 12 баллов. Какую-то долю очков может получить и оппонент,
даже если решение отвечающего было верным; оппонент мог найти пробелы в решении,
которые затем были исправлены отвечающим. В том случае, когда обнаруженная
оппонентом ошибка не была исправлена за некоторое ограниченное время (например, за
одну минуту) и была признана жюри достаточно серьезной, ответ прерывается, и жюри
может заслушать оппонента, после чего принять решение о распределении очков.
43
Если одна из команд отказывается от права на вызов, то другая команда может
рассказать решения всех еще не разобранных задач, решенных этой командой (все
происходит с участием оппонента).
Существует также еще масса мелких ограничений, например, такие:
1)штраф за "неккоректный" вызов равен 6 очкам;
2)каждый из участников боя может выходить к доске (не считая конкурса капитанов) не более
n раз - значение n сообщается командам при выдаче задач. Обычно n=2 или 3;
3)вести переговоры с жюри может лишь капитан или его временный заместитель.
В течение математического боя жюри ведет протокол:
Дата проведения________________
Время проведения______________
Место проведения______________
Команда____________
Капитан_________
номер фамилия
задачи
Счет
Команда________
Капитан____________
Конкурс капитанов выиграл_________
Направление
Счет
фамилия
Жюри
вызова
Результат игры_________________________ со счетом__________________
Жюри_____________________________
Капитаны__________________________
44
Математическая эстафета
«Математический биатлон»
Цель: Развитие устойчивого интереса к математике
Классы:11 классы
Время проведения: 1ч.30 мин.
Форма проведения: соревнование-эстафета
Деятельность учащихся: игра
Формы отслеживания результатов: судьи ведут записи на доске
Формы поощрения: призы
Задания.
1. В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями - елями, соснами и березами.
Всего деревьев 96. Эти деревья обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих
через одно от любого хвойного - одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев,
растущих через три от любого хвойного - тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько
берез посажено вокруг дома?
2. В узлах клетчатой плоскости отмечено 5 точек. Доказать, что есть две из них, середина
отрезка между которыми тоже попадает в узел.
3. На всех ребрах куба стоит по числу. На каждой грани (квадрате) пишется сумма четырех
чисел, расположенных на ее ребрах (сторонах квадрата). Можно ли расставить числа 1 и -1
на ребрах так, чтобы все числа на гранях были различны?
4. Найти натуральные решения уравнения 1/x + 1/y = 1/4.
5. По окружности стоит 6 чисел; каждое равно модулю разности двух чисел, стоящих после
него по часовой стрелке. Сумма всех чисел равна 1.
a) Найдите набор чисел, удовлетворяющий данному условию.
б) Сколько различных таких наборов существует? Решения, получающиеся друг из друга
поворотом окружности, считаются одинаковыми.
6. На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на
одной стороне которой написано, сколько километров до Ёлкино, а на другой - до Палкино.
Боря заметил, что на каждом столбе сумма всех цифр равна 13. Каково расстояние от Ёлкино
до Палкино?
7. Определить отношение двух чисел, если отношение их среднего арифметического к
среднему геометрическому равно 25 : 24.
8. В обыкновенном наборе домино 28 косточек. Сколько косточек содержал бы набор
домино, если бы значения, указанные на косточках, изменялись не от 0 до 6, а от 0 до 12?
9. Петя заметил, что у всех его 25 одноклассников различное число друзей в этом классе.
Сколько друзей у Пети? (Укажите все решения.)
10. На координатной плоскости построена парабола y=x 2. Затем начало координат и оси
стёрли.
Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?
Решения.
1. Вокруг замка посажены сосны, ели и березы. Рассмотрим одно из посаженных хвойных
деревьев (неважно, сосна это, или ель). Назовем его деревом 1 и перенумеруем все деревья
по порядку. Если дерево 1 хвойное, то из деревьев 96 и 2 - одно хвойное, другое - лиственное
(т. е. - береза). Будем для определенности считать, что дерево 2 - береза, а 96 - хвойное.
Рассмотрим дерево 96. Справа от него - хвойное (дерево 1), значит слева - 95 - береза. Через
два дерева от 1 (т. е. 3 и 95) должны быть береза и хвойное. Поскольку 95 - береза, то 3 хвойное. У дерева 3 два соседа - 2 и 4. Поскольку 2 - береза, то 4 - хвойное. Теперь видно,
что все время повторяется группа из трех деревьев - БХХ - береза и два хвойных. Всего
деревьев 96, значит эта группа повторится 32 раза. Итак, вокруг замка посажено 32 березы.
2. Введем систему координат на плоскости, так чтобы оси шли по линиям клеток, а начало
координат было в любом узле. Тогда координаты любого узла имеют вид (a,b), где a и b 45
целые числа. Заметим, что середина отрезка с концами в точках (a,b) и (c,d) имеет вид
((a+c):2;(b+d):2). Четные числа обозначим буквой Ч, а нечетные числа - Н, тогда для
обозначения узла у нас есть четыре возможности (Ч,Ч), (Ч,Н, (Н,Ч), (Н,Н). Так как точек 5, то
есть, по крайней мере, два узла имеют одинаковый вид (принцип Дирихле) - они то и будут
искомыми.
3. Предположим, что нам это удалось. Тогда на каждой из граней куба стоит одно из пяти
чисел: -4, -2, 0, 2 или 4. Но граней шесть, значит, на каких-то двух гранях стоит одно и то же
число; противоречие. Значит, так расставить числа нельзя.
4. Имеем x = 4y/(y – 4) = 4 + 16/(y – 4). Учитывая, что x и y натуральные, 16 должно делиться
на y – 4, откуда получаем возможные значения y – 4 = 1, 16. Кроме того, x и y
должны быть положительными. В итоге получаем решения (20, 5); (12, 6); (8, 8); (6, 12); (5,
20).
5. Поскольку каждое из выписанных чисел равно модулю разности двух других, а модуль
любой величины всегда неотрицателен, то все числа должны быть неотрицательны. Пусть
наибольшее из них равно x. Два следующих за ним числа должны быть не больше x и
различаться на x. Это возможно лишь в случае, когда одно из них равно x, а другое — нулю.
Итак, в каком-то месте должны стоять либо числа x, x, 0, либо числа x, 0, x. Двигаясь по
окружности против часовой стрелки, мы однозначно восстановим остальные числа. В обоих
случаях получается один и тот же набор — x, x, 0, x, x, 0. Из условия, что сумма всех чисел
равна 1, находим x = ¼.
6. Пусть расстояние от Ёлкино до Палкино n километров (по условию, n-целое). Занумеруем
столбы от Ёлкино до палкино по порядку. Рассмотрим 9-й столб, т. е. столб, отстоящий от
Ёлкино на 9 километров (ясно, что n>10). Тогда с одной его стороны написано 9, а с другой:
n-9. На следующем столбе с одной стороны написано 10, а с другой: n-10. Если бы n
оканчивалось не на 9, то n-9 оканчивалось бы не на 0, а значит суммы цифр чисел n-9 и n-10
были бы равны, но тогда на 9-ом столбе сумма цифр была бы на 8 больше, чем на 10-ом, что
невозможно. Значит, n заканчивается на 9.
Если n>49, то сумма цифр на 49-ом столбе будет больше 13. Значит, для n есть только такие
возможности: 19, 29, 39, 49.
Если n=19, то на 9-ом столбе сумма цифр будет равна 9+1+0=10 - противоречие.
Если n=29, то на 9-ом столбе сумма цифр будет равна 9+2+0=11 - противоречие.
Если n=39, то на 9-ом столбе сумма цифр будет равна 9+3+0=12 - противоречие.
Остаётся только одна возможность: n=49. Легко проверить, что в этом случае на всех
столбах сумма цифр будет равна 13.
7. Пусть x и y — искомые числа. По условию
:
= 25 : 24, т.е.
+
=
.
Положим q =
. Тогда q + =
, т.е. q2 q + 1 = 0. Решая это квадратное уравнение,
находим q1 = 4/3 и q2 = 3/4. Таким образом, x : y = 16 : 9 или 9 : 16.
8. Сначала постараемся понять, почему в стандартном наборе домино именно 28 косточек.
Для этого нарисуем табличку из косточек.
Здесь на каждой косточке первая цифра соответствует номеру ряда (начиная нумерацию с
нуля), а вторая - номеру столбца, в котором эта косточка находится. Вдоль каждой стороны
расположены семь косточек. Значит, всего их здесь 7?7 = 49. При этом все "дубли"
встречаются по одному разу, а все "не дубли" - по 2
раза. "Дублей" всего 7 (от 0-0 до 6-6), следовательно,
"не дублей" в обычном домино (49 - 7) : 2 = 21. А
всего косточек в наборе 7 + 21 = 28. Если все номера
будут изменяться не от 0 до 6, а от 0 до 12, то
"дублей" будет 13, рядов косточек в табличке - по
13, и общее число "не дублей" составит (13 13 - 13) :
46
2 = 78. Всего же косточек, т.е. "не дублей" вместе с "дублями", будет (78 + 13) = 91.
9. Всего в классе 26 человек, число друзей у каждого может быть от 0 до 25, т. е. всего 26
вариантов, но варианты, когда у кого-то 25 друзей, а у другого - ни одного, одновременно не
выполнимы, тем самым, всего вариантов одновременно может быть не больше 25. По
условию задачи, у Петиных одноклассников реализованы все 25 вариантов.
Пусть у кого-то 25 друзей. Исключим его из дальнейшего рассмотрения. Тогда получим
ситуацию, когда у Пети 25 одноклассников, у всех по-прежнему разное число друзей в
классе, причём нет человека, который дружит со всеми (он дружил бы и с исключённым, т. е.
со всеми в первоначальном классе, что не соответствует условию задачи). Значит, найдётся
человек, у которого нет друзей. Его можно исключить из дальнейшего рассмотрения.
Получим ситуацию, когда у Пети 24 одноклассника, у всех разное число друзей, причём нет
человека, который не дружит ни с кем.
Так, исключая по очереди тех, кто дружит со всеми (в оставшемся классе) или ни с кем, мы
придём к тому, что у Пети останется один одноклассник, который с Петей дружит. При этом
среди всех, которые ушли из школы, у Пети было 12 друзей, всего, стало быть у него в этом
классе было 13 друзей. Случай, когда первоначально в классе есть человек, у которого нет
друзей, рассматривается аналогично, и в этом случае у Пети 12 друзей. Ответ 12 или 13.
10. Лемма. Пусть M и N - середины двух параллельных хорд параболы. Тогда прямая MN
параллельна оси параболы (рис. 1).
Доказательство. Пусть хорды AB и CD параболы лежат на параллельных прямых y = kx + a и
y = kx + b, тогда абсциссы точек A, B, C, D - это корни уравнений x2 = kx + a и x2 = kx + b, а
абсциссы точек M и N - полусуммы корней этих уравнений, т. е. по теореме Виета k/2.
Следовательно, прямая MN параллельна оси Oy.
Вернёмся к решению задачи. Проводим последовательно две параллельные хорды параболы;
прямую, проходящую через их середины (параллельную Oy); перпендикуляр к этой прямой,
пересекающий параболу в двух точках; серединный перпендикуляр
к полученной хорде. Этот перпендикуляр и будет осью Oy, ось Ox это перпендикуляр к Oy в точке пересечения с параболой.
Методические рекомендации
Математическая эстафета помогает выявить наиболее способных учащихся одного
возраста из разных классов.
Эстафета - состязание командное и проводится между классами одной параллели.
Каждый класс собирает команду из своих "лучших математиков", например, в составе 10
человек. Дата мероприятия объявляется за одну-две недели до его проведения.
Организаторы эстафеты заранее готовят задания и упражнения (по числу игроков в
команде). Каждое задание оформляется на отдельной карточке и предназначено для одного
ученика. Подборка задач и их порядок для всех классов одинаковые.
Допустим, в эстафете участвуют две команды. Перед зрителями ставятся четыре стола,
рядом с которыми находится по наблюдателю с часами. По ходу соревнования члены одной
и той же команды по очереди занимают свой стол.
Наблюдатель фиксирует время начала и окончания решения задачи каждым учеником.
47
Сначала к столам приглашаются первые номера команд (очередность выступления
игроки устанавливают сами). Участники одновременно приступают к решению
предложенной задачи. Решение тут же проверяется; если оно правильное, ученик
немедленно покидает стол, передавая эстафету второму игроку своей команды, и т.д.
Может случиться так, что какой-то ученик ошибется или вообще будет не в состоянии
справиться с заданием, поэтому следует заранее ограничить время его выполнения
(например, 15 мин.)
Для учета результатов эстафеты около каждого стола ведет наблюдение за решением
хорошо знающий математику член жюри. По ходу соревнования результаты и время
выполнения заданий фиксируется на изготовленном табло.
Победителем состязания признается тот класс, чья команда быстрее других сделала
верно все задачи.
48
Математический хоккей
«Логические задачи и числовые головоломки»
Цель:1)развитие логического мышления, 2)воспитание умения работать в команде.
Классы:5 классы
Время проведения:50 мин
Форма проведения: соревнование-эстафета
Деятельность учащихся: игра
Формы отслеживания результатов: судьи ведут записи на доске
Формы поощрения: призы
Задания.
1.Петя и Аня отмечают свой день рождения 16 марта, но Петя родился, когда Ане
исполнилось 3 года. Сколько лет будет Пете, когда Аня будет вдвое его старше?
2.Во дворе школы играют 19 девочек и 12 мальчиков. Какое количество ребят должно к ним
присоединиться, чтобы все они могли разбиться на 6 равных команд?
3.Пятеро друзей выясняли, какой сегодня день недели.
Андрей сказал: "Позавчера была пятница".
Володя сказал: "Послезавтра будет вторник".
Сережа: "Вчера была суббота".
Дима сказал: "Завтра будет понедельник".
Егор: "Сегодня четверг".
Один из них ошибся. Кто?
4. Найти закономерность, по которой построена последовательность чисел 1, 3, 7, 13, и
написать одно следующее число.
5. Найдите закономерность и напишите одно следующее число: 1, 2, 5, 11, 23.
6. Маша играла «в магазин», и с удивлением обнаружила, что яблоко с двумя апельсинами и
апельсин с двумя яблоками весят одинаково. Она подумала: «Что же легче яблоко или
апельсин ? » Помогите Маше.
7.В корзине лежат 5 яблок. Разделите их между пятью лицами, чтобы каждый получил по
яблоку и одно яблоко осталось бы в корзине.
8. Экипаж, запряженный тройкой лошадей, проехал за час 15 км. С какой скоростью бежала
каждая лошадь?
9. Двое играли в шахматы четыре часа. Сколько играл в шахматы каждый?
10. В семье пять братьев. У каждого из них есть сестра. Сколько детей в семье?
11. Два отца и два сына съели за завтраком три яйца, причем каждому досталось целое яйцо.
Могло ли такое случится?
12.Шел мужик в Москву и повстречал 7 богомолок, у каждой из них было по мешку, а в
каждом мешке- по коту. Сколько существ направлялось в Москву?
13.Сколько месяцев в году содержат 30 дней?
14.Горело пять свечей, две погасли. Сколько свечей осталось?
15.Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя
и три в ряд. Сколько летело уток?
16. Расшифруй ребус: хххх – ххх = 1.
17. Сумма двух чисел нечетна. Четно или нечетно их произведение?
18. Сумма трех чисел четна. Четно или нечетно их произведение?
19.Площадь квадрата 25 кв.см. Сторону квадрата увеличили на 3 см. найти площадь
полученного квадрата.
20. Муравьишка проехал на гусенице некоторое расстояние за 28 мин. За сколько минут
муравьишка проедет на жуке расстояние в 4 раза большее, если скорость жука в 7 раз
больше скорости гусеницы?
Ответы.
1. 3 года.
49
2. 5
3. Егор
4. 21
5.47
6.равный вес
7. Одному дать яблоко в корзине.
8. 15
9.4
10.4
11Их трое: дед, отец и сын.
12. 1 мужик
13. Все, кроме февраля.
14. 2
15. 3
16.1000-999=1
17. Четно
18. Четно
19. 64 см2
20. 16
Методические рекомендации.
Эту увлекательную игру лучше всего поводить среди учащихся 5 классов. В ней
принимают участие две команды - по 5 человек в каждой. В каждой команде должен быть
один "вратарь", два "защитника" и два "нападающих".
Преподавателю нужно иметь большой список простых задач, в основном
вычислительного характера, на решение которых у школьников не должно уходить более
пяти минут.
В начале игры шайба (воображаемая; впрочем, можно изобразить хоккейное поле и шайбу
на доске) находится в центре. Вбрасывание состоит в том, что "полевым игрокам" обеих
команд предлагается первая задача списка. Побеждает команда А, быстрее нашедшая
правильное решение, - шайба перемещается в зону проигравшей команды В. Тут уже
противостоят друг другу нападающие команды А и защитники команды В - их спор
решается при помощи второй задачи. В зависимости от того, кто побеждает, игра
перемещается обратно в центр или на вратарский "пятачок", где против нападающих
команды А играет лишь голкипер команды В. Если и он терпит поражение (при решении
очередной задачи из списка), это означает, что счет в матче открыт - 1:0 в пользу команды В,
и игра начинается заново. В противном случае шайба возвращается на вбрасывание в зоне
команды В и так далее.
Можно считать, что игровое поле состоит из пяти частей, и шайба в любой момент игры
находится в одной из них. В зависимости от исхода каждого игрового эпизода на
перемещается либо влево, либо вправо в соседнюю часть.
50
Математическая лотерея
«Задачи на смекалку»
Цель: развитие интереса к математике.
Классы:6 классы
Количество учащихся: все учащиеся 6 классов
Время проведения:1 час
Формы проведения: игра
Виды деятельности учащихся: игровая
Формы отслеживания результатов: протокол
Формы поощрения: призы
Задания.
1. Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они
вместе съели бы овцу?
2.В доме 7 этажей одинаковой высоты. Во сколько раз лестница на седьмой этаж длиннее,
чем лестница на четвертый этаж?
3.У щенят и утят 42 ноги и 12 голов. Сколько щенят?
4.Половину пути пешеход прошел со скоростью 6 км./ч, вторую половину - со скоростью 3
км/ч. найти среднюю скорость пешехода на всем пути.
5.Пильщики каждую минуту отпиливают от бревна кусок в 1 метр. Через сколько минут они
распилят бревно в 6 метров?
6.Имеется куб, который содержит столько же кубических сантиметров, сколько квадратных
сантиметров в площади всей его поверхности. Какая длина ребра у этого куба?
7.Дана дробь 9/13. Какое число нужно вычесть из числителя и прибавить к знаменателю,
чтобы получилась дробь, равная 1/10?
8.У стенных часов за 24 часа гиря опускается на 120 см. В 10 ч. утра я подтянул гирю до
самого верха. А когда вечером вошел в темную комнату, то не мог рассмотреть на
циферблате часов цифры, но линейка, которая была у меня в руках, как раз проходила между
гирей и часами. Я вышел из темной комнаты и, убедившись, что длина линейки равна 50 см.
высчитал время, которое показывали часы. Сосчитайте это время и вы.
9.Турист проехал поездом, на автомобиле и на велосипеде всего 900 км. На автомобиле он
ехал со скоростью 45 км/ч, на велосипеде - 15 км/ч. Поездом он проехал на 90 км больше,
чем на велосипеде. Сколько часов турист ехал на велосипеде, если путь, пройденный им на
автомобиле, вчетверо больше пути, пройденного на велосипеде?
10.Один человек проходит за час 5 км. Как далеко уйдут 3 человека за 2 ч., если будут идти с
такой же скоростью?
11. Дана дробь 13/21. Какое число нужно прибавить к числителю и знаменателю, чтобы
дробь превратилась в 3/4?
12.Сплавили три куска металла. Какова была масса второго куска, если масса первого была
на 6 кг. больше массы второго, масса второго - вдвое больше массы третьего, а масса
третьего - в 3 раза меньше массы первого.
13.Два брата поймали вместе 28 окуней. Младший упустил из пойманных 4 окуня. Тогда
старший брат отдал ему из своих 3 окуней и у них стало поровну. Сколько окуней поймал
каждый из братьев?
14.Сколько находится домов между домами №26 и №56, расположенными на одной из
сторон улицы?
15.Старший брат идет от дома до школы 30 минут, а младший - 40 минут. Через сколько
минут старший брат догонит младшего, если тот вышел на 5 минут раньше?
16.Муравьишка проехал на гусенице некоторое расстояние за 28 мин. За сколько минут
муравьишка проедет на жуке расстояние, в 4 раза большее, если скорость жука в 7 раз
больше скорости гусеницы?
18.Отцу 45 лет, а сыну 10. Через сколько лет из возрасты будут относиться, как 9:4?
51
19.В корзине лежат 30 грибов - рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов
имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов - хотя бы один груздь. Сколько
рыжиков в корзине?
20.Кубические миллиметры, заключающиеся водном кубическом метре, приставлены друг к
другу в виде полоски. Сколько времени потребуется, чтобы проехать эту полоску при
скорости 50 км/ч?
Методические рекомендации.
Это одна из увлекательных игровых форм. Для ее проведения необходимо подготовить
около двухсот задач, ответы на которые представлены целыми положительными числами.
Ответы на некоторые задачи должны совпадать с выигрышными номерами тиража.
Например, учащийся, взяв из урны карточку с задачей и правильно решив ее, получил
ответ "20". В таблице выигрышей он находит №20 - блокнот. Это приз ему тут же вручается.
52
Математическая викторина
«Алгоритмические задачи»
Цель: 1)выявить учащихся с высоким уровнем математического развития; 2)развитие у
учащихся умения быстро ориентироваться в решении несложных математических задач.
Классы:10 классы
Количество учащихся: все учащиеся 10 классов
Время проведения:1 час
Формы проведения: игра
Виды деятельности учащихся: игровая
Формы отслеживания результатов: протокол
Формы поощрения: призы
Задания.
1. В гости пришло 10 гостей и каждый оставил в коридоре пару калош. Все пары калош
имеют разные размеры. Гости начали расходиться по одному, одевая любую пару калош, в
которые они могли влезть (т.е. каждый гость мог надеть пару калош, не меньшую, чем его
собственные). В какой-то момент обнаружилось, что ни один из оставшихся гостей не может
найти себе пару калош, чтобы уйти. Какое максимальное число гостей могло остаться?
2. Каждую из трех котлет нужно пожарить на сковороде с двух сторон в течение пяти минут
каждую сторону. На сковороде умещается только две котлеты. Можно ли сжарить все три
котлеты быстрее, чем за 20 минут (временем на переворачивание и перекладывание котлет
пренебрегаем)?
3. В корзине лежат 13 яблок. Имеются весы, с помощью которых можно узнать суммарный
вес любых двух яблок. Придумайте способ выяснить за 8 взвешиваний суммарный вес всех
яблок.
4. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама за 2, малыш - за
5, а бабушка - за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как
им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей.
Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках
нельзя. Кидаться фонариком нельзя.)
5. Лиса и два медвежонка делят 100 конфет. Лиса раскладывает конфеты на три кучки; кому
какая достанется - определяет жребий. Лиса знает, что если медвежатам достанется разное
количество конфет, то они попросят её уравнять их кучки, и тогда она заберёт излишек себе.
После этого все едят доставшиеся им конфеты. Придумайте, как Лисе разложить конфеты
по кучкам так, чтобы съесть ровно 80 конфет (ни больше, ни меньше).
6. Напишите в строку пять чисел, чтобы сумма любых двух соседних чисел была
отрицательна, а сумма всех чисел - положительна.
7. 12 кузнецов должны подковать 15 лошадей. Каждый кузнец тратит на одну подкову 5
минут. Какое наименьшее время они должны потратить на работу? (Учтите, лошадь не
может стоять на двух ногах.)
8. Когда Буратино отправился на занятия ВМШ, папа Карло пообещал ему заплатить за
первую правильно решенную задачу одну копейку, за вторую - две копейки, за третью четыре, и т.д. За месяц Буратино получил 655 руб 35 коп. Сколько задач он решил?
9. Девять одинаковых воробьев склевывают меньше, чем 1001 зернышко, а десять таких же
воробьев склевывают больше, чем 1100 зернышек. По скольку зернышек склевывает каждый
воробей?
10. В одной кучке лежит 100 конфет, а в другой - 200 конфет. За ход можно взять любое
количество конфет из любой кучки. Выигрывает взявший последнюю.
Решения.
1. Пронумеруем гостей и их пары калош числами от 1 до 10 в порядке возрастания размера
калош. Предположим, что осталось 6 гостей (и соответственно 6 пар калош). Тогда
53
наименьший номер оставшегося гостя не больше 5, а наибольший номер оставшихся пар
калош не меньше 6, поэтому гость с наименьшим номером сможет надеть калоши с
наибольшим номером. Противоречие. С другой стороны, если последовательно уходили
гости с номерами 1, 2, 3, 4, 5, и надевали соответственно калоши с номерами 10, 9, 8, 7, 6, то
ни один из оставшихся пяти гостей не сможет надеть ни одну пару оставшихся калош.
2. За первые 5 минут поджарим первые две котлеты с одной стороны. Затем переворачиваем
первую котлету, а вторую убираем и кладем третью. Жарим еще 5 минут. Теперь первая
котлета готова, а вторая и третья поджарены с одной стороны. В течение следующих пяти
минут жарим вторую и третью котлеты с еще не поджаренной стороны.
3. Занумеруем яблоки. Взвесим первое яблоко со вторым, второе с третьим и третье с
первым, затем сложим полученные веса (где-нибудь в тетради) и получим удвоенный вес
трех яблок, а затем и вес трех яблок, следовательно, за три взвешивания мы узнали
суммарный вес первых трех яблок. Осталось пять взвешиваний и десять яблок, которые
взвешиваем попарно и, суммируя все данные, получим вес 13 яблок.
4. Переходят папа и мама - 2 минуты; Папа с фонариком возвращается - 1 минута; Переходят
бабушка и малыш - 10 минут; Мама с фонариком возвращается - 2 минуты; Переходят папа и
мама - 2 минуты; Итого - 17 минут.
5. а) Лиса раскладывает конфеты так: 10, 10 и 80. Если ей достанется кучка из 80 конфет, то
медвежатам достанется поровну конфет, и они не будут жаловаться. Если ей достанется
кучка из 10 конфет, то, для того чтобы уравнять доли медвежат, ей придётся съесть ещё 70
конфет.
6. Вот пример: +3 -4, +3, -4, +3. Хитрость в том, что сумма "немного отрицательна", а
крайние числа "сильно положительны".
7. Покажем, как надо действовать. Сначала 12 кузнецов берут 12 лошадей и подковывают
каждой одну ногу, на это уходит 5 минут, у 12-ти лошадей одна подкова, у 3-х - ни одной.
Затем 3 кузнеца подковывают тех лошадей, у которых еще нет подков, а остальные 9
кузнецов ставят 9-и лошадям вторые подковы. На это опять уходит 5 минут, 9 лошадей с
двумя подковами и 6 - с одной.
Теперь 6 кузнеца ставят вторые подковы, и 6 - третьи. Теперь 6 лошадей с тремя подковами и
9 - с двумя. Теперь 9 кузнецов ставят 9 третьих подков и 3 - 3 четвертых. Теперь 12 лошадей
с тремя подковами и 3 - с четырьмя. Последний этап - 12 кузнецов ставят последние подковы
12-ми лошадям. Итак, за 5 этапов (за 25 минут) все лошади подкованы.
Покажем, что меньше, чем за 25 минут это сделать нельзя. Нужно поставить 15 * 4 = 60
подков. На каждую подкову нужно 5 минут, значит всего не меньше, чем 60 * 5 = 300 минут.
Но у нас есть 12 кузнецов, значит можно сделать это за 300/12 = 25 минут, но никак не
меньше. Мы и сделали за 25 минут.
8. Для простоты вычислений предположим, что до посещения занятий ВМШ у Буратино
была одна копейка. Тогда после решения первой задачи у Буратино будет 2 копейки. Решив
вторую, он получит еще две, и у него станет 2*2=4 копейки. Решив третью, он получит еще
четыре и у него будет 8 копеек. Мы видим, что после решения очередной задачи состояние
Буратино удваивается. Продолжая вычисления, мы получим, что после решения 16 задач у
Буратино будет 216=65536 копеек. Эта сумма совпадает с состоянием Буратино после месяца
занятий, следовательно он решил именно 16 задач.
9. Поскольку 10 воробьёв склёвывают больше 1100 зёрнышек, то 9 воробьёв будут
склёвывать больше чем (1100 : 10) * 9 = 990 зёрнышек. При этом известно, что 9 воробьёв
склёвывают меньше чем 1001 зёрнышко. Единственное делящееся на 9 число в промежутке
от 991 до 1000 - это 999. Значит, 9 воробьёв склёвывают 999 зёрнышек, а 1 воробей - 111
зёрнышек.
10. Первый берет из первой кучки 100 конфет, а затем повторяет ходы второго, беря столько
же конфет, сколько и второй, но из другой кучки.
54
Методические рекомендации.
Математическая викторина - это особый вид игры, которая ставит своей целью выявить
учащихся с высоким уровнем математического развития, их начитанность и умение быстро
ориентироваться в решении несложных математических вопросов.
Участники викторины должны ответить письменно на ряд вопросов. Дав ответ на первый
из них, они получают второй, затем третий вопрос и т.д. Каждый ответ оценивается в баллах
в соответствии с уровнем сложности вопроса.
любой вопрос должен быть изложен в краткой и ясной форме. Если он содержит пример
или задачу, то их решение, как правило, дается устно. В связи с этим не стоит давать
примеры, требующие длинных преобразований. Отметим, что в викторину могут включаться
вопросы теоретического характера, а также касающиеся истории математики.
По итогам викторины учащиеся, получившие наибольшее количество баллов,
награждаются призами.
55
Математический марафон
«Логические задачи»
Цель: 1)выявление наиболее способных учеников;2)развитие логического мышления
учащихся, умения классифицировать, обобщать, прогнозировать результат," включая "
интуицию, фантазию.
Классы:7 классы
Количество учащихся: из каждого класса по 10 учащихся
Время проведения:50 минут
Формы проведения: игровая
Виды деятельности учащихся: участие в конкурсах
Формы отслеживания результатов: работа жюри
Формы поощрения: дипломы
Задания.
1.Экскурсоводу нужно выбрать маршрут по залам музея так, чтобы обойти все залы с
первого по 12-ый, ни в какой не заходя дважды.(10 баллов)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2.Расшифруйте стихотворение:
Ыдот пищег, гящяэдза,
Фстихяэд мя хетю:
Ей, тезгя гемщяэдза?
Зэйщяз а юбятю?
Тем же шифром зашифруйте слово: "Здравствуйте!".(25 баллов)
3.РЕШИ+ЕСЛИ=СИЛЕН.
Восстановить запись, если разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым одинаковые, при условии, что наибольшая цифра в записи числа " СИЛЕН" равна 5.(25
баллов)
4.За один ход разрешается или удваивать число, или стирать его последнюю цифру. Можно
ли за несколько ходов получить из числа 458 число 14?(15 баллов)
5. Вася купил три жвачки, две банки колы и шоколадку, заплатив 16 тысяч рублей. Саша
купил две жвачки, банку колы и три шоколадки, заплатив 19 тысяч рублей. Миша купил
одну жвачку, три банки колы и две шоколадки, заплатив 19 тысяч рублей. Найти цены
жвачки, банки колы и шоколадки.
Решения:
1.Начала осмотра в зале 6, далее 3, 2, 1, 4, 5, 8, 9, 12, 11, 10, 7, выход.
За любое количество верных вариантов - 15 баллов.
2.Идет бычок, качается,
Вздыхает на ходу:
Ой, доска кончается!
Сейчас я упаду!
Слово "Здравствуйте!" - "Стляфздзфюйдэ?"
Указано только зашифрованное слово - 10 баллов, расшифровано только стихотворение - 15
баллов.
3.9382+3152=12534
В случае ошибочного решения, за каждую верно расшифрованную букву - 2 балла.
4.Можно сначала удвоить число, потом зачеркнуть последнюю цифру, а потом удвоить
число, на значение первой цифры результата это почти не повлияет. Поэтому, можно,
например, удваивать число до тех пор, пока первая цифра результата не станет равна 7,
56
зачеркнуть все цифры, кроме первой, удвоить ее. Получим: 458, 916, 1832, 3664, 7328, 73, 7,
14.
5.2000 рублей стоит жвачка; 3000 рублей - банка колы; 4000-шоколадка. Задача сводится к
решению системы уравнений:
3x+2y+z=16000
2x+y+3z=19000
x+3y+2z=19000
Указан только ответ - 5 баллов, если правильно составлена, но не решена (или решена
неверно) система уравнений - 10 баллов.
Методические рекомендации.
Большинство заданий школьного математического марафона составляются таким
образом, что для успешного их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной
программы.
Следует отметить, что задания должны быть разнообразны по форме. Задания различаются
по уровню сложности и по тематике. Обязательно наличие "утешительных " задач, то есть
решаемых всеми учениками заданий и тех, с которыми в итоге справляются немногие.
Максимальное количество баллов, которое может получить каждый участник - 100 баллов
("ценность" каждого задания определена заранее и указана в тексте).
Сложность заданий выстраивается так, что решение первой задачи не требует практически
никаких математических знаний, далее уровень трудности постепенно увеличивается.
57
Олимпиада
«Логические задачи»
Цель: выявление учащихся с высоким уровнем математического развития.
Классы: 3-4 классы
Количество учащихся: из каждого класса по 4 ученика
Время проведения:40 минут
Формы проведения: олимпиада
Виды деятельности учащихся: решение задач
Формы отслеживания результатов: протокол
Формы поощрения: дипломы
Задания, оцениваемые в 1 балл.
1.В колесе 12 спиц. Сколько промежутков между спицами?(12 промежутков)
2.Есть ли такое число, при котором выражение 93:x=0 имеет значение?(нет)
3.В фотоальбоме 20 страниц. Какую толщину имеет этот фотоальбом, если 5 страниц имеют
толщину 1 сантиметр?(4 см)
4.Вася, Петя, Саша играли в шашки. Каждый сыграл по 2 партии. Сколько партий было
сыграно?(3 партии)
Задания, оцениваемые в 2 балла.
1.Врач прописал больному порошки, указав, что их надо принимать через каждые 2 часа.
Больному нужно выпить 8 порошков. Через какое время после начала приема больной
выпьет последний порошок? (через 14 часов)
2.Найти значение выражения:
16 -15+14 -13+12 -11+10-9+8+6-5+4-3+2-1(8)
3. В выражении 1*2*3*4*5 заменить значки * знаками действий и расставить скобки так,
чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.
(1*(2+3)*(4+5)=100)
4.Приведите примеры математических выражений, в которых произведение двух чисел
больше и меньше их суммы.(4*2=8, 4+2=6, 86; 4*1=4, 4+1=5, 45
Задания, оцениваемые в 3 балла.
1.Коля идет быстрым шагом, со скоростью 6км/ч. От дома до школы ровно один километр.
Хватит ли ему 25 минут, чтобы успеть к урокам? (Хватит)
2.На прямой отметили 4 точки. Сколько всего отрезков, концами которых являются эти
точки,
получилось?
(6)
3.Запиши 6 четных чисел подряд так, чтобы самое маленькое было вдвое меньше самого
большего. (10 12 14 16 18 20)
Задания, оцениваемые в 4 балла.
1.Мама, папа, два сына были на рынке и купили продукты, которые разложили в пакеты
массой 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 килограммов. Как распределить пакеты так, чтобы масса пакетов у
каждого члена семьи была одинакова? (7 кг, 6 и 1 , 5 и 2, 4 и 3 кг)
2.Пять одинаковых мячиков и три куклы стоят столько же, сколько четыре четыре таких
мячика и четыре куклы. Что дороже: мячик или кукла? (Цена одинаковая).
Задание, оцениваемое в 5 баллов.
Три курицы за три дня снесли три яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?
58
Игра
«Большое математическое путешествие"
Цель: развитие сообразительности, логического мышления, математической эрудиции
Классы: 5-7 классы
Количество учащихся: все учащиеся 5-7 классов
Время проведения:50 минут
Формы проведения: игра
Виды деятельности учащихся: игровая
Формы отслеживания результатов: рефлексивная игра по результатам
Формы поощрения: призы
Ход игры.
Все участники праздника разбиваются на группы по 10-12 ребят. Каждая группа получает
путевой лист, располагается в своем вагоне и путешествует по стране "Математика".
Чтобы путешественникам не отстать от поезда и не сбиться с дороги, для этого им в путевом
листке четко прописана последовательность станций, а за порядком следования в каждом
вагоне наблюдают проводники (1-2 ученика из старших классов).
Время движения между станциями - 2 минуты, время стоянки поезда - 5 минут.
Во время остановки группа путешественников должна принять участие в математических
конкурсах, набрать максимальное количество баллов и не потерять ни одного участника.
Начало перемещений от станции к станции - школьный звонок.
Каждой группе необходимо набрать наибольшее количество баллов, посетив 8 станций:
1."Рассуждайка".
2."Обгоняйка"
3. "Нарисуйка"
4."Загадайка"
5."Вспоминайка"
6."Собирайка"
7."Пересчитайка"
8."Запевайка"
Задания для конкурсов
Все участники группы из листка чистой бумаги делают модель самолетика и выполняют 3
попытки. Организаторы конкурса оценивают полет на дальность. В путевом листке
фиксируется суммарное количество баллов, которое набрала группа.
Дети исполняют математические частушки, которые они сочиняли в течение всей недели.
Кто больше?
Ребята по очереди рисуют туриста с помощью геометрических фигур. Количество баллов,
набранное группой, соответствует количеству нарисованных фигур.
Из кусочков собрать разрезанную картинку. За 1 собранную картинку - 5 баллов.
Предлагается несколько картинок.
Ребятам необходимо по рисунку сосчитать: сколько квадратов здесь изображено.
Участники игры отгадывают загадки математического содержания.
Дети отвечают на вопросы, соответствующие учебному материалу, изучаемому на уроках
математики.
Решение головоломок и задач на смекалку
59
Игра
«Счастливый случай»
Цель::1)повторение, обобщение знаний, умений, навыков по темам 5-8 классов; 2)развитие
устойчивого интереса к математике; 3)воспитание умения работать в команде.
Классы: 8 классы
Количество учащихся: 2 команды по 6 человек, болельщики
Время проведения:45 минут
Формы проведения: игра
Виды деятельности учащихся: решение задач
Формы отслеживания результатов: работа жюри
Формы поощрения: призы
Ход игры:
Задача игроков - правильно и как можно быстрее отвечать на вопросы ведущего и выполнять
преложенные задания. Каждый конкурс оценивается в баллах.
Ведущий приветствует команды и объявляет состав жюри.
Конкурс капитанов (проводится для того, чтобы определить, какая из команд начинает
первой первый гейм).
Капитаны играют в крестики-нолики.
Первый гейм "Дальше".
Ведущий: "Я задаю вопросы сначала первой команде (той, чей капитан быстрее решил
задание конкурса капитанов), потом второй команде. Вопросы задаются каждой команде в
течение двух минут. За правильный ответ - 1 балл. Если не знаете ответ, говорите: "Дальше",
и я читаю следующий вопрос".
Вопросы первой команде:
1) Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет (трапеция).
2)Найдите квадратный корень из 144. (12)
3)Что тяжелее: 1 кг. ваты или 1 кг. железа? (одинаково)
4)Как называется треугольник, у которого две стороны равны? (равнобедренный)
5)Что является графиком уравнения x+y=5? (прямая)
6)Найдите модуль числа -6? (6)
7)25 от 75? (треть)
8)Луч, делящий угол пополам (биссектриса)
9)Сумма длин сторон многоугольника (периметр)
10)Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону?
11) Число, обратное 1/2? (2)
12)Чему равен наименьший общий знаменатель дробей 1/9 и 7/18? (18)
13)Как называется координаты точки на плоскости? (абцисса, ордината)
14)В каком случае произведение равно нулю?(когда хотя бы один из множителей равен
нулю)
15)Формула площади прямоугольника? (S=ab)
16) Сколько концов у четырех палок? (не может быть)
Вопросы второй команде:
1)Как называется параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые? (квадрат)
2)Найти арифметический квадратный корень из 169? (13)
3)Может ли в треугольнике быть два прямых угла? (нет)
4)Что является графиком функции y=x2? (парабола)
5)Чему равна сумма смежных сторон? (180 градусов)
6)На что похожа половина яблока? (на другую его половину)
7)равенство, содержащее неизвестное? (уравнение)
8)Какая дробь меньше 1? (правильная)
60
9)Одна двадцать четвертая часть суток? (1 час)
10)Параллелограмм, у которого есть прямой угол? (прямоугольник)
11)Число, противоположное 1/2? (-1/2)
12)Чему равна площадь квадрата? (S=a2)
13)Чему равна величина угла равностороннего треугольника? (60 градусов)
14)В каком случае дробь равна нулю? (когда числитель равен 0, а знаменатель не равен
нулю)
15)Отрезок, соединяющий две несоседние вершины параллелограмма? (диагональ)
16)Тройка лошадей пробежала 30 км. Сколько километров пробежала каждая лошадь? (30
км)
Второй гейм "Рассуждалки".
Ведущий."я задаю по одной "рассуждалке" каждой команде. На каждое слово есть 4
рассуждения. Я читаю первое рассуждение, и если команда отгадывает слово, то получает 4
балла. Если же не отгадывает слово, то я читаю вторую рассуждалку (про это же слово), если
отгадывает ее - три балла, если отгадывает после третьей попытки - два балла, после
четвертой - 1 балл. После каждой рассуждалки ответ можно дать только один раз. Отвечает
сначала та команда, которая была второй в первом гейме."
1 рассуждалка: а)это такая штука, в которой что-то не знаешь, а потом вдруг узнаешь, если
захочешь это сделать - сделаешь. б)иногда задачи решаются только с его помощью. в)не
знаю, есть ли у него листья и стебли, но корни у него есть. Может один, а может, и больше.
г)во втором классе они - простые, в седьмом - линейные. (уравнения).
2 рассуждалка: а)это такая геометрическая фигура, интересная, красивая, у которой не
начала и нет конца. б)Эта фигура используется и применяется везде: в быту, в технике, в
архитектуре и других отраслях. в)сначала в школе изучают ее, а потом его, т.е. фигуру, о
которой идет речь. Если пойдешь по нему, то говорят, сколько бы ни шел, все равно придешь
туда же, откуда пришел. г)А еще можно его увидеть на кораблях, катерах, пароходах. Он там
называется спасательным. (круг)
Третий гейм "Темная лошадка":
Ведущий: "Сегодня на игру приглашена ….(учитель математики). Она задаст вам несколько
интересных вопросов (кто знает ответ, поднимает руку).За правильный ответ - 1 балл".
1)Как записать 100 пятью тройками? (33*3+3:3=100)
2)Как разместить 45 кроликов в 9 клетках так, чтобы в каждой было разное количество?
(1+2+3+4+5+6+7+8+9)
3)Что выражает равенство а+в=в+а? (переместительный закон сложения)
4)Представьте число 2 в виде суммы четырех различных дробей, числитель которых равен 1,
а знаменатель - натуральные числа? (1/1+1/2+1/3+1/6)
Четвертый гейм "Математическое лото".
Ведущий:"Каждой команде я выдаю задачи. В течение 10 минут вся команда их решает. По
истечении этого времени капитан первой команды назначает кого-то для ответа на первую
задачу. Естественно, нужно дать не только ответ, но и объяснить, как он получился. За
ответ(правильный) дается только 1 балл, а объяснение задачи еще баллы: первой, третьей и
четвертой - 1 балл. второй - 2 балла.
Значит, капитан первой команды или другой член команды объясняет первую задачу, после
этого капитан второй команды или другой член команды объясняет свою первую задачу,
потом также вторую задачу и т. д. Дописывать что-то (после истечения 10 минут) на листе с
решенными задачами нельзя. За нарушение этого правила - штрафной балл. Итак, время
пошло."
Первая команда:
1)Кирпич весит 2 кг. и еще полкирпича. Сколько весит 4 кирпича?
2)На лугу паслись лошади под присмотром пастухов. Если бы пожелали узнать, сколько всех
ног на лугу, то насчитали бы 82 ноги. А если бы пересчитали головы, то оказалось бы, что
всех голов - лошадиных и человеческих -26. Сколько на лугу пастухов и сколько лошадей?
61
3)Используя числа
и
по два раза, получите число2.
3
5
4)Встретились три подруги Белова, Краснова, Чернова. На одной из них было черное платье,
на другой - красное, на третьей - белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: "Нам
надо поменяться платьями, а то у всех троих цвет платьев не соответствует фамилиям". Кто в
какое платье был одет?
Ответы:
1)Один кирпич весит 4 кг. 4 кирпича весят 16 кг.
2)Если бы все 26 голов на лугу были бы человеческие, то мы насчитали бы не 82 ноги, а
только 52, т.е. на 30 ног меньше. От замены одного человека лошадью число всех ног
увеличилось бы на 2. Значит, чтобы насчитать 82 ноги, надо произвести подобную замену 15
раз, тогда и найдутся недостающие 30 ног. Итак, из 26 голов 15 принадлежат лошадям, а
остальные 11-людям.
3)
 5
3


5 3 2
4)
Платье
Белова
Чернова
Краснова
Белое
___
___
+
Черное
+
__
___
Красное
__
+
__
Вторая команда:
1)Книга в переплете стоит 2 руб. 50 коп. Книга на 2 руб. дороже переплета Сколько стоит
одна книга?
2)Мальчик собрал в коробку пауков и жуков - всего 8 штук. Если пересчитать, сколько всех
ног в коробке, то окажется 54 ноги. Сколько же в коробке пауков и сколько жуков? (У жука 6
ног, у паука 8 ног)
3
3)Используя шесть раз число
и знаки действий, получите число 6.
4)Дима и Гена занимались спортом и любили читать книги. Кто-то из них играл в шашки,
кто-то в футбол, кто-то читал Лермонтова, кто-то-Пушкина. Кто во что играл и что читал,
если футболист не читал Лермонтова, а Дима не играл в футбол?
Ответы:
1)25 коп.
2)пусть в коробке одни только жуки числом 8 штук. Тогда всех ног 48, на 6 меньше, чем 54.
Заменим теперь одного жука пауком. От этого число ног увеличится на 2. Надо сделать три
такие замены. Ответ: 3 паука, 5 жуков.


3* 3  3 * 3* 3  3
6
3)
4)
Шашки
Футбол
Лермонтов
Пушкин
Дима
+
_
+
_
62
Гена
_
+
_
+
Ведущий:"Пока наши команды решают полученные задания, играем с болельщиками в
"Загадалки". Дается две попытки на одну "Загадалку". Если учащиеся отгадывают слово с
первой попытки - 2 балла, со второй - 1 балл. Кто знает ответ, поднимает руку. Если
правильно отвечает болельщик первой команды - то баллы начисляются первой команде".
1)а)Ничего не стоящий, незначащий человек, б)цифра та не колобок, а просто он пустой
кружок (ноль)
2)а)чертежный инструмент, б)сговорились 2 ноги делать дуги и круги (циркуль)
3)а)бывает барабанная или пальцами, б)отношение двух выражений. Число 3/5 - это? (дробь)
4)а)они доходят до нас от солнца, б)бывает координатным или числовым. Это часть прямой.
(луч)
5)а)Утверждение в математике, б)с первой вы встречались в седьмом классе. Ее надо
доказать. (теорема).
Ведущий: "После "загадалок"я выдаю всем карточки с такими же заданиями как у команд.
Если команда не решила ту или иную задачу, то вы можете помочь своей команде. Если
решение верное-то баллы начисляются команде".
Пятый гейм "Гонка за лидером".
Ведущий "Пока перед пятым геймом лидером является команда_____ . С этой команды и
начнем. Я задаю вопросы, вы отвечаете, если долго нет ответа - я задаю следующий вопрос.
На этот гейм вам дается 2 минуты. Первые 6 вопросов с вариантами ответов, а остальные без
вариантов."
Вопросы лидеру:
1)Наименьшее простое число?(0, 1, 2)
2)Семь человек обменялись фотографиями. Сколько было роздано фотографий? (7, 42, 49,
14)
3)Три сотни умножили на две сотни. Сколько будет сотен? (6, 60, 600 сотен)
4)Чему равен периметр треугольника со сторонами 10 см, 4 см, 5 см.? (19, 20, нет таких)
5)сколько осей симметрии у равностороннего треугольника? (1, 3, нет осей)
6)При сложении нечетных чисел получается (четное, нечетное, когда четное когда нечетное)
7)Как называется первая координата точки? (абцисса)
8)Формула пути? (S=v*t)
9)41- это простое число? (Да)
10)Какие числа употребляются при счете? (натуральные)
Вопросы второй команде:
1)Какое число кратно всем числам? (0, 1, 2, 100)
2)Какое из равенств является пропорцией?
а)5,3:2=10,6:1
б)18:6=30:10
в)7:2=3+0,5
г)2*1=1+1
3)На какой угол поворачивается солдат по команде "кругом"? (90, 180, 360 градусов)
4)Во сколько раз увеличится двухзначное число, если к нему приписать такое же число? (99,
101, 1001)
5)Десять человек обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий? (90, 100, 45)
6)Произведение четного и нечетного чисел - это число(четное, нечетное, когда четное когда
нечетное)
7)Вторая координата точки? (ордината)
8)Формула периметра квадрата? (4А)
9)63-число составное? (да)
10)округлить дробь до единиц 17, 286. (17)
63
Математический вечер
«Похвальное слово
Пифагору»
Цель: познакомить учащихся с некоторыми фактами истории развития математики.
Классы: 8-11
Количество учащихся: все учащиеся 8-11 классов
Время проведения: 1 час
Формы проведения: математический вечер
Виды деятельности учащихся: сообщения, решение задач, доказательства теорем, дискуссия.
Формы отслеживания результатов: рефлексивный опрос в виде игры (бросают кубик с
вопросами)
Формы поощрения: призы
Подготовка к вечеру:
Создание инициативной группы из педагогов и учащихся;
Составление плана вечера;
Разработка сообщений о фактах жизни Пифагора;
Оформление помещения( афоризмы Пифагора)
Подготовка задач по применению теоремы Пифагора;
Подготовка учащихся с разными доказательствами теоремы Пифагора.
Ход вечера.
Жизнь и деятельность Пифагора (сообщения учащихся).
Афоризмы Пифагора (дискуссия)
Задачи Пифагора(например, такие: сумма любого числа последовательных нечетных чисел,
начиная с единицы, есть точный квадрат; Всякое нечетное число, кроме единицы, есть
разность двух квадратов и т. д.)(учащийся 9 класса).
Доказательства теоремы Пифагора разными способами.( выступления учащихся)
Подведение итогов.
Вопросы: Что вы узнали интересного о жизни Пифагора?
В чем заслуга Пифагора для развития математики?
Какое из доказательств теоремы Пифагора кажется вам наиболее
интересным?
Научились ли вы применять теорему для решения задач?
1-е сообщение
Когда Мнесарх, отец Пифагора, был в Дельфах по своим торговым делам, он и его жена
Партенис решили спросить у Дельфийского оракула, будет ли Судьба благоприятствовать им
во время обратного путешествия в Сирию. Пифия (прорицательница Аполлона), сидя на
золотом триподе над зияющим отверстием оракула, не ответила на их вопрос, но сказала
Мнесарху, что его жена носит в себе дитя и что у них родится сын, который превзойдет всех
людей в красоте и мудрости и который много потрудится в жизни на благо человечества.
Мнесарх столь впечатлен был пророчеством, что изменил имя собственной жены на Пифазис
в честь Пифийской жрийы. Когда родилось дитя в городе Сидоне, Финикия, оно оказалось,
как и говорил оракул, мальчиком. Мнесарх и Пифазис назвали его Пифагором, потому что
они верили в то, что ему предсказано оракулом.
Много странных легенд дошло до наших дней о рождении Пифагора. Некоторые из них
утверждают,что он не был обычным человеком , а был одним из богов, принявших
человеческий облик для того, чтобы войти в мир и учить человеческую расу. Пифагор был
одним из многих мудрецов и спасителей древности, за кем утвердилась репутация
безупречного во всем. В своем “Апокалипсисе” Годфри Хиггинс пишет: “Первым странным
обстоятельством в истории Пифагора при сравнении ее с жизнью Иисуса было то, что они
64
были уроженцами одной и той же местности. Пифагор родился в Сидоне, а Иисус в
Вифлееме, оба города в Сирии. Отец Пифагора, как и отец Иисуса, был пророчески извещен
о том, что у не7го родится сын, который явится благодетелем человечества. Оба родились в
то время, когда их родители были вне дома. Иосиф и его жена были на пути в Вифлеем для
уплаты налогов, а отец и мать Пифагора путешествовали из Самоса, своей резиденции, в
Сидон по делам. Пифазис, мать Пифагора, имела соитие с духом бога Аполлона или Бога
Солнца (конечно, это был, наверняка, святой дух, а в случае с Иисусом был Святой Дух),
который впоследствии явился к ее мужу и сказал ему, что тот не должен возлегать с женой
все время ее беременности - история та же самая, по сути, что случилось с Иосифом и
Марией. Из-за этих обстоятельств Пифагор был известен под тем же именем, что и Иисус, а
именно как сын Бога, и люди верили, что Он был Божественно вдохновлен”.
Этот самый знаменитый философ родился где-то между 600 и 590 гг.до Р.Х. и жил около ста
лет.
Учение Пифагора говорит о том, что он был превосходно знаком с содержанием восточных
и западных эзотерических школ. Он жил среди евреев и много узнал от раввинов о тайных
традициях Моисея, законодателя Израиля. Впоследствии школа Ессеев была посвящена по
большей части интерпретации пифагорейских символов. Пифагор был инициирован в
египетские, вавилонские, халдейские Мистерии. Хотя многие полагали его учеником
Зороастра, сомнительно, чтобы его учителем был богочеловек, которого почитали персы.
Хотя данные о его путешествиях расходятся меж собой, историки согласны в том, что он
посетил много стран и учился у многих учителей.
“После ознакомления со всем, что он мог получить от греческих философов, будучи, по всей
вероятности, посвящен в Элевсинские Мистерии, он поехал в Египет, где наконец преуспел в
инициации в Мистерии Исиды, совершенной жрицами Фив. Затем этот неустрашимый
“присоединившийся” направил свои стопы в Финикию и Сирию, где был посвящен в
Мистерии Адониса, и, сумев пересечь долину Ефрата, он находился достаточно долго у
халдеев, чтобы перенять их секретную мудрость. Наконец, он предпринял свое величайшее и
наиболее важное историческое путешествие через Мидию и Персию в Индустан , где он был
несколько лет учеником, а потом стал инициированным в брамины Элефанта и Эллора” (см.
“Древнее масонство” Фрэнка Хиггинса, 32 ). Тот же самый автор добавляет, что имя
Пифагора все еще хранится в летописях браминов, где он фигурирует как Яванчария, то есть
Ионийский Учитель.
2-е сообщение
Говорят, что Пифагор был первым человеком, который назвал себя философом ; в самом
деле мир обязан как раз ему этим термином. До него умные люди звали себя мудрецами, что
означало человек, который знает. Пифагор был гораздо скромнее. Он ввел в обращение
термин философ, который определил как тот, кто пытается найти, выяснить.
После возвращения из своих странствий Пифагор основал школу или, как ее часто
называют, университет в Кротоне, дорийской колонии в Южной Италии. Сначала в Кротоне
на него смотрели искоса, но через некоторое время власть имущие в этом городе уже искали
его совета в делах огромной важности. Он собрал вокруг себя небольшую группу преданных
учеников, которых посвятил в глубокую мудрость, ему открытую, а также в основы
оккультной математики, музыки, астрономии, которые рассматривались им как треугольное
основание для всех искусств и наук.
Когда ему было около 60 лет, Пифагор женился на одной из своих учениц, и у них родилось
семь детей. Его жена была замечательно способной женщиной, которая не только
вдохновляла его всю оставшуюся жизнь, но и после его убийства продолжала
распространять его учение . Как это часто случается с гениями, своей искренностью Пифагор
вызвал и политическую , и личную враждебность со стороны граждан Кротона. Среди
желавших принять посвящение был один, которому Пифагор отказал в этом, и тогда тот
решил уничтожить как человека, так и его учение. Через ложные слухи этот человек
возбудил в простых людях недовольство философом. Без всякого предупреждения банда
65
убийц ворвалась в небольшую группу строений, где обитали великий учитель и его ученики,
подожгли здания и убили Пифагора.
Относительно того, как умер Пифагор, общего мнения нет. Некоторые говорят, что он был
убит собственными учениками; другие говорят, что он бежал из Кротона с небольшой
группой последователей и, попав в засаду, сгорел в подожженном доме. Еще одна версия
говорит о том, что в горящем доме ученики образовали мост из тел, живыми войдя в огонь,
для того, чтобы их учитель прошел по нему и спасся, и только впоследствии Пифагор умер
от разрыва сердца, скорбя по поводу кажущейся тщетности своих усилий по просвещению и
служению человечеству.
3-е сообщение
Выжившие его ученика пытались продолжать его учение, но они всякий раз подвергались
гонениям, и к сегодняшнему дню мало что осталось от свидетельств величия этого
философа. Говорят, что его ученики никогда не произносили его имени, а использовали
слова Мастер или Этот Человек. Это происходило, возможно, потому, что по преданию имя
Пифагора состояло из специальным образом упорядоченных букв и имело огромное
священное значение. Журнал “Word” опубликовал статью Т. Пратера, в которой
показывается, что Пифагор посвящал своих учеников-кандидатов посредством определенной
формулы, скрытой в буквах его имени. Это может быть объяснением того, почему имя
Пифагор столь высоко почиталось.
После смерти Пифагора его школа постепенно распалась, но те, кто был
облагодетельствован его учением, хранили память о великом философе так же, как они во
время жизни почитали человека. Прошло время , и Пифагор стал считаться уже не
человеком, а богом, и его рассеянные по свету ученики были объединены общим
восхищением все превосходящим гением своего учителя. Эдуард Шуре в своей книге “
Пифагор и Дельфийские Мистерии” приводит эпизод, показывающий узы братства членов
пифагорейской школы:
“ Один из них впал в нищету, заболел и был подобран хозяином постоялого двора. Перед
смертью он нарисовал таинственные знаки ( несомненно, пентаграмму) на двери постоялого
двора и сказал хозяину: “ Не беспокойся, за меня заплатит мои долги один из моих братьев”.
Через год один человек, проходя мимо постоялого двора, увидел знаки и сказал хозяину: “ Я
пифагореец; один из моих братьев умер здесь и наказал мне заплатить за него””.
Фрэнк Хиггинс , 32` , дает отличную сводку пифагорейских доктрин:
“ Учение Пифагора имеет огромную важность для масонов , потому что оно было
результатом его контактов с ведущими философами всего цивилизованного мира того
времени и представляло то, в чем они все были согласны, вырвав с корнем все сорняки
разногласий. Таким образом, аргументы Пифагора в защиту чистого монотеизма являются
достаточным свидетельством того, что единство Бога было высшим секретом
всех древних инициаций. Гипотеза о том, что эта традиция была доминирующей , может
считаться оправданной. Философская школа Пифагора была в известной мере также серией
инициаций, поскольку он заставлял учеников проходить через различные ступени и никогда
не вступал с ними в личный контакт, пока они не достигали определенной ступени
совершенства. Согласно его биографам, степеней было три. Во-первых, это касалось
“Математики” - его ученикам вменялось в обязанность знание математики и геометрии,
которое было тогда и могло бы быть сейчас, если бы масонство было должным образом
внедрено, основанием , на котором воздвигалось все знание. Во-вторых, это касалось
“Теории”, которая имело дело с искусными приложениями точных наук. Наконец, речь шла
о степени “Избранности”, которая присваивалась кандидату тогда, когда он постигал свет
полного просвещения, какого только можно было достичь. Ученики пифагорейской школы
разделялись на “экзотериков”, или учеников внешних степеней, и “эзотериков”,тех, кто
проходил третью степень инициации и был допускаем к секретной мудрости. Молчание,
66
секретность и безусловное повиновение были кардинальными принципами этого великого
ордена.”
ОСНОВЫ ПИФАГОРИЗМА
Изучение геометрии, музыки и астрономии считалось существенным для понимания Бога,
человека или Природы, и никто не мог полагать себя учеником Пифагора до тех пор, пока не
овладевал в достаточной степени этими науками. Каждый претендент проверялся по этим
трем предметам, и, если обнаруживалось его невежество, он быстро изгонялся.
Пифагор не впадал в крайности. Он учил скорее умеренности во всех вещах, нежели
излишеству в чем-либо, поскольку полагал, что избыток добродетели - уже порок. Одним из
его любимых выражений было: “ Мы должны всеми силами стремиться к истреблению во
всех вещах излишеств и огнем и мечом изгонять из тела болезни, из души - невежество, из
живота - обжорство, из городов - призывы к бунту, из семьи - раздоры”. Пифагор верил, что
нет большего преступления нежели анархия .
Все люди знают, чего они хотят, но мало кто знает, что ему нужно. Пифагор предупреждал
своих учеников, что они не должны молиться за себя; что, когда они просят у богов чтонибудь , они не должны просить для себя, потому что человек не знает, что для него хорошо,
и поэтому неразумно просит то, что по получении может принести вред.
Богом Пифагора была Монада, или Единое, которое есть Все. Он описывал Бога как
Верховный Ум, рассредоточенный по всем частям Вселенной, как Причину всех вещей. Он
далее говорил, что движение Бога является круговым, тело Бога состоит из световой
субстанции, а природа Бога должна состоять из субстанции истины.
Пифагор говорил, что поедание мяса затемняет умственные способности. Хотя он не
запрещал его есть другим и сам не полностью воздерживался от мяса, он говорил, что судья
должен воздержаться от поедания мяса перед судом для того, чтобы представшим перед ним
вынести наиболее честное и проницательное решение. Когда Пифагор решал (а это делалось
часто) удалиться в храм Бога на продолжительное время для медитации и молитвы, он брал с
собой заготовленный запас пищи и питья. Пища состояла из равных частей мака и кунжута,
шкурок морского лука, из которого выдавливался сок, цветков нарцисса, листьев мальвы,
ячменя и гороха. Сюда же добавлялся дикий мед. Для приготовления питья он использовал
семена огурцов, изюм без косточек, цветы кориандра, семена мальвы и портулака, тертый
сыр, молоко и масло, смешанные вместе и услащенные диким медом. Пифагор говорил, что
это диета Геркулеса, когда тот скитался по ливийской пустыне, и рецепт был дан ему самой
богиней Церерой.
Любимым методом лечения у пифагорейцев были припарки . Эти люди знали также
волшебные свойства огромного числа растений. Пифагор высоко ценил лечебные свойства
морского лука, и, говорят, он написал по этому поводу целую книгу. Эта работа, однако, нам
не известна. Пифагор открыл, что музыка может иметь терапевтическое значение, и
составлял различные специальные гармонии для различных болезней. Он экспериментировал
также с цветом и как будто достиг больших успехов. Один из его уникальных методов
лечения заключался в декламировании стихов из “Илиады” и “Одиссеи” Гомера, их нужно
было читать больному человеку. Пифагор противился хирургии во всех ее формах. Он не
допускал изменения человеческого тела, поскольку это было, с его точки зрения,
святотатством в отношении богов, поскольку при этом нарушалось место их обитания.
Пифагор учил, что дружба является самым истинным и почти совершенным из всех
человеческих отношений. Он говорил, что в Природе все дружит со всем; боги с людьми,
душа с телом, рационализм с иррационализмом, философия с теорией, человек с другими
людьми. Он говорил также, что дружба существует между людьми незнакомыми, между
мужчиной и его женой, его детьми и слугами. Все узы без дружбы являются просто оковами,
и нет никакой добродетели в их поддержании. Пифагор верил, что человеческие отношения
67
являются по своей природе больше умственными, нежели физическими, и что незнакомец,
ему симпатичный с интеллектуальной точки зрения, ближе к нему, нежели кровный
родственник, не разделяющий его точку зрения. Пифагор определял знание как плоды
умственного накопления. Он считал, что оно может быть добыто множеством путей, но
главным считал наблюдение. Мудрость есть понимание источника или причины всех вещей
и может быть достигнута только поднятием интеллекта до той точки, где он интуитивно
осознает невидимые проявления, направленные через видимое, становясь таким образом,
способным к общению скорее с духами вещей, нежели с их формами. Окончательным
источником, который должен быть постигнут мудростью, была Монада, таинственный
вечный атом пифагорейцев.
Пифагор учил, что человек и Вселенная сделаны по образу Бога. И поскольку образ этот
один, то знание об одном является знанием и о другом. Он, далее, учил, что есть постоянное
взаимодействие между Большим Человеком (Вселенной) и человеком (малой вселенной).
Пифагор верил, что все сидерические тела являются живыми и что формы планет и звезд
являются просто телами душ, умов и духов точно также, как видимая человеческая форма
является носителем невидимого духовного организма, который и есть в реальности
сознающий индивид. Пифагор считал планеты волшебными божествами, достойными
поклонения и уважения человека. Все эти божества, однако, с его точки зрения, подчинены
Первой Причине, внутри которой они существуют временно так, как смертность существует
посреди бессмертия.
Знаменитая пифагорейская Y означала силу выбора и использовалась в Мистериях, как
эмблема Развилки Пути. Главная дорога разделялась на две - направо и налево. Правая ветвь
была названа Божественной Мудростью, а левая - Земной Мудростью. Юность,
персонифицированная в кандидате, идет по Дороге Жизни, символизируемой центральным
стволом знака Y , и достигает точки, где Путь разделяется. Неофит должен выбрать, пойдет
ли он левой дорогой и, следуя диктату своей низшей природы, встанет на путь заблуждения
и бездумья , который неизбежно приведет его к исчезновению , или же он выберет правый
путь и через целостность , труд и искренность окончательно достигнет союза с
бессмертными в высших сферах.
Вероятно, что Пифагор заимствовал свою концепцию Y у египтян, которые включали в
некоторые свои ритуалы инициации сцену, где кандидат представал перед двумя женскими
фигурами. Одна из них, закутанная в белые одежды храма, призывала неофита в зал учения,
а другая, украшенная драгоценными камнями, символизирующими земные сокровища,
держала в руках поднос, наполненный фруктами ( эмблема ложного света), и заманивала его
в залы распущенности. Этот символ все еще используется в картах Тарот, одна из которых
называется Развилка Пути. Палка, кончающаяся развилкой, является символом жизни
многих народов, и она используется для указания места в пустыне, где есть вода.
Относительно пифагорейской теории переселения душ имеются различные точки зрения.
Согласно одному взгляду, он учил, что смертные, уподоблявшиеся в течение жизни какомулибо животному, по возвращении на землю примут форму этого животного. Поэтому
пугливый человек вернется в роли кролика, жестокий человек - в форме волка, а хитрый - в
виде лисы. Этот взгляд не подпадает, однако, под общую схему пифагорейской философии и
скорее носит характер аллегории, нежели имеет буквальный смысл. Эта аллегория должна
пониматься так: человеческие существа становятся зверями, когда они позволяют в себе
доминировать своим собственным низким желаниям и разрушительным тенденциям. Вполне
вероятно, что термин “трансмиграция” должен пониматься в смысле перевоплощения,
доктрины, которую Пифагор мог прямо или косвенно узнать в Индии и Египте.
Тот факт, что Пифагор принял теорию последовательных воплощений духовной природы в
человеческой форме, обнаруживается в сноске в работе Леви “История магии”: “ Он был
видным сторонником того, что называется доктриной метемпсихоза, понимаемой как
переселение души в последующие тела. Он сам был: а) Эталидесом, сыном Меркурия; б) Э
вфорбусом, сыном Панфоя, павшим от руки Менелая в троянской войне; в) Гермотимеем,
68
пророком в Клазоменах, городе в Ионии; г) смиренным рыбаком и, наконец, д) философом с
Самоса”.
Пифагор также учил, что каждый вид существ имеет то, что он называет печатью, данной
существу Богом, и что физическая форма каждого из них является оттиском этой печати на
воску физической субстанции. Таким образом, каждое тело отмечено достоинством ,
идущим от божественного образа. Пифагор верил, что в конце концов человек достигнет
состояния, в котором он сумеет отобразить свою большую природу в эфирном теле,
налагаемом на физическое тело, и после этого будет обитать в восьмой сфере, или
Антихтоне. Отсюда он может вознестись в область бессмертных, которой он принадлежит по
божественному праву рождения.
Пифагор учил, что все в природе разделено на три части и что никто не может стать
воистину мудрым, пока он не будет представлять каждую проблему в виде треугольной
диаграммы. Он говорил: “ Узрите треугольник, и проблема на две трети решена... Все вещи
состоят из трех”. В соответствии с этой точкой зрения, Пифагор разделил Вселенную на три
части, которые он назвал Высочайший Мир, Высший Мир и Низший Мир. Главный из них,
Высочайший Мир, является тонкой проницаемой духовной сущностью, пронизывающей все
вещи, и , следовательно, истинной плоскостью самого Высочайшего Божества, и при этом
Божество является вездесущим, всемогущим и всеведущим. Оба подчиненных мира
существуют в природе этой высочайшей сферы.
Высший Мир является обиталищем бессмертных. Это также и место архетипов, или
печатей; их природа ни в коей мере не сходна с земной материальностью, но они, отбрасывая
свою тень в глубину (Низший Мир), осознаются только через свои тени. Третий, Низший
Мир , является обиталищем тех созданий, которые состоят из материальной субстанции или
же заняты трудами над материальной субстанцией. Таким образом, это обиталище смертных
богов, Демиургов, ангелов, которые имеют дело с людьми, и демонов, имеющих земную
природу. Сюда же относятся человечество и низшие царства, временные жильцы на земле,
но способные подняться в высшие сферы через разум и философию.
1 и 2 не считались числами у пифагорейцев, потому что они представляют две надмирские
сферы. Пифагорейские числа начинаются с 3, треугольника, и 4, квадрата. Сложенные между
собой и плюс 1 и 2, они дают число 10, великое число всех вещей, архетип Вселенной. Три
мира были названы вместилищами. Первый был вместилищем принципов, второй - разума, а
третий - низший - вместилищем количеств.
Числа и формы.
Пифагор учил, что точка символизирует число 1, линия - число 2, плоскость - число 3, и
многогранники - число 4.
“ Симметричные геометрические тела имели для пифагорейцев и последующих греческих
мыслителей величайшее значение. Для того, чтобы быть совершенно симметричным,
геометрическое тело должно иметь равное число граней, встречающихся в углах, и эти грани
должны быть правильными многоугольниками, то есть фигурами с равными сторонами и
углами. Пифагор, вероятно, был первым, кто сделал величайшее открытие, что есть только
пять таких тел...
Далее, греки полагали, что мир состоит из четырех элементов: земли, воздуха, огня и воды,
- и греческий ум неизбежно пришел к заключению, что формами частиц или элементов были
правильные геометрические тела. Земные частицы были кубами, и куб, будучи правильным
геометрическим телом, обладал величайшей устойчивостью . Огненные частицы были
тетраэдрами; тетраэдр был наипростейшим из правильных тел и поэтому самым легким.
Водные частицы были икосаэдрами в силу того же принципа, и воздушные частицы, будучи
промежуточными между двумя последними, были октаэдрами. Додекаэдр для античных
математиков был наиболее таинственным из всех геометрических тел. Его труднее всего
было сконструировать, одной из причин чего была необходимость аккуратно вычерчивать
пятиугольник, пентагон, используя при этом великую теорему Пифагора. Отсюда и
69
заключение Платона о том, что “это (правильный додекаэдр) Божество использовало для
планирования Вселенной”” (Х. Редгроув “Ушедшие веры”).
СИММЕТРИЧНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА
К пяти симметричным правильным телам древних добавлена сфера (1), наиболее
совершенная из всех сотворенных форм. Пять пифагорейских тел таковы: тетраэдр (2) с
четырьмя гранями, которые являются равносторонними треугольниками, куб (3) с шестью
гранями-квадратами, октаэдр (4) с восьмью гранями - равносторонними треугольниками,
икосаэдр (5) с двадцатью гранями - правильными пятиугольниками.
Редгроув не упомянул пятый элемент древних Мистерий, который мог бы сделать более
полной аналогию между симметричными геометрическими телами и элементами. Пятый
элемент, эфир, был назван индусами акаса. Он находится в тесной связи с гипотетическим
эфиром современной науки. Эфир является проницаемой субстанцией, пронизывающей все
остальные элементы и действующей как общий для них растворитель и общий знаменатель.
В правильном геометрическом теле с двенадцатью гранями следует усматривать тонкую
аналогию с Двенадцатью Бессмертными, покрывающими Вселенную, а в двенадцати
извилинах человеческого мозга - присутствие этих Бессмертных в человеческой природе.
Хотя Пифагор, как и его современники, практиковал гадание (возможно, арифмоманию), нет
точной информации относительно использовавшихся им методов. У него, как говорили,
было замечательное колесо фортуны, с помощью которого он мог предсказывать будущее и
весьма отдаленные события, а еще он научился гидромании у египтян. Он верил в то, что
медь имеет пророческие свойства, потому, что даже когда все вокруг спокойно, в медной
чаше слышалось грохотанье. Он однажды обратился с молитвой к духу реки, и из воды
послышался голос: “ Пифагор, я приветствую тебя”. Говорят, что он мог заставить демонов
входить в воду и мутить ее и через такое действо, глядя на рябь, мог предсказывать
некоторые вещи.
Однажды, отпив из источника, один из пифагорейских Мастеров заявил, что дух воды
предсказал на следующий день страшное землетрясение - пророчество исполнилось. В
высшей степени, вероятно, что Пифагор обладал гипнотической властью не только над
людьми, но и над животными. Он заставлял птиц изменять направление полета, медведя прекращать набеги на жилища, а быка - менять пищу, и все это чисто умственным усилием.
Он также имел дар второго зрения, будучи способен видеть вещи на большом удалении и
точно описывать события, которые еще не произошли.
СИМВОЛИЧЕСКИЕ АФОРИЗМЫ ПИФАГОРА.
Ямвлих собрал тридцать девять символических изречений Пифагора и дал им
интерпретацию. Они были переведены с греческого Томасом Тейлором. Афористические
утверждения были одним из любимых методов Пифагора и широко использовались в
пифагорейском университете в Кротоне. Ниже приведены десять наиболее важных
афоризмов с краткими объяснениями скрытого значения.
ОТКЛОНЯЙСЯ ОТ ДОРОГ ИСХОЖЕННЫХ, ИСПОЛЬЗУЙ НЕХОЖЕННЫЕ ПУТИ.
Это надо понимать так, что тот, кто ищет мудрости, должен искать ее в уединении.
2. БУДЬ ХОЗЯИНОМ СВОЕМУ ЯЗЫКУ ПРЕЖДЕ ВСЕХ ДРУГИХ ВЕЩЕЙ, СЛЕДУЯ ПРИ
ЭТОМ БОГАМ.
Этот афоризм предупреждает человека, что его слова вместо того, чтобы давать о нем
подлинное представление, могут вводить других в заблуждение, и, когда есть какое-либо
сомнение, что должно сказать, всегда лучше промолчать.
ДУЕТ ВЕТЕР, ПОКЛОНЯЙСЯ ШУМУ.
Пифагор напоминает здесь своим ученикам о том, что Бог указует слушать голос элементов
и что все вещи в Природе проявляются через гармонию, ритм, порядок или действо,
приписываемое Богу.
70
ПОМАГАЙ ЧЕЛОВЕКУ В ПОДНЯТИИ ТЯЖЕСТИ, НО НЕ ПОМАГАЙ В СЛОЖЕНИИ ЕЕ.
Следует учиться помогать старательным, но не помогать никогда тем, кто стремится
избежать ответственности, - грех помогать ленивым.
НЕ ГОВОРИ О ДЕЛАХ ПИФАГОРЕЙСКОГО УЧЕНИЯ БЕЗ СВЕТА.
Здесь мир предупреждается о том, что не следует толковать Божьи тайны и секреты науки
без духовного и интеллектуального просветления.
ВЫЙДЯ ИЗ СВОЕГО ДОМА, НЕ ВОЗВРАЩАЙСЯ, ИНАЧЕ В НЕМ БУДУТ ОБИТАТЬ
ФУРИИ.
Пифагор здесь предупреждает тех, кто начав поиски истины и изучив некоторые таинства ,
попытается вернуться на свой путь порока и невежества. Лучше ничего не знать о
Божественном, нежели изучить малость и остановиться на полдороге.
КОРМИ ПЕТУХА, НО НЕ ПРИНОСИ ЕГО В ЖЕРТВУ, ПОСКОЛЬКУ ПОСВЯЩЕН ОН
СОЛНЦУ И
ЛУНЕ.
Два великих урока скрыты в этом афоризме. Первый заключается в том, что не следует
приносить в жертву богам живых существ, потому что жизнь священна, и не следует
разрушать ее, даже предлагая Богу. Второй заключается в предупреждении человеку, что
человеческое тело, символизируемое здесь петухом, посвящено солнцу (Богу) и луне
(Природе) и должно сохраняться как наиболее драгоценное средство человеческого
воплощения. Пифагор предостерегал своих учеников от самоубийства.
НЕ ПОЗВОЛЯЙ ЛАСТОЧКАМ СЕЛИТЬСЯ В СВОЕМ ДОМЕ.
Это предупреждение искателю истины, чтобы он не позволял проникать в свой ум
блуждающим мыслям или же входить в свою жизнь людям, не способным к духовному
изменению. Он должен окружать себя рационально мыслящими людьми и сознательными
работниками.
НЕ ПРОТЯГИВАЙ ОХОТНО СВОЮ ПРАВУЮ РУКУ НИКОМУ.
Это предупреждение ученику: следует иметь свой собственный ум и не делиться мудростью
и знанием (правая рука) с теми, кто не способен это оценить. Рука здесь представляет
истину, которая поднимает тех, кто упал по причине невежества; но поскольку многие из
таких павших вовсе не нуждаются в мудрости, они скорее отрубят руку, протянутую им.
Только время может помочь в искуплении невежества людей.
ПОДНЯВШИСЬ С ПОСТЕЛИ, СГЛАДЬ ОТПЕЧАТКИ ТЕЛА.
Пифагор считал, что ученики, проснувшиеся от спячки невежества и пришедшие в
бодрствующее состояние разума, должны устранить все воспоминания о своей бывшей
духовной темноте. Мудрый человеку не оставляет позади себя форму, которую менее
разумные могут принять за форму для изготовления идола.
Наиболее знаменитым из всех фрагментов Пифагора являются “ Золотые стихи”,
приписываемые ему самому, хотя относительно авторства тут имеются определенные
сомнения. “Золотые стихи” содержат краткий вариант всей системы философии, которая
лежала в основе образовательных доктрин италийской школы в Кротоне. Эти стихи
открываются советом читателю возлюбить Бога, чтить великих героев и уважать духов
природы. Затем человек призывается тщательно размышлять всю свою дневную жизнь и
предпочитать сокровища ума и души земным накоплениям. Стихи также обещают человеку,
что если он поднимет свою низшую материальную природу и будет культивировать
самоконтроль, он будет замечен богами и соединится с ними, разделив с ними бессмертие.
(Важно заметить, что Платон очень высоко ценил этот манускрипт Пифагора, который
сохранился после разрушений в Кротоне.)
ПИФАГОРЕЙСКАЯ АСТРОНОМИЯ
Согласно Пифагору, положение каждого тела во вселенной определяется его
достоинствами. Бытовавшая в его дни концепция говорит о том, что Земля занимает
центральное положение в солнечной системе, что планеты, включая Солнце и Луну,
71
движутся вокруг Земли, что Земля плоская и квадратная. В противоположность этому, не
обращая внимания на критику, Пифагор говорил, что огонь является наиважнейшим из всех
элементов, что центр является наиболее важной частью каждого тела и что точно также, как
огонь Весты находится в середине дома, так и середина Вселенной представляет пылающую
сферу небесного сияния. Этот центральный шар он назвал Замком Юпитера, или Шаром
Единства, Великой Монадой, или Алтарем Весты. Так как число 10, будучи священным,
символизирует сумму всех частей и завершенность всех вещей, для Пифагора было вполне
естественным разделить Вселенную на десять сфер, символизируемых десятью
концентрическими окружностями. Центр этих окружностей был в центре шара
Божественного Огня; затем шли семь планет, Земля, еще одна таинственная планета,
называемая Антихтоном, которая никогда не бывает видимой.
Существуют различные точки зрения на природу Антихтона. Клемент
Александрийский полагал, что он представляет массу небес, другие же полагали, что он есть
Луна. Более вероятно, что это была таинственная восьмая сфера древних, которая двигалась
по той же самой орбите, что и Земля, но которая была всегда скрыта от Земли Солнцем,
будучи все время точно противоположной Земле на орбите. Не есть ли это та самая Лилит, о
которой столь долго спорили астрологи?
Исаак Майер утверждает следующее : “ Пифагорейцы полагали, что каждая звезда была
миром с окружающей ее атмосферой из эфира” (см. “Каббалу”). Ученики Пифагора высоко
чтили планету Венеру, потому что она была единственной планетой, достаточно яркой,
чтобы отбрасывать тень. Как утренняя звезда Венера была видна еще до восхода солнца, а
как вечерняя звезда она сияла сразу после солнечного заката. Из-за этих свойств ей давалось
древними много имен. Будучи видимой в небе при закате, она называлась Vesper, а
поскольку она всходила перед солнцем , она называлась ложным светом, утренней звездой
или Люцифером, что означает носитель света. Из-за этого отношения с солнцем планета
также называлась Венерой, Астартой, Афродитой, Исидой и Матерью Богов. В некоторые
времена года на некоторых широтах серп Венеры можно видеть без телескопа. С этим
фактом можно связать часто встречающееся изображение античной богини с серпом, и
нужно иметь в виду, что фазы Венеры не совпадали с фазами Луны. Точное знание
астрономии, которым обладал Пифагор, он, без всяких сомнений, заимствовал из египетских
храмов, потому что их жрецы прекрасно понимали истинное соотношение небесных тел за
тысячи лет до того, как это знание было открыто непосвященному миру. Именно факт, что
приобретенное им знание позволило ему делать утверждения, потребовавшие для своей
проверки две тысячи лет, является причиной того, почему Платон и Аристотель столь
высоко ценили глубину древних Мистерий. Среди научного невежества, без помощи
современных инструментов, жрецы-философы открывали истинные основы динамики
Вселенной.
Интересным применением Пифагорейской доктрины геометрических тел было
расширение ее Платоном в его “Каноне”. “Почти все старые философы, - говорит анонимный
писатель, - изобретали гармоничные теории Вселенной, и эта практика продолжалась до тех
пор, пока не умер этот способ философствования”. Кеплер ( 1596г.) для того, чтобы
продемонстрировать платоновскую доктрину, что Вселенная состоит из пяти правильных
тел, предложил следующее правило: “ Земля есть круг , измеритель всего. Вокруг него
описывается додекаэдр. Описывающим его кругом будет Марс. Вокруг Марса описывается
тетраэдр , и сфера, его описывающая, будет Юпитером. Вокруг юпитера описывается куб, и
сфера вокруг него будет Сатурном. Теперь впишем в Землю икосаэдр, и круг внутри него
будет Венерой. Впишем в Венеру октаэдр, и круг внутри него будет Меркурием” (Misterium
Cosmographikum”. 1596). Это правило не может рассматриваться серьезно как утверждение о
действительных пропорциях Вселенной, поскольку оно никак не совпадало с
соотношениями, выведенными Коперником в начале ХУ1 века. И все же Кеплер был очень
горд своей формулой и говорил, что ценит ее больше, чем курфюршество Саксонии. Оно
также высоко ценилось двумя видными авторитетами, Тихо Браге и Галилеем, которые,
72
очевидно, понимали его. Кеплер же сам никогда не дал ни малейшего намека на то, как
интерпретировать его драгоценное правило. Платоновская астрономия не имела дела с
материальными составляющими небесных тел, но рассматривала звезды и планеты главным
образом как фокальные точки Божественног7о разума. Физическая астрономия
рассматривалась как наука о “тенях”, а философская астрономия - как наука о “реальности”.
Использованная литература:
1.Акимова С. Занимательная математика.-Санкт-Петербург: Тригон, 1997.-608 с.
2.Бабенко Е.Б., Блинков А.Д. и др. Школьный интеллектуальный марафон.- М:
Образовательный центр "Педагогический поиск", 1999.-160 с.
3.Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад.- М.:Просвещение, 1965.-46с.
4.Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков: Пособие для учителей. -М.: Просвещение,
1971.- 462 с.
5.Бангерт Т., Старостенко А. Устами младенца//Математика.-2001.-№45.-с.31-32
6.Бахтина Т. П..Математимакон 7: Готовимся к олимпиадам, турнирам и математическим
боям:Пособие для учащихся общеобразовательных школ, гимназий.-Мн.:Аверсэв, 2004.-253
с.
7.Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки.Киров:"Аса", 1994.-272 с.
8.Глейзер Г.И. История математики в школе 7-8 классы: Пособие для учителей.М.:Просвещение, 1982. -240 с.
9.Гусев В.А. и др. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: Книга для учителя.М.:Просвещение, 1984.-286 с.
10.Игнатьев Е.И.В царстве смекалки.-М.:Наука, 1982.-265 с.
11.Ефремушкина О.А. Школьные олимпиады для начальных классов: серия"Здравствуй,
школа!"-Ростов н/Д: Феникс, 2004.-192 с.
12.Задачи для внеклассной работы по математике в 5-6 классах: Пособие для учителей/Сост.
В.Ю.Сафонова.-М.:МИРОС, 1993.-72с.
13.Злотин С. Новое соревнование "Математический биатлон".//Математика. 2006.-№15 .-с
25-26
14.Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи.-М.: МЦНМО,
2004. -96 с.
15.Кордемский Б.А.Математическая смекалка.-М.:Наука, 191.-5786 с.
16.Коршунова О.Р., Лущекина О.Б.Марафон 2005//Математика. -2005.-№8.-с.2-5
17.Лешан А.А.Сборик задач московских математических олимпиад.-М.:Просвещение, 1965.265 с.
18.Лоповок Л.М. Математика на доске: Книга для учащихся среднего школьного возраста.М.:Просвещение, 1981.-158 с.
19.Математика:Интеллектуальные марафоны, турниры, бои: 5-11 класс:Книга для учителя.
М.:Первое сентября, 2003. 256 с.
20.Нестеренко Ю.в., Олехник С.Н., Потапов М.К. Лучшие задачи на смекалку.-М.:Научнотехнический центр"Университеский" : АСТ-ПРЕСС, 1999-304 с.
21.Нечаев М.П.. Гурина Т.В. Как подготовить и провести неделя математики//Математика в
школе.-206. №7. с.68-72
22.Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи.М.:Дрофа, 2002.-176 с.
23.Перельман Я.И. Живая математика.-М.-Л.: ГТТИ, 1934
24.Попова Ек.Что изобрел француз де Литр?// Учитель года: лучшее от лучших.- 2004. №9.с.62-65.
25. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике: Книга для учащихся 5-7 классов.М:Просвещение, 2002.-207 с.
73
26.Ткачева О. Смекалка всегда нужна//Учитель .-2006.-№2.-с.38-39
27.Труднев В.П. Считай, смекай, отгадывай! Пособие для учащихся нач. школы.М.:Просвещение, 1970.-128 с.
28.Шарыгин И. Математический винегрет.-М.:Орион, 1991.-106с.
29.Шарыгин И.Ф. Математика:Задачи на смекалку:Учебное пособие для 5-6 классов.
общеобразовательных учреждений.-М.:Просвещение, 2001. -95 с.
30.Шуба М.Ю.Занимательные задания в обучении математике:Книга для учителя.М.:Просвещение, 1995.-222 с.
31.Щетников А. Похвальное слово Пифагору//Математика.-2006.-№19-с.21-22
32.Я иду на урок в начальную школу: Внеклассная работа: Олимпиады и интеллектуальные
игры: Книга для учителя.- М.:6Первое сентября, 2000.-256 с.
33.Ященко И.В. Приглашение на математический праздник.- М.:МЦНМО, 2005.-104 с.
74
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
Алексей Иванович Смирнов. Подготовка к математическим соревнованиям. Вологда, 2008.
Рецензенты: Губа Виктор Сергеевич, доктор физико-математических наук, профессор ПГПУ
Блинова Александра Сергеевна, методист ГОУ ДПО «Вологодский институт развития
образования»
Содержание
Введение
.
.
.
.
.
1
Глава 1. Математические соревнования .
1
§1. Об олимпиадном движении
.
.
2
§2. Центры олимпиадной подготовки .
.
2
§3. Результаты вологодских школьников
.
3
§4. Система подготовки вологодских школьников
4
§5. Работа тренера по подготовке к соревнованиям
7
§6. Советы участникам соревнований.
.
8
Глава 2. Задачи
.
.
.
.
10
§1. Классификация олимпиадных задач
.
10
§2. Идеи универсального характера .
.
12
2.1. Чётность .
.
.
.
13
2.2. Подсчёт двумя способами
.
15
2.3. Сумма координат .
.
.
19
2.4. Раскраска .
.
.
.
20
2.5. Инварианты, связанные с делимостью
24
2.6. Другие инварианты
.
.
28
2.7. Полуинвариант .
.
.
31
2.8. Цикличность
.
.
.
33
2.9. Поэтапное построение примера .
34
2.10. Обратный ход .
.
.
35
2.11. Дискретная непрерывность
.
35
2.12. Математическая индукция
.
37
2.13. Принцип Дирихле
.
.
39
75
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.14. Принцип крайнего
45
2.15. Линейность
.
48
2.16. Соответствие
.
48
§3. Дискретная математика .
48
3.1. Комбинаторика .
48
3.2. Игры
.
.
56
3.3. Графы
.
.
72
3.4. Алгоритмы
.
88
3.5. Множества
.
93
3.6. Логические задачи
98
Литература
.
.
.
101
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ВВЕДЕНИЕ
Литература, используемая педагогами и учащимися при подготовке к математическим
соревнованиям, при наличии большой базы задач чаще всего имеет один из двух недостатков: или
охватывает небольшую часть тем (идей), или не содержит подробной классификации и описания
идей, используемых в решении задач. В результате сведения, необходимые для успешного
выступления на соревнованиях, с большим трудом проникают в школы. И педагоги, и школьники для
сколько-нибудь значительного расширения сведений в данной области вынуждены просматривать
десятки сборников. Настоящая книга написана с целью упростить получение начальных сведений
всеми заинтересованными участниками олимпиадного движения.
В первой главе рассматривается ряд общих вопросов, связанных с подготовкой и проведением
математических соревнований. Мы расскажем о наиболее значительных результатах вологодских
школьников и о системе работы со школьниками, позволяющей добиваться таких результатов, а
также предложим свои советы участникам математических соревнований и их наставникам.
Вторая глава содержит очень подробную классификацию задач, значительная часть которых –
с решениями или указаниями. Примерно половина задач – математический фольклор, т. е. такие
задачи, авторство которых неизвестно и которые может придумать любой руководитель
математического кружка. Другая половина взята из различных сборников задач (см. список
литературы) и интернет-источников (www.problems.ru, www.zaba.ru и др.) Некоторые задачи (№№
142-144, 148, 163, 164, 247, 260, 286, 583, 618, 622, 743, 745, 798, 913, 954, 971 и др.) придуманы
автором.
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ
§1. Об олимпиадном движении
История проведения математических соревнований начинается в глубокой древности.
Математические олимпиады в традиционной форме появляются в Венгрии в конце 19 века, в России в 1930-е годы. В конце 1960-х проводятся первые математические бои. В настоящее время
организуется огромное количество математических соревнований. Важнейшими формами их
проведения являются:
* личная письменная олимпиада (из одного или нескольких туров, с немедленной или отложенной
проверкой) – традиционная форма;
* личная устная олимпиада (один тур, с немедленной проверкой);
76
* командная письменная олимпиада (один тур, с немедленной проверкой);
* личный математический тест;
* турнир математических боёв (возможно, состоящий из одного боя – товарищеская встреча);
* математическая игра (личная или командная);
* смешанная форма (соревнование, состоящее из нескольких этапов и включающее несколько
различных форм проведения).
Участниками математических соревнований могут быть школьники, студенты, на командных
соревнованиях участники объединяются в команды учебных заведений, городов (районов), регионов,
стран. Организуют соревнования ВУЗы, учреждения дополнительного образования, школы,
государственные или муниципальные органы управления образованием, научные учреждения,
частные лица. Под уровнем (или престижностью) соревнования чаще всего понимают совокупность
следующих трёх факторов: 1) сложность заданий, 2) состав участников (география и уровень
подготовленности), 3) состав жюри. В этот список не входят такие факторы, как количество
участников или наличие государственной поддержки. Иногда в качестве краткого обозначения
уровня соревнования используют только сведения о географии участников («соревнование
городского (областного, Российского, международного) уровня.
! Так, уровень подготовленности участников олимпиад, проводимых ВУЗами с целью
предоставления победителям таких олимпиад льготных условий поступления, значительно
уступает уровню подготовленности участников многих крупных Российских турниров
математических боёв.
В массовых соревнованиях (например, конкурс «Кенгуру» или школьный этап Всероссийской
олимпиады) принимают участие миллионы школьников. А в соревнованиях для наиболее
подготовленных школьников участвуют единицы. Соревнование можно считать успешным, если
выполнены следующие три условия:
* массовость - в соревновании участвует значительное количество школьников (студентов, команд),
умеющих решать задачи предложенного уровня сложности;
* правильный подбор задач – уровень сложности задач соответствует уровню подготовленности
участников;
* квалифицированное судейство – уровень судейства не ниже, чем это необходимо для данного
состава участников.
В ряде случаев, несмотря на льготы победителям соревнований, проводимых
государственными органами управления образованием (финансовая поддержка, возможность
поступления в ВУЗ на льготных условиях) их уровень для участников остаётся низким, и они
предпочитают участвовать в других математических соревнованиях, проводимых в те же сроки, даже
если для этого требуется внести солидный организационный взнос. Поэтому при поддержке
государством тех или иных соревнований важно понимать их уровень, проводя консультации с
ведущими педагогами, задействованными в олимпиадном движении.
Проведение математических соревнований стало бы невозможным без слаженной работы
огромного количества людей, задействованных в олимпиадном движении: авторов задач и членов
жюри; членов оргкомитетов; самих участников соревнований и их родителей; педагогов,
занимающихся подготовкой участников; спонсоров; администраций учебных заведений и работников
органов управления образованием.
§2. Центры олимпиадной подготовки.
Подготовка школьников к олимпиадам может происходить разными способами. Важным
элементом подготовки является самостоятельная работа ребят, решение ими задач в свободное время.
Во многих школах проводятся кружки, факультативы, спецкурсы по математике, и эти школы чаще
всего показывают высокие результаты на соревнованиях местного уровня. Так, высокие результаты
по математике в течение ряда лет имеются у учащихся гимназии 2, школ 1, 8, 18, 32 (с 2008 года –
лицей №32) города Вологды, школы 34 города Череповца, школы 1 города Сокола, гимназии и ряда
школ Великого Устюга. Но для подготовки к соревнованиям Всероссийского и международного
уровня усилий школы оказывается недостаточно.
Анализ результатов Всероссийских личных и командных соревнований по математике
показывает, что самые высокие результаты показывают школьники из тех населенных пунктов
России, в которых существуют учреждения дополнительного образования, занимающиеся
подготовкой школьников к предметным олимпиадам. Центры олимпиадной подготовки могут быть
77
государственными, муниципальными или частными, охватывать масштабы региона или населённого
пункта, вести подготовку школьников по одному или нескольким предметам, являться
самостоятельными организациями или существовать как кружки при университетах, научных
центрах, дворцах детского творчества.
Широко известными в России центрами олимпиадной подготовки являются:
* Санкт-Петербургский центр математического образования,
* Центр развития дополнительного образования им. Бернулли (г. Краснодар),
* Центр дополнительного образования «Одарённый школьник» (г. Киров),
* Московский центр непрерывного математического образования,
* Республиканская естественно-математическая школа при Адыгейском государственном
университете,
* Центр дополнительного математического образования (г. Курган),
* Центр образования школьников "Олимп" (г. Ярославль),
* Центр дополнительного образования одаренных школьников (г. Кострома).
Центром олимпиадной подготовки в Вологде является структурное подразделение
«Интеллект» муниципального образовательного учреждения дополнительного образования детей
«Детско-юношеского центра «Единство», расположенное по адресу город Вологда, улица Гагарина,
дом 46.
Имеется несколько безусловных плюсов наличия центров олимпиадной подготовки,
определяющих высокие результаты школьников.
1. Привлечение к работе всех школьников города (региона), желающих получать высокие
результаты на математических соревнованиях, вне зависимости от того, в какой школе они учатся.
Центры олимпиадной подготовки, не являясь общеобразовательными школами, одинаково
непредвзято взаимодействуют со всеми школами и со всеми школьниками города (региона).
Благодаря своей нейтральной позиции они успешно организуют судейство в математических
соревнованиях на уровне своего города (региона) и успешно занимаются отбором школьников в
городские (региональные) команды для участия во Всероссийских соревнованиях.
2. Существование «вне школьного расписания», позволяющее одновременно проводить
занятия для школьников разных возрастов, но с одинаковым уровнем подготовленности.
! В сборниках задач для математических кружков задачи часто сгруппированы не по
классам, а по годам обучения. Вполне реальна ситуация, при которой 6-классник, занимаясь
второй год, решает более сложные задачи по сравнению с 11-классником, занимающимся
первый год. Дело в том, что олимпиадная математика имеет мало общего со школьной
математикой и представляет собой такое же направление дополнительного образования,
как занятия музыкой или рисованием.
3. Возможность проведения интенсивной (до 5-7 часов в день) работы со школьниками летом,
когда в школах проводится ремонт.
! Многие математические соревнования длятся по 4-5 часов в день, и длительность занятий
по подготовке должна быть не меньше. Иногда, ссылаясь на разного рода документы,
делаются попытки ограничить длительность тренировок. Это приводит к резкому
ухудшению результатов школьников, которые практически ничего не могут придумать за
последние часы олимпиады. Есть очень простая аналогия: сокращать тренировки – всё
равно, что легкоатлета, которого надо готовить к марафону, тренировать на
стометровке.
§3. Результаты вологодских школьников.
В течение нескольких последних лет в детско-юношеском центре «Единство» г. Вологды
существует структурное подразделение «Интеллект», которое отвечает за подготовку вологодских
школьников (независимо от того, в какой школе Вологды они учатся) к соревнованиям по различным
школьным предметам. «Интеллект» отвечает также за формирование сборных города для участия в
командных соревнованиях Российского уровня (по составу участников).
Наиболее значительными успехами вологодских школьников в ранний период существования
“Интеллекта” являются
* дипломы на IV Федеральном окружном этапе Всероссийской олимпиады школьников в течение
ряда лет
78
* успешное выступление Золотова Алексея (32 школа, 7 класс) на личной олимпиаде Уральского
турнира (г. Киров Кировской области, февраль 2005)
* специальный приз Лапину Олегу (32 школа, 11 класс) – лучшему капитану XIV Российского
Фестиваля Юных математиков (ВДЦ «Орлёнок», Краснодарский край, октябрь 2003)
* на этом же фестивале (октябрь 2003) вологодская команда в составе 7 школьников из 2 гимназии и
32 школы заняла I командное место в первой лиге.
За последние два учебных года наиболее значительными являются следующие успехи
школьников, занимающихся в «Интеллекте».
период
участники
место, диплом
март 2007
Золотов Алексей
(32 школа, 9 класс)
Кравец Василий
(32 школа, 11 класс)
Команда в составе:
Шигаревский Дмитрий
(18 школа, 7 класс)
Кожина Елена
(1 школа, 7 класс)
Геркулесов Руслан
(41 школа, 7 класс)
Каберов Александр
(4 школа, 7 класс)
Суворова Юлия
(12 школа, 7 класс)
Куриленко Константин
(26 школа, 11 класс)
диплом I степени
сентябрь 2007
октябрь 2007
март 2008
май-июнь 2008
сентябрь 2008
Хусаинов Ильяс
(2 гимназия, 11 класс)
Разбегаева Ксения
(8 школа, 9 класс)
Шигаревский Дмитрий
(18 школа, 7 класс)
Команда в составе:
Шигаревский Дмитрий
(18 школа, 8 класс)
Кожина Елена
(1 школа, 8 класс)
Геркулесов Руслан
(41 школа, 8 класс)
Каберов Александр
(4 школа, 8 класс)
Виноградов Игорь
(33 школа, 8 класс)
Кувшинова Дарья
(32 лицей, 7 класс)
диплом II степени
соревнование Российского или
международного уровня
IV Федеральный окружной этап
Всероссийской олимпиады
школьников (г. Санкт-Петербург)
диплом III степени – за
командную олимпиаду
диплом III степени – за
турнир математических
боёв
Второй Южный математический
турнир (ВДЦ «Орлёнок»,
Краснодарский край)
специальный приз лучший оппонент
Фестиваля
диплом III степени
XVIII Российский Фестиваль Юных
математиков (п. Адлер, Краснодарский
край)
IV Федеральный окружной этап
Всероссийской олимпиады
школьников (г. Кисловодск,
Ставропольский край)
Российский математический фестиваль
«Золотое Руно» (г. Гагра, Республика
Абхазия)
Третий Южный математический
турнир (ВДЦ «Орлёнок»,
Краснодарский край)
грамота за успешное
выступление
2 место
II место на командной
олимпиаде
II место на турнире
математических боёв
(команда сыграла в
финале с Нижним
Тагилом 48:45 в пользу
Вологды – ничья, а
затем проиграла блиц)
79
ноябрь 2008
Шигаревский Дмитрий
(18 школа, 8 класс)
Красильников Василий
(8 школа, 10 класс)
Хусаинова София
(2 гимназия, 11 класс)
Андреев Александр
(32 лицей, 11 класс)
I место среди всех
I командно-личный турнир
участников учащихся 8 школьников «Математическое
классов, I место по
многоборье» (г. Москва, СУНЦ МГУ)
России среди 9 классов,
III место среди всех
участников на личной
письменной олимпиаде
по алгебре и теории
чисел (диплом II
степени)
7 место на личной
устной олимпиаде по
комбинаторике и логике
(диплом III степени)
диплом III степени на
личной письменной
олимпиаде по
геометрии
§4. Система подготовки вологодских школьников.
Календарь математических соревнований школьников Вологды.
Под календарём соревнований школьника (студента) понимают список соревнований, в
которых может принимать участие данный школьник (студент) в течение учебного года. Календарь
состоит из двух компонентов: местного и Всероссийского. В первую компоненту входят (полностью,
реже частично) соревнования, которые проводятся на уровне города (региона). Вторая компонента
включает те соревнования Всероссийского или международного уровня, в которых традиционно
принимают участие участники из данного города (региона).
Ввиду большого количества соревнований некоторые из них проводятся в одинаковые или
перекрывающиеся сроки, и традиционно школьники (студенты) из данного города (региона) в
некоторых из них принимают участие, а другие игнорируют. По этой причине имеет смысл говорить
о календаре математических соревнований школьников (студентов), проживающих в данном городе
(регионе).
Календарь математических соревнований школьников Вологды представлен в следующей
таблице.
Местный компонент
1. Городская накопительная олимпиада школьников по математике
2. Городской турнир математических боёв
3. Участие в товарищеских математических боях
4. Математические кружки на базе школ и СП «Интеллект»
5. I Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике
6. Городской математический лагерь с дневным пребыванием на базе СП
«Интеллект» (подготовка к городской олимпиаде)
7. II Городской этап Всероссийской олимпиады школьников по математике
8. Городской математический лагерь с дневным пребыванием на базе СП
«Интеллект» (подготовка к областной олимпиаде)
9. III Областной этап Всероссийской олимпиады школьников по математике
10. Городской математический лагерь с дневным пребыванием на базе СП
«Интеллект» (отбор городских команд на Южный математический турнир и
Российский Фестиваль Юных математиков)
11. Городской слёт старшеклассников «Интеллект» на базе загородного
лагеря «Единство» (отбор городских команд на Южный математический
турнир и Российский Фестиваль Юных математиков)
Всероссийский компонент
80
в течение года
в течение года
в течение года
в течение года
октябрь – ноябрь
осенние каникулы
ноябрь – декабрь
декабрь
начало января
июнь – июль
август
1. Южный математический турнир
2. Российский Фестиваль Юных математиков
3. Осенний тур турнира городов
4. Математический тест готовности к продолжению образования «Кенгуру
выпускникам»
5. Весенний тур турнира городов
6. Международный математический конкурс-игра «Кенгуру»
7. IV Федеральный окружной этап Всероссийской олимпиады школьников по
математике
8. V Заключительный этап Всероссийской олимпиады школьников по
математике
9. Российский математический фестиваль «Золотое Руно»
10. Краснодарская летняя математическая школа
11. Санкт-Петербургская летняя математическая школа
сентябрь
1-я половина октября
2-я половина октября
январь-февраль
конец февраля - начало марта
середина марта
конец марта
середина апреля
конец мая – начало июня
конец июня – начало июля
август
Схема подготовки: основные мероприятия.
Все мероприятия по подготовке школьников к соревнованиям по их направленности (цели) можно
разделить на три большие группы.
1. Мероприятия первой группы направлены на передачу школьникам объема знаний,
необходимого для успешного участия в соревнованиях. Это кружки (которые проводятся 1-2 раза в
неделю по 2 часа в течение учебного года с сентября по май), математические лагеря (в осенние,
зимние, летние каникулы длительностью от 1 до 3 недель), сессии с участием преподавателей из
математических центров других регионов (длительностью около недели), тренировки команд и
школьников перед соревнованиями (длительностью 1-2 недели перед каждым соревнованием).
Мероприятия первой группы можно разделить на еженедельные (кружки) и сессионные (лагеря,
сессии, тренировки). Более подробно о сессионной работе см. далее.
2. Мероприятия второй группы проводятся с целью приобретения опыта участия в
соревнованиях. Это соревнования местного уровня (накопительные олимпиады, городской турнир
математических боёв и т.п.), товарищеские соревнования (поездки школьников в другие города
Вологодской области и Северо-Запада, товарищеские математические бои со студентами и
преподавателями – выпускниками центра), математические турниры Всероссийского уровня (часто
школьники ездят туда не с целью получения высоких результатов, а для тренировки).
3. Мероприятия третьей группы необходимы для отбора наиболее подготовленных
школьников для последующего участия в соревнованиях или для последующего обучения в летних
математических школах, в которых ограничено количество мест. Отбор осуществляется в городские
команды на турниры Всероссийского уровня и на товарищеские соревнования (количество
отобранных школьников зависит от регламента турнира и от финансовых возможностей центра), в
городские математические лагеря (в пределах установленного количества мест) и в летние школы за
пределами региона.
Есть три способа начать заниматься в «Интеллекте». Большая часть школьников попадает в
сферу интересов СП «Интеллект», поступив в сентябре на кружок. Ещё один способ попасть к нам –
показать высокие результаты на одной из олимпиад (например, на городской). Некоторые школьники
проходят отбор и оказываются в одном из математических лагерей. Личные данные школьников
(телефоны, адреса и т.п.) попадают в нашу базу, и с этого момента начинается их подготовка к
математическим соревнованиям.
Основные мероприятия изображены на схеме. Начиная заниматься на кружках или выступая
на соревнованиях местного уровня, многие школьники затем поступают в математические лагеря и
получают дипломы на городской и областной олимпиадах. Некоторые из них участвуют в отборе на
различные Всероссийские турниры. Цикл на схеме занимает по времени учебный год, и после
Всероссийских турниров (сентябрь – начало октября) школьники вновь поступают на
математические кружки, участвуют в массовых городских соревнованиях.
Большая часть школьников, занимающихся не менее 2 лет, рано или поздно включается в
городские команды для участия во Всероссийских турнирах.
81
Математические кружки
Участие в накопительной олимпиаде,
турнире городов, математических боях
Математические лагеря
Потоки школьников:
основные
прочие
Этапы Всероссийской олимпиады
Отбор на Всероссийские соревнования
Всероссийские соревнования летом и
осенью
Поступление в
ведущие ВУЗы
Москвы и СанктПетербурга
Отбор городских команд на соревнования.
СП «Интеллект» в зависимости от финансовых возможностей формирует команды
школьников на следующие соревнования (Всероссийские или международные по составу
участников):
* Российский Фестиваль Юных математиков (турнир математических боёв для 9-11 классов)
* Южный математический турнир (турнир математических боёв и командная олимпиада для 6-8 и 911 классов)
* Математический фестиваль «Золотое Руно» (личная олимпиада для 6-8 классов)
и на некоторые другие турниры.
Система отбора на такие соревнования включает в себя:
* составление базы данных школьников, показавших высокие результаты на математических
соревнованиях в течение последних нескольких лет (до 700 школьников)
* рассылка школьникам, попавшим в базу, приглашений на отбор для поступления в математический
лагерь с дневным пребыванием
* проведение отбора в форме письменной работы в апреле (до 200 школьников)
* зачисление в математический лагерь с дневным пребыванием в июне – июле (до 85 школьников)
* зачисление школьников, показавших высокие результаты в лагере, на слёт «Интеллект» (до 40
школьников)
* приглашение лучших участников слёта на отбор в команды в начале сентября
В некоторые годы система отбора изменяется (в сторону упрощения). Вместо участия в
городских математических лагерях в летний период ряд школьников направляется в летние
математические школы Санкт-Петербурга и Краснодара, широко известные в России и за рубежом.
Сессионная работа.
Вместе с еженедельными кружками во многих центрах олимпиадной подготовки проводится
сессионная работа: школьники занимаются подготовкой к соревнованиям по 5-7 часов в день. У
некоторых ребят такие сессии занимают до 10 недель в год (летние математические школы – каждая
длительностью 3 недели, подготовки к различным соревнованиям – каждая длительностью до недели,
занятия с участием ведущих преподавателей центров олимпиадной подготовки из других регионов и
др.). В результате, примерно равные по длительности, 3 компонента математического образования по
важности для выступления на соревнованиях могут быть расположены так:
* на 1 месте – углубленные занятия (“сессии”)
* на 2 месте – занятия в центрах олимпиадной подготовки 1-2 раза в неделю в течение года
* на 3 месте – школьная математика
82
Т. е. всего часов занятий математикой за год получается примерно втрое больше, чем в
обычного школьника. Делая ставку на лето, а в течение учебного года на кратковременные
интенсивные сессии с освобождением школьников от уроков, педагоги центров олимпиадной
подготовки дают возможность детям во время занятий не думать ни о чем другом, кроме изучаемого
материала (обычное состояние школьника в учебный день: приходит к нам после уроков, час дорога к
нам, два часа кружок, час обратно, дома не написано домашнее сочинение и не выучен текст по
иностранному языку и т.п.) В результате дополнительное образование гораздо более эффективно по
сравнению с подготовкой школьников на факультативах в школах, где такая подготовка включена в
расписание и где школьники должны думать постоянно об уроках.
Результаты олимпиад подтверждают наш тезис: школьники, занимающиеся в центрах
олимпиадной подготовки, а также в организуемых ими летних математических школах, традиционно
получают все (за редкими исключениями) дипломы 1 и 2 степени и большинство дипломов 3 степени
на заключительном этапе Всероссийской олимпиады школьников по математике.
При построении индивидуальных образовательных траекторий учащихся в центрах
олимпиадной подготовки важно сочетать сессионную и еженедельную работу. Дело в том, что
многие идеи не могут быть рассказаны в течение кратковременных интенсивных сессий, так как
требуют значительной домашней работы.
Рейтинговая система.
Математические лагеря осенью и зимой проводятся с целью подготовки школьников к
городской и областной олимпиадам по математике. Летом кроме подготовки в лагерях проводится
также рейтинговый отбор школьников для участия в летних и осенних Всероссийских
соревнованиях. Результаты работы школьников оформляются в виде рейтинга – числовой таблицы,
содержащей в краткой форме основные достижения учащихся и позволяющей их сравнивать. Именно
рейтинг является критерием приглашения школьников на последующие этапы отбора городских
команд.
Рейтинг школьника в математическом лагере в любой момент - это неотрицательное число.
Он характеризует степень успешности его занятий математикой. Рейтинг изменяется после каждого
мероприятия по математике (занятие по решению серий задач, зачёт, математический бой,
олимпиада, различные игровые мероприятия по математике и др.). Начальный рейтинг
(присваиваемый каждому школьнику перед началом лагеря) зависит от следующих факторов:
возраст, успехи в соревнованиях по профилю за последний год и за предыдущие годы, успехи в
математических лагерях прошлых лет, результаты вступительной работы (отбора)и др. Итоговый
рейтинг равен сумме начального рейтинга и рейтингов за все математические мероприятия,
проведённые в лагере.
Правила начисления рейтинга за некоторые мероприятия довольно сложны. Проще всего
начисляется рейтинг за олимпиаду или зачёт – он равен количеству набранных баллов, деленному на
заранее известный коэффициент. Раз в несколько дней вывешивается список всех школьников с
указанием, в какой отрезок попадает рейтинг каждого из них. Например, от 0 до 5 баллов - Петров,
Иванова, ..., от 5 до 10 баллов - Сидоров, ... и т. д. В последний день лагеря все школьники получают
распечатки рейтинга по номинациям (за работу на уроках, за зачёты и т. д. – от 5 до 7 номинаций),
итогового рейтинга, рейтинга среди своей параллели, а также приглашения на следующий этап
отбора.
§5. Работа тренера по подготовке к соревнованиям
Работа тренера по подготовке к соревнованиям – процесс сложный и с трудом поддающийся
формализации. Необходимо учитывать огромное количество факторов. Далее мы расскажем о
нескольких направлениях подготовки к соревнованиям, предложим свои советы тренеру и
школьникам.
! Примером полезной для участников информации, выданной тренером, может служить
информация о числе - годе проведения соревнования (его разложение на простые множители
и т.п.)
Работа по математическому содержанию.
83
1. Необходимо рассмотреть со школьниками как можно больше идей решения олимпиадных задач,
доступных в их возрасте.
2. Имеет смысл прорешивание и разбор задач с тех же соревнований предыдущих лет.
3. Иногда полезно рассмотрение материала из школьных учебников на год вперёд.
4. Для приобретения опыта полезно предлагать участникам прорешивать как можно больше задач
самостоятельно с последующим разбором.
Организационная работа.
1. Необходимо убедиться в том, что все участники соревнований знают о том, какие документы
нужны для участия (медицинские справки, справки из школ, паспорта и т.п.) и имеют документы на
руках. Также необходимо убедиться в том, что они знают, куда и когда надо подходить. Тренер
обязан рассказать участникам и о правилах соревнований.
! Один из участников городской олимпиады по информатике был дисквалифицирован,
потому что не знал, что запрещено указывать свою фамилию в тексте компьютерной программы.
2. Тренер обязан проверить, что участники собрали письменные принадлежности, литературу,
калькуляторы, часы и т.п. – всё, что необходимо перед соревнованием, а также выполнили
тренерское задание – прочитали материалы по математике, решили задачи.
3. Необходимо убедиться в соблюдении режима дня (вовремя легли спать перед олимпиадой) и
правильного питания (что взяли с собой в дорогу). Всегда перед многодневными соревнованиями
день перед первым туром должен быть свободен от математики – в этот день никакой подготовки!
4. В поездках утром тренер проводит ежедневную планёрку, на которой присутствуют все участники.
Ставится задача на день, объясняются нюансы участия в данном соревновании, тренер рассказывает
об особенностях данного дня соревнований, сильных и слабых сторонах соперников.
5. И, конечно, важной составляющей организационной работы является добывание и проверка
различных бухгалтерских документов, приказов и т.п. для обеспечения финансирования (а в ряде
случаев – и поиск спонсоров).
Процесс формирования команды на командные соревнования.
1. Школьники, которые поедут на соревнования, должны знать заранее, по каким принципам они
отбираются, в какие сроки можно пройти те или иные этапы отбора. Нельзя отбирать по успехам в
школе, а также по другим критериям, не относящимся к выступлению на соревнованиях. Итоги
отбора доводятся до всех участников.
2. После того, как состав известен, команда совместно тренируется несколько дней. Отрабатываются
как различные идеи решения задач, так и способы взаимодействия в команде. Тренировки проводятся
по всем видам математических соревнований, представленным на турнире.
3. В команде выбираются капитан и заместитель капитана. На выбор влияют как результаты отборов
и тренировок, так и мнения самих участников. Также выбираются персонально ответственные за
следующие участки работы:
* распределение задач в начале этапа решения
* конкурс капитанов (на математическом бое)
* оформление задач (на командной олимпиаде)
* ведение таблицы (кто какую задачу решил, кому рассказал, кто будет отвечать и т.п.)
4. В процессе тренировок выстраивается схема проверки решений (кто у кого проверяет и в каком
случае задача считается точно решённой). Команда учится определять на математическим бое
сложность задач, порядок вызовов на них, назначать докладчиков и оппонентов.
! Порядок вызовов – очень важный элемент стратегии на математическом бое. Так, во
время математического боя Вологда – Барнаул (XVIII Российский Фестиваль Юных
математиков, октябрь 2007 года) сборная Вологды решила 6 задач из 10, а сборная Барнаула
на 2 задачи больше (в том числе все шесть, решённых Вологдой). Тем не менее счёт 52:40 в
пользу вологодской команды. Аналогичные результаты неоднократно достигались как за
счёт верного порядка вызовов, так и за счёт более качественной проверки решений.
5. Кроме распределения участков работы, команда распределяет темы. Заранее решается, кто будет
решать геометрию, теорию чисел, алгебру, дискретную математику. Возможно назначение
специалистов по очень трудным задачам (если в команде есть лидеры). За час или полчаса до конца
этапа решения тактика меняется: команда должна выбрать несколько наиболее перспективных задач
84
и заниматься только ими. Во время математического боя команда распределяет силы так: двое
занимаются текущей задачей (докладчик или оппонент и участник, решающий, следует ли брать
минуту), а остальные продолжают решать.
§6. Советы участникам соревнований
Что делать, если задача не решается.
1. Помогают следующие соображения:
* попытайся понять, какой в задаче ответ
* попытайся понять, какие идеи, формулы, теоремы могут использоваться в решении, на что задача
* рассмотри лёгкие частные случаи или аналогичные задачи (меньшие числа, числа той же чётности,
вместо чисел буквы и т.п. по смыслу задачи)
* попытайся, доказывая какое-либо утверждение, рассуждать от противного
2. Если в задаче требуется доказать или опровергнуть какое-нибудь утверждение, и она не
получилась быстро, не зацикливайся на своём ответе. Измени точку зрения, ответ может быть
противоположным. Попытайся попеременно доказывать и опровергать утверждение.
3. Если значительное время в задаче нет продвижений, переключись на другую задачу. Иногда,
возвращаясь к более простой задаче, находят решение, которое не могли найти сразу.
Стратегия распределения времени на личной письменной олимпиаде.
1. Прочитай все задачи, к геометрическим задачам сделай рисунки, к другим - схемы и т.п. (если по
смыслу есть какие-нибудь наглядные представления). Надо попытаться решать каждую из задач.
2. Выбери наиболее перспективную задачу. Чаще всего первая самая простая, последняя самая
сложная.
3. Решив задачу, сразу оформи её. При оформлении может быть понятно, что ещё не додумано.
4. Обязательно проверь решение. Можно упустить какие-нибудь простые частные случаи, в которых
ответ отличается, или деление на 0, и т.п. Обычно не дают очень простых задач, и если задача
выглядит совсем просто, в ней может быть ловушка.
5. Полностью освободив мысли от решённой задачи, переходи к следующей.
6. Не уходи с олимпиады до конца времени, отведенного на решение. Иногда достаточно несколько
минут отдохнуть и собраться с мыслями, чтобы пришли свежие идеи.
7. За полчаса до конца тура начинай записывать все соображения по задачам, решённым частично.
Иногда 1-2 балла, полученные за часть решения, дадут в итоге более высокое место.
8. Если не успеваешь переписать, сделай пометку об этом и о том, что дальше решение см. в
черновике (если это допускается правилами олимпиады).
9. Если осталось время, прочитай работу глазами проверяющих – смогут ли они разобраться?
Что делать, чтобы не потерять баллы на личной письменной олимпиаде.
1. Подставь ответ в условие (если это возможно по смыслу). Если ответ не подходит, найди ошибку.
Помогает метод половинного деления: подставь неверный ответ в середину выкладок, и если он
подходит, ошибка выше (в середине уже неверно), а если не подходит – ниже. Ту половину выкладок,
в которой ошибка, раздели пополам. Подставь ответ в середину. И т. д. Найди строчку с ошибкой.
2. Если, на твой взгляд, условие задачи можно понять разными способами, то не выбирай наиболее
удобный для себя. Задай вопрос организаторам олимпиады.
3. Чаще всего утверждения, не являющиеся школьной программой, надо доказывать (если они не
настолько очевидны, что доказываются в одну строчку). Если не понятно, надо ли доказывать, скорее
всего надо, но лучше задать вопрос организаторам олимпиады.
4. Если в задаче спрашивается
* какой ответ - кроме ответа пиши доказательство, почему он такой
* можно ли что-либо сделать и ответ нельзя - рассмотрение частных случаев, даже всех, не
засчитывается, кроме этого необходимо доказательство, почему других случаев нет
* каким может быть та или иная величина - нужны 1) список ответов 2) примеры для каждого ответа
3) проверка, что они подходят 4) доказательство отсутствия других ответов
85
* какое наибольшее (наименьшее) значение величины - нужны 1) ответ 2) пример 3) проверка
примера, что он удовлетворяет условию 4) доказательство невозможности большего (меньшего)
значения
5. Каждый шаг решения необходимо формулировать, даже если он кажется очевидным. Удобно
записывать решение в виде нескольких утверждений (лемм).
Советы по подготовке школьников к апелляции по результатам личных письменных
олимпиад.
1. Прочитай внимательно решения жюри (если есть возможность) или узнай решения (у
руководителя команды, других участников, …)
2. Отнеси каждую задачу к одной из следующих категорий:
* задача отсутствует в твоей работе (1)
* задача написана, но решение не совпадает с решением жюри (решена не полностью или другим
способом) (2)
* задача решена тем же способом, что и у жюри (3)
3. Все задачи категории (2) оформи письменно (так, как на олимпиаде – по возможности дословно) и
покажи руководителю команды.
4. Узнай у руководителя команды, сколько баллов по каждой задаче должны поставить за такие
решения.
5. Если по какой-то задаче поставлено баллов меньше, чем ожидалось, апеллируй по ней.
ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ
§1. Классификация олимпиадных задач.
Способы классификации задач.
Олимпиадные задачи – это тип задач, занимающих промежуточное положение между школьными
задачами и научными проблемами. Основное требование к олимпиадным задачам: главной
трудностью для участников должен быть поиск идей решения, а не оформление. Это необходимо
учитывать при составлении задач ввиду наличия у участников олимпиады ограничения по времени её
написания.
Наиболее часто встречаются классификации олимпиадных математических задач, использующие в
качестве основания для классификации один из следующих двух принципов.
1. Круг идей, используемых при решении задачи.
Пример классификации по идеям. 1. Обратный ход. 2. Четность. 3. Принцип Дирихле. И т. д.
2. Раздел математики («тема»), к которому можно отнести задачу по внешним признакам.
Пример классификации по разделам. 1. Алгебра и анализ. 2. Геометрия. 3. Теория чисел. И т. д.
В каждой классификации элементы первого порядка (группы идей и разделы математики)
подразделяются на элементы второго порядка (идеи и темы соответственно).
! Например, группа идей «принцип Дирихле» включает в себя следующие идеи:
* k+1 кролик в k клетках (дискретная форма принципа Дирихле)
* kn+1 кролик в k клетках (обобщённая дискретная форма принципа Дирихле)
* k кроликов съели kn килограммов травы (непрерывная форма принципа Дирихле)
Раздел «Алгебра» включает в себя следующие темы: неравенства, многочлены, свойства
функций и функциональные уравнения, последовательности и ряд других тем.
Плюсы и минусы разных подходов.
1. Классификация по идеям. Очень удобна при изучении материала («одна идея – одно занятие»).
Главная проблема: всего идей очень много (миллионы). Если перечислены не все идеи, то получается
выборка, знание которой не гарантирует успешное выступление на соревновании. Выписывание
значительной части идей вряд ли когда-либо может быть сделано (тем более практическая ценность
такого труда невелика, так как его никто не прочитает полностью).
2. Классификация по разделам. Включает в себя уж точно всю математику: и олимпиадную, и
остальную. Поэтому содержит много лишнего: самые «обычные», «школьные» темы. Главная
86
проблема – отбор задач: их настолько много, что непонятно, какие задачи считать менее красивыми
или менее полезными для изучения. И, наконец, невелика польза для читателя, так как идеи решения
не выделены и идут вразбивку.
3. Нам представляется разумным за основу взять классификацию по темам, иногда от неё отступая. В
каждой теме мы будем выделять основные идеи. Идеи универсального характера, применяемые в
нескольких разделах математики, будут вынесены в отдельный параграф.
В приведённой далее классификации темы показаны с разной степенью подробности. Ввиду
ограниченного объёма книги лишь некоторые из них будут рассмотрены подробно.
Классификация олимпиадных математических задач.
1. ИДЕИ УНИВЕРСАЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
1.1. Идеи, связанные с инвариантами
1.1.1. Четность
1.1.2. Подсчёт двумя способами
1.1.3. Сумма координат
1.1.4. Раскраска
1.1.5. Инварианты, связанные с делимостью
1.1.6. Другие инварианты
1.2. Идеи, связанные с процессами
1.2.1. Полуинвариант
1.2.2. Цикличность
1.2.3. Поэтапное построение примера
1.2.4. Обратный ход
1.2.5. Дискретная непрерывность
1.3. Другие универсальные идеи
1.3.1. Математическая индукция
1.3.2. Принцип Дирихле
1.3.3. Принцип крайнего
1.3.4. Линейность
1.3.5. Соответствие
2. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2.1. Множества
2.2. Комбинаторика
2.3. Графы
2.4. Игры
2.4.1. Чётность числа ходов постоянна (игры-шутки)
2.4.2. Симметрия, разбиение на пары, стратегия дополнения
2.4.3. Выигрышные и проигрышные позиции, функция Гранди
2.4.4. Идея многих заготовок
2.4.5. Возможность воспользоваться стратегией другого игрока
2.4.6. Игры в реальном времени
2.4.7. Другие идеи
2.5. Логические задачи
2.6. Алгоритмы
3. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
3.1. Элементарная теория делимости целых чисел
3.2. Сравнения и связанные с ними вопросы
3.3. Решение уравнений в целых, натуральных, простых, рациональных числах
3.3.1. Перебор по остаткам
3.3.2. Разложение на множители
3.3.3. Представление в виде суммы квадратов
3.3.4. Метод спуска
3.3.5. Некоторые классы уравнений, алгоритмы решения которых известны
3.4. Разные вопросы
3.4.1. Совершенные числа
87
3.4.2. Алгоритмы представления положительных рациональных чисел в виде суммы
различных дробей с числителями, равными 1
3.4.3. Свойства чисел Фибоначчи, связанные с делимостью
3.4.4. Количество и сумма делителей
3.4.5. Степень, в которой простое число входит в n! и другие вопросы, связанные с
факториалами и целыми частями
3.4.6. Последовательности Фарея, дерево Штерна-Броко
3.4.7. Китайская теорема об остатках
3.5. Рациональные и иррациональные числа.
3.6. Подсчёт точек с целыми координатами, асимптотика.
4. АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
4.1. Многочлены
4.2. Неравенства
4.2.1. Числовые неравенства
4.2.2. Оценка сумм и произведений
4.2.3. Представление в виде суммы квадратов
4.2.4. Неравенства о средних
4.2.5. Неравенство Мюрхеда и теория мажоризации
4.2.6. Неравенство Йенсена
4.2.7. Неравенство Коши-Буняковского
4.2.8. Другие известные неравенства
4.2.9. Различные задачи на пример + оценку
4.3. Тригонометрия
4.4. Свойства функций и функциональные уравнения
4.5. Последовательности
4.6. Методы решения уравнений, их систем (в том числе содержащих параметры)
4.7. Решение текстовых задач с использованием методов математического анализа
5. ГЕОМЕТРИЯ
5.1. Классические планиметрические задачи
5.2. Стереометрические задачи на доказательство
5.3. Вычислительные задачи
5.4. Комбинаторная геометрия
5.4.1. Выпуклые многоугольники
5.4.2. Целочисленные решётки
5.4.3. Равносоставленность
5.4.4. Системы точек, отрезков и окружностей
5.5. Конструирование (задачи для учащихся 5-6 классов)
§2. Идеи универсального характера
Описание идей.
1. Четность. Часто некоторая величина должна быть всегда четной (или нечетной). Из этого сразу
следует, что ситуации, в которых эта величина имеет другую четность, невозможны. Четность часто
выступает в роли инварианта.
2. Подсчет двумя способами. Некоторую величину оценивают (или подсчитывают) двумя
способами и результаты сравнивают. При этом получается уравнение или неравенство, которое
бывает ключом к решению. Эта идея тесно связана с идеей инварианта. Она бывает источником
противоречия (рассуждение от противного). Бывает полезна при использовании принципа Дирихле.
3. Сумма координат. Рассмотрение суммы всех координат всех объектов, часто в непривычной
обстановке (например, координаты – номера строк и столбцов шахматной доски). Подсчёт этой
суммы двумя способами приводит к уравнению, неравенству или противоречию. Отметим, что
многие раскраски можно описать в терминах координат клеток.
4. Раскраска. Сопоставление каждому элементу некоторого цвета. Отметим, что раскраску можно
рассматривать как разбиение. Часто раскрашивают клетки, а число одноцветных клеток выполняет
роль инварианта. Раскраска может дать разметку, сделать ситуацию обозримой.
88
5. Инвариант. Величина, которая не изменяется в результате некоторых операций (например,
разрезание и.перестановка частей фигур не меняет суммарной площади). Если инвариант различает
два положения, то от одного нельзя перейти к другому. В качестве инварианта может использоваться
четность или раскраска. В задачах про сумму цифр используются остатки по модулю 3 или 9.
6. Полуинвариант. Величина, изменяющаяся только в одну сторону и принимающая конечное число
значений. Используется при доказательствах остановки процессов.
7. Цикличность. Если нечто может находиться только в конечном числе состояний и состояние в
данный момент времени однозначно определяет состояние в следующий момент времени, то,
начиная с некоторого момента, состояния начнут периодически повторяться. Если же число
состояний конечно, и каждое состояние однозначно определяет как последующее, так и предыдущее,
то в последовательности состояний предпериод отсутствует. Иногда полезно обозначать состояния
точками, а переход – стрелками.
8. Поэтапное конструирование. Это задачи на построение примера или контрпримера. Построение
нужного объекта часто бывает поэтапным (с помощью некоторого процесса).
9. Обратный ход. Если в задаче указан некоторый процесс, и его можно провести в обратном
порядке, то нередко это дает ключ к решению. (Например, можно ли вынести диван из комнаты?
Можно, поскольку его туда как-то внесли.)
10. Дискретная непрерывность. Если величина изменяется на 1 и принимает два целых значения, то
она принимает и все промежуточные значения.
11. Математическая индукция. Метод доказательства бесконечной последовательности
утверждений. Первое утверждение обычно легко проверить (оно называется базой индукции). Затем
доказывается индуктивный переход (или шаг индукции): Допустим, что мы уже доказали
утверждение с номером n, тогда мы можем доказать следующее, (n+1)-ое утверждение. Если доказана
база индукции и доказан индуктивный переход, то все утверждения верны (это аксиома или принцип
математической индукции). Иногда шаг индукции выглядит так: Допустим, мы уже доказали все
утверждения с номерами от 1 до n, тогда мы можем доказать (n+1)-ое утверждение. Иногда
применяют индуктивный спуск: Если утверждение с номером n>1 всегда можно свести к одному или
нескольким утверждениям с меньшими номерами, и первое утверждение верно, то все утверждения
верны.
12. Принцип Дирихле. Соотношение между двумя множествами, которое можно выразить так:
"Если n кроликов сидят в k ящиках, то найдется ящик, в котором сидят не меньше, чем n/k кроликов,
и найдется ящик, в котором сидят не больше, чем n/k кроликов." Принцип Дирихле бывает
непрерывным: Если n кроликов съели k кг травы, то какой-то кролик съел не меньше n/k кг и какойто съел не больше n/k кг (а если кто-то съел больше среднего, то кто-то съел меньше среднего).
Отметим, что несмотря на кажущуюся очевидность этого принципа, задачи, его использующие, не
всегда легкие, - очень трудно бывает выделить объекты именуемые "ящиками" и "кроликами".
13. Правило крайнего. Особые, крайние объекты часто служат "краеугольным камнем" решения.
Так, например, рассматривают наибольшее число, ближайшую точку, угол многоугольника,
вырожденную окружность, предельный случай. Поэтому полезно сразу рассматривать особые,
крайние объекты. В задачах на спуск принцип крайнего работает как метод минимального
контрпримера; допустим, утверждение задачи неверно. Тогда существует минимальный в
подходящем смысле контрпример. И если окажется, что его можно еще уменьшить, то получится
искомое противоречие. Используется при решении уравнений в целых числах (метод спуска).
14. Линейность. Линейная функция имеет максимум и минимум только на границе. Если она
принимает равные значения в нескольких точках общего положения, то является константой.
Линейная комбинация дает представление общего случая в виде суммы элементарных и позволяет
осуществить редукцию к более простому случаю.
15. Идея соответствия. Объект может стать более естественным, если он снабжен парой. Например,
вместе с иррациональностью х+уn рассматривают сопряженную иррациональность х-уn. Такое
соответствие может давать симметрия. Соответствие может обеспечивать ответный ход в играх,
сравнивать количества и доказывать четность. Нужное противоречие может обеспечивается
рассогласованием при соответствии, когда осуществляется подсчет двумя способами. См. подсчет
двумя способами, игры.
2.1. ЧЁТНОСТЬ.
Четность суммы и произведения нескольких чисел.
89
Определения. Целое число называется чётным, если оно делится на 2 без остатка. Целое число
называется нечётным, если оно при делении на 2 даёт остаток 1. Два целых числа имеют одинаковую
чётность, если они оба чётны или оба нечётны, и разную чётность, если одно из них чётно, а другое
нечётно.
Свойства. 1. Чётное число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, нечётное – на 1, 3, 5, 7 или 9.
2. Чётное число можно записать в виде 2k, а нечётное число – в виде 2k+1, где k – целое число.
3. Сумма/разность двух чисел одинаковой чётности чётна, а сумма/разность двух чисел разной
чётности нечётна.
4. Сумма нескольких целых чисел чётна/нечётна, если количество нечётных слагаемых в ней
чётно/нечётно.
5. Произведение нескольких целых чисел чётно, если хотя бы один из множителей чётный, и нечётно,
если все множители нечётны.
Задача 1. Из чисел 2, 3, 4, 5, 7 какие-то три перемножили и получили 105. Какие числа
перемножили?
Задача 2. Сколькими нулями оканчивается произведение 1·3·5·…·99?
Задача 3. Сумма 2008 натуральных чисел – нечётное число. Каким числом – чётным или нечётным –
является произведение этих чисел?
Задача 4. Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна 0.
Задача 5. A, B – целые числа. Докажите, что
а) число 2A+B имеет ту же чётность, что и число B;
б) числа A+2B и 5A - 4B+1 имеют разную чётность;
в) число A(A+1)-10 чётно при любом целом A;
Задача 6. Докажите, что уравнение 1/a+1/b+1/c+1/d+1/e+1/f=1 не имеет решений в нечётных
натуральных числах.
Задача 7. Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?
Задача 8. Кузнечик прыгает по прямой, причём в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону,
во второй раз – на 2 см и так далее. Докажите, что после 2009 прыжков он не может оказаться в
точке, из которой начинал прыгать.
Задача 9. Какое наименьшее неотрицательное число можно получить путём расстановки перед
числами 1, 2, …, 2009 знаков “+” и “-” и последовательного выполнения указанных операций?
Задача 10. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2008, 2009. Разрешается стереть с доски любые два
числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число.
Может ли оно равняться нулю?
Задача 11. Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от
настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей
разность весов на чашках, хочет определить, фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?
Задача 12. На Альфе Центавре имеются в обращении монеты в 1, 3, 5, 15 и 50 центавров. Можно ли
50-центавровую монету разменять на 11 монет меньшего достоинства?
Задача 13. 101 лошадь разместили в 15 конюшнях. Почему хотя бы в одной конюшне обязательно
будет нечетное число лошадей?
Задача 14. 16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них разложить 55 арбузов так, чтобы
количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1?
Задача 15. Можно ли заменить звездочки в равенстве 1*2*3*…*10 = 0 на знаки “+” или “-” так,
чтобы равенство стало верным?
Задача 16. Можно ли заменить несколько минусов на плюсы в равенстве 2008–1–2–3–4–5–6–7–
8=2007 так, чтобы оно стало верным?
Задача 17. На доске написаны числа от 1 до 20. Разрешается, выбрав любые 2 числа, стереть их, а
вместо них записать на доску их разность (из большего вычитается меньшее). При этом на доске не
должны появляться равные числа. Так поступают до тех пор пока на доске не останется одно число.
Какое наименьшее число может остаться на доске?
Задача 18. В народной дружине 100 человек, и каждый вечер трое из них идут на дежурство. Может
ли через некоторое время оказаться так, что каждый с каждым дежурил ровно один раз?
Задача 19. На диагонали шашечной доски 10 х 10, идущей из верхнего левого угла в правый нижний,
стоят 10 шашек (по одной в каждой клетке). За один ход разрешается выбрать любую пару шашек и
90
передвинуть каждую из них на одну клетку вниз. Можно ли за несколько таких ходов поставить все
шашки на нижнюю горизонталь доски?
Разбиение на пары.
Свойства. 1. Если предметы можно разбить на пары, то их число чётно.
2. Если из нечётного числа предметов образованы пары, то по крайней мере один предмет остался без
пары.
Задача 20. Можно ли нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается
ровно с одним из остальных звеньев?
Задача 21. На доске 25 х 25 расставлены 25 шашек, причём их расположение симметрично
относительно диагонали. Докажите, что по крайней мере одна из шашек расположена на диагонали.
Задача 22. На доске 25 х 25 расставлены 25 шашек, причём их расположение симметрично
относительно обеих главных диагоналей. Докажите, что одна из шашек стоит в центральной клетке.
Задача 23. В каждой клетке квадратной таблицы размером 25 х 25 записано одно из чисел 1, 2, 3, …,
25. При этом, во первых, в клетках, симметричных относительно главной диагонали, записаны
равные числа, и во вторых, ни в одной строке и ни в одном столбце нет двух равных чисел. Докажите,
что числа на этой главной диагонали попарно различны.
Задача 24. Выбрали 999 различных натуральных чисел, меньших 1110. Оказалось, что для любого
числа a число 1110-a тоже выбрано. Докажите, что одно из выбранных чисел делится на 111.
Задача 25. Кузнечик попрыгал по прямой и вернулся в исходную точку (длина его прыжка 1 метр).
Докажите, что он совершил чётное число прыжков.
Задача 26. Игра «15» представляет собой коробочку размером 4 х 4, в которой находятся 15 фишек
(квадратиков 1 х 1), пронумерованных числами от 1 до 15; при этом одно поле остаётся пустым. В
начале игры пустое поле находилось в правом нижнем углу. Я начал двигать фишки по полю. За один
ход я передвигал на пустое поле одну из фишек, находившуюся на соседнем поле. В результате
порядок расположения фишек изменился, но пустое поле вновь оказалось в правом нижнем углу.
Докажите, что я сделал чётное число ходов.
Указание к задаче 26. Рассмотрите пустое поле.
Задача 27. Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько
очков на другом конце?
Задача 28. В некоторой планетной системе расстояния между всеми девятью планетами различны.
На каждой из планет находится астроном, который наблюдает ближайшую планету. Докажите, что
одну из планет никто не наблюдает.
Задача 29. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке, и каждая либо
снимает, либо вешает ровно один платок. Может ли после ухода девочек на вешалке остаться 10
платков?
Задача 30. Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают
листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в
результате получиться число 10?
Задача 31. Парламент Огогендии образовал столько комиссий, что даже премьер-министр точно не
знал, сколько их. К тому же каждый день парламент либо вводил в одну из комиссий одного нового
члена, либо исключал одного члена из какой-либо комиссии. Однако ровно через год численность
всех комиссий стала прежней. Докажите, что год был високосный.
Чередование.
Идеи. 1. Если чередующиеся объекты расположены по кругу, то их число чётно, а количество
объектов того и другого вида одинаково.
2. Если чередующиеся объекты расположены в ряд, то:
* их число чётно тогда, когда на концах разные объекты (в этом случае тех и других поровну);
* их число нечётно тогда, когда на концах разные объекты
(в этом случае объектов того вида, что на концах ряда, больше на 1, чем объектов другого вида).
Задача 32. На плоскости расположено 11 шестерёнок, соединённых по цепочке (см. рис.).
Могут ли все шестерёнки одновременно вращаться?
91
Задача 33. За круглым столом сидят математики и астрологи, всего 12 человек. Математики всегда
говорят правду, а астрологи всегда врут. Каждый сидящий за столом сказал: “Справа от меня сидит
астролог”. Сколько математиков сидит за столом?
Задача 34. Конь вышел с поля a1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал
чётное число ходов.
Задача 35. Катя и её друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребёнка – одного
пола. Мальчиков среди Катиных друзей пять. А сколько девочек?
Задача 36. По кругу стоит 2003 коробки. В каждой коробке лежат черные и белые шарики, а на
коробке написано, сколько в ней белых шариков, а сколько – черных. Мальчик хочет переложить из
каждой коробки по одному шару в следующую (по часовой стрелке) коробку так, чтобы обе надписи
на каждой коробке стали неверными. Удастся ли ему это?
Задача 37. Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все
её звенья?
Задача 38. Куб размером 3х3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом
кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик,
имеющий с ним общую грань, причем запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?
Указание к задаче 38. Рассмотрите угловые кубики и центральные кубики в гранях.
Разные задачи на чётность.
Задача 39. Можно ли расставить по окружности 20 красных и несколько синих фишек так, чтобы в
каждой точке, диаметрально противоположной красной фишке, стояла синяя фишка, и никакие две
синие фишки не стояли рядом?
Задача 40. 25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих
за столом оба соседа – мальчики.
Задача 41. Можно ли отметить на числовой оси 50 отрезков (быть может, перекрывающихся), так что
выполняются два условия:
* длины отрезков - 1, 2, 3, ... , 50;
* концы отрезков - это все целые точки от 1 до 100 включительно?
Задача 42. На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний
от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.
Задача 43. На прямой даны точки A и B, а также 1001 точка вне отрезка AB, которые покрашены в
красный и синий цвета. Докажите, что сумма расстояний от A до красных точек, сложенная с суммой
расстояний от B до синих точек, отлична от суммы расстояний от A до синих точек, сложенной с
суммой расстояний от B до красных точек.
Задача 44. Можно ли расставить по окружности 15 целых чисел так, что бы сумма любых четырёх
подряд идущих равнялась 1 или 3?
Указание к задаче 44. Докажите, что каждое число имеет ту же чётность, что и сумма всех чисел.
Задача 45. К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном
порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.
Задача 46. Окружность разбита на 3k дуг: по k дуг длиной 1, 2, 3. Докажите, что найдутся две
диаметрально противоположные точки деления.
Задача 47. Можно ли выписать в ряд по одному разу цифры от 1 до 9 так, чтобы между единицей и
двойкой, между двойкой и тройкой, …, между восьмёркой и девяткой было нечётное число цифр?
Задача 48. Есть 10 пар карточек, на которых написаны числа 0, 0, 1, 1, 2, 2, …, 8, 8, 9, 9. Докажите,
что их нельзя выложить в ряд так, чтобы между любыми двумя карточками, на которых написаны
одинаковые числа n, лежало ровно n других карточек (n=0, 1, …, 9).
Задача 49. На окружности отмечено 20 точек, являющихся вершинами правильного 20-угольника,
после чего они разбиты на 20 пар и в каждой паре точки соединены хордой. Докажите, что какие-то
две хорды имеют одинаковую длину.
2.2. ПОДСЧЁТ ДВУМЯ СПОСОБАМИ.
Подсчёт (одним способом).
92
Задача 50. Сколько было брёвен, если 52-мя распилами из них получили 72 полена?
Задача 51. Есть 8 розеток и 21 тройник. Какое наибольшее количество электроприборов можно
включить в сеть одновременно?
Задача 52. Число выстрелов по мишени уменьшилось на 10, а число попаданий увеличилось на 3.
Как изменилось число промахов?
Задача 53. Имеется 30 брёвен длины 2, 3, 4 и 5 метров, суммарная длина которых равна 100 метрам.
Каким числом распилов можно распилить бревна на чурбаки длины 1 метр?
Задача 54. Из стакана кофе в стакан молока перелили одну ложку кофе и размешали. Затем перелили
обратно одну ложку смеси. Чего больше: кофе в молоке или молока в кофе?
Задача 55. В двух ящиках хранились ножницы, по 20 штук в каждом. Перед уроком труда
учительница взяла несколько ножниц из одного ящика, а затем из второго взяла столько, сколько
оставалось в первом ящике. Сколько ножниц взяла учительница?
Задача 56. Каждый участник двухдневной олимпиады в первый день решил столько же задач,
сколько все остальные в сумме - во второй день. Докажите, что все участники решили поровну задач.
Задача 57. Каждый участник шахматных соревнований выиграл белыми столько же партий, сколько
все остальные вместе взятые черными. Докажите, что все участники выиграли поровну партий.
Задача 58. Дан набор, состоящий из 2009 чисел таких, что если каждое число в наборе заменить на
сумму остальных, то получится тот же набор. Докажите, что произведение чисел в наборе равно
нулю.
Подсчёт суммы или произведения чисел в таблице двумя способами: по строкам и по столбцам.
Идея. Некоторая величина (например, сумма или произведение чисел в таблице) подсчитывается
двумя способами. Если она принимает разные значения, то ситуация, описанная в задаче,
невозможна. Способы подсчёта: 1) найти сумму или произведение чисел в каждой строке, а затем во
всей таблице и 2) найти сумму или произведение чисел в каждом столбце, а затем во всей таблице.
Задача 59. Дана таблица 5 х 5. Можно ли её заполнить числами (по одному в каждой клетке) так,
чтобы сумма чисел в каждой строке была положительна, а в каждом столбце - отрицательна?
Решение задачи 59. Пусть таблицу можно заполнить числами требуемым образом. Найдём сумму
чисел двумя способами. Сначала подсчитаем суммы чисел в каждой строке и эти суммы сложим.
Получим, что сумма чисел в таблице положительна. Затем подсчитаем суммы чисел в столбцах и их
сложим. Тем самым докажем, что сумма чисел в таблице отрицательна. Полученное противоречие
доказывает, что таблицу заполнить числами нельзя.
Задача 60. Дана таблица 5 х 5. Можно ли её заполнить числами (по одному в каждой клетке) так,
чтобы произведение чисел в каждой строке было положительно, а в каждом столбце - отрицательно?
Решение задачи 60. Пусть таблицу можно заполнить так, как требуется в задаче. Найдём
произведение чисел двумя способами. 1-й способ: перемножим числа в каждой строке, затем
перемножим эти произведения. Тем самым будет доказано, что произведение чисел в таблице
положительно. 2-й способ: перемножим числа в столбцах, затем перемножим пять отрицательных
произведений. Тем самым докажем, что произведение чисел в таблице отрицательно. Противоречие.
Следовательно, таблицу заполнить числами нельзя.
Задача 61. Дана таблица 4 х 4. Можно ли её заполнить числами (по одному в каждой клетке) так,
чтобы произведение чисел в каждой строке было положительно, а в каждом столбце - отрицательно?
Задача 62. Дана таблица 5 х 5. Можно ли её заполнить положительными числами так, чтобы
произведение чисел в каждой строке было больше 1, а в каждом столбце - меньше 1?
Задача 63. Дана таблица 5 х 5. Можно ли её заполнить целыми числами так, чтобы сумма чисел в
каждой строке была чётна, а в каждом столбце - нечётна?
Задача 64. В таблице m х n расставлены числа так, что сумма чисел в любой строке и в любом
столбце равна 1. Докажите, что m=n.
Подсчёт сумм чисел двумя способами в разных ситуациях.
Идея. Сумму чисел можно 1) разбить на группы и доказать, что сумма чисел в каждой группе
делится на некоторое число и 2) найти, убедившись, что она не делится на это число.
93
Задача 65. Можно ли натуральные числа от 1 до 21 разбить на несколько групп, в каждой из которых
наибольшее число равно сумме всех остальных?
Решение задачи 65. Этого сделать нельзя. Предположим противное: мы разбили числа на группы
требуемым образом. Сумма чисел в каждой группе равна удвоенному наибольшему числу, значит,
она чётна, и сумма чисел во всех группах чётна. С другой стороны, сумма всех чисел 1+2+…+21=231
нечетна.
Задача 66. Можно ли на ребрах куба расставить числа от 1 до 12 (по одному на каждом ребре) так,
чтобы сумма чисел на трех ребрах, выходящих из одной вершины, была одной и той же для каждой
вершины куба?
Решение задачи 66. Пусть S – сумма чисел на любых трех ребрах, имеющих общую вершину. Тогда
удвоенная сумма всех чисел равна 8S, но, с другой стороны, удвоенная сумма равна
2(1+2+3+…+12)=156, на 8 не делится.
Задача 67. Рита, Люба и Варя решали задачи. Чтобы дело шло быстрее, они купили конфет и
условились, что за каждую решённую задачу девочка, решившая её первой, получает четыре
конфеты, решившая второй — две, а решившая последней — одну. Девочки говорят, что каждая из
них решила все задачи и получила 20 конфет, причём одновременных решений не было. Они
ошибаются. Как вы думаете, почему?
Задача 68. Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?
Задача 69. Можно ли по кругу расставить числа от 1 до 9 так, чтобы сумма любых двух
чисел, идущих через одно, делилась на три?
Указание к задаче 69. Рассмотрите все числа, кроме 1.
Задача 70. На двух противоположных гранях игрального кубика нарисовано по одной точке, на двух
других противоположных – по две точки и на двух оставшихся – по три точки. Из восьми кубиков
сложили куб и посчитали суммарное число точек на каждой из шести граней. Могли ли получиться 6
последовательных чисел?
Задача 71. Дано несколько одинаковых треугольников. В вершинах каждого из них написаны числа
1,2 и 3. Треугольники сложены в ровную стопку. Может ли так оказаться, что суммы чисел вдоль
каждого вертикального ребра равны 55?
Задача 72. В телевизионном спортивном состязании «Веселые ребята» участвуют команды
двух школ. Соревнование состоит из нескольких конкурсов. За победу в конкурсе команда
получает 3 очка, за ничью – 2 очка, за поражение – 1 очко. С каким счетом могли и с каким
не могли закончиться соревнования:
а) 23:20, б) 17:17, в) 17:15, г) 31:9?
Задача 73. Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей оказаться нечётное
число фигур?
Указание к задаче 73. Подсчитайте фигуры на чёрных клетках двумя способами (по диагоналям
одного направления, затем по диагоналям другого направления).
Задача 74. В 2008 году каждый из президентов 15 республик бывшего Советского Союза послал в
подарок на день рождения каждому из остальных президентов торт с таким числом свечек, сколько
лет исполнилось юбиляру. Могло ли так случиться, что всего было послано 2008 свечек? Не забудьте
обосновать ответ.
Задача 75. Можно ли записать натуральные числа от 1 до 16 в строку так, чтобы сумма любых
четырех подряд идущих чисел делилась на 3?
Идея. Если в задаче дана сумма любых k чисел или сумма любых соседних k чисел, то, складывая все
такие суммы по k чисел, мы найдём сумму всех чисел, умноженную на некоторое число.
94
Задача 76. Можно ли расставить по кругу 8 чисел так, чтобы сумма любых 3 подряд идущих чисел
была положительна, а сумма любых 5 подряд идущих - отрицательна?
Задача 77. Дано 25 чисел. Сумма любых четырех из них положительна. Докажите, что сумма всех
чисел тоже положительна.
Задача 78. При каких натуральных k в клетках таблицы 12 х 12 можно расставить целые числа таким
образом, что сумма чисел во всей таблице положительна, а сумма чисел в любом квадрате k х k
отрицательна?
Идея решения задачи 78. При k=1, 2, 3, 4, 6, 12 нельзя. Подсчитаем сумму чисел в таблице двумя
способами (один из них – разбиваем квадрат со стороной 12 на квадраты со стороной k) и получим
противоречие.
При k=7, 8, 9, 10, 11 можно. Для этого достаточно в 4 центральные клетки поставить -10, а по
периметру +1. Тогда сумма чисел в таблице +4, а в любом квадрате не больше, чем -40+21=-19.
При k=5 можно. Для этого достаточно на пересечения строк 4, 9 и столбцов 4, 9 поставить -25, а в
остальные клетки +1.
Подсчёт двумя способами приводит к уравнению или неравенству.
Идея. Считая одну и ту же величину разными способами и приравнивая результат, можно доказывать
требуемые уравнения и неравенства.
Задача 79. Клетчатый квадрат 16 х 16 разрезан на доминошки (прямоугольники 12). Докажите, что
найдется прямая, идущая по линиям сетки и рассекающая пополам не меньше шести доминошек.
Идея решения задачи 79. От противного. Пусть она рассекает не больше 4 доминошек (обязательно
четное число, иначе по одну сторону от прямой неразрезанные доминошки не смогут занять
нечетную площадь). Но тогда все 30 прямых рассекут не более 120 доминошек, а их 128.
Задача 80. Клетчатый квадрат 16 х 16 разрезан на Т-тетрамино. Докажите, что найдется прямая,
идущая по линиям сетки и рассекающая не менее восьми фигурок.
Задача 81. Можно ли по кругу расставить цифры от 0 до 9 так, чтобы сумма любых трех рядом
стоящих не превосходила 14?
Решение задачи 81. Этого сделать нельзя. Предположим противное. Пусть a1, a2, …, a9 – цифры,
каждая из которых не равна 0, и которые располагаются по кругу в таком порядке. Тогда a1+a2+a3≤14,
a4+a5+a6≤14, a7+a8+a9≤14. Складывая, получаем a1+a2+…+a9≤42. Но сумма равна 45. Противоречие.
Задача 82. Составьте магический квадрат 3 х 3.
Идея решения задачи 82. Сначала докажите, что одинаковая сумма чисел по строкам, столбцам и
диагоналям равна 15. Затем докажите, что центральное число равно 5.
Задача 83. Найдите пять чисел, если известно, что их суммы по три равны: 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 15,
17.
Задача 84. Можно ли нарисовать на плоскости 30 непересекающихся отрезков таким образом, чтобы
для каждого отрезка прямая, его содержащая, пересекала ровно 15 других отрезков?
Идея решения задачи 84. Если каждая прямая пересекает не менее 15 отрезков из 29, то больше
половины всех возможных пересечений реализуется. С другой стороны, если прямая, содержащая
первый отрезок, пересекает второй отрезок, то прямая, содержащая второй отрезок, не пересекает
первый отрезок. И реализуется не больше половины пересечений.
Задача 85. Среди математиков каждый седьмой - философ, а среди философов каждый девятый математик. Кого больше, философов или математиков?
Задача 86. На сторонах произвольного многоугольника произвольным образом расставлены стрелки.
Докажите, что число вершин, в которые входят две стрелки, равно числу вершин, из которых
выходят две стрелки.
Идея. Совмещение сторон.
Задача 87. По рёбрам выпуклого многогранника с 2009 вершинами проведена замкнутая ломаная,
проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые
эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечётным числом сторон
нечётно.
Решение задачи 87. Выберем любую из получившихся частей. Рассмотрим сумму а1+а2+…+аn, где аiколичество сторон i-й грани. Каждое ребро многогранника, по которому ломаная не проходит,
посчитано в этой сумме дважды и поэтому четность суммы не зависит от числа таких ребер. Каждое
95
ребро, через которое проходит ломаная, входит в сумму ровно один раз. Таких ребер 2009, поэтому
вся сумма нечетна. Если бы количество граней с нечетным числом сторон было четно, то
рассмотренная сумма также была бы четна. Значит, оно нечетно.
Задача 88. Квадрат 6 х 6 разбивают на прямоугольники 1 х 2. Какое наибольшее
количество пар соседних (то есть имеющих общий отрезок границы) прямоугольников
может при этом получиться?
Решение задачи 88. Ответ: 41. В самом деле, сумма длин границ прямоугольников
18·6=108, из них 4·6=24 снаружи и 84 внутри. Если все пары соприкасающихся
прямоугольников имеют общий участок границы длины 1, то этих пар 84:2=42, иначе
меньше. Докажем, что какие-то два прямоугольника образуют квадрат 2 х 2 (и имеют
общий участок границы длины 2). Идея доказательства на рисунке сверху, двигаемся к
верхнему правому углу, где приходим к противоречию. Пример с 41 прямоугольником на
рисунке снизу.
Задача 88. Как разрезать квадрат со стороной 4 см на прямоугольники, сумма периметров которых
равна 25 см?
Решение задачи 88. Например, можно так: два маленьких прямоугольника 2 х 0.5, большой 4 х 3.5.
Задача 89. Выпуклый многоугольник разрезан на p треугольников так, что на их сторонах нет
вершин других треугольников. Пусть n и m — количества вершин этих треугольников, лежащих на
границе исходного многоугольника и внутри его. Докажите, что p=n+2m-2.
Идея решения задачи 89. С одной стороны, сумма всех углов полученных треугольников равна p.
С другой стороны, она равна (n-2)+2m. Поэтому p=n+2m-2.
Другие идеи, связанные с подсчётом двумя способами.
Идея. Рассмотрите сумму попарных расстояний.
Задача 90. В центре каждой клетки шахматной доски стоит по фишке. Фишки переставили так, что
попарные расстояния между ними не уменьшились. Докажите, что в действительности попарные
расстояния не изменились.
Решение задачи 90. Если хотя бы одно из расстояний между фишками увеличилось бы, то
увеличилась бы и сумма всех попарных расстояний между фишками, но сумма всех попарных
расстояний между фишками не изменяется при любой перестановке (она равна сумме попарных
расстояний между центрами клеток доски).
Идея. Разобьем каждое слагаемое на два слагаемых, а сумму на две суммы (сумма всех первых
слагаемых и сумма всех вторых слагаемых).
Задача 91. В клетки шахматной доски записаны числа от 1 до 64 (первая горизонталь нумеруется
слева направо числами от 1 до 8, вторая горизонталь - от 9 до 16 и т. д.). Перед некоторыми числами
поставлены плюсы, перед остальными - минусы, так что в каждой горизонтали и в каждой вертикали
по 4 плюса и по 4 минуса. Докажите, что сумма всех чисел равна 0.
Задача 92. В клетках таблицы 10 х 10 расставлены числа от 0 до 99 (в первой строке 0, 1, …, 9, во
второй строке 10, 11, …, 19 и т.д.) Затем перед каждым числом поставили знак + или – так, что в
каждой строке и в каждом столбце оказалось по пять плюсов и по пять минусов. Докажите, что сумма
всех чисел с учетом знаков равна 0.
Идея. Выдадим каждому спортсмену удостоверение, подтверждающее его участие в работе секции.
Задача 93. В классе работает три спортивных секции. В лыжной секции занимаются 19 человек, в
секции плавания - 11 человек, а в велосипедной секции - 12 человек. Сколько в классе спортсменов,
если каждый из них занимается в двух секциях?
Задача 94. В классе работает три спортивных секции. В лыжной секции занимаются 19 человек, в
секции плавания - 13 человек, а в велосипедной секции - 12 человек. Сколько школьников
занимаются велосипедом и плаванием, если каждый спортсмен посещает две секции?
Идея. Если равные суммы состоят из равного количества слагаемых, и попарно равны все
соответствующие слагаемые этих сумм, кроме, быть может, одной пары, то слагаемые в оставшейся
паре равны.
Задача 95. Квадрат разрезали 18 прямыми, из которых 9 параллельны одной стороне квадрата, а 9 другой, на 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно девять из них - квадраты. Докажите, что среди
этих квадратов найдутся два равных между собой.
96
Решение задачи 95. От противного. Пусть все они различны, тогда они стоят в разных «строках» и в
разных «столбцах». Но фигура на пересечении незанятой строки и незанятого столбца – квадрат, так
как её стороны равны стороне большого квадрата минус сумма девяти сторон маленьких квадратов.
Разные задачи на подсчёт двумя способами.
Задача 96. В клетках таблицы 4 х 4 записаны числа так, что сумма соседей у каждого числа равна 1
(соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). Найдите сумму всех чисел таблицы.
Идея решения задачи 96. Искомая сумма равна 6, так как в каждой фигуре на рисунке она равна 2.
Задача 97. Можно ли в квадрате 10 х 10 клеток так расставить натуральные числа по одному
в каждой клетке, чтобы при любом расположении фигурки, изображенной на рис. 1, сумма
чисел в ее пяти клетках была равна 105, а в каждой фигурке, изображенной на рис. 2 и рис. 3,
сумма чисел была равна 40?
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Задача 98. Квадратный лист клетчатой бумаги разбит на меньшие квадраты отрезками, идущими по
сторонам клеток. Докажите, что сумма длин этих отрезков делится на 4. (Длина стороны клетки
равна 1.)
Идея решения задачи 98. В каждом квадрате сумма длин всех отрезков (неважно – только
внутренних или вместе с границей), проходящих по линиям сетки, делится на 4. Разность сумм в
листе и в квадратах тоже делится на 4.
Задача 99. По окружности расставлены 20 единиц и 30 двоек так, что нет трёх одинаковых подряд
идущих чисел. Найдите сумму произведений всех троек подряд идущих чисел.
Решение задачи 99. Ответ: 180. Так как нет трёх двоек или единиц подряд, то произведение чисел в
тройке вдвое больше количества двоек в ней (одна двойка – произведение 2, 2 двойки – 4). Помня,
что каждая двойка участвует в трёх произведениях, получаем, что ответ в шесть раз больше
количества двоек.
Задача 100. Квадратная таблица 3 х 3 заполнена нулями (см. рис. слева). Разрешается прибавлять по
единице ко всем числам любого квадрата 2 х 2. Можно ли через несколько ходов получить таблицу,
изображённую на рисунке справа?
0
0
0
4
9
5
0
0
0
10
18
12
0
0
0
6
13
7
Задача 101. На шахматной доске расставлены ладьи так, что в каждой горизонтали и в каждой
вертикали находится ровно одна. Докажите, что в левом верхнем квадрате 4 х 4 столько же ладей,
сколько в правом нижнем.
2.3. СУММА КООРДИНАТ.
Задача 102. На шахматной доске 9 х 9 расставлено 9 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что
если каждую ладью передвинуть ходом коня, то какие-то две ладьи будут бить друг друга.
Идея решения задачи 102. Занумеруем строки и столбцы доски числами от 1 до 9. Возьмём номер
строки и столбца для каждой ладьи (координаты ладьи) и рассмотрим сумму всех координат всех
ладей. Независимо от расстановки, сумма равна четному числу 2(1+2+…+9). После хода конём сумма
координат каждой ладьи изменится на 1 или на 3. Значит, изменится чётность суммы.
Задача 103. В клетках доски 8 х 8 записаны числа от 1 до 8, как показано на рисунке. На доску
поставили 8 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди них найдутся две, стоящие на
одинаковых числах.
1
8
7
6
5
4
3
2
2
1
8
7
6
5
4
3
3
2
1
8
7
6
5
4
4
3
2
1
8
7
6
5
5
4
3
2
1
8
7
6
6
5
4
3
2
1
8
7
7
6
5
4
3
2
1
8
8
7
6
5
4
3
2
1
97
Задача 104. На шахматной доске стоят 8 ладей так, что они не бьют друг друга. Докажите, что число
ладей, стоящих на чёрных полях, чётно.
Задача 105. На 64 клетках шахматной доски выписаны подряд: в верхнем ряду слева направо числа
от 1 до 8, в следующем ряду числа от 9 до 16 и т. д. до 64. Восемь ладей поставлены так, что никакие
две не бьют друг друга. Подсчитана сумма чисел, написанных на тех восьми полях, на которых
поставлены ладьи. Найти все значения, которые может принимать эта сумма.
Задача 106. За какое минимальное количество ходов конь из левого нижнего угла шахматной доски 8
х 8 доберется до правого верхнего?
Задача 107. Может ли шахматный король обойти доску 8 х 8, побывав на каждой клетке по 1
разу и вернувшись на поле, с которого начал ходить, если ему разрешается делать ходы
только на клетку влево, на клетку вниз и на клетку по диагонали вправо-вверх?
2.4. РАСКРАСКА.
Шахматная раскраска на плоскости.
Свойства шахматной раскраски.
1. Если известно, какого цвета одна из клеток, то можно вычислить цвета всех остальных клеток, а
также вычислить, сколько клеток покрашено в какой цвет.
2. Возможно всего 2 шахматных раскраски каждой фигуры: каждая раскраска получается из другой
раскраски перекрашиванием всех клеток в противоположный цвет.
Задача 108. Шахматный король обошел всю доску 8 х 8, побывав в каждой клетке по одному разу и
вернувшись последним ходом в исходную клетку. Докажите, что он сделал чётное число
диагональных ходов.
Указание к задаче 108. В процессе обхода доски четное число раз менялся цвет поля, на котором
стоял король.
Задача 109. Доска 10 на 10 разбита на 100 единичных квадратиков. Один из них вырезали, так что
образовалась дырка. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть равнобедренными прямоугольными
треугольниками с гипотенузой длины 2 так, чтобы их гипотенузы шли по сторонам квадратиков, а
катеты - по диагоналям и чтобы треугольники не налегали друг на друга и не свисали с доски?
Решение задачи 109. Раскрасим доску чёрной и белой краской в шахматном порядке. Пусть нам
удалось покрыть оставшиеся 99 единичных квадратиков треугольниками. Заметим, что тогда одна
половина каждого треугольника белая, а другая — чёрная. Таким образом, покрытая площадь белого
цвета равна покрытой площади чёрного цвета. С другой стороны, одна из этих площадей больше
другой на 1. Противоречие.
Задача 110. Замок барона Мюнхгаузена имеет вид прямоугольника размером 2005 х 2007 клеток.
Каждая клетка, кроме центральной, - комната замка, а в центральной клетке находится бассейн. В
каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, проделана дверь. Можно не
выходя из замка и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой ровно по одному разу?
Задача 111. Можно ли шахматную доску без двух противоположных угловых клеток покрыть 31
костью домино, если каждая из них занимает две клетки?
Задача 112. Можно ли доску 4 х 5 покрыть пятью различными тетрамино,
используя по одной фигуре каждого вида? Тетрамино – это четыре клетки,
соединенные сторонами, все пять их видов показаны на рисунке.
Задача 113. Можно ли конем обойти шахматную доску, начав с клетки a1, закончив на h8 и
останавливаясь на каждой клетке ровно один раз?
Задача 114. Можно ли доску 15 х 15 разбить на фигурки двух сортов, изображенных на рис.?
Задача 115. 25 жуков сидят на шахматной доске 5 x 5 по одному в каждой клетке. В некоторый
момент все жуки приходят в движение и переползают на соседнюю клетку по горизонтали или по
вертикали. Останутся ли пустые клетки?
98
Задача 116. Можно ли квадрат 10 х 10 разрезать на 25 т-тетрамино, изображенных на рис.?
Задача 117. Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной доске 5 х 5 так, чтобы
каждый из них бил ровно двух других? (Укажите расстановку и докажите, что нельзя расставить
большее число коней с выполнением условия задачи.)
Ответ к задаче 117. 16 коней.
Задача 118. Каёмкой клетчатого прямоугольника (со сторонами, не меньшими двух) назовём полосу
ширины 1, идущую по краю прямоугольника. (Прямоугольник 2 х n является и своей каёмкой).
Можно ли квадрат 2009 х 2009 покрыть по линиям сетки каёмками в несколько слоёв (т.е. над каждой
клеткой квадрата должно быть поровну клеток каёмок)?
Идея решения задачи 118. Раскрасим квадрат 2009 х 2009 в шахматном порядке. Тогда черных и
белых клеток будет не поровну (так как всего клеток нечетное число). Но в каждой каемке черных и
белых клеток поровну.
Задача 119. Можно ли квадрат 12 х 12, в котором из 2 противоположных углов вырезано по
прямоугольнику 3 х 5, разбить на домино?
Задача 120. Можно ли прямоугольник 11 х 12 разрезать на Т-тетрамино (см. рис. к задаче 116)?
Задача 121. Король обошёл шахматное поле, побывав в каждой клетке по одному разу, и вернулся в
исходное поле. Центры полей, через которые лежал путь короля, соединили в порядке прохождения.
Получилась ломаная без самопересечений. Найдите максимальную и минимальную длину ломаной
(сторона клетки 1).
Решение задачи 121. Ответ: 64 и 28 + 36√2. Пример на рисунке. Рассмотрим 28
крайних полей доски. Ясно, что вдоль пути короля соседние клетки края доски
встречаются в таком же порядке, как на краю. Чтобы попасть с одного крайнего поля
на соседнее, нужно сменить цвет клетки, то есть сделать ход по горизонтали или
вертикали. Следовательно, недиагональных ходов не меньше 28.
Задача 122. На какое наименьшее число прямоугольников можно разрезать фигуру
(см. рис.)? Резать можно только по границам клеток.
Решение задачи 122. Ответ: 15. Раскрасим фигуру в шахматном порядке. Заметим,
что в каждом из получившихся при разрезании прямоугольников разность числа
черных и белых клеток не превосходит 1. Пример: 3 вертикальные полосы длины 7 и
12 квадратиков по 1 клетке.
Шахматная раскраска в пространстве.
Задача 123. Можно ли из 13 кирпичей 1 х 1 х 2 сложить куб 3 х 3 х 3 с дыркой 1 х 1 х 1 в центре?
Задача 124. Пространственный лабиринт состоит из 27 кубических комнат, расположенных в виде
куба 3 х 3 х 3. Из любой комнаты можно перейти в любую соседнюю (через любую стену, пол или
потолок). Исследователь лабиринта находится в центральной комнате. Он желает пройти по всем
комнатам, не проходя никакой комнаты дважды. Удастся ли ему это?
Задача 125. Большой куб склеен из 27 одинаковых маленьких кубиков; термит садится на угловой
кубик и прогрызает ход. Он движется всегда параллельно ребру куба и не возвращается в те кубики,
где уже побывал. Может ли термит прогрызть все 26 внешних кубиков и закончить ход в
центральном кубике?
Задача 126. Можно ли из белых и синих кубиков со стороной 1 составить куб со стороной n так,
чтобы для любого кубика было ровно два соседних одного с ним цвета?
Решение задачи 126. Если n чётное - можно, например из чередующихся блоков 2 х 2 х 1 красного и
синего цвета. Если n нечётное - нельзя, так как синих и белых клеток чётное число. Докажем это
утверждение. Каждую синюю клетку соединим отрезком с двумя её синими соседями: получим
несколько замкнутых «ломаных» чётной длины, так как чередуются кубики с чётной и нечётной
суммой координат. Общая длина «ломаных», равная количеству синих клеток, также чётна. Так же
поступим при подсчёте белых клеток.
Задача 127. Имеется много одинаковых кирпичей. Каждый кирпич имеет следующую форму:
приклеиваем к кубу со стороной 1 три таких же куба к трём граням, имеющим общую вершину, так,
что склеиваемые грани совпадают. Можно ли сложить прямоугольный параллелепипед 11 х 12 х 13
из таких кирпичей?
Шахматная раскраска треугольников.
99
Задача 128. Каждая сторона правильного треугольника разбита на 10 равных частей. Через точки
деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбился на 100
маленьких треугольников. Назовём цепочкой последовательность треугольников, в которой ни один
треугольник не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим.
Докажите, что в любой цепочке не более 91 треугольника.
Задача 129. В замке, имеющем треугольную форму, 100 треугольных комнат (см.
рис.). Любые две комнаты, имеющие общую стену, соединены дверью. Какое
наибольшее количество комнат можно обойти, не побывав дважды в одной комнате?
Задача 130. Правильный треугольник расчерчен сеткой на 36 одинаковых
правильных треугольничков. Для каких k его по линиям сетки можно разрезать на k
одинаковых частей?
Указание к задачи 130. Рассмотрите делители числа 36. Ответ. 1, 4, 9, 36 (части - треугольники), 3,
12 (части - трапеции). Остальные делители не подходят (шахматная раскраска треугольников).
Задача 131. Равносторонний треугольник со стороной 9 разбит на 81 равный треугольник отрезками,
параллельными сторонам. Докажите, что из него нельзя вырезать более 18 параллелограммов со
сторонами 1 и 2, каждый из которых составлен из четырех треугольников.
Указание к задаче 131. Шахматная раскраска. В каждом параллелограмме по 2 треугольника
каждого цвета. Одного из цветов 36 треугольников.
Раскраска в 4 цвета в зависимости от чётности каждой координаты.
Задача 132. На клетчатой бумаге отмечены произвольным образом 2000 клеток. Докажите, что среди
них всегда можно выбрать не менее 500 клеток, попарно не соприкасающихся друг с другом
(соприкасающимися считаются клетки, имеющие хотя бы одну общую вершину).
Идея решения задачи 132. Раскрасьте клетки в 4 цвета так, чтобы никакие две клетки
одного цвета не соприкасались (см. рисунок).
Задача 133. Четыре кузнечика сидели в вершинах квадрата. Каждую секунду один из кузнечиков
прыгает через другого в симметричную точку (если кузнечик из точки A прыгает через кузнечика,
сидящего в точке B, и приземляется в точку A1, то векторы AB и BA1 равны). Докажите, что три
кузнечика не могут оказаться
а) на одной прямой, параллельной стороне квадрата;
6) на одной произвольной прямой.
Идея решения задачи 133. На каждой прямой при нашей раскраске в 4 цвета имеются точки только
двух цветов.
Задача 134. Докажите, что если вершины выпуклого n-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а
внутри и на его сторонах других узлов нет, то n=3 или n=4.
Идея решения задачи 134. Раскрасим узлы клетчатой бумаги в четыре цвета в зависимости от
чётности координат. Если n>4, то найдутся две одноцветные вершины n-угольника. Середина отрезка
с концами в одноцветных узлах является узлом (вспомните формулу координат середины отрезка!).
Так как n-угольник выпуклый, то середина отрезка с концами в его вершинах лежит либо внутри
него, либо на стороне.
Задача 135. Можно ли фигурами двух сортов (см. рис.) закрыть все клетки квадрата 11 х
11, кроме пяти, по одному разу? Фигурки можно поворачивать и переворачивать.
Решение задачи 135. Раскрасим клетки на пересечении столбцов и строк, имеющих нечётные номера
(т. е. 1, 3, 5, 7, 9, 11). Всего будет покрашено 36 клеток, закрыть надо не менее 31 покрашенной
клетки. Количество фигур площади 4, которые можно использовать, равно (121-5):4=29. Каждая из 29
фигур закроет только одну покрашенную клетку, и по крайней мере 2 покрашенных клетки
останутся.
Задача 136. На бесконечной шахматной доске на двух соседних по диагонали чёрных полях стоят две
чёрные шашки. Можно ли дополнительно поставить на эту доску некоторое число чёрных шашек и
одну белую таким образом, чтобы белая одним ходом взяла все чёрные шашки, включая две
первоначально стоявшие?
Подсчёт площадей и объёмов каждого цвета.
Идея. Будем раскрашивать квадратиками или кубиками со стороной ½ и подсчитаем площадь или
объём, занятые каждым цветом.
100
Задача 137. Квадрат разбит на прямоугольники так, что длина хотя бы одной из сторон каждого
прямоугольника – целое число. Стороны прямоугольников параллельны сторонам квадрата.
Докажите, что сторона квадрата – целое число.
Задача 138. Прямоугольник разбит на прямоугольники так, что длина хотя бы одной из сторон
каждого прямоугольника разбиения – целое число. Стороны прямоугольников разбиения
параллельны сторонам большого прямоугольника. Докажите, что хотя бы одна из сторон большого
прямоугольника – целое число.
Задача 139. Прямоугольный параллелепипед разбит на прямоугольные параллелепипеды так, что
длина хотя бы одной из сторон каждого прямоугольного параллелепипеда – целое число. Грани
прямоугольных параллелепипедов разбиения параллельны граням большого параллелепипеда.
Докажите, что хотя бы одна сторона прямоугольного параллелепипеда – целое число.
Раскраска «Полоска».
Задача 140. На каждой клетке доски размером 9 х 9 сидит жук. По свистку каждый из жуков
переползает в одну из соседних по диагонали клеток. При этом в некоторых клетках может оказаться
больше одного жука, а некоторые клетки окажутся незанятыми. Докажите, что при этом незанятых
клеток будет не меньше 9.
Решение задачи 140. Покрасьте вертикали доски в черный и белый цвет через одну. Тогда с черной
клетки жук переползает на белую, а белой на черную. Но клеток одного из цветов больше, чем
другого, на 9.
Задача 141. В левый нижний угол шахматной доски 8 х 8 поставлено в форме квадрата 3 х 3 девять
фишек. Фишка может прыгать на свободное поле через рядом стоящую фишку, т. е. симметрично
отражаться относительно её центра (прыгать можно по вертикали, горизонтали и диагонали). Можно
ли за некоторое количество таких ходов поставить все фишки вновь в форме квадрата 3 х 3, но в
другом углу:
а) левом верхнем;
б) правом верхнем?
Решение задачи 141. Раскрасим доску полосами: нечётные горизонтали — белым, чётные —
чёрным. Делая ход, фишка не меняет цвета поля, на котором стоит. Осталось заметить, что в
начальной расстановке 6 фишек занимают белые поля, и 3 — чёрные, а в конечной — 3 чёрных и 6
белых полей. Следовательно, ответ в обоих пунктах задачи отрицательный.
Задача 142. Имеется много одинаковых кирпичей. Каждый кирпич имеет следующую форму:
приклеиваем к кубу со стороной 1 три таких же куба к трём граням, имеющим общую вершину, так,
что склеиваемые грани совпадают. У нас есть неограниченное количество кирпичей и 11 кубиков со
стороной 1. Можно ли сложить прямоугольный параллелепипед 11 х 12 х 13?
Комментарий к задаче 142. Сравните с задачей 127.
Задача 143. Можно ли прямоугольник 7 х 6 разрезать на фигуры следующих
видов (см. рисунок)? Фигурки можно поворачивать и переворачивать.
Задача 144. Можно ли прямоугольник 10 х 9 разрезать на фигуры следующих сортов (см. рис)?
Решение задачи 144. Нельзя. Раскрасим прямоугольник в полоску так, чтобы
закрашенных клеток было 4 ряда по 10 клеток. Всего фигур 15, в каждой
закрашенных клеток нечетное число. Поэтому всего закрашенных клеток
нечетное число. С другой стороны, их четное число (40).
Задача 145. Из квадрата 20 х 20 вырезали квадрат 2 х 2. Можно ли оставшуюся часть разбить
на Г-тетрамино (см. рисунок)?
Задача 146. Можно ли доску 10 х 10 разрезать на Г-тетрамино (фигурки из предыдущей задачи)?
Задача 147. Можно ли квадрат 10 х 10 с двумя вырезанными прямоугольниками 2 х 1 в
противоположных углах разбить на прямоугольники 2 х 2 и 4 х 1? Один из вырезанных
прямоугольников горизонтальный, другой вертикальный.
Задача 148. Можно ли прямоугольник 10 х 9 разбить на фигуры двух сортов (см. рис.)?
Задача 149. Можно ли из нескольких прямоугольников 1 х 4 и нечётного числа Г-тетрамино
составить прямоугольник?
Диагональные раскраски на плоскости и в пространстве.
101
Задача 150. Можно ли квадрат 5 х 5 с вырезанной угловой клеткой разрезать на 8 прямоугольников 1
х 3?
Решение задачи 150. Этого сделать нельзя. При раскраске прямоугольника (см. рисунок)
получается одного цвета 7 клеток, другого – 8 и последнего – 9. Но каждый прямоугольник
1 х 3 содержит по клетке каждого цвета, поэтому если мы разрезали фигуру из условия
задачи требуемым образом, 8 прямоугольников вместе содержат по 8 клеток каждого цвета.
А у нас их не столько. Значит, разрезать нельзя.
Задача 151. а) Из полосок размером 1 х 5 сложен прямоугольник. Докажите, что одна из его сторон
делится на 5.
б) Из полосок размером 1 х 6 сложен прямоугольник. Докажите, что одна из его сторон делится на 6.
Задача 152. а) Можно ли квадрат 8 х 8 с вырезанной угловой клеткой разрезать на прямоугольники 1
х 3?
б) Какие клетки можно вырезать, чтобы разрезание квадрата стало возможно?
Идея решения задачи 152. Рассмотрите две диагональные раскраски в три цвета с разным
направлением одноцветных диагоналей.
Задача 153. У Пети имеется набор «Юный паркетчик», который состоит из 12 дощечекпрямоугольников 1 х 3, уложенных в один слой в квадратную коробку 6 х 6 так, что они покрывают
всю ее площадь. Хулиган Вася заменил одну из прямоугольных дощечек на уголок. Может ли Петя
уложить все дощечки (11 прямоугольников и уголок) в один слой?
Задача 154. Сколько выстрелов необходимо сделать, чтобы в игре «Морской бой» наверняка попасть
в корабль, имеющий форму прямоугольника 1 х 4, на поле 10 х 10?
Решение задачи 154. 24 выстрелов достаточно. Для доказательства раскрасим поле в 4 цвета по
диагоналям и сделаем по выстрелу во все клетки того цвета, которых 24. Каждый прямоугольник 1 х
4, как бы он не располагался (горизонтально или вертикально), закроет по одной клетке каждого из
четырёх цветов. Т. е. корабль закроет клетку 4-го цвета. Мы в него попали!
Докажем, что при любом числе выстрелов меньше 24 корабль может спастись. Для этого разобьём
поле на 24 прямоугольника 1 х 4 и один квадрат 2 х 2. Если выстрелов меньше 24, то в один из
прямоугольников мы не попадём. Если там стоит корабль, он уцелеет.
Задача 155. Можно ли разрезать квадрат 10 x 10 на 25 прямоугольников 1 x 4?
Задача 156. Назовём две клетки доски 100 х 100 дружественными, если они являются крайними
клетками прямоугольника 1 х 4. Можно ли доску 100 х 100 разбить на пары дружественных клеток?
Идея решения задачи 156. Воспользуйтесь одной из двух следующих раскрасок (указаны номера
цветов).
1 2 3 1 2 3 1 …
1 2 3 1 2 3 1 …
4 5 6 4 5 6 4 …
2 3 1 2 3 1 2 …
7 8 9 7 8 9 7 …
3 1 2 3 1 2 3 …
1 2 3 1 2 3 1 …
1 2 3 1 2 3 1 …
4 5 6 4 5 6 4 …
2 3 1 2 3 1 2 …
7 8 9 7 8 9 7 …
3 1 2 3 1 2 3 …
… … … … … … … …
… … … … … … … …
Задача 157. Можно ли шахматную доску 8 х 8 покрыть одним квадратом 2 х 2 и пятнадцатью
прямоугольниками 1 х 4?
Задача 158. Можно ли ящик 10 x 10 x 10 заполнить 250 коробками 1 x 1 x 4? Коробки не должны
выступать за пределы ящика и не могут пересекаться (содержать общую часть).
Задача 159. Сколько ладей можно расставить в кубе 8 х 8 х 8 так, чтобы никакие две ладьи не били
друг друга? Ладья занимает единичный кубик и бьет все ладьи, находящиеся в том же
параллелепипеде 1 х 1 х 8, что и она сама.
Другие раскраски.
Задача 160. Из листа клетчатой бумаги размером 29 х 29 клеточек вырезали 99
квадратиков 2 х 2 (режут по клеточкам). Докажите, что из оставшейся части листа
можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.
Решение задачи 160. Раскраска см. на рисунке. Каждый вырезанный квадратик 2 х 2
пересекается ровно с одним из ста покрашенных. С каким-то покрашенным квадратиком
никакой вырезанный не пересекается (так как их меньше). Этот покрашенный квадратик
2 х 2 можно вырезать.
102
Задача 161. Можно ли три грани куба 4 х 4 х 4, имеющие общую вершину, оклеить 16 полосками 1 х
3? Полоски можно перегибать через грани, но нельзя разрывать.
Задача 162. Можно ли 2550 прямоугольниками 1 х 4 покрыть доску 101 х 101 так, что
только центральное поле останется непокрытым?
Идея решения задачи 162. Нет. Раскраска см. на рисунке. Черного цвета больше на 1
клетку. Но центральная клетка белая. Прямоугольник покрывает по 2 клетки каждого
цвета.
Задача 163. Можно ли заполнить 10 х 10 прямоугольниками 1 х 4 фигурами двух видов (см. рис.)?
Идея решения задачи 163. Нельзя. Раскраска «двойная диагональ» (в два цвета по
диагоналям, чередуются по две диагонали одного и другого цвета) дает 49 и 51
клетку - нечетное число клеток каждого цвета. Но в каждой фигуре четное число
клеток каждого цвета.
Задача 164. Можно ли прямоугольник 10 х 14 заполнить фигурами трёх видов (см. рис.)?
Решение задачи 164. Нельзя, так как при шахматной раскраске квадратами 2 х 2 какого-то
цвета будет на один квадрат 2 х 2 больше. С другой стороны, в каждой фигуре клеток того и другого
цвета поровну.
2.5. ИНВАРИАНТЫ, СВЯЗАННЫЕ С ДЕЛИМОСТЬЮ.
Несколько задач на делимость.
Задача 165. Ковбой Джо зашел в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6
долларов, 3 пачки табака и 9 коробок непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен
потребовал 11 долларов и 80 центов, на что Джо вытащил револьвер. Бармен пересчитал и нашел
ошибку. Как Джо догадался, что бармен пытался его обсчитать?
Задача 166. Можно ли монету в 1000 крон разменять 87 монетами достоинством 1, 10, 25, 100 крон?
Задача 167. По окончании конкурса бальных танцев, в котором участвовали 7 мальчиков и 8 девочек,
каждый (каждая) назвал (назвала) количество своих партнерш (партнеров): 3, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6,
6, 6, 6, 6. Могло ли так быть?
Сохранение чётности какой-либо величины.
Задача 168. У племени семпоальтеков было 24 слитка золота, 26 редких жемчужин и 25 стеклянных
бус. У Кортеса они могут обменять слиток золота и жемчужину на одни бусы, у Монтесумы - один
слиток и одни бусы на одну жемчужину, а у тотонаков - одну жемчужину и одни бусы на один
золотой слиток. После долгих обменов у семпоальтеков осталось только одна вещь. Какая?
Решение задачи 168. После каждого обмена четность суммы имеющихся слитков и жемчужин не
меняется, а значит, после любого числа обменов эта сумма будет четным числом. Следовательно,
когда у семпоальтеков осталась только одна вещь, эта вещь не могла быть ни слитком, ни
жемчужиной; значит, остались стеклянные бусы.
Задача 169. В ряд стоят 100 фишек. Разрешается менять местами любые две фишки, стоящие через
одну. Можно ли таким способом переставить фишки в обратном порядке?
Задача 170. На доске написаны числа от 1 до 50. Разрешается стереть любые 2 числа и вместо них
записать модуль их разности. После повторения процедуры несколько раз на доске остается одно
число. Какое это может быть число? (Приведите все возможные варианты и докажите, что других
нет).
Задача 171. Над пятизначными числами разрешается производить следующую операцию: любую
цифру числа можно заменить на последнюю цифру суммы цифр этого числа. Можно ли с помощью
этих операций из числа 13579 получить число 12345?
Идея решения задачи 171. Если все цифры числа были нечётными, то они всегда будут нечётными.
Задача 172. Клетки доски 7 х 7 покрашены в шахматном порядке так, что углы покрашены в черный
цвет. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые две соседние клетки. Можно ли с
помощью таких операций перекрасить всю доску в белый цвет?
103
Задача 173. Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки,
расположенные внутри квадрата размером 2 х 2. Может ли при этом на доске остаться ровно одна
черная клетка?
Задача 174. В некотором царстве, в некотором государстве на чудо-яблоне выросло 45
бананов и 20 ананасов. Каждый день садовник срывает два плода, и на их месте вырастает
новый. При этом если он срывает 2 одинаковых плода, то вырастает ананас, а если 2 разных
– банан. Может ли последний плод, который останется на этом дереве, оказаться ананасом?
Задача 175. Даны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается прибавлять к любым двум числам по 1. Можно ли
все числа сделать равными?
Задача 176. Требуется перевернуть вверх дном 10 чашек, следуя правилу: за один ход разрешается
перевернуть ровно 9 чашек (любых). Как за несколько ходов это сделать? А если чашек было 11 и
переворачивать можно 10?
Задача 177. На столе стоят 16 стаканов. Из них 15 стаканов стоят правильно, а один перевёрнут
донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые 4 стакана. Можно ли, повторяя
эту операцию, поставить все стаканы правильно?
Задача 178. В ряд стоят 100 фишек. Разрешается менять местами любые две фишки, стоящие через
одну. Можно ли таким способом переставить фишки в обратном порядке?
Задача 179. На доске написано число 123456789. У написанного числа выбираются две соседние
цифры, если ни одна из них не равна 0, из каждой вычитается по единице, и выбранные цифры
меняются местами (например, 123456789 → 123436789 → …). Какое наименьшее число может быть
получено в результате таких операций? Ответ необходимо обосновать.
Идея решения задачи 179. При указанных операциях на нечетных местах всегда будут
стоять нечетные цифры, а на четных – четные. Ответ: 101010101.
Задача 180. На доске написаны числа от 1 до 20. Разрешается, выбрав любые 2 числа, стереть их, а
вместо них записать на доску их разность (из большего вычитается меньшее). При этом на доске не
должны появляться равные числа. Так поступают до тех пор пока на доске не останется одно число.
Какое наименьшее число может остаться на доске?
Задача 181. Дан выпуклый 2m-угольник A1...A2m. Внутри его взята точка P, не лежащая ни на одной
из диагоналей. Докажите, что точка P принадлежит четному числу треугольников с вершинами в
точках A1,..., A2m.
Решение задачи 181. Диагонали разбивают многоугольник на несколько областей. Будем называть
соседними те из них, у которых есть общая сторона. В качестве ещё одной (внешней) области
рассмотрим область вне многоугольника. Ясно, что из любой внутренней точки многоугольника
можно попасть в любую другую, переходя каждый раз в соседнюю область. Число рассматриваемых
треугольников для точек внешней области равно нулю, поэтому достаточно доказать, что при
переходе из любой области в соседнюю четность числа треугольников сохраняется. Пусть общая
сторона двух соседних областей лежит на диагонали (или стороне) PQ. Тогда всем рассматриваемым
треугольникам, кроме треугольников со стороной PQ, обе эти части одновременно либо
принадлежат, либо не принадлежат. Поэтому при переходе из одной части в другую число
треугольников изменяется на k1-k2, где k1 — число вершин многоугольника, лежащих по одну
сторону от PQ, k2 — число вершин, лежащих по другую сторону от PQ. Так как k1+k2=2m-2, то число
k1-k2 четно.
Задача 182. Есть три кучи камней. Разрешается к любой из них добавить столько камней, сколько
есть в двух других кучах, или из любой кучи выбросить столько камней, сколько есть в двух других
кучах. Например: (12, 3, 5) → (12, 20, 5) (или → (4,3,5)). Можно ли, начав с куч 1993, 199 и 19,
сделать одну из куч пустой?
Задача 183. На доске написано 12. В течение каждой минуты число либо умножают, либо делят либо
на 2, либо на 3, и результат записывают на доску вместо исходного числа. Докажите, что число,
которое будет написано на доске ровно через час, не будет равно 54.
104
Задача 184. Очень давно в одной стране жили 100 рыцарей, 99 принцесс и 101 дракон. Рыцари
убивали драконов, драконы ели принцесс, а принцессы до смерти изводили рыцарей. Древнее
предписание запрещает убивать того, кто сам погубил нечетное число других жителей. Сейчас в этой
стране остался только один житель. Кто это?
Задача 185. Двадцать восемь контрольных пунктов секретного объекта соединены
системой коридоров (см. рисунок). Каждый коридор соединяет два пункта и может
быть освещен или затемнен. Первоначально весь объект затемнен. На каждом
контрольном пункте есть переключатель, меняющий освещенность всех подходящих к
нему коридоров на противоположную. Начальник охраны ходит по объекту и в
некоторых контрольных пунктах меняет освещенность. Какое наибольшее количество
коридоров он может сделать освещенными?
Задача 186. В круглой башне замка король развесил на стене по кругу 12 портретов своих предков.
Затем он их начал перевешивать по такому правилу: за одно действие меняются местами портреты,
между которыми находится ровно один портрет. Может ли король за несколько ходов поменять
местами портреты, первоначально висевшие рядом?
Задача 187. На доске записано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд
выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа и если они одинаковые, то допишите к
оставшимся нуль, а если разные, то единицу. Какое число останется на доске?
Задача 188. 2008 человек выстроились в шеренгу. Всегда ли можно из расставить по росту, если за
один ход разрешается переставлять только 2 людей, стоящих через одного?
Задача 189. Числа 0, 1, 2, …, 9 записаны по кругу. За один ход разрешается прибавить к двум
соседним числам одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить десять нулей?
Сохранение чётности числа покрашенных клеток на пересечении двух строк и двух столбцов.
Задача 190. В клетках квадратной таблицы 3 x 3 расставлены знаки "+" и "-" так, как показано на
рисунке слева. Разрешается в любом столбце или в любой строке изменить сразу все знаки на
противоположные. Можно ли, повторяя эту процедуру несколько раз, из данной таблицы получить
таблицу, изображенную на рисунке справа?
+ + –
– – +
+ + –
+ – –
– – +
– – +
Задача 191. В таблице 8 х 8 все четыре угловые клетки закрашены черным цветом, все остальные белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все
клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки (столбца) понимается изменение цвета всех
клеток в строке (столбце).
Указание к задаче 191. Докажите, что четность числа черных клеток в левом верхнем квадрате 2 х 2
не меняется при перекрашиваниях.
Задача 192. Дана квадратная таблица 4 х 4, в каждой клетке которой стоит знак "+" или "-" (см.
рисунок). За один ход можно поменять знаки на противоположные в любой строке или любом
столбце. Можно ли через несколько ходов получить таблицу из одних плюсов?
+
–
+ +
+
+ + +
+
+ + +
+
–
+ +
Задача 193. В квадратике 3 на 3 закрашена угловая клетка. Разрешается перекрашивать все
клетки в одной строке или в одном столбце в противоположный цвет (т. е. незакрашенные
делать закрашенными и наоборот). Можно ли таким способом сделать все клетки
одноцветными?
105
Разные инварианты, связанные с четностью (четность перестановок и др.)
Задача 194. На хоккейном поле лежат три шайбы A, B, C. Хоккеист бьёт по одной из них так, что она
пролетает между двумя другими. Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы оказаться на
исходных местах?
Задача 195. Три кузнечика играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через
другого (но не через двух сразу!). Могут ли они после 2009 прыжков оказаться на прежних местах?
Задача 196. На прямой стоят две фишки: слева красная, справа синяя. Разрешается производить
любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд (между фишками или с краю) и
удаление пары соседних одноцветных фишек (между которыми нет других фишек). Можно ли с
помощью таких операций оставить не прямой ровно две фишки: слева синюю, а справа красную?
Задача 197. 10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу - синие. Разрешены две
операции: а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд; б) перевернуть четыре фишки,
расположенные так: xx0xx (x - фишка, входящая в четвёрку, 0 - не входящая). Удастся ли, используя
несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?
Указание к задаче 197. Отметим пять фишек через одну. При каждой операции переворачиваются
ровно две отмеченные фишки.
Задача 198. В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., n. За один ход разрешается поменять местами любые
два числа. Может ли после 1989 таких операций порядок чисел оказаться исходным?
Указание к задаче 198. Нет, не может. В качестве инварианта рассмотрите четность величины p,
равной числу пар (a, b), в которых число a стоит правее числа b и при этом a>b.
Задача 199. На бесконечной шахматной доске на двух соседних по диагонали чёрных полях стоят две
чёрные шашки. Можно ли дополнительно поставить на эту доску некоторое число чёрных шашек и
одну белую таким образом, чтобы белая одним ходом взяла все чёрные шашки, включая две
первоначально стоявшие?
Решение задачи 199. Этого сделать нельзя. При каждом взятии чёрной шашки белая шашка
перемещается на чётное число вертикалей. Поэтому после того как белая шашка взяла первую
чёрную, она всегда будет отстоять от второй чёрной шашки на чётное число вертикалей. В таком
случае она не сможет её взять.
Произведение (четность числа) знаков в выбранных ячейках.
Задача 200. Семь шестиугольных ячеек раскрашены в два цвета: белый и серый. За один ход
разрешается, выбрав произвольную ячейку, перекрасить ее и все соседние с ней ячейки в другой цвет.
Докажите, что за несколько ходов из раскраски, указанной на рис. 1
а) можно получить раскраску, указанную на рис. 2
б) нельзя получить раскраску, указанную на рис. 3
рис. 1
рис. 2
рис. 3
Решение задачи 200. б) Будем записывать в ячейки числа: в чёрную ячейку всегда будем писать –1, в
белую +1. Перекрашивая ячейки, мы умножаем на –1 числа, которые в них находятся. Рассмотрим
четыре ячейки: две слева и две справа. Произведение чисел в этих четырёх ячейках не изменяется. Но
в начале (рис. 1) это произведение равно 1, а в конце (рис. 3) оно равно -1. Поэтому получить
раскраску на рис. 3 нельзя.
Задача 201. Дана квадратная таблица 4 х 4, в которой во второй слева клетке верхней строчки стоит
знак минус, а в остальных клетках таблицы – плюсы. За один ход можно поменять знаки на
противоположные в любой строке, столбце или диагонали (включая диагонали, состоящие только из
угловой клетки). Можно ли через несколько ходов получить таблицу из одних плюсов?
Задача 202. В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа +1 и -1 так, что во всех
вершинах, кроме одной, стоят +1. Разрешается изменять знак в любых k подряд идущих вершинах.
106
Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число -1 сдвинулось в соседнюю с
исходной вершину, если а) k=3; б) k=4; в) k=6?
Указание к задаче 202. Ответ во всех пунктах отрицателен. Отметьте множество вершин,
обладающее тем свойством, что любой набор из k вершин подряд содержит четное число отмеченных
вершин.
Сохранение делимости какой-либо величины на натуральное число больше 2 или остатка от
деления.
Задача 203. На доске в ряд выписаны сто семёрок. Можно ли между некоторыми из них поставить
знаки сложения, вычитания, умножения и скобки так, чтобы значение полученного выражения
равнялось 2001?
Задача 204. Первый член последовательности равен 1. Каждый следующий член последовательности
получается прибавлением к предыдущему его суммы цифр. Может ли в последовательности
встретиться число 123456?
Задача 205. Автомат при опускании гривенника выбрасывает пять двушек, а при опускании двушки
– пять гривенников. Может ли Петя, подойдя к автомату с одной двушкой, получить через некоторое
время равное количество двушек и гривенников?
Задача 206. На доске написано число 99…99 (1997 девяток). Раз в секунду одно из чисел,
написанных на доске, раскладывают на два множителя, после чего само число стирают, а вместо него
записывают эти два множителя, увеличенные или уменьшенные на 2 (независимо друг от друга).
Может ли так случится, что в конце концов на доске будет выписано несколько раз число 9?
Решение задачи 206. Если число, дающее остаток 3 при делении на 4, разложить на два множителя,
то один из них будет иметь остаток 1 при делении на 4, после изменения на 2, он будет иметь остаток
3 при делении на 4. Исходное число дает остаток 3 при делении на 4, поэтому всегда хотя бы одно из
чисел будет давать остаток 3 при делении на 4. Значит, не может быть так, что в конце на доске
останутся только девятки.
Задача 207. На 44 деревьях, расположенных по кругу, сидели по одному веселому чижу. Время от
времени какие-то два чижа перелетают один по часовой стрелке, а другой – против, каждый на
соседнее дерево. Могут ли все чижи собраться на одном дереве?
Идея решения задачи 207. Занумеруем деревья от 1 до 44. Инвариант: остаток при делении на 44
суммы номеров деревьев, на которых сидят чижи.
Задача 208. Круг разбит на 10 секторов, в каждом из которых стоит фишка. Одним ходом
разрешается любые 2 фишки передвинуть в соседние секторы: одну по часовой стрелке, другую –
против. Можно ли собрать все фишки в одном секторе?
Задача 209. На острове Серобуромалин живут хамелеоны: 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых. Если
два хамелеона разных цветов встречаются, то они оба меняют свой цвет на третий. Может ли
случиться, что в некоторый момент все хамелеоны на острове станут одного цвета?
Задача 210. В ящике живут марсианские вредилки трёх сортов: кусалки, щипалки и кричалки. Время
от времени они делятся надвое. При этом вместо любой вредилки получаются вредилки двух
оставшихся сортов. Сейчас в ящике 20 кусалок, 21 щипалка и 22 кричалки. Известно, что сначала в
ящик положили только одну вредилку. К какому сорту она могла относиться?
Задача 211. Имеется три печатающих автомата. Первый автомат по карточке с числами a и b
печатает карточку с числами a+1 и b+1. Второй автомат по карточке с чётными числами a и b
печатает карточку с числами a/2 и b/2. Третий автомат по карточкам с числами a и b (первая
карточка) и b и c (вторая карточка) печатает карточку с числами a и c. Все карточки, полученные
ранее, сохраняются. Можно ли из карточки (5, 19) получить карточку (1, 2002)?
Задача 212. В странах Дилии и Далии денежными единицами являются диллеры и даллеры
соответственно, причем в Диллии диллер меняется на 10 даллеров, а в Даллии даллер на 10 диллеров.
Начинающий финансист может свободно проезжать из одной страны в другую и менять свои деньги
в обеих странах. Докажите, что количество даллеров у него никогда не сравняется с количеством
диллеров.
Задача 213. Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью
разменять металлический рубль на 26 монет?
107
Задача 214. На столе лежит куча из 637 ракушек. Из нее убирают одну ракушку и кучу делят на две
(не обязательно поровну). Затем из какой-нибудь кучи, содержащей больше одной ракушки, снова
убирают одну ракушку и снова кучу делят на две. И так далее. Можно ли через несколько ходов
оставить на столе только кучи, состоящие из трех ракушек?
Решение задачи 214. После каждой процедуры (изъятия ракушки и раздвоения кучки) число
ракушек на 1 уменьшится, а число кучек на 1 увеличится. Поскольку, первоначально ракушек было
637, а кучек — одна, то после n процедур ракушек окажется 637−n, а кучек станет n+1. В задаче
требуется, чтобы выполнилось равенство 637−n=3(n+1) или 634=4n, что невозможно, поскольку
правая часть уравнения делится на 4, а левая нет.
Задача 215. Камни лежат в трех кучках: в одной 51 камень, в другой 49 камней, а в третьей 5 камней.
Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из четного количества камней
на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?
Задача 216. Хулиган Вася рвет школьную стенгазету: сначала на четыре части, потом одну из
получившихся частей еще на четыре части, и т.д. Может ли в результате получиться 1994 куска?
Задача 217. Хулиганы Петя и Вася порвали стенгазету, причём Петя рвал каждый кусок на 5 частей,
а Вася на 9. При попытке собрать стенгазету нашли 1998 обрывков. Докажите, что нашли не все
обрывки.
Задача 218. На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и
поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить цвета её бывших соседей. Пусть
первоначально было всего две красные точки (менее двух точек оставлять не разрешается).
Докажите, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух
синих точек.
Решение задачи 218 основано на одном свойстве наших операций. Это свойство является
инвариантным на множестве позиций с чётным числом синих точек (понятно, что чётность числа
синих точек не меняется). Определим для таких расстановок знакопеременную сумму |m1–m2+m3–
m4+...+m2k–1–m2k| длин серий красных точек: m1 — число красных точек, заключённых между первой
и второй синими точками (направление обхода и первая точка выбираются произвольно), m2 — число
красных точек между второй и третьей синими точками, m3 — между третьей и четвёртой, ..., m2k —
между последней (2k-й) и первой синими точками; некоторые mi могут равняться нулю. Если синих
точек в расстановке нет вовсе, то положим эту сумму равной числу красных точек. Делимость на 3
определённой таким образом суммы — инвариант. (Докажите это, рассмотрев случаи, когда соседями
красной точки являются синие точки, красные точки, точки разных цветов.) Но для двух красных
точек наша сумма равна 2 (не делится на 3), а для двух синих точек — равна 0 (делится на 3).
Задача 219. В некотором государстве первоначально было 10 банков. С момента перестройки
общества все захотели быть банкирами. Но по закону открыть банк можно только путем деления уже
существующего банка на 4 новых банка. Через 2 года министр финансов сообщил президенту, что в
стране действует 2001 банк, после чего был немедленно уволен за некомпетентность. Что не
понравилось президенту?
2.6. ДРУГИЕ ИНВАРИАНТЫ.
Сохраняется количество, сумма или разность между суммами.
Задача 220. В алфавите языка УЫУ всего две буквы: У и Ы, причем этот язык обладает такими
свойствами: если из слова выкинуть стоящие рядом буквы УЫ, то смысл слова не изменится. Точно
так же смысл слова не изменится при добавлении в любое место слова буквосочетания ЫУ или
УУЫЫ. Можно ли утверждать, что слова УЫЫ и ЫУУ имеют одинаковый смысл?
Задача 221. Можно ли круг разрезать на несколько частей, из которых сложить квадрат? (Разрезы –
это участки прямых и дуги окружностей.)
Задача 222. Даны три числа 2, 2 и 1/2. За один ход можно вместо любых двух чисел a и b записать
числа (a+b)/2 и (a-b)/2. Можно ли получить тройку чисел 1, 2, 1+2?
Задача 223. В одной вершине куба написано число 1, а в остальных — нули. Можно прибавлять по
единице к числам в концах любого ребра. Можно ли добиться, чтобы все числа делились на 3?
108
Идея решения задачи 223. Раскрасим вершины в белый и чёрный цвета так, чтобы соседние
вершины (соединённые ребром) имели разный цвет. После этого заметим, что сумма чисел в белых
вершинах отличается от суммы чисел в черных вершинах на единицу, так как каждый раз
добавляется по 1 к белой и к черной вершинам.
Задача 224. В вершинах куба записаны числа 2, 0, 0, 3, 1, 9, 5, 7. За один ход разрешается прибавить к
числам, стоящим на концах одного ребра, одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов
получить нули во всех вершинах?
Задача 225. В языке Древнего Племени алфавит состоит всего из двух букв: "М" и "О". Два слова
являются синонимами, если одно из другого можно получить при помощи исключения или
добавления буквосочетаний "МО" и "ООММ", повторяемых в любом порядке и любом количестве.
Являются ли синонимами в языке Древнего Племени слова "ОММ" и "МОО"?
Задача 226. В таблице расположены числа (см. рис. слева). Разрешается прибавлять по 1 или по –1 к
любым двум соседним по стороне числам. Можно ли добиться следующего расположения (см. рис.
справа)?
1 2 3
6 1 2
6 5 4
5 4 3
Задача 227. По кругу стоят натуральные числа от 1 до 6 по порядку. Разрешается к любым трем
подряд идущим числам прибавить по 1 или из любых, стоящих через одно, вычесть 1. Можно ли с
помощью нескольких таких операций сделать все числа равными?
Указание к задаче 227. Рассмотрите суммы диаметрально противоположных чисел.
Задача 228. Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум
его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9; либо, вычтя из соседних
двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из
числа 1234 получить число 2002?
Идея решения задачи 228. Пусть на доске написано число abcd. Тогда рассматриваемые операции не
изменяют число M=(d+b)-(a+c).
Задача 229. Набор чисел a, b, c каждую секунду заменяется на a+b-c, b+c-a, c+a-b. В начале имеется
набор чисел 2000, 2002, 2003. Может ли через некоторое время получиться набор 2001, 2002, 2003.
Идея решения задачи 229. Инвариантом является сумма чисел. Действительно, (a+b-c)+(b+ca)+(c+a-b)=a+b+c.
Задача 230. В двух противоположных вершинах квадрата поставлены единицы, в двух других нули.
За один ход можно прибавить к двум числам, стоящим в соседних вершинах, по любому
одинаковому целому числу. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали равными?
Решение задачи 230. В этой задаче инвариантом будет следующая величина: число в левом
верхнем углу, минус число в правом верхнем углу, плюс число в правом нижнем углу, минус
число в левом нижнем углу. Изначально эта величина равна 2, а в конце должна оказаться
равной 0. (Легко видеть, что когда мы прибавляем к двум соседним числам по единице, мы
прибавляем к нашей величине 1 и вычитаем 1, так что она действительно остается
неизменной.)
Задача 231. Круг разбит на 6 секторов, в которые записаны числа (по часовой стрелке): 0, 1, 0, 1, 0, 0.
За один ход можно два соседних числа увеличить на 1. Можно ли все числа сделать равными?
Сохраняется сумма масс.
Задача 232. Прямой угол разбит на одинаковые клетки. Первоначально фишки стоят как показано на
рисунке. Разрешается убрать с поля фишку и на её место поставить две фишки – одну на клетку
выше, вторую на клетку правее. Можно ли за несколько ходов освободить от фишек те клетки, на
которых они стояли?
109
а) Фишки сначала стояли так, как на рисунке 1
б) Как на рисунке 2
в) Как на рисунке 3
г) Как на рисунке 4
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Сохраняется площадь или периметр.
Задача 233. Пусть a, b, c, d - стороны четырёхугольника в порядке обхода. Докажите, что его
площадь не превосходит а) (ac+bd)/2; б) (a+c)(b+d)/4.
Задача 234. Даны три числа 0, 1, 2. За один ход разрешается к любому из них прибавить разность
двух других, умноженную на любое рациональное число. Можно ли получить такую тройку: 0, 2, 2?
Задача 235. С многоугольником разрешено проделывать следующую операцию. Если многоугольник
делится отрезком AB на на два многоугольника, то один из этих многоугольников можно отразить
симметрично относительно серединного перпендикуляра к отрезку AB. (Операция разрешается
только в том случае, когда в результате получается несамопересекающийся многоугольник.) Можно
ли путем нескольких таким операций получить из квадрата правильный треугольник?
Идея решения задачи 235. При проведении данных операций не изменяются площадь и периметр
многоугольника. Предположим, что нам удалось путем нескольких таких операций получить из
квадрата правильный треугольник. Примем за 1 сторону квадрата. Тогда сначала площадь
многоугольника равнялась 1, а периметр равнялся 4. В полученном правильном треугольнике,
следовательно, периметр также должен равняться 4 (т. е. сторона треугольника должна равняться
4/3), а площадь - 1. Однако, площадь правильного треугольника со стороной 4/3 не равна 1.
Противоречие.
Разные инварианты.
Задача 236. Дана таблица 3 х 3, изображенная на рисунке 1. Разрешается выбрать любой столбец или
любую строку и умножить все числа, стоящие в этом столбце (этой строке) на любое число (не
обязательно целое). Можно ли несколькими такими операциями получить таблицу на рисунке 2?
1 2 3
1 4 7
4 5 6
2 5 8
7 8 9
3 6 9
Рис. 1
Рис. 2
Задача 237. Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно
треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге
выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько
шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они
быть тупоугольными?
Указание к задаче 237. Докажите по индукции, что после любого числа разрезаний найдётся часть с
по крайней мере тремя не тупыми углами.
Задача 238. Имеется два трёхлитровых сосуда. В одном 1 л воды, в другом - 1 л двухпроцентного
раствора поваренной соли. Разрешается переливать любую часть жидкости из одного сосуда в
другой, после чего перемешивать. Можно ли за несколько таких переливаний получить
полуторапроцентный раствор в том сосуде, в котором вначале была вода?
Указание к задаче 238. Нет. Достаточно доказать, что при любых переливаниях концентрация соли в
первом сосуде не больше 1 процента, а во втором не меньше 1 процента.
Задача 239. На доске выписаны числа 1, 2, …, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и
заменить их на числоab+a+b. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?
110
Задача 240. На доске выписаны числа 1, 1/2, 1/3, ..., 1/100. Выбираем из написанных на доске два
произвольных числа a и b, стираем их и пишем на доску число a+b+ab. Такую операцию проделываем
99 раз, пока не останется одно число. Какое это число? Найдите его и докажите, что оно не зависит от
последовательности выбора чисел.
Задача 241. В таблице разрешается переставлять местами любые две строки и любые два столбца.
Можно ли из левой таблицы в результате нескольких таких преобразований получить правую
таблицу?
1
2
3
4
2
5
7
8
5
6
7
8
6
1
3
4
9
10
11
12
10
9
11
12
Идея решения задачи 241. При любых разрешённых действиях состав строк не изменится. Но числа
1 и 2 были в одной строке, а попали в разные.
Задача 242. От пирога, имеющего форму выпуклого многоугольника, разрешается отрезать
треугольный кусок ABC, где A - некоторая вершина, а B и C - точки, лежащие строго внутри сторон,
имеющих вершину A. Вначале пирог имеет форму квадрата. В центре этого квадрата расположена
изюминка. Докажите, что ни на каком шаге от пирога нельзя отрезать кусок, содержащий изюминку.
Решение задачи 242. Операция отрезания устроена таким образом, что после отрезания две стороны
многоугольника укорачиваются, а также появляется новая сторона. Таким образом, никакая сторона
не отрезается полностью. Значит, после любого числа отрезаний кусок пирога всегда имеет четыре
стороны, принадлежащие сторонам исходного квадратного пирога. Пусть некоторая прямая l на
некотором шаге отрезала кусок, содержащий изюминку - центр квадрата. Тогда, как нетрудно видеть,
в отрезанной части окажется целиком одна из сторон исходного квадрата. Мы получили
противоречие, которое показывает, что отрезать кусок с изюминкой невозможно.
2.7. ПОЛУИНВАРИАНТ.
Полуинвариант в геометрии, таблицах, графах.
Идея. Рассмотрите сумму длин отрезков.
Задача 243. На плоскости покрашено 200 точек: 100 в красный цвет и 100 в синий. Известно, что
никакие три точки не лежат на одной прямой. Точки разбили на 100 пар красная - синяя и соединили
точки одной пары отрезком. Некоторые отрезки, возможно, пересекаются. Разрешается взять два
пересекающихся отрезка и устранить пересечение: вместо двух имеющихся отрезков провести два
других отрезка, соединяющих красные точки с синими. Докажите, что за несколько шагов можно
устранить все пересечения.
Решение задачи 243. Сумма длин всех отрезков может принимать лишь конечное число значений
(отрезков 100·100=10000, каждый отрезок может быть проведён или не проведён). Легко доказать,
что после устранения пересечения сумма длин отрезков уменьшится. Рассмотрим ситуацию, в
которой сумму длин отрезков нельзя уменьшить. В этой ситуации пересекающихся отрезков не
осталось (иначе, устранив пересечение, мы уменьшили бы сумму длин отрезков).
Задача 244. Докажите, что любые 2n точек на плоскости являются концами n непересекающихся
отрезков.
Задача 245. На плоскости даны 100 точек и 100 прямых общего положения (никакие три точки не
лежат на одной прямой, никакие две прямые не параллельны и никакие три прямые не пересекаются
в одной точке). Из каждой точки на одну из прямых опустили перпендикуляр, и на каждую прямую
оказался опущен один перпендикуляр. Некоторые из построенных перпендикуляров, возможно,
пересекаются. Разрешается взять два перпендикуляра (из точки A на прямую a и из точки B на
прямую b) и заменить их на два других перпендикуляра: из точки A на прямую b и из точки B на
прямую a. Докажите, что за несколько таких действий можно устранить все пересечения
перпендикуляров.
Идея. Рассмотрите сумму или произведение всех чисел в таблице.
Задача 246. В таблице 10 х 20 расставлены числа. Разрешается изменить на противоположные все
числа какой-нибудь строки или какого-нибудь столбца. Докажите, что за несколько таких действий
можно добиться того, чтобы сумма чисел во всех строках и столбцах таблицы была неотрицательна.
111
Задача 247. В клетках таблицы 10 х 10 расставлены положительные числа. За один ход разрешается
все числа любой строки или любого столбца возводить в степень –1. Можно ли добиться того, чтобы
произведения чисел в каждой строке и в каждом столбце были больше 1?
Указание к задаче 247. Полуинвариант – произведение всех чисел.
Идея. Рассмотрите число пар разноцветных соседей.
Задача 248. В тридевятом царстве несколько городов, и некоторые из них соединены дорогами. Из
каждого города выходит нечетное число дорог. В каждом городе есть ратуша, а на ратуше – один из
двух флагов. Каждое утро в одном из городов происходит революция: жители поднимают на ратуше
вместо старого флага тот, который поднят на большинстве ратуш тех городов, с которыми этот город
соединен дорогами. Назовём революцию бессмысленной, если флаги до и после революции
совпадают. Докажите, что начиная с некоторого момента все революции станут бессмысленными.
Указание к задаче 248. Уменьшается количество пар соседних городов с разными флагами.
Задача 249. Среди депутатов Думы у каждого ровно три врага. Докажите, что их можно разбить на
две палаты так, чтобы у каждого депутата было не более одного врага в его палате.
Задача 250. В каждой из n стран правит либо партия правых, либо партия левых. Каждый год в одной
из стран A может поменяться власть. Это может произойти в том случае, если в большинстве
граничащих со страной А стран правит не та партия, которая правит в стране А. Докажите, что смены
правительств не могут продолжаться бесконечно.
Задача 251. За круглым столом сидят 2008 рыцарей. Известно, что у каждого не более 1003 врагов из
числа сидящих за этим столом (вражда у рыцарей взаимная). Докажите, что Мерлин, советник короля
Артура, может пересадить некоторых рыцарей так, чтобы ни один рыцарь не сидел рядом со своим
врагом.
Полуинвариант в числовых задачах.
Идея. Положительное число уменьшается по крайней мере на 1.
Задача 252. Фирма "Id Software" плодит монстров. Каждый день монстры мутируют. Если сегодня
монстр имеет m ручек и n ножек, то назавтра он будет иметь 2m-n ручек и 2n-m ножек. Монстр
погибает, когда число ручек или ножек становится отрицательным. При каком начальном количестве
ручек и ножек монстр сможет жить вечно?
Задача 253. По окружности выписаны n натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними
числами вписывается их наибольший общий делитель. После этого прежние числа стирают, а с
оставшимися проделывают ту же операцию. Докажите, что через несколько шагов все числа на
окружности будут равны.
Указание к задаче 253. Ясно, что все числа, записанные на окружности, делятся на n = НОД всех
первоначально выписанных чисел. Рассмотрим некоторое простое p, которое входит в разложение n в
некоторой степени (быть может, в нулевой). Количество чисел, в которые p входит в большей
степени, каждый раз уменьшается по крайней мере на 1.
Идея. Количество наибольших или наименьших чисел уменьшается.
Задача 254. На каждой грани куба написано число, причем не все эти числа одинаковы. Каждое из
написанных чисел заменяется на среднее арифметическое чисел, написанных на четырех соседних
гранях. Могут ли через несколько таких операций на всех гранях оказаться исходные числа?
Указание к задаче 254. Уменьшается количество наибольших чисел.
Задача 255. На доске написаны несколько натуральных чисел. Каждую минуту выбирают какие-то
два из них (x и y) и заменяют их на числа x-2 и y+1. Докажите, что рано или поздно на доске появится
отрицательное число.
Задача 256. Несколько ребят стоят в круг. У каждого есть некоторое количество конфет. Сначала у
каждого чётное количество конфет. По команде каждый передает половину своих конфет стоящему
справа. Если после этого у кого-нибудь оказалось нечётное количество конфет, то ему извне
добавляется одна конфета. Это повторяется много раз. Докажите, что настанет время, когда у всех
будет поровну конфет.
Идея решения задачи 256. Пусть 2m - наибольшее, а 2n - наименьшее количество конфет у одного
человека. После одного круга обмена и, возможно, добавления конфет извне, m не увеличится, а
количество людей, имеющих 2n конфет, уменьшится. Поэтому n будет увеличиваться и наступит
момент, когда m станет равным n.
Идея. Натуральное число много раз делится на 2 и рано или поздно станет меньше 1.
112
Задача 257. На доске написано 2 различных натуральных числа, не превосходящих 2008. Каждую
минуту одно из чисел заменяется на их среднее арифметическое. Какое наибольшее время все числа
могли оставаться целыми?
Указание к задаче 257. Разность между числами уменьшается в 2 раза. Ответ: 10 минут.
Идея. Полуинвариант - сумма произведений соседних чисел.
Задача 258. По окружности расставлены n чисел. Если подряд стоят числа a, b, c и d и при этом (ad)(b-c)>0, то числа b и c разрешается поменять местами. Докажите, что через несколько шагов нам не
удается произвести ни одной такой перестановки.
Идея. Полуинвариант – сумма попарных разностей.
Задача 259. По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество комнат,
занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В комнатах живут 9
пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов), кроме того, в каждой комнате
находится по роялю. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах (k-той и
(k+1)-ой), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k-1)-ую
и (k+2)-ую комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся
(пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают).
Решение задачи 259. Интуитивно утверждение задачи довольно понятно: с каждым переселением
распределение пианистов становится все более «разреженным», но когда оно станет совсем
«разреженным», переселения должны прекратиться, потому что пианистов в соседних комнатах не
останется.
Обозначим через s(t) сумму всех попарных расстояний между пианистами в t-й день (под
«расстоянием» между пианистами, живущими в k-й и m-й комнатах, понимается модуль разности
номеров комнат |m–k|). Легко видеть, что с каждым переселением величина s(t) растёт.
Действительно, расстояние между любыми двумя переселяющимися пианистами A и B в результате
переселения увеличивается на 2, на столько же увеличивается сумма расстояний от A и B до любого
пианиста C, жившего вместе с одним из них, а для всякого другого пианиста D сумма расстояний до
A и B не меняется. Таким образом, s(t+1)≥s(t)+2. (*)
Докажем теперь, что существуют такие два номера m и M, m<M, что пианисты всегда будут
оставаться в комнатах с номерами от m до M. Для этого заметим, что если в какой-то день хотя бы
одна из трёх соседних комнат (с номерами k–1, k и k+1) заселена, то и в дальнейшем хотя бы одна из
них всегда будет заселена. (В самом деле, покинуть эти комнаты можно, лишь переселяясь из (k+1)-й
в (k+2)-ю или из (k–1)-й в (k–2)-ю, но и то, и другое возможно, только если и в k-й комнате жил
пианист, переселившийся соответственно в (k–1)-ю или (k+1)-ю комнату.) Следовательно, пианист из
k-й комнаты не может попасть в комнату с номером, большим k+3N–1, где N — число пианистов
(после такого переселения в каждой из N+1 троек комнат с номерами (k, k+1, k+2), (k+3, k+4, k+5) ...,
(k+3N, k+3N+1, k+3N+2) должны были бы остаться пианисты); по той же причине невозможно
переселиться из k-й комнаты дальше, чем в (k–3N+1)-ю. Итак, пианисты всегда будут оставаться в
комнатах с номерами от a–3N+1 до b+3N–1, где a<b — номера крайних комнат, первоначально
занятых пианистами. Отсюда вытекает, что сумма s(t) попарных расстояний между пианистами не
может неограниченно возрастать, а в силу (*) получаем, что переселения через конечное число дней
прекратятся.
Идеи, близкие идее полуинварианта.
Идея. Последовательное использование нескольких полуинвариантов.
Задача 260. Имеется доска 100 х 100 клеток, на одной из них стоит фишка. У игрока имеется 100
долларов. За один ход игрок может совершить любое из трёх действий:
1) сдвинуть фишку на клетку левее, если фишка не находится на левом краю доски;
2) заплатив 1 доллар, сдвинуть фишку на любое число клеток вправо;
3) сдвинуть фишку вниз, получив любое целое число долларов.
Докажите, что рано или поздно игрок не сможет сделать ход.
Задача 261. Круг разбит на n секторов, в некоторых секторах стоят фишки - всего фишек n+1. Затем
позиция подвергается преобразованиям. Один шаг преобразования состоит в следующем: берутся
какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в соседние секторы: одна
фишка по часовой стрелке, другая против часовой стрелки. Докажите, что через некоторое число
шагов не менее половины секторов будет занято.
113
Решение задачи 261. Докажем более сильное утверждение: начиная с некоторого момента, не менее
половины секторов будет занято. Отметим, что поскольку фишек больше чем секторов, то в любой
момент в каком-то секторе будут находиться не менее двух фишек. Значит, движение может
продолжаться бесконечно долго, независимо от того, каким образом позиция преобразуется.
Докажем, что каждый из секторов в какой-то момент окажется непустым. Предположим противное.
Пусть движение происходит так, что один из секторов всё время остаётся пустым. Это значит, что
движение фишек никогда не исходит из двух соседних с ним секторов. Поэтому количество фишек в
этих двух секторах не может уменьшаться. Так как общее количество фишек конечно, то, начиная с
какого-то момента, фишки в эти сектора поступать не будут. А это значит, что с этого момента
никакого движения не будет исходить из двух следующих, соседних с ними секторов. Продолжая
подобные рассуждения, приходим к выводу, что в некоторый момент движение должно вообще
прекратиться. Полученное противоречие показывает, что предположение было ложным, значит,
каждый сектор в какой-то момент окажется непустым. После этого всегда либо этот сектор, либо его
сосед (по часовой стрелке) будет непустым. Действительно, всякий раз, когда освобождается один из
двух соседних секторов, второй заполняется.
Дождёмся момента, когда все секторы побывают заполненными. Тогда любому пустому сектору
можно поставить в соответствие непустой — следующий за ним по часовой стрелке. При таком
соответствии непустой сектор может соответствовать не более чем одному пустому. Поэтому пустых
секторов будет не больше чем непустых. Значит, занятыми будут не менее половины секторов.
Задача 262. В библиотеке на полке в произвольном порядке расставлены N томов Британской
энциклопедии. Робот-библиотекарь каждую минуту делает следующее: берет произвольный том, не
стоящий на своем месте, и ставит его на место (т.е. если номер тома k, то он ставит его k-ым по
счету). Докажите, что через некоторое время все тома будут стоять на своих местах.
Идея. Величина увеличивается, поэтому она не станет меньше, чем была вначале.
Задача 263. Квадратное картофельное поле разбито на 64 одинаковых квадратных участка, на 7 из
которых живут колорадские жуки. Известно, что жуки за год распространяются на те и только те
участки, у которых не менее двух соседних (т. е. имеющих общую сторону) участков уже заняты
жуками. Докажите, что поле никогда не будет захвачено жуками полностью.
Задача 264. В стране несколько городов, попарные расстояния между которыми различны.
Путешественник отправился из города А в самый удаленный от него город B, оттуда - в самый
удаленный от него город C и т.д. Докажите, что если С не совпадает с А, то путешественник никогда
не вернется в А.
Идея. Если одна из двух величин растёт быстрее, она обгонит другую величину.
Задача 265. Даны четыре попарно различных положительных числа a, b, c и d. Каждую минуту эти
числа одновременно заменяются на 2a+2b+2c–3d, 2a+2c+2d–3b, 2a+2b+2d–3c, и 2b+2c+2d–3a.
Докажите, что через несколько минут на доске появится отрицательное число.
Указание к задаче 265. Сумма чисел увеличивается втрое, а все разности – впятеро. Рано
или поздно максимальная разность будет больше, чем сумма чисел.
2.8. ЦИКЛИЧНОСТЬ.
Несколько утверждений.
1. Если в бесконечной последовательности каждый элемент может быть выбран конечным числом
способов, то в последовательности найдутся равные элементы.
2. Если в бесконечной последовательности каждый элемент может быть выбран конечным числом
способов, а следующий элемент можно однозначно найти по предыдущему, то, начиная с некоторого
места, последовательность периодична. (Начальный неповторяющийся её участок называют
предпериодом, количество элементов в нём – длиной предпериода, а количество элементов в
повторяющемся участке (периоде) – длиной периода.) Среди периодов существует наименьший.
Длины остальных периодов кратны длине наименьшего периода.
3. Если в бесконечной последовательности каждый элемент может быть выбран конечным числом
способов, а предыдущий и следующий элементы можно однозначно найти по данному элементу, то в
последовательности предпериод отсутствует. (Последовательность, в которой есть период, но нет
114
предпериода, называется чисто периодической, в отличие от смешанно периодической, в которой
присутствует предпериод.)
Вычисление элементов последовательности.
Задача 266. В ряд записаны 2005 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме
первого и последнего, равно сумме двух соседних. Найдите последнее число.
Идея решения задачи 266. Числа периодически повторяются: 1 x x-1 -1 -x 1-x 1 … Длина
наименьшего периода равна 6. Так как 2005=6·334+1, то последнее число равно 1.
Задача 267. В строку записано 100 чисел. Известно, что двадцать первое (слева) число равно 2, а
сороковое (слева) число равно 1/3. Каждое число (кроме первого и последнего) равно произведению
своих соседей. Найти первое число.
Идея решения задачи 267. a, b, b/a, 1/a, 1/b, a/b, … Числа повторяются через шесть. b/a=2, 1/a=1/3.
a=3, b=6. Ответ: 3.
Задача 268. Последовательность чисел строится по следующему закону: на первом месте стоит число
7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1, то есть на втором месте
стоит 14, так как 72=49, 4+9=13, 13+1=14, на третьем месте стоит 17 и т. д. Какое число стоит на 1976
месте?
Идея решения задачи 268. Выпишем несколько первых чисел: 7, 14, 17, 20, 5, 8, 11, 5, … Начиная с
пятого числа последовательность периодична с периодом 3.
Задача 269. На экране компьютера горит число, которое каждую минуту увеличивается на 102.
Начальное значение числа 123. Программист Федя имеет возможность в любой момент изменять
порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число никогда не
стало четырёхзначным?
Задачи на доказательство наличия периода.
Идея. Для того, чтобы доказать, что в процессе изменения состояния рано или поздно появится
исходное состояние, докажем, что последовательность состояний периодическая, а исходное
состояние входит в период.
Задача 270. Докажите, что в последовательности Фибоначчи найдётся число, которое делится на
2008.
Указание к задаче 270. Рассмотрите пары соседних чисел последовательности Фибоначчи и их
остатки при делении на 2008. Разных пар остатков конечное число. Продолжите последовательность
Фибоначчи влево. Докажите, что последовательность пар остатков чисто периодическая.
Задача 271. С помощью некоторой последовательности поворотов кубик Рубика был выведен из
первоначального собранного состояния. Докажите, что кубик можно собрать, повторив эту
последовательность несколько раз.
Задача 272. В некоторой стране города соединены дорогами, каждый ровно с тремя другими
городами. Дороги не пересекаются. Странствующий рыцарь выехал из своего города по одной из
дорог. Оказавшись в новом городе, рыцарь едет дальше по одной из двух оставшихся дорог: в первом
городе поворачивает направо, во втором налево, дальше опять направо и т. д. по очереди. Докажите,
что рано или поздно он вернётся в свой город.
Задача 273. На Сириусе три вида погоды: магнитная буря, метеоритный дождь и штиль. В течение
дня погода не меняется. Известно, что погода в каждый день определяется последней неделей. Всю
неделю с 1 по 7 апреля там шёл метеоритный дождь. Докажите, что дождливые недели всегда были и
всегда будут.
Задача 274. В государстве 17 городов. Западная улица каждого города называется в честь одного из
оставшихся городов. Армия неприятеля начинает захват этого государства с одного из городов и
действует по принципу, изложенному в известной песне: сегодня захватывается город, в честь
которого названа западная улица города, взятого вчера. В некоторый момент командующему армией
стало известно, что город, который они только что захватили, уже был захвачен ими 17 дней назад.
Докажите, что к этому моменту все города уже захвачены.
Задача 275. На обруче 10 одинаковых занумерованных шаров. Часть из них движется по часовой
стрелке, часть против часовой стрелки с одинаковыми по модулю скоростями. После столкновения
шары с теми же скоростями летят в противоположные стороны. Докажите, что любое расположение
шаров рано или поздно повторится.
115
Указание к задаче 275. Телепорт. Пусть все пройдут круг. Шары будут на тех же местах. Но с,
возможно, другими номерами, и другими направлениями скоростей. Пусть все пройдут ещё круг и
т.д. Конфигураций (перестановки + направления движения) конечное число. Дальше – цикличность.
2.9. ПОЭТАПНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ПРИМЕРА.
Задачи следующих трёх типов:
1) задачи, в которых требуется построить пример или контрпример (в том числе задачи на поэтапное
построение примера или контрпримера),
2) задачи на пример плюс оценку,
3) задачи, в которых спрашивается, можно ли что-нибудь сделать и ответ можно,
будут представлены в тематических параграфах 3-6, посвященных соответствующим разделам
математики.
2.10. ОБРАТНЫЙ ХОД.
Рассмотрение ситуаций в обратном порядке (начиная с последней).
Задача 276. На озере расцвела одна лилия. Каждый день число цветков удваивалось, и на 20-й день
все озеро покрылось цветами. На который день покрылась цветами половина озера?
Решение задачи 276. Каждый день цветков становилось вдвое больше, и оказывалась покрытой
вдвое большая площадь озера. На 20-й день всё озеро покрылось цветами. А на 19-й? Половина озера.
То, что нам нужно! Итак, половина озера покрылась цветами на 19-й день.
Задача 277. В корзине к новому году лежали апельсины. Сначала из нее взяли половину апельсинов
без пяти апельсинов, затем треть оставшихся апельсинов и еще четыре апельсина, после чего
осталось 12 апельсинов. Сколько апельсинов было в корзине изначально?
Задача 278. Однажды царь наградил крестьянина яблоком из своего сада. Пришел крестьянин и
видит: сад огорожен тремя заборами, и в каждом заборе ворота. Подошел крестьянин к первому
сторожу и показал царский указ, а сторож ему в ответ: «Иди возьми, но при выходе отдашь мне
половину тех яблок, что несешь, и еще одно.» То же сказали ему второй и третий сторож. Сколько
яблок должен взять крестьянин, чтобы после расплаты со сторожами у него осталось одно яблоко?
Решение задачи 278. Сколько яблок должно быть, чтобы после расплаты с третьим сторожем их
оставалось 1? (1+1)·2=4 яблока. Они должны остаться после того, как крестьянин расплатится со
вторым сторожем. Поэтому после того, как он прошел через первые ворота, яблок было (4+1)·2=10. А
сначала их было (10+1)·2=22.
Задача 279. В двух пачках всего 30 тетрадей. Если бы из первой пачки переложили во вторую 2
тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было в
каждой пачке?
Задача 280. Колхозница принесла на базар для продажи корзину яблок. Первому покупателю она
продала половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму – половину остатка и еще пол-яблока
и так далее. Последнему – шестому покупателю – она также продала половину оставшихся яблок и
еще пол-яблока, причем оказалось, что она продала все свои яблоки. Сколько яблок принесла для
продажи колхозница?
Задача 281. Мать положила на стол сливы и сказала своим трем сыновьям, чтобы они, вернувшись из
школы, разделили их поровну. Первым пришел Миша, он взял треть слив и ушел. Потом вернулся из
школы Петя, взял треть от лежавших на столе слив и ушел. Затем пришел Коля и тоже взял треть от
числа слив, которые он увидел. Сколько слив оставила мать, если Коля взял 4 сливы?
Задача 282. Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4,
отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алеша?
Задача 283. По кругу расставлено 9 чисел – 4 единицы и 5 нулей. Каждую секунду над числами
проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и
единицу, если они равны; после этого старые числа стирают. Могут ли через некоторое время все
числа стать одинаковыми?
Указание к задаче 283. Рассмотрите самый последний момент, когда не все числа одинаковые.
Задачи с ветвлением.
116
Иногда требуется получить из одной ситуации другую, совершая действия нескольких типов. Если
получить требуемое нельзя, как правило, достаточно рассмотреть с конца несколько последних
действий и убедиться, что список ситуаций, из которых получается конечная, очень мал и в него не
входит начальная ситуация. А что делать, если ответ в задаче можно?
Идея. Действуя с конца в обратном порядке, полезно каждый раз выбирать самую простую для
изучения ситуацию.
Задача 284. С натуральным числом разрешается производить такие операции: 1) приписывать в
конце цифру 4; 2) делить число на 2, если оно четно. Можно ли из числа 4 при помощи таких
операций получить число 19724?
Решение задачи 4. Начиная с числа 19724, мы будем выписывать числа в обратном порядке: стирать
цифру 4 или (если на конце очередного числа не 4) умножать число на 2. Когда можно выполнить оба
действия (стереть цифру и умножить на 2), мы выбираем стирание цифры, ведь после такого
действия число будет меньше! Получим 19724, 1972, 3944, 394, 39, 78, 156, 312, 624, 62, 124, 12, 24, 2,
4. Таким образом, получить из числа 4 число 19724 с помощью указанных операций можно,
например, так: 4, 2, 24, 12, 124, 62, 624, 312, 156, 78, 39, 394, 3944, 1972, 19724.
Задача 285. Натуральное число n разрешается заменить на число ab, если а+b=n и числа а и b
натуральные. Можно ли с помощью таких замен получить из числа 22 число 2001?
Задача 286. Имеется карточка с числом 1 и два печатающих автомата. Первый автомат по карточке с
числом n печатает карточку с числом 2n (т. е. умножает число на 2). Второй автомат по карточке с
числом n печатает число (n-1)/3, если оно целое (т. е. вычитает из числа 1, а результат делит на 3).
Можно ли, используя эти автоматы, за несколько действий получить карточку с числом 100?
2.11. ДИСКРЕТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ.
Идеи. 1. Пусть целая величина изменяется на 1 (иногда увеличивается, иногда уменьшается), и
сначала она была равна одного знака, а в конце другого. Тогда в какой-то момент она была равна 0.
2. Пусть целая величина изменяется на 1 (иногда увеличивается, иногда уменьшается), и сначала она
была равна n, а в конце равна k (kn). Тогда она принимает и все промежуточные целые значения, т.
е. для любого целого числа m между n и k существовал момент, когда величина принимала значение
m.
Задача 287. В клетке a1 шахматной доски находится белая пешка, а в клетке h8 - черная. Белая пешка
может ходить только вверх или вправо, а черная - только вниз или влево. Нельзя ходить на клетку,
занятую другой пешкой. Ходят пешки не обязательно по очереди. Известно, что через некоторое
время пешки поменялись местами. Докажите, что в процессе перемещения пешек был момент, когда
прямая, соединяющая центры клеток, на которых стояли пешки, была перпендикулярна прямой,
соединяющей центры клеток a1 и h8.
Указание к задаче 287. Проведем диагонали перпендикулярно a1-h8 и занумеруем их. Ясно, что
пешка может за один ход изменить номер диагонали не более, чем на 1. Сначала номер диагонали
был больше у одной пешки, а в конце у другой.
Задача 288. В вершинах правильного стоугольника произвольным образом расставлены числа от 1 до
100. Разрешается поменять местами два числа, отличающиеся на 1. В результате нескольких таких
действий каждое число передвинулось в соседнюю вершину по часовой стрелке. Докажите, что в
какой-то момент менялись местами два числа, находившиеся в диаметрально противоположных
вершинах.
Идея решения задачи 288. От противного. Пусть A и B – противоположные вершины, и в начальной
расстановке число в A было больше числа в B. Тогда в любой момент число в A было больше числа в
B (каждый раз может измениться только одно из чисел не более, чем на 1, и оно не “перескочит”
через другое). Но в конце в A и B стоят числа, которые в начале стояли в A’ и B’ – соседях против
часовой стрелки. Значит, в начале число в A’ было больше числа в B’. Применим это много раз,
дойдём до B и A и окажется, что число в B больше числа в A. Противоречие.
Задача 289. В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что среди некоторых десяти
подряд стоящих сапог левых и правых поровну.
Задача 290. На плоскости дано 100 точек. Докажите, что есть прямая, по обе стороны от которой
лежит по 50 точек данного набора.
Решение задачи 290. Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через пары точек нашего 100элементного множества. Проведём любую прямую, не параллельную ни одной из них, и такую, что
все 100 точек лежат по одну сторону от неё. Начнём параллельно самой себе двигать её к этим точкам
117
и следить за тем, как изменяется количество точек за прямой. Точки в другую полуплоскость
переходят по одной. В какой-то момент их будет по 50 с каждой стороны.
Задача 291. Прапорщик построил солдат в ряд. По команде прапорщика "нале-во" часть солдат
повернулась налево, а часть направо. Докажите, что теоретически прапорщик сможет встать между
солдатами таким образом, что количество солдат, которые на него смотрят справа, будет равно
количеству солдат, которые на него смотрят слева.
Решение задачи 291. Рассмотрим величину - разность числа солдат, которые смотрят на прапорщика
справа и слева. Если прапорщик встанет левее самого левого солдата, то слева на него никто не
смотрит. Если справа тоже никто не смотрит, то прапорщик нашел свое место. Если справа смотрят,
то наша разность положительна. Потом прапорщик встанет правее самого правого солдата, справа на
него никто не смотрит. Если слева не смотрят, то он на месте. Иначе наша разность отрицательна.
Дальше прапорщик начинает продвигаться, проходя каждый раз через одного солдата. Если солдат
смотрит на прапорщика, то после того, как прапорщик его прошел, наша разность увеличилась на 1
(на 1 уменьшилось количество солдат, которые смотрят слева). Изначально разность отрицательна,
чтобы она стала положительной, она должна пройти через ноль. В этот момент на прапорщика слева
будет смотреть столько же солдат, сколько и справа.
Задача 292. В ряд выложено 100 чёрных и 100 красных шаров, причём самый левый и самый правый
шары - чёрные. Докажите, что можно выбрать слева подряд несколько шаров (но не все!) так, что
среди них количество красных шаров равно количеству чёрных.
Задача 293. В клетках доски 8x8 расставлены числа +1 и -1, причём так, что сумма всех чисел равна
нулю. Докажите, что доску можно разрезать на два куска так, что сумма чисел в каждом из кусков
равна нулю.
Задача 294. Грани 8 кубиков 1 х 1 х 1 окрашены в чёрный и белый цвета так, что в каждом чёрных и
белых граней по три. Докажите, что из этих кубиков можно сложить куб 2 х 2 х 2, на поверхности
которого чёрных и белых квадратиков поровну.
Задача 295. Матч «Зенит» - «Молот» закончился со счётом 8:5 в пользу «Зенита». Докажите, что в
матче был такой момент, когда «Зениту» осталось забить столько мячей, сколько «Молот» уже забил
к тому времени.
Задача 296. Натуральное число a меньше натурального числа b, причём сумма цифр числа a на 100
меньше суммы цифр числа b. Докажите, что между числами a и b есть число, сумма цифр которого на
43 больше суммы цифр а.
Задача 297. В некоторых клетках квадрата 50 х 50 стоят числа +1 и -1, причём сумма всех чисел не
больше 100 и не меньше - 100. Докажите, что есть квадрат 25 х 25, сумма чисел в котором не больше
25 и не меньше - 25.
Задача 298. На бесконечной в обе стороны клетчатой полоске ширины 1 зачеркнуто 1998 клеток.
Докажите, что из полоски можно вырезать несколько кусков так, чтобы на каждом из них было
поровну зачеркнутых и незачеркнутых клеток и все зачеркнутые клетки попали бы в вырезанные
куски.
2.12. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ.
Доказательство тождеств.
Задача 299. Докажите тождество: 1+3+5+...+(2n-1)=n2.
(Здесь и далее до конца п. 2.12 «Математическая индукция» n – натуральное число.)
Решение задачи 299. 1. База индукции (n=1).
В левой части n слагаемых, в данном случае одно слагаемое. Оно равно 1. В правой части 12. 1=12.
2. Предположение индукции. Пусть при некотором n, равном k, тождество верно: 1+3+5+...+(2k1)=k2.
3. Докажем тождество для n=k+1. Надо доказать 1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=(k+1)2.
Для доказательства заменим первые k слагаемых левой части на k2 по предположению индукции.
1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=k2+(2(k+1)-1)=k2+2k+1=(k+1)2.
Получили правую часть тождества. Т. е. оно верно и при n=k+1.
4. Вывод: тождество верно при всех натуральных n (так как мы доказали, что тождество верно при
n=1 и из того, что оно верно при каком-то n, следует, что оно верно и при n на единицу большем).
Задача 300. Докажите тождество: 12+22+...+n2=n(n+1)(2n+1)/6.
Задача 301. Докажите тождество: 13+23+...+n3=(1+2+...+n)2.
Задача 302. Докажите тождество: 1.2.3+2.3.4+...+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4.
118
Задача 303. Докажите тождество: 1.1!+2.2!+...+n.n!=(n+1)!-1.
Задача 304. Докажите тождество: 12+32+...+(2n-1)2=n(2n-1)(2n+1)/3.
Теорема. Если в последовательности a1, a2, ..., an общий член ak равен f(k), где f – многочлен, не
равный тождественно 0, то сумма a1+a2+...+an равна g(n), где g – многочлен, степень которого на 1
больше степени f.
Задача 305. Найдите сумму 12+32+...+(2n-1)2.
Решение задачи 305. По теореме степень многочлена в правой части равна 3 (так как степень (2k-1)2
равна 2). Тогда 12+32+...+(2n-1)2=An3+Bn2+Cn+D, где A, B, C, D – неизвестные нам числа, которые мы
сейчас найдём. Числа должны быть такими, чтобы можно было доказать тождество, которое
получится после их подстановки в 12+32+...+(2n-1)2=An3+Bn2+Cn+D вместо A, B, C, D.
1. Для того, чтобы можно было доказать базу индукции, необходимо 12=A.13+B.12+C.1+D, т. е.
A+B+C+D=1.
2. Доказывая шаг индукции, мы предполагаем, что 12+32+...+(2k-1)2=Ak3+Bk2+Ck+D, и выводим из
этого, что 12+32+...+(2k-1)2+(2k+1)2=A(k+1)3+B(k+1)2+C(k+1)+D, заменяя первые k слагаемых по
предположению
индукции.
Итак,
должно
выполняться
тождество
3
2
2
3
2
Ak +Bk +Ck+D+(2k+1) =A(k+1) +B(k+1) +C(k+1)+D.
3. Это тождество верно, если слева и справа записан один и тот же многочлен, т. е. слева и справа
одинаковые
коэффициенты
при
3,
2,
1
и
0
степенях.
Ak3+(B+4)k2+(C+4)k+(D+1)=Ak3+(3A+B)k2+(3A+2B+C)k+(A+B+C+D).
A=A,
B+4=3A+B,
C+4=3A+2B+C, D+1=A+B+C+D.
4. Вместе с условием A+B+C+D=1 из первого пункта эта система имеет решение A=4/3, B=0, C=-1/3,
D=0. Т. е. 12+32+...+(2n-1)2=(4/3)n3+(-1/3)n=n(4n2-1)/3=n(2n-1)(2n+1)/3. Сравните с условием
предыдущей задачи.
Задача 306. Докажите тождество: 1+2+3+...+n=(n2+n)/2.
Задача 307. Докажите тождество: 0+1+2+...+(n-1)=(n2-n)/2.
Задача 308. Докажите тождество: 4+16+36+...+(2n)2=(4n3+6n2+2n)/3.
Задача 309. Докажите тождество: 13+33+53+...+(2n-1)3+1+3+5+...+(2n-1)=2n4.
Задача 310. Докажите тождество: 2(1+2+3+...+n)4=(15+25+35+...+n5)+(17+27+37+...+n7).
Доказательство неравенств.
Задача 311. Докажите неравенство: 2n>n.
Задача 312. Найдите все натуральные n, для которых 2n не больше, чем n2.
Задача 313. Докажите неравенство для натуральных n: (1+x)n1+nx при любом x>-1.
Задача 314. Докажите неравенство 2m+n-2mn, где m и n — натуральные числа.
Задача 315. Для каких n выполняются неравенства: а) n!>2n; б) 2n>n2?
Задачи на делимость, решаемые методом математической индукции.
Задача 316. Докажите, что число, составленное из 3n одинаковых цифр, делится на 3n.
Задача 317. Докажите, что для любого натурального n 10n+18n-1 делится на 27.
Задача 318. Докажите, что для любого натурального n n3+5n делится на 6.
Задача 319. Докажите, что для любого натурального n 62n+1+1 делится на 7.
Задача 320. Докажите, что число Nk=(2k)!/k! делится на 2k и не делится на 2k+1.
Задача 321. Докажите, что для любого натурального n 11n+2+122n+1 делится на 133.
Задача 322. Докажите, что для любого натурального n 25n+3+5n.3n+2 делится на 17.
Задача 323. Докажите, что для любого натурального n 32n+2+8n-9 делится на 16.
Задача 324. Докажите, что для любого натурального n 4n+15n-1 делится на 9.
Задача 325. Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то
получится число, делящееся на 19.
Идея. Разберите несколько случаев в зависимости от того, какой остаток даёт n при делении на
некоторое число.
Задача 326. Банк имеет неограниченное количество трех- и пятирублевых купюр. Докажите, что он
может выдать ими без сдачи любое число рублей, начиная с восьми.
Задача 327. Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для любого n, начиная с шести.
Задача 328. Докажите, что правильный треугольник можно разрезать на n правильных треугольников
для любого n, начиная с шести.
119
Текстовые задачи.
Идея. После проведения новой линии по одну сторону от неё перекрасьте всё в противоположный
цвет.
Задача 329. Плоскость поделена на области несколькими прямыми. Докажите, что эти области
можно раскрасить в два цвета так, чтобы любые две соседние области были окрашены в разные
цвета. (Соседними называются области, имеющие общий участок границы.)
Задача 330. Докажите, что если плоскость разбита на части прямыми и окружностями, то
получившуюся карту можно раскрасить в два цвета так, что части, граничащие по дуге или отрезку,
будут разного цвета.
Идея. На каждом шаге многоугольник разрезается очередной прямой на 2 и рассматривается один из
них.
Задача 331. Стороны произвольного выпуклого многоугольника покрашены снаружи. Проводится
несколько диагоналей многоугольника, так, что никакие три не пересекаются в одной точке. Каждая
из этих диагоналей тоже покрашена с одной стороны, т.е. с одной стороны отрезка проведена узкая
цветная полоска. Докажите, что хотя бы один из многоугольников, на которые разбит диагоналями
исходный многоугольник, весь покрашен снаружи.
Идея. После проведения новой линии подсчитаем, на сколько увеличилось количество частей. Затем
суммируем.
Задача 332. На сколько частей делят плоскость n прямых "общего положения", то есть таких, что
никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?
Задача 333. На плоскости проведены n окружностей так, что любые две из них пересекаются в паре
точек, и никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей делят плоскость эти
окружности?
Задача 334. На сколько частей делят пространство n плоскостей, проходящих через одну точку, если
никакие три не имеют общей прямой?
Задачи на разные идеи.
Задача 335. Даны два выпуклых многоугольника A1A2A3A4...An и B1B2B3B4...Bn. Известно, что
A1A2=B1B2, A2A3=B2B3, ..., AnA1=BnB1 и n-3 угла одного многоугольника равны соответственным
углам другого. Будут ли многоугольники равны?
Задача 336. Вершины выпуклого многоугольника раскрашены в три цвета так, что каждый цвет
присутствует и никакие две соседние вершины не окрашены в один цвет. Докажите, что
многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники так, чтобы у каждого треугольника
вершины были трех разных цветов.
Задача 337. Проведём в выпуклом многоугольнике некоторые диагонали так, что никакие две из них
не пересекаются (из одной вершины могут выходить несколько диагоналей). Докажите, что найдутся
по крайней мере две вершины многоугольника, из которых не проведено ни одной диагонали.
Задача 338. Какое наибольшее количество непересекающихся диагоналей можно провести в
выпуклом n-угольнике (допускаются диагонали, имеющие общую вершину)?
Задача 339. В городе 100 домов. Какое наибольшее число замкнутых непересекающихся заборов
можно построить так, чтобы любые 2 забора ограничивали разные группы домов?
Задача 340. Остров имеет форму многоугольника. На нём расположено несколько стран, каждая из
которых имеет форму треугольника, причём каждые две граничащие страны имеют целую общую
сторону (т.е. вершина одного треугольника не лежит на стороне другого). Докажите, что карту этого
острова можно так раскрасить тремя красками, чтобы каждая страна была закрашена одним цветом и
любые две соседние страны были закрашены в разные цвета.
Задача 341. В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым другим одну партию.
Докажите, что участников можно так занумеровать, что окажется, что ни один участник не
проиграл непосредственно за ним следующему.
Задача 342. n точек соединены отрезками так, что каждая точка с чем-нибудь соединена и нет таких
двух точек, которые соединялись бы двумя разными путями. Докажите, что общее число отрезков
равно n-1.
120
Задача 343. В соревновании участвуют 32 боксера. Каждый боксер в течение одного дня
может проводить только один бой. Известно, что все боксеры имеют разную силу, и что
сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 15 дней можно определить место каждого
боксера. (Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день
соревнований не изменяется).
Задача 344. Из чисел от 1 до 2n выбрано n+1 число. Докажите, что среди выбранных чисел найдутся
два, одно из которых делится на другое.
Задача 345. Натуральные числа a1, a2, ..., an таковы, что каждое не превышает своего номера (ak≤k) и
сумма всех чисел — чётное число. Докажите, что одна из сумм a1±a2±a3±...±an равна нулю.
Задача 346. Отрезок длиной 3n разбивается на три равные части. Первая и третья из них называются
отмеченными. Каждый из отмеченных отрезков разбивается на три части, из которых первая и третья
снова называются отмеченными и т.д. до тех пор, пока не получатся отрезки длиной 1. Концы всех
отмеченных отрезков называются отмеченными точками. Докажите, что для любого целого k
(1≤k≤3n) можно найти две отмеченные точки, расстояние между которыми равно k.
Задача 347. При каких n>3 набор гирь с массами 1, 2, 3, ..., n граммов можно разложить на три
равные по массе кучки?
Задача 348. Разобьём все натуральные числа на группы так, чтобы в первой группе было одно число,
во второй — два, в третьей — три и т.д. Можно ли это сделать таким образом, чтобы из суммы чисел
в каждой группе нацело извлекался корень седьмой степени?
Задача 349. Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел,
что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее, чем во второй
степени. Примеры таких пар чисел: (8, 9), (288, 289).
Задача 350. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких
различных членов последовательности Фибоначчи. (Последовательность Фибоначчи {an}
определяется условиями a1=1, a2=1, an+2=an+1+an.)
Задача 351. Известно, что x+1/x целое число. Докажите, что xn+1/(xn) - также целое при любом целом
n.
Задача 352. На столе стоят 128 стаканов с водой. Разрешается взять любые два стакана и
уравнять в них количества воды, перелив часть воды из одного стакана в другой. Докажите,
что с помощью таких операций можно добиться того, чтобы во всех стаканах было поровну
воды.
Задача 353. В клетчатом квадрате 64 х 64 вырезали одну из клеток. Докажите, что оставшуюся часть
квадрата можно разрезать на уголки из трех клеток.
Задача 354. n разбойников делят добычу. У каждого из них свое мнение о ценности той или иной
доли добычи, и каждый из них хочет получить не меньше, чем 1/n долю добычи (со своей точки
зрения). Придумайте, как разделить добычу между разбойниками.
Задача 355. В квадрате со стороной 128, разбитом на клетки со стороной 1, вырезана одна клетки.
Докажите, что оставшуюся часть можно разрезать на уголки из трёх клеток.
2.13. ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ.
Несколько идей и теорем.
1. Принцип Дирихле в дискретной форме. Если по n клеткам рассадить больше n кроликов,
то найдётся клетка, в которой сидит больше одного кролика.
Доказательство. Будем рассуждать от противного. Пусть в каждой клетке сидит не более одного
кролика, тогда в n клетках сидит не более n кроликов, что противоречит условию.
121
2. Обобщённый принцип Дирихле в дискретной форме. Если в n клетках сидит не менее
kn+1 кроликов, то найдётся клетка, в которой сидит более k кроликов.
Его доказательство аналогично доказательству принципа Дирихле.
3. Если в n клетках сидит менее n(n-1)/2 кроликов, то найдутся две клетки, в которых сидит
одинаковое количество кроликов (может быть, ни одного).
Доказательство. Пусть это не так. Расположим клетки в порядке увеличения числа кроликов. Тогда в
первой клетке число кроликов не меньше 0, во второй — больше, чем в первой, т. е. не менее 1, в
третьей - больше, чем во второй, т. е. по меньшей мере 2, и т. д. Но тогда всего кроликов по меньшей
мере 0+1+...+(n-1)=n(n-1)/2. Противоречие.
4. Иногда либо количество кроликов, либо количество клеток, либо и то, и другое явно не
дано, и их надо посчитать из условия задачи (иногда с помощью дополнительных соображений). В
более сложных задачах клетки, кроликов или то и другое вместе необходимо предварительно
построить.
5. Использование принципа Дирихле в арифметике основано на следующем утверждении.
Среди любых n+1 натуральных чисел найдутся два числа, которые при делении на n дают
одинаковые остатки (их разность делится на n).
6. С помощью своего принципа Дирихле доказал следующую теорему.
Теорема Дирихле. Для любого действительного а и любого натурального m существует дробь р/q
такая, что mq и |а—р/q|<1/qm.
Следствие. Для любого иррационального числа а существует бесконечно много рациональных
дробей р/q таких, что |а—р/q| <1/q2.
7. Принцип Дирихле в непрерывной форме. Если k кроликов съели n килограммов травы,
то найдётся кролик, который съел не больше n/k килограммов травы, и найдётся кролик, который
съел не меньше n/k килограммов травы.
8. Аналогом принципа Дирихле в геометрии является следующее утверждение.
Теорема. Если на отрезке (окружности) длиной 1 расположено несколько отрезков (дуг), сумма длин
которых больше 1, то, по крайней мере, два (две) из них имеют общую точку. Если внутри фигуры
площади 1 расположено несколько фигур, сумма площадей которых больше 1, то по крайней мере
две из них имеют общую точку.
9. Теорема ван дер Вардена утверждает, что если прямая раскрашена в n цветов, то для
любого m найдутся m точек одного цвета, расположенных на прямой через равные расстояния.
Примеры рассуждений.
Задача 356. В бригаде 7 человек и их суммарный возраст 332 года. Докажите, что из них можно
выбрать 3 человека, сумма возрастов которых не меньше 142 лет.
Решение задачи 356. 1 способ. Выберем трёх старших членов бригады. Если им вместе 142 года, то
хотя бы одному из них больше 47 лет. Если самому младшему из троих больше 47 лет, то им троим
больше 142 лет. Пусть самому младшему из троих 47 лет или меньше, и им троим вместе менее 142
лет. Тогда на долю остальных четверых приходится более 320-142=190 лет. Разделим 190 на 4 с
остатком: 190=4·47+2. Тогда по принципу Дирихле одному из четверых больше 47 лет. Это
противоречит выбору троих самых старших в бригаде.
2 способ. Рассмотрим все возможные тройки рабочих бригады. Всего таких троек С37=35. Сумма их
суммарных возрастов равна 332·35·3/7=4980. Значит, по принципу Дирихле есть тройка, суммарный
возраст в которой не меньше чем 4980:35, что больше 142.
3 способ. Средний возраст трёх самых старших не меньше среднего возраста по бригаде, который
равен 332/7. Поэтому сумма их возрастов по меньшей мере 3·332/7>142 года.
Задача 357. Даны 8 натуральных чисел 1a1<a2<...<a8<15. Докажите, что среди всевозможных
разностей ai-ak (k<i8) имеются три равных.
Решение задачи 357. 1 способ. Рассмотрим семь разностей ai+1-ai (i=1, ..., 7). Если среди разностей
нет трёх равных, то среди этих семи не более чем по две единицы, двойки, тройки и одно число не
меньше 4. a8-a1=a8-a7+a7-a6+...+a2-a12(1+2+3)+4=16, но a8-a114. Противоречие.
2 способ. Общее число разностей - С82=28. Они равны 1, ..., 14, причём не более одной разности равно
14. Значит, не менее 27 разностей принимают значения 1, ..., 13. Тогда по принципу Дирихле среди
этих разностей найдутся три равных.
Принцип Дирихле в дискретной форме.
122
Задача 358. В школе 20 классов. В ближайшем доме живет 23 ученика этой школы. Можно ли
утверждать, что среди них найдутся хотя бы два одноклассника?
Задача 359. При каком наименьшем количестве учеников школы среди них найдутся двое, у которых
день и месяц рождения обязательно совпадают?
Задача 360. Машинистка, перепечатывая текст в 25 страниц, сделала 102 ошибки. Докажите, что
найдётся страница, на которой сделано более четырёх ошибок.
Задача 361. В ящике лежат 105 яблок четырёх сортов. Докажите, что среди них найдутся по меньшей
мере 27 яблок какого-либо одного сорта.
Задача 362. В школе 30 классов и 995 учеников. Докажите, что в ней имеется класс, в котором не
менее 34 учеников.
Задача 363. В поход пошли ученики трёх классов. Руководитель не знает, кто в каком классе учится.
Какое наименьшее число дежурных он должен назначить для того, чтобы среди них обязательно
оказалось не менее трёх человек из одного класса?
Задача 364. На 5 полках шкафа расставлены 160 книг, на одной из них - 3 книги. Докажите, что
найдётся полка, на которой стоит не менее 40 книг.
Минимальная сумма, не содержащая равных натуральных слагаемых.
Задача 365. В районе 7 средних школ. На район выделили 20 компьютеров. Докажите, что при
любом распределении их между школами найдутся две школы, которые получат одинаковое число
компьютеров (может быть, ни одного).
Задача 366. 34 пассажира едут в автобусе, который делает всего 9 остановок, причём новые
пассажиры ни на одной из них не входят. Докажите, что найдутся две остановки, на которых выйдет
одинаковое число пассажиров (возможно, ни одного).
Задача 367. На 10 крышах в марте, почуяв весну, расположились 50 кошек, на каждой по меньшей
мере одна. Верно ли, что обязательно найдутся две крыши, на которых окажется поровну кошек?
Задача 368. 15 мальчиков собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то два из них собрали
одинаковое количество орехов.
Задача 369. Десять студентов-математиков составили 35 задач для математической олимпиады.
Известно, что среди них были студенты, которые составили по 1, 2 и 3 задачи. Докажите, что среди
них есть студент (по меньшей мере, один), который составил не менее пяти задач.
Задача 370. Кот Базилио пообещал Буратино открыть Великую Тайну, если он составит чудесный
квадрат 3x3 из чисел +1, -1 и 0 так, чтобы все суммы по строкам, по столбцам и по большим
диагоналям были различны. Что можно посоветовать Буратино?
Задача 371. На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили три контрольные работы. За
каждую контрольную ставилась одна из оценок: 2, 3, 4 или 5. Верно ли, что найдутся два школьника,
получившие одинаковые оценки за все контрольные?
Принцип Дирихле в теории чисел.
Задача 372. Докажите, что из любых трёх целых чисел можно найти два, сумма которых четна.
Задача 373. Докажите, что из совокупности любых 2n+1-1 целых чисел можно найти 2n чисел, сумма
которых делится на 2n.
Задача 374. Даны 12 различных двузначных натуральных чисел. Докажите, что из них можно
выбрать 2 числа, разность которых - двузначное число, записываемое двумя одинаковыми цифрами.
Задача 375. Докажите, что найдётся число вида 11... 10... 00, делящееся на 1998.
Задача 376. Докажите, что среди чисел, записываемых только единицами, есть число, которое
делится на 1997.
Задача 377. Докажите, что существует натуральное число, последние четыре цифры которого 1996 и
которое делится на 1997.
Задача 378. Можно ли найти такие две (различные) степени числа 4, у которых три последние цифры
одинаковы?
Задача 379. Можно ли найти такую натуральную степень числа 3, которая оканчивается на ... 0001?
Задача 380. Докажите, что если целые числа m и n взаимно просты, то найдётся такое натуральное k,
что mk-1 делится на n.
Задача 381. Верно ли, что среди любых семи натуральных чисел найдутся три, сумма которых
делится на 3?
Задача 382. Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200. Докажите,
что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.
123
Задача 383. Докажите, что среди любых 39 последовательных натуральных чисел найдётся такое,
сумма цифр которого делится на 11.
Задача 384. Дано 51 различное натуральное число, меньшее 100. Докажите, что из них можно
выбрать 6 таких чисел, что никакие два из выбранных не имеют одинаковых цифр ни в одном
разряде.
Задача 385. Докажите, что из любых 11 бесконечных десятичных дробей можно выбрать две,
совпадающие в бесконечном числе позиций.
Задача 386. В целых точках прямой расположены ямы, шириной 0,01 каждая. Длина прыжка блохи
постоянна и равна 21/2 (блоха прыгает в одну и ту же сторону). Докажите, что блоха рано или поздно
попадёт в яму.
Дополнительные соображения.
Задача 387. В школьный драмкружок ходит 31 человек. Возрасты участников различны, а всем
вместе 434 года. Докажите, что можно указать 20 кружковцев, которым вместе не меньше 280 лет.
Задача 388. В отряде в летнем лагере собраны ребята 10, 11, 12 и 13 лет. Их 23 человека и им вместе
253 года. Сколько в отряде 12-летних ребят, если известно, что их в полтора раза больше, чем 13летних?
Задача 389. На кружок пришло 60 учеников. Оказалось, что среди любых 10 учеников есть не
меньше трёх одноклассников. Докажите, что среди кружковцев найдётся не менее 15 учеников,
которые учатся в одном классе.
Задача 390. На пир собралось 100 людоедов. Известно, что среди любых 10 хотя бы один оказался в
желудке у другого (из этой десятки). Докажите, что есть «матрёшка» из 12 людоедов, каждый из
которых (кроме последнего) находится в желудке у следующего.
Задача 391. 11 пионеров занимаются в пяти кружках дома культуры. Докажите, что найдутся такие
два пионера А и В, что все кружки, которые посещает А, посещает и В.
Задача 392. Школьник в течение года каждый день решает хотя бы по одной задаче. Каждую неделю
он решает не больше 12 задач. Докажите, что найдётся несколько последовательных дней, в которые
он решает ровно 20 задач.
Задача 393. Имеется 2009 карточек, занумерованных натуральными числами от 1 до 2009. Какое
наибольшее число карточек можно выбрать так, чтобы ни один из извлечённых номеров не был равен
сумме двух других извлечённых номеров?
Задача 394. Шестеро друзей решили в воскресенье побывать в семи кинотеатрах, сеансы в которых
начинаются в 9, 10, 11, ..., 17, 18 и 19 часов. На каждый сеанс двое из них шли в один кинотеатр,
остальные - в другой. Вечером выяснилось, что каждый из них побывал в этот день во всех семи
кинотеатрах. Докажите, что в каждом из семи кинотеатров хотя бы на одном сеансе в этот день не
был никто из друзей.
Задача 395. Сможет ли мальчик Коля написать на доске 57 различных двузначных чисел так, чтобы
среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100?
Задача 396. Сто человек сидят за круглым столом, причём более половины из них - мужчины.
Докажите, что какие-то два мужчины сидят напротив друг друга.
Задача 397. У Пети 28 одноклассников. У них различное число друзей в этом классе. Сколько друзей
у Пети?
Задача 398. Даны 70 разных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 200. Докажите,
что какие-то два из них отличаются на 4, 5 или 9.
Задача 399. Можно ли увезти 50 камней весом 370 кг, 372 кг,..., 468 кг на 7 трёхтонках?
Задача 400. В алфавите языка племени Ни-Бум-Бум 22 согласных и 11 гласных, причём словом в
этом языке называется произвольное буквосочетание, в котором нет двух согласных подряд и ни одна
буква не использована дважды. Алфавит разбили на 6 непустых групп. Докажите, что из всех букв
одной из групп можно составить слово.
Задача 401. Пусть в конечном множестве X выбрано 50 подмножеств А1, ..., A50 , в каждом из
которых больше половины элементов множества X. Докажите, что можно найти подмножество В,
содержащее не более 5 элементов и имеющее хотя бы один элемент, общий с каждым из множеств
А1, ..., A50.
Задача 402. Даны 20 положительных целых чисел а1<а2<...<a20, не превосходящих 70. Докажите, что
среди разностей aj-ak (j>k) найдутся хотя бы четыре одинаковых числа.
124
Задача 403. Множество чисел {1, 2, ..., 100} разбито на 7 подмножеств. Докажите, что хотя бы в
одном из этих подмножеств найдутся или 4 числа а, b, с, d, для которых а+b=с+d, или 3 числа е, f, g,
для которых е+f=2g.
Задача 404. Сумма любых 7 натуральных чисел из набора меньше 15, а сумма всех чисел из набора
равна 100. Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе (числа не обязательно
различны)?
Задача 405. На складе имеется по 200 сапог 41, 42 и 43 размеров, причём среди этих 600 сапог 300
левых и 300 правых. Докажите, что из них можно составить не менее 100 годных пар обуви.
Задача 406. Каждый из 7 мальчиков в воскресенье три раза подходил к киоску мороженого.
Известно, что каждые двое из них встречались около киоска. Докажите, что в некоторый момент
около киоска одновременно встретились по крайней мере 3 мальчика.
Задача 407. Некая комиссия собиралась 40 раз. Каждый раз на заседаниях присутствовали по 10
человек, причём никакие два из членов комиссии не были вместе на заседаниях более одного раза.
Докажите, что число членов комиссии больше 60.
Задача 408. Докажите, что из 25 человек нельзя составить больше 30 комиссий по 5 человек в
каждой, чтобы никакие две комиссии не имели больше одного общего члена.
Задача 409. У каждого из 33 учеников спросили, сколько у него в классе тёзок и сколько
однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел встретились все
целые от 0 до 10 включительно. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковым именем и
фамилией.
Задача 410. Международное общество состоит из представителей 6 стран. Список членов общества
состоит из 1978 фамилий, занумерованных числами от 1 до 1978. Докажите, что существует хотя бы
один член общества, номер которого равен сумме номеров двух членов из его страны или
удвоенному номеру некоторого члена из его страны.
Принцип Дирихле в геометрии. Точки.
Задача 411. На плоскости проведено 7 прямых, никакие две из которых не параллельны. Докажите,
что найдутся две из них, угол между которыми не больше 26°.
Задача 412. Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один
из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т. д.
Докажите, что после некоторого количества разрезаний заведомо можно выбрать среди
получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100
треугольников или 100 четырёхугольников и т. д.).
Задача 413. Дан правильный 45-угольник. Можно ли в его вершинах расставить цифры 0-9 так,
чтобы для любой пары различных цифр нашлась сторона, концы которой занумерованы этими
цифрами?
Идея. Разрежьте фигуру на области, которые будут «клетками», а точки «зайцами».
Задача 414. В квадрате 4 x 4 нарисовано 15 точек. Докажите, что из него можно вырезать квадратик 1
х 1, не содержащий внутри себя точек.
Задача 415. В квадратном ковре со стороной 10 м моль проела 80 дырок. Докажите, что из него
можно вырезать квадратный коврик со стороной 1 м, не содержащий внутри себя дырок. Дырки
точечные и могут находиться на границе вырезаемого коврика.
Задача 416. На газоне в форме правильного треугольника со стороной 3 м растут 10 гвоздик.
Докажите, что найдутся две гвоздики, которые находятся друг от друга на расстоянии, не большем 1
м.
Задача 417. В квадрате со стороной 5 см размещено 126 точек. Докажите, что среди них существует 6
точек, которые лежат в круге радиуса 1 см.
Задача 418. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено 5 точек. Докажите,
что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5.
Задача 419. Форма рощи - круг радиуса 215 м. Расстояние между двумя деревьями в ней не менее 10
м. Докажите, что в роще менее 1950 деревьев.
Задача 420. Сосновый лес растет на участке, имеющем форму квадрата со стороной 1 км. Он состоит
из 4500 деревьев диаметром 50 см. Докажите, что в лесу можно выбрать прямоугольную площадку 10
м х 20 м, на которой не растет ни одно дерево.
Задача 421. В прямоугольнике 3 x 4 расположено шесть точек. Докажите, что среди них найдутся
две, расстояние между которыми не превосходит 5.
125
Задача 422. На плоскости дано 25 точек, причём среди любых трёх из них найдутся две на
расстоянии меньше 1. Докажите, что существует круг радиуса 1, содержащий не меньше 13 из этих
точек.
Задача 423. Докажите, что из шести точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной
прямой, можно выбрать три так, что треугольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы один
угол, не больший 30°.
Задача 424. В единичный квадрат бросили 51 точку. Докажите, что некоторые три из них
обязательно лежат внутри круга радиуса 1/7.
Задача 425. Докажите, что в круге радиуса 1 нельзя выбрать более пяти точек, попарные расстояния
между которыми больше 1.
Задача 426. В квадрате АВСD находятся пять точек. Докажите, что расстояние между какими-то
двумя из них не превосходит АС/2.
Задача 427. В парке растет 10000 деревьев (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число
деревьев надо срубить, чтобы выполнялось условие: если встать на любой пень, то не будет видно ни
одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)
Принцип Дирихле в геометрии. Отрезки, прямые.
Задача 428. В окружности единичного диаметра проведено несколько хорд. Докажите, что если
каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин всех хорд меньше 3,15k.
Задача 429. Внутри окружности радиуса n расположены 4n отрезков длиной 1. Докажите, что можно
провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной прямой l и пересекающую не менее
двух данных отрезков.
Задача 430. Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин
которых равна 10. Докажите, что найдется прямая, пересекающая, по крайней мере четыре из этих
окружностей.
Задача 431. Докажите, что в любом выпуклом 2n-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни
одной из его сторон.
Задача 432. На шахматной доске 8 x 8 отмечены центры всех полей. Можно ли тринадцатью
прямыми разбить доску на части так, чтобы внутри каждой из них лежало не более одной отмеченной
точки?
Задача 433. В плоскости отмечена 101 точка, причём не все они лежат на одной прямой. Через
каждую пару отмеченных точек красной ручкой проводится прямая. Докажите, что на плоскости
существует точка, через которую проходит не меньше 11 красных прямых.
Задача 434. Даны две окружности, длина каждой равна 100 см. На одной из них отмечено 100 точек,
а на другой - несколько дуг, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что эти окружности можно
совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.
Задача 435. На отрезке длиной 1 закрашено несколько отрезков, причём расстояние между любыми
двумя точками закрашенных отрезков не равно 0,1. Докажите, что сумма длин закрашенных отрезков
не превосходит 0,5.
Задача 436. На плоскости отмечена точка О. Можно ли расположить на плоскости а) 5 кругов; б) 4
круга, не покрывающих точку О, так, чтобы любой луч с началом в точке О пересекал не менее двух
кругов?
Задача 437. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых
относятся как 2:3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну
точку.
Задача 438. На шахматную доску размера (2n-1) х (2n-1) поставили (2n-1) ладью так, что ни одна из
них не бьет другую. Докажите, что в любом квадрате n х n стоит хотя бы одна ладья.
Принцип Дирихле в геометрии. Круги, многоугольники, площадь.
Задача 439. Докажите, что правильный треугольник нельзя покрыть двумя меньшими правильными
треугольниками.
Задача 440. Фигурой нельзя накрыть полукруг, но двумя такими фигурами можно накрыть круг того
же радиуса. Может ли такое быть?
Задача 441. Внутри квадрата со стороной 2 расположено 7 многоугольников площади не менее 1
каждый. Докажите, что существует два многоугольника, площадь пересечения которых не меньше
1/7.
126
Задача 442. Назовем крестом фигуру, образованную диагоналями квадрата со стороной 1. Докажите,
что в круге радиуса 100 можно разместить лишь конечное число непересекающихся крестов.
Задача 443. В квадрате со стороной 15 находятся 20 попарно непересекающихся квадратиков со
стороной 1. Докажите, что в большом квадрате можно разместить круг радиуса 1 так, чтобы он не
пересекался ни с одним из квадратиков.
Задача 444. В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдётся кольцо с внутренним
радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежит не менее 10 из данных точек.
Задача 445. В квадрате со стороной 1 отметили 101 точку, причём никакие три точки не лежат на
одной прямой. Докажите, что найдётся треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого не
больше 1/100.
Задача 446. Докажите, что в круг радиуса 1 нельзя поместить без наложений два треугольника,
площадь каждого из которых больше 1.
Задача 447. В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной 1. Докажите,
что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.
Задача 448. Докажите, что в выпуклый четырёхугольник площади S и периметра P можно поместить
круг радиуса S/P.
Задача 449. В квадрате площадью S расположены 1975 фигур, сумма площадей которых больше
1974S. Докажите, что у этих фигур есть общая точка.
Задача 450. Каким наименьшим числом кругов радиуса 1 можно полностью покрыть круг радиуса 2?
(Круги могут накладываться друг на друга и выступать за край большого круга.)
Принцип Дирихле в геометрии. Стереометрия.
Задача 451. На планете в звёздной системе Тау Кита суша занимает более половины площади
планеты. Докажите, что таукитяне могут прорыть прямой туннель, проходящий через центр планеты
и соединяющий сушу с сушей. (Будем считать, что техника у них для этого достаточно развита.)
Задача 452. Не видя написанных на гранях куба чисел от 1 до 6, Лёша утверждает, что:
а) у этого куба есть две соседние грани, на которых написаны соседние числа;
б) таких пар соседних граней у куб не меньше двух. Прав ли он в обоих случаях?
Задача 453. Можно ли занумеровать вершины куба числами от 1 до 8 так, чтобы суммы номеров на
концах каждого ребра куба были различными?
Задача 454. Докажите, что у любого многогранника найдутся две грани, которые имеют одинаковое
число сторон.
Задача 455. В кубе, ребро которого равно 13, выбрано 1956 точек. Можно ли в этот куб поместить
куб с ребром 1 так, чтобы внутри него не было ни одной выбранной точки?
Задача 456. Шарообразная планета окружена 37 точечными астероидами. Докажите, что в любой
момент на поверхности планеты найдётся точка, из которой астроном не сможет наблюдать более 17
астероидов. (Астероид, расположенный на линии горизонта, не виден.)
Окраска плоскости и её частей. Таблицы.
Задача 457. Плоскость окрашена в два цвета - белый и чёрный, причём имеются и точки белого, и
точки чёрного цвета. Докажите, что всегда найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1 друг от
друга.
Задача 458. Плоскость окрашена в два цвета - красный и чёрный, причём имеются точки и того и
другого цвета. Докажите, что всегда найдутся две точки разного цвета на расстоянии 1 друг от друга.
Задача 459. Каждая грань куба разделена на четыре равных квадрата, и каждый квадрат окрашен в
один из трёх цветов: синий, красный или зелёный так, что квадраты, имеющий общую сторону,
окрашены в разные цвета. Сколько может быть синих, красных и зелёных квадратов?
Задача 460. Плоскость окрашена в два цвета - белый и чёрный, причём имеются и точки белого, и
точки чёрного цвета. Докажите, что всегда найдётся равнобедренный треугольник с вершинами
одного цвета.
Задача 461. Вершины правильного семиугольника окрашены в два цвета - белый и чёрный.
Докажите, что среди них обязательно найдутся три вершины одного цвета, которые являются
вершинами равнобедренного треугольника.
Задача 462. Плоскость окрашена в три цвета. Докажите, что всегда найдутся две точки одного цвета,
расстояние между которыми равно 1.
Задача 463. Как раскрасить плоскость в 7 цветов, чтобы не нашлось двух точек одного цвета,
расстояние между которыми равно 1.
127
Задача 464. Пусть прямая раскрашена в два цвета. Докажите, что на ней найдутся три точки А, В, С,
окрашенные в один цвет такие, что В - середина отрезка АС.
Задача 465. В булке оказался запечён изюм двух сортов. Докажите, что внутри булки (булка
содержит внутри себя шар радиуса 1 см) найдутся две такие точки, удалённые на 1 см, что они либо
не принадлежат никаким из изюмин, либо принадлежат изюминам одного сорта.
Задача 466. Узлы бесконечного листа клетчатой бумаги раскрашены в два цвета. Докажите, что
существуют две горизонтальные и две вертикальные прямые, на пересечении которых лежат точки
одного цвета.
Задача 467. Какое наибольшее число полей на доске 8 x 8 можно закрасить в чёрный цвет так, чтобы
в любом уголке из трёх полей было по крайней мере одно не закрашенное поле?
Задача 468. Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматной доске так, чтобы
никакие два из них не били друг друга?
Задача 469. Квадрат со стороной 10 см разделён на 100 квадратов со стороной 1 см, и в каждом из
них записано одно из трёх чисел 1, 2 или 3. После этого подсчитали суммы записанных чисел в
каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей получившейся таблицы. Может ли
оказаться, что все подсчитанные суммы будут различными?
Задача 470. Бесконечный лист бумаги разлинован в клетку. Каждая клетка окрашена в один из шести
цветов. Докажите, что всегда найдутся четыре клетки одного цвета, центры которых являются
вершинами прямоугольника со сторонами, параллельными прямым линиям на бумаге.
Задача 471. В таблице 10 х 10 расставлены целые числа, причём любые два числа в соседних клетках
отличаются не более чем на пять. Докажите, что среди этих чисел есть два равных.
Задача 472. Клетчатый лист бумаги размером 10 х 10 клеток покрыт 55 квадратиками, состоящими
из 4 клеток. (Вершины квадратиков лежат в узлах сетки; квадратики не выходят за пределы большого
квадрата.) Докажите, что один из них можно убрать так, что оставшиеся будут по-прежнему
покрывать всю доску.
Задача 473. В таблице 9 x 9 расставлены числа от 1 до 81. Докажите, что при любой расстановке
найдутся две соседние (имеющие общую сторону) клетки такие, что разность между числами,
стоящими в этих клетках, не меньше 6.
Задача 474. В квадрате 5 x 5 закрашено 16 клеток. Докажите, что найдётся закрашенный
трёхклеточный уголок.
Задача 475. Каждая клетка прямоугольной таблицы 5 х 41 покрашена в белый или чёрный цвет.
Докажите, что можно выбрать три столбца и три строки, все 9 клеток пересечения которых
покрашены в один цвет.
Задача 476. На прямой отмечены n различных точек A1, …, An (n4). Каждая из них окрашена в один
из четырёх цветов, причём все цвета присутствуют. Докажите, что существует отрезок, содержащий
ровно по одной точке двух цветов и по крайней мере по одной точке каждого из оставшихся цветов.
Задача 477. Плоскость окрашена в два цвета: красный и голубой. Докажите, что найдётся
прямоугольник, все вершины которого окрашены одинаково.
Задача 478. Пусть клетки прямоугольника 4 x 7 окрашены в белый или чёрный цвет. Докажите, что
на доске найдётся прямоугольник, образованный горизонтальными и вертикальными линиями доски,
все 4 угловые клетки которого окрашены одинаково
Задача 479. На бесконечной клетчатой бумаге закрашены в чёрный цвет какие-то 25 клеток. Для
какого наибольшего числа k при любом расположении закрашенных клеток верно такое
утверждение: среди закрашенных 25 клеток обязательно найдутся k клеток, попарно не имеющих
общих вершин?
Задача 480. Каждая точка плоскости окрашена в один из двух цветов. Известно, что у любого
правильного треугольника со стороной 1 имеются вершины обоих цветов. Приведите пример
раскраски плоскости, удовлетворяющей условию задачи.
Задача 481. Каждая клетка бесконечного листа клетчатой бумаги окрашена в один из данных n
цветов (n>3). Докажите, что найдутся 4 клетки одного цвета, центры которых являются вершинами
некоторого прямоугольника со сторонами, параллельными прямым линиям на бумаге.
Задача 482. Какое наименьшее число уголков нужно разместить в квадрате 8 x 8 клеток, чтобы в него
нельзя было больше поместить без наложения ни одной такой фигуры?
Задача 483. Клетки квадратной таблицы 15 х 15 раскрашены в красный, синий и зелёный цвета.
Докажите, что найдутся по крайней мере две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.
Задача 484. Пусть М — произвольное конечное множество целочисленных точек на координатной
плоскости. Всегда ли можно окрасить некоторые точки множества М в белый цвет, а остальные — в
128
красный так, чтобы для каждой прямой l, параллельной любой из координатных осей, абсолютная
величина разности между числом белых и красных точек на l не превосходила бы единицы?
2.14. ПРИНЦИП КРАЙНЕГО.
Крайние координаты.
Задача 485. На плоскости задано множество точек M такое, что каждая точка из M является
серединой отрезка, соединяющего некоторые две другие точки из M. Докажите, что множество M
бесконечно.
Решение задачи 485. Предположим противное. Введем на плоскости систему координат. Рассмотрим
точку из M с максимальной абсциссой. Если таких точек несколько, то рассмотрим ту из них, у
которой среди точек с максимальной абсциссой максимальна ордината. Обозначим эту крайнюю
точку через A(x, y). Она является серединой отрезка, соединяющего некоторые две точки B(x 1, y1),
C(x2, y2), принадлежащие M. Из соотношений , x1≤x, x2≤x следует, что x1=x2=x. То есть точки A, B, C
имеют одинаковую абсциссу. Поэтому y1≤y, y2≤y. Это невозможно, так как y=(y1+y2)/2, а точки A, B,
C - различны. Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.
Задача 486. Стороны нескольких прямоугольников параллельны осям координат. Любые два из них
имеют общую точку. Докажите, что все они имеют общую точку.
Идея решения задачи 486. Система координат. Любая левая сторона левее, чем любая правая.
Значит, существует число между всеми левыми и всеми правыми координатами вертикальных
сторон. Это абсцисса искомой точки. Аналогично находим ординату.
Задача 487. На плоскости выбрано 4000 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что можно построить 1000 непересекающихся четырехугольников с вершинами в этих
точках.
Решение задачи 487. Проводим прямую, не параллельную никакой из прямых, проходящих через
пары точек. Сдвигаем эту прямую в перпендикулярном направлении, и точки перемещаются через
нее по одной. Как 4 точки переместились - образуем четырехугольник. И так 1000 раз.
Задача 488. На плоскости нарисованы 2003 квадрата. Стороны квадрата имеют длину 1 см и
параллельны осям координат. Некоторые квадраты пересекаются. Известно, что для любой пары
квадратов расстояние между их центрами не больше 2. Докажите, что можно нарисовать такой
квадрат со сторонами 1 см, параллельными осям координат, который имеет общие точки со всеми
2003 квадратами.
Задача 489. На прямой расположена колония из 100 бактерий. Каждую минуту некоторые бактерии
погибают: погибают в точности те бактерии, от которых ни слева на расстоянии 1, ни справа на
расстоянии 2 нет бактерий. Новые бактерии не появляются. Может ли колония существовать вечно?
Решение задачи 489. Цепочка – это группа бактерий, в которой расстояние между соседними
бактериями равно 1. Отметим в каждой цепочке самую левую бактерию, а из отмеченных выберем
самую правую. Она погибнет следующим ходом.
Задача 490. На доске написано несколько чисел. Верно ли, что всегда найдётся число, для которого
не выписано ни втрое большего, ни вдвое меньшего?
Решение задачи 490. Пусть выписано x. Рассмотрим среди выписанных все числа, которые
получаются умножением на 3 и делением на 2 из x (за несколько действий). То из них, у которого
количество действий максимально, удовлетворяет условию.
Принцип крайнего в геометрии.
Задача 491. На плоскости проведено n (n3) попарно непараллельных прямых, причем через точку
пересечения любых двух из них проходит ещё одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые
проходят через одну точку.
Решение задачи 491. Предположим противное. Это означает, что существует прямая из этого
семейства и существует точка пересечения других прямых, не принадлежащая ей. Рассмотрим
минимальное ненулевое расстояние от точек пересечений прямых до прямых. Пусть это будет
расстояние от точки A до прямой l. Через точку A проходят по крайней мере три прямые.
Обозначим их точки пересечения с прямой l через B, C, D. Опустим из точки A перпендикуляр AP на
l. Из точек B, C, D по крайней мере две находятся по одну сторону относительно точки P. Пусть это
будут точки C, D, причем PC<PD. Из точек P и C опустим перпендикуляры PQ и CR на прямую AD.
Так как AP>PQ (гипотенуза прямоугольного треугольника APQ больше его катета) и PQCR,
следовательно AP>CR. Противоречие.
129
Задача 492. На плоскости расположено n точек, причем площадь любого треугольника с вершинами
в этих точках не превосходит 1. Докажите, что все эти точки можно поместить в треугольник
площади 4.
Решение задачи 492. Рассмотрим треугольник максимальной площади с вершинами в данных
точках. Пусть это будет треугольник ABC. Через точки A, B, C проведем прямые l A, lB, lC,
параллельные сторонам BC, CA, AB соответственно. Обозначим треугольник, образованный
прямыми lA, lB, lC через A1B1C1. Площадь этого треугольника в 4 раза больше площади треугольника
ABC, следовательно она не превосходит 4. Покажем, что каждая данная точка находится в
треугольнике A1B1C1. Предположим противное. Тогда существует точка D из данного множества,
находящаяся с некоторой вершиной треугольника A1B1C1 по разные стороны относительно стороны,
противолежащей этой вершине. Пусть, например C1 и D находятся по разные стороны относительно
стороны B1A1. Тогда расстояние от точки D до AB больше, чем расстояние от точки C до AB.
Следовательно площадь треугольника ABD больше площади треугольника ABC, что противоречит
выбору треугольника ABC.
Задача 493. Докажите, что любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить в
прямоугольник площади 2.
Решение задачи 493. Пусть AB - максимальная диагональ (или сторона) многоугольника. Проведем
через точки A и B прямые, перпендикулярные отрезку AB. Из построения отрезка AB следует, что
весь многоугольник содержится в полосе, образованной этими прямыми. Проведем прямые CD, EF,
параллельные AB, проходящие через некоторые вершины P и Q многоугольника и обладающие тем
свойством, что многоугольник находится по одну сторону относительно каждой из них. Опустим из
точек P и Q перпендикуляры PP1 и QQ1 на AB. Площадь исходного многоугольника больше либо
равна суммы площадей треугольников APB и AQB, т.е. площадь прямоугольника EFDC,
содержащего исходный многоугольник, не превосходит 2.
Задача 494. На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что хотя бы
один из треугольников с вершинами в этих точках не является остроугольным.
Указание к задаче 494. Рассмотрим произвольный треугольник с вершинами в данных точках.
Прямые, построенные на сторонах этого треугольника, разбивают плоскость на 7 частей. Рассмотрите
несколько случаев расположения четвёртой точки.
Задача 495. Докажите, что в любом выпуклом пятиугольнике найдутся три диагонали, из которых
можно составить треугольник.
Решение задачи 495. Пусть ABCDE – выпуклый пятиугольник, BD – наибольшая диагональ.
Докажем, что BD, BE и AD – искомые. Пусть O – точка пересечения BE и AD. Тогда надо проверить
неравенство треугольника BD<BE+AD (остальные два неравенства верны автоматически, так как BD
– наибольшая диагональ). Требуемое неравенство следует из BD<BO+OD.
Задача 496. На каждой стороне произвольного четырехугольника, как на диаметре, построена
окружность. Докажите, что четыре построенных круга полностью покроют четырехугольник.
Решение задачи 496. Обозначим данный четырехугольник ABCD. Пусть M - произвольная точка
внутри четырехугольника. Рассмотрим максимальный угол среди углов AMB, BMC, CMD, DMA.
Пусть это будет, например, угол AMB. Тогда AMB900 (в противном случае
AMB+BMC+CMD+DMA<4·900=3600). Следовательно,
точка M покроется кругом,
построенном на отрезке AB, как на диаметре.
Задача 497. На бумаге нарисован выпуклый многоугольник, из которого нельзя вырезать никакой
треугольник площади 1. Докажите, что этот многоугольник можно вырезать из некоторого
треугольника площади 4.
Решение задачи 497. Среди треугольников с вершинами в вершинах данного многоугольника
выберем максимальный по площади (он полностью внутри многоугольника, так как тот выпуклый).
Через каждую вершину треугольника проведём прямую, параллельную противоположной стороне.
Докажем, что все вершины многоугольника лежат внутри образовавшегося большого треугольника,
который вчетверо больше маленького.
Задача 498. Дано несколько пересекающихся кругов, занимающих на плоскости площадь, равную
единице. Докажите, что из них можно выбрать один или несколько попарно непересекающихся
кругов, общая площадь которых не менее 1/9.
Решение задачи 498. Выберем первый круг – самый большой или один из самых больших. Все
пересекающиеся с ним круги лежат целиком в круге с тем же самым центром и с в три раза большим
радиусом. Выбросим их. Рассмотрим все остальные круги (кроме самого большого и
130
пересекающихся с ним). Выберем из них наибольший и рассмотрим всё, что пересекается. И так
далее.
За конечное число шагов все круги разделятся на выбранные и пересекающиеся с ними, которые мы
выбросим. Выбранные круги не пересекаются. На каждом этапе выбрасывается площадь не больше
8/9 от суммарной площади очередного наибольшего круга и пересекающихся с ним.
Задача 499. На плоскости дано конечное число точек, причем любая прямая, проходящая через две
из данных точек, содержит ещё одну данную точку. Докажите, что все данные точки лежат на одной
прямой.
Принцип крайнего в разных ситуациях: бесконечный клетчатый лист, функции, числовые
задачи.
Задача 500. Можно ли так покрасить конечное число клеток бесконечного клетчатого листа, чтобы
каждая покрашенная клетка имела ровно 5 покрашенных соседей?
Решение задачи 500. Это невозможно. Рассмотрим самую верхнюю клетку в самом правом столбце,
содержащем закрашенные клетки. Тогда у нее не более 4 покрашенных соседей.
Задача 501. В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги записано число. Докажите, что в
некоторой клетке записано число, которое не больше четырёх из восьми своих соседей.
Идея решения задачи 501. Рассмотрим квадрат 4 х 4 без угловых клеток и найдём в этой фигуре
наименьшее число.
Задача 502. На кольцевой дороге стоят бензоколонки, причем бензина во всех бензоколонках хватит
автомобилю на целый круг. Докажите, что существует бензоколонка, начиная с которой автомобиль
сможет проехать круг.
Решение задачи 502. Добавим много бензина (чтобы хватило проехать круг). Начиная от любой
бензоколонки проезжаем круг и рисуем график. Очевидно, всех меньше бензина тогда, когда мы
подъехали к очередной бензоколонке и не успели заправиться. Тогда, начиная от неё, можно
проехать круг (в другие моменты бензина больше).
Задача 503. В каждой вершине выпуклого 2008-угольника расположено по одному жетону. На
каждом жетоне написано целое число (числа могут быть любого знака, могут быть одинаковые и т.
д.). Сумма всех чисел равна 1. Выбирают вершину и собирают жетоны, двигаясь против часовой
стрелки, до тех пор, пока сумма чисел на собранных жетонах положительна. Можно ли выбрать
вершину так, чтобы, стартуя с неё, собрать все жетоны?
Задача 504. Даны 10 различных положительных чисел. Из них составляются всевозможные суммы с
любым числом слагаемых от 1 до 10. Докажите, что среди этих сумм по крайней мере 55 различных.
Идея решения задачи 504. Отсортируем числа: a1<a2<...<a10. Тогда
a1<a2<…<a10<a10+a1<…<a10+a9<a10+a9+a1<…<a10+a9+a8<....<a10+a9+a8+...+a1.
Задача 505. Семь грибников собрали вместе 100 грибов, причем никакие двое не собрали
одинакового числа грибов. Докажите, что есть трое грибников, собравших вместе не менее 50 грибов.
Решение задачи 505. Рассмотрим трех грибников, собравших вместе максимальное (среди
всевозможных троек грибников) количество грибов. Два случая. 1) Если минимальное (из этих трех)
количество грибов равно 16, то вместе три грибника собрали грибов не меньше, чем 16+17+18=51. 2)
Если указанное минимальное количество не больше 15, то оставшиеся четыре грибника собрали
вместе не более 14+13+12+11=50 грибов, а первые трое собрали вместе не менее 50 грибов.
2.15. ЛИНЕЙНОСТЬ.
Задача 506. По каждой из четырех прямолинейных дорог (никакие две из которых не параллельны и
никакие три не пересекаются в одной точке) с постоянной скоростью идет пешеход. Известно, что
первый пешеход встретился со вторым, третьим и четвертым, а второй – с третьим и четвертым.
Докажите, что третий пешеход встретился с четвертым.
Идея решения задачи 506. Рассмотрим пространство, в котором вертикальная координата - ось
времени. Дороги "поднимем" так, что они являются графиками движения пешеходов. Заметим, что
тройки прямых лежат в одной плоскости и не параллельны.
Идея. Линейная функция имеет максимум и минимум только на границе.
Задача 507. Найдите наименьшее значение функции y=x-1+x-2+...+x-n.
Указание к задаче 507. На каждом из промежутков (-, 1], [1, 2], ..., [n-1, n], [n, +) функция
линейная.
131
Задача 508. По основанию равнобедренного треугольника движется точка. Докажите, что сумма
расстояний от неё до боковых сторон не меняется.
Задача 509. На сторонах треугольника единичной площади отмечено по точке. Если их соединить, то
получится 4 треугольника. Докажите, что площадь по крайней мере одного из угловых треугольников
не больше ¼.
2.16. СООТВЕТСТВИЕ.
Задача 510. Докажите, что дроби 1000/2009 и 1009/2009 имеют одинаковую длину периодов.
Задача 511. На окружности даны 2008 точек: одна красная и 2007 синих. Рассмотрим всевозможные
выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше: тех, которые
содержат красную точку или тех, которые её не содержат?
Указание к задаче 511. Для каждого многоугольника без красной вершины рассмотрите
соответствующий многоугольник с красной вершиной.
§3. Дискретная математика
3.1. КОМБИНАТОРИКА.
Правила суммы и произведения.
Идеи. 1. Правило суммы. Если элемент из множества M1 можно выбрать n1 способами, элемент из
множества M2 можно выбрать n2 способами, и множества M1 и M2 не пересекаются, то выбрать
элемент из множества M1 или из множества M2 можно n1+n2 способами.
2. Правило произведения. Если элемент из множества M1 можно выбрать n1 способами, элемент из
множества M2 можно выбрать n2 способами, и множества M1 и M2 не пересекаются, то выбрать по
одному элементу из множеств M1 и M2 можно n1n2 способами.
3. Оба правила распространяются на случай произвольного числа непересекающихся множеств
(доказательство – индукция по числу множеств).
Задача 512. В магазине «Всё для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. У Пети есть немного
денег, которых хватит или на чашку, или на блюдце.
а) Сколькими способами он может купить что-нибудь (чашку или блюдце)?
б) Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?
Задача 513. В киоске есть три пачки лотерейных билетов. В первой 300 билетов, во второй 100
билетов, а в третьей осталось 99 билетов. Сколькими способами можно выбрать один билет?
Задача 514. В магазине «Всё для чая» есть 5 разных чашек, 3 разных блюдца и 4 разные чайные
ложки.
а) Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?
б) Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?
Задача 515. В киоске “Союзпечать” продаются 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими
способами можно купить конверт с маркой?
Задача 516. У господина есть 8 брюк, 5 жилетов и 7 сюртуков. В скольких разных костюмах тройках
он может появиться?
Задача 517. На доске написаны 7 существительных, 5 глаголов и 2 прилагательных. Для
предложения нужно выбрать по одному слову каждой из этих частей речи. Сколькими способами это
можно сделать?
Задача 518. В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведёт 6 дорог, а из
города Б в город В – 4 дороги. Никаких других дорог нет. Сколькими способами можно проехать от
А до В?
Задача 519. У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. Честным обменом
называется обмен одной марки на одну марку или одного значка на один значок. Сколькими
способами коллекционеры могут осуществить честный обмен?
Замечание к задаче 519. Честно ли будет, например, обменять марку и значок на марку и значок?
Трудно сказать. Во всяком случае, такой обмен не является честным обменом по определению из
задачи 518. Зато обмен марками разной стоимости, художественной ценности и т. п. (марка на марку)
является честным обменом по тому же определению. Прекрасная задача, показывающая область
применения «житейских представлений» в математике: они заканчиваются, как только противоречат
сформулированным определениям и доказанным теоремам.
132
Задача 520. К площади, на которой находится памятник, ведёт 6 улиц. По четырём из них
двустороннее движение, а по остальным двум одностороннее, к площади. Водитель хочет заехать на
площадь, посмотреть на памятник и уехать с площади. Сколькими способами он может это сделать?
Разные случаи применения правила произведения. Возведение в степень.
Задача 521. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и чёрную ладьи так,
чтобы они не били друг друга?
Задача 522. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и чёрного королей
так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?
Задача 523. На полке стоят 7 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из
них (стопка может состоять и из одной книги)?
Задача 524. Сколько существует пятизначных чисел, оканчивающихся на 0 или на 5?
Задача 525. Сколькими способами можно раскрасить куб в шесть разных цветов, если любые две
различные грани должны быть раскрашены разными красками? (Различными считаются те раскраски,
которые не совмещаются при поворотах куба.)
Задача 526. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трёх букв А, Б и В. Словом является любая
последовательность букв, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени МумбоЮмбо?
Задача 527. На двух клетках шахматной доски стоят чёрная и белая фишки. За один ход можно
передвинуть любую из них на соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (две фишки не могут
стоять на одной клетке). Могут ли в результате таких ходов встретиться все возможные варианты
расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?
Решение задачи 527. Не могут. Должны чередоваться позиции, в которых фишки стоят на полях
разного цвета, с позициями, в которых фишки стоят на полях одного цвета. Но первых 2·32·32,
вторых 2·32·31.
Задача 528. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не
лежащие на одной горизонтали или одной вертикали?
Задача 529. В мастерской по изготовлению ключей есть 12 типов заготовок для ключей. Из каждой
заготовки можно сделать ключ, вырезав выступы в пяти определенных местах, причем на первом
месте величина выступа может принимать 2 значения, а на остальных — 3 значения. Сколько
различных ключей может изготовить мастерская?
Задача 530. Сколькими способами можно расставить 20 белых шашек на шахматной доске так,
чтобы расположение было симметрично относительно центра доски? Решите ту же задачу при
условии, что шашки ставятся лишь на черные поля.
Задача 531. Сколькими способами из шахматной доски можно вырезать прямоугольник 1 х 3? Разрез
должен проходить по границам клеток.
Задача 532. Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и
последняя цифры чётны?
Перестановки, размещения, сочетания - теория.
Определения.
1. Перестановки без повторений из n элементов - это n-элементные последовательности,
составленные из элементов n-элементного множества и не содержащие одинаковых элементов.
2. Размещения без повторений из n элементов по k – это k-элементные последовательности,
составленные из элементов n-элементного множества и не содержащие одинаковых элементов.
3. Сочетания без повторений из n элементов по k – это k-элементные неупорядоченные наборы
элементов n-элементного множества, не содержащие одинаковых элементов. Таким образом,
сочетания без повторений – это просто k – элементные подмножества.
4. Перестановки с повторениями из n элементов - это n-элементные последовательности,
составленные из элементов n-элементного множества. Повторение элементов допускается.
5. Размещения с повторениями из n элементов по k – это k-элементные последовательности,
составленные из элементов n-элементного множества. Повторение элементов допускается.
6. Сочетания с повторениями из n элементов по k – это k-элементные неупорядоченные наборы
элементов n-элементного множества. Повторение элементов допускается.
Обозначения.
Pn – количество перестановок без повторений.
Akn – количество размещений без повторений.
133
Ckn или (nk) – количество сочетаний без повторений (биномиальный коэффициент).
(n k1 k2 … km) – количество перестановок с повторениями (полиномиальный коэффициент).
Пример. Из букв a, b, c, d, e составляются всевозможные слова (не обязательно осмысленные).
1. Всевозможные слова, в которых встречается по одной букве каждого сорта (a, b, c, d, e), - это
перестановки без повторений. Например, bcaed.
2. Всевозможные слова, в которых встречаются букв a и e ровно по 2 шт., букв b ровно 1 шт., а букв c
и d нет, - это перестановки с повторениями с данным числом букв каждого вида. Например, baeea.
3. Всевозможные слова, состоящие из трёх разных букв – это размещения без повторений. Например,
bad.
4. Всевозможные трёхбуквенные слова – это размещения с повторениями. Например, bbc.
5. Всевозможные наборы из трёх разных букв – это сочетания без повторений. Например, {a, c, e}.
6. Всевозможные наборы из трёх букв – это сочетания с повторениями. Например, {a, a, e}.
Теорема. Формулы для количества перестановок, размещений, сочетаний (с повторениями и без
повторений).
1. Количество перестановок без повторений Pn=n!.
2. Количество перестановок с повторениями из n элементов, где m – количество разновидностей
элементов, из них k1 штук первого вида, k2 штук второго вида, …, km штук последнего вида,
k1+k2+…+km=n, равно n!/(k1!k2!…km!).
3. Количество размещений без повторений Akn=n!/(n-k)!.
4. Количество размещений с повторениями равно nk.
5. Количество сочетаний без повторений Ckn=n!/(k!(n-k)!).
6. Количество сочетаний с повторениями равно An-1n+k-1=(n+k-1)!/(n-1)!.
Доказательство.
1. Первый элемент можно выбрать n способами, второй элемент можно выбрать n-1 способами и т. д.
2. Элементы одной разновидности покрасим в разные цвета, чтобы их различать. Все n элементов
стали различны, т. е. число перестановок стало равно n!. Осталось понять, во сколько раз
увеличилось число перестановок.
3. Первый элемент можно выбрать n способами, второй элемент можно выбрать n-1 способами и т. д.
Заметим, что n(n-1)…(n-k+1)=n!/(n-k)!.
4. Первый элемент можно выбрать n способами, второй элемент можно выбрать n способами и т. д.
5. Для каждого сочетания, расставляя элементы в нужном порядке, получаем k! разных размещений.
Значит, сочетаний в k! раз меньше.
6. Договоримся сначала выписать столько единиц, сколько взяли первых элементов. За ними
напишем 0. Затем столько единиц, сколько вторых элементов. За ними 0. И т.д. В конце сколько
последних n-ных элементов. У нас получились размещения номеров мест, на которых стоят нули
(нулей ровно n-1, а всего с единицами n+k-1), т. е. их число An-1n+k-1.
Перестановки, размещения, сочетания - задачи.
Идея. Перестановки без повторений.
Задача 533. На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г, Д. Сколькими способами можно
расположить их в списке ораторов, если Б не должен выступать до того, как выступил А? Решите ту
же задачу, если Б должен выступить сразу после А.
Задача 534. В течение десяти недель школьники должны написать 10 контрольных работ, в том
числе 2 по математике. Сколькими способами можно составить расписание этих работ так, чтобы
контрольные работы по математике не шли друг за другом?
Задача 535. Сколькими способами можно переставить буквы слова «Юпитер», чтобы гласные шли в
алфавитном порядке?
Идея. Перестановки с повторениями.
Задача 536. Сколькими способами можно расположить в ряд две зеленые и четыре красные
лампочки?
Ответ к задаче 536. 6!/(2!4!)=15.
Задача 537. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «математика»?
Ответ к задаче 537. 10!/(2!3!2!1!1!1!)=151200.
Задача 538. Сколькими способами можно поставить на черные поля доски 12 белых и 12 черных
шашек?
Задача 539. Сколькими способами можно расставить шахматные фигуры (короля, ферзя, две ладьи,
двух слонов и двух коней) на первой горизонтали шахматной доски?
134
Задача 540. У мамы было 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день она давала ребенку по
одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?
Задача 541. Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4
экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти
премии между 30 участниками олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?
Задача 542.
а) Сколькими способами можно переставить буквы слова «огород», чтобы три буквы «о» не шли
подряд?
б) Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек», чтобы 4 буквы «е» не шли
подряд?
Задача 543. 20 различных деталей раскладывают в три ящика, причем в первый ящик кладут 3
детали, во второй — 5 деталей, а в третий — все остальные детали. Сколькими способами это можно
сделать?
Задача 544. Сколькими способами можно разложить 19 различных предметов по 5 ящикам так,
чтобы в 4 ящика легли по 4 предмета, а в оставшийся — 3 предмета?
Идея. Размещения без повторений.
Задача 545. В команде (7 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами
это можно сделать?
Задача 546. Сколькими способами можно сделать трёхцветный флаг с горизонтальными полосами
одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?
Идея. Размещения с повторениями.
Задача 547. Назовём натуральное число «симпатичным», если в его записи встречаются только
нечётные цифры (1, 3, 5, 7 и 9). Сколько существует четырёхзначных «симпатичных» чисел?
Задача 548. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно
при этом получить?
Задача 549. Каждую клетку квадратной таблицы 2 х 2 можно покрасить в чёрный или белый цвет.
Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?
Задача 550. В некотором сказочном королевстве не было двух человек с одинаковым набором зубов.
Каково могло быть наибольшее число жителей этого королевства, если у человека 32 зуба?
Задача 551. Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее «Спортпрогноз»? (В
этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча – победа
одной из команд (важно, какой именно) или ничья; счёт роли не играет.
Задача 552. Сколько существует 20-буквенных слов, состоящих из букв A, B, C, таких, что в них
нигде не встречаются слова AB, CC и BA?
Идея. Сочетания без повторений.
Задача 553. Каждые два из двадцати городов соединены линией воздушного беспересадочного
сообщения. Сколько всего линий воздушного сообщения?
Задача 554. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый
ящик опускают не более одного письма?
Задача 555. Сколькими способами можно выбрать 5 делегатов из состава конференции, на которой
присутствуют 15 человек?
Задача 556. Сколькими способами можно поставить 8 шашек на черные поля доски?
Задача 557. У одного человека есть 11 книг по математике, а у другого — 15 книг. Сколькими
способами они могут выбрать по 3 книги каждый для обмена?
Задача 558. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из
следующих значений: 4, 5, 6, 7 см?
Задача 559. Две команды А и Б играют серию матчей по баскетболу до тех пор, пока одна из них не
одержит четырех побед (ничьих в баскетболе нет). Сколько различных серий таких матчей может
быть?
Задача 560. Какое наибольшее число точек пересечения могут иметь 8 окружностей?
Задача 561.. На рисунке изображена схема дорожек в парке. Аня идёт из точки A и должна выйти на
шоссе. Она идёт, не удаляясь от шоссе. Пусть m – число её маршрутов, проходящих через точку B, n
– общее число маршрутов. Найти отношение m/n (в общем случае).
A
B
135
Ответ к задаче 561. Ckn/2n, где n – число отрезков, которое необходимо пройти от A к B, k – число
отрезков на пути от A к B, по которым надо двигаться влево.
Задача 562. Сколькими способами хромая ладья может с поля a1 попасть на поле h6, двигаясь только
вправо и вверх? Хромая ладья ходит только на одну клетку.
Идея решения задачи 562. Первый способ. Можно в произвольном порядке выбирать 5 раз
горизонтальное и 7 раз вертикальное направления. Ответ: C512=792.
Второй способ. Выписываем для каждого поля, сколькими способами ладья может попасть на это
поле.
Идея. Сочетания с повторениями.
Задача 563. Сколько существует натуральных решений уравнения x1+x2+…+x10=25?
Решение задачи 563. Каждое слагаемое – по крайней мере 1. Пусть в ряд расположено 15 палочек,
разбитых на 10 кучек (некоторые из кучек могут быть пустыми). Количество палочек в i-той слева
кучке равно xi-1. А между кучками расположены нолики – их 9 штук. Тогда количество решений
уравнения равно количеству способов расположить в ряд 15 палочек и 9 ноликов, т. е. из 24 мест
выбрать места для 15 палочек. Ответ: C1524.
Задача 564. Сколько существует целых неотрицательных решений уравнения x1+x2+…+x10=25?
Формулы для Ckn.
Теорема 1. Свойства Ckn.
1. Akn=PkCkn.
2. Ckn=Cn-kn.
3. C0n=Cnn=1, C1n=Cn-1n=n.
4. Ckn+Ck+1n=Ck+1n+1.
Доказательство. Все формулы следуют из Ckn=n!/(k!(n-k)!).
Теорема 2. Свойства сумм Ckn.
1. (a+b)n=Cnnanb0+Cn-1nan-1b1+…+C1na1bn-1+C0na0bn.
2. (x+1)n=Cnnxn+Cn-1nxn-1+…+C1nx+C0n.
3. C0n-C1n+C2n-…+(-1)nCnn=0.
4. C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n.
5. C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n-1.
6. При kmin(m, n) Ckm+n=C0mCkn+C1mCk-1n+…+CpmCk-pn+…+CkmC0n.
7. Cn2n=(C0n)2+(C1n)2+…+(Cnn)2.
Доказательство. 1. Сколько слагаемых после перемножения n скобок (a+b) равно akbn-k? Мы должны
из всего множества скобок выбрать k скобок, из которых возьмём a, из остальных взять b.
2-4. Доказывается подстановкой в формулу п. 1 вместо x и y подходящих чисел.
5. Сложим формулы п. 3 и п. 4 и разделим на 2.
6. В самом деле, как можно выбрать k элементов из двух множеств, из которых первое содержит m
элементов, а второе n? Или из первого 0, из второго k, или из первого 1, из второго k-1, …
7. Подставьте m=n в п. 6 и воспользуйтесь п. 2 предыдущей теоремы.
Задача 565. Сколькими способами можно выбрать из n различных предметов нечетное число
предметов?
Задача 566. В кооперативе из 11 человек имеется партячейка. На каждом собрании ячейки
происходит либо приём одного члена в партию, либо исключение из партии одного человека. В
партячейке не может быть меньше трёх человек. Возвращаться к какому-либо из прежних составов
партячейки запрещено уставом. Может ли к какому-то моменту оказаться, что все варианты состава
ячейки реализованы?
Решение задачи 566. Обозначим через O и E соответственно число способов составить ячейку из
чётного и нечётного числа членов кооператива. Имеем: O=C311+C511+C311+...+C1111,
E=C411+C611+...+C1011. Если бы удалось реализовать все возможные составы ячейки, то разность O – E
была бы равна 1, -1 или 0, поскольку количество членов кооператива, состоящих в ячейке, меняется
на каждом заседании с чётного на нечётное или с нечётного на чётное. O–E=(C311+...+C1111)–
(C411+...+C1011)= –(C011–C111+C211–C311+...+C1011–C1111)+C011–C111–C211=
= –(1–1)11+1–11+55=45. Следовательно, реализовать все возможные составы ячейки не удастся.
Теорема 3. Свойства Ckn.
1. 1·C1n+2·C2n+…+n·Cnn=n·2n-1.
136
2. Ckm=Ck-1m-1+Ck-1m-2+…+Ck-1k-1.
3. Ckm=Ckm-1+Ck-1m-2+…+C0m-k-1.
4. При kim CimCki=CkmCi-km-k.
Доказательство. 1. Решим двумя способами следующую комбинаторную задачу. Требуется
подсчитать количество строк вида i{…, i, …}, в которых справа стоит подмножество множества {1,
2, …, n}, а слева – один из элементов этого подмножества.
Сначала заметим, что каждое k-элементное подмножество встречается в правых частях строк k раз,
по одному разу для каждого своего элемента в левых частях строк. Всего k-элементных подмножеств
Ckn, отсюда количество строк равно сумме в левой части равенства.
Пересчитаем строки другим способом. Каждый элемент встречается одинаковое число раз в левой
части строк. Элемент 1 встречается 2n-1 раз – столько, сколько подмножеств множества {1, 2, …, n}
содержит элемент 1.
2-3. Последовательно раскладываем второе и первое слагаемое соответственно по п. 4 теоремы 1.
4. Обе части равны m!/k!(i-k)!(m-i)!, следует из Ckn=n!/(k!(n-k)!).
Формула включений – исключений. Полиномиальная формула.
Обозначение. M - количество элементов в конечном множестве M.
Определение. Объединение M1M2 множеств M1 и M2 – множество, содержащее все элементы
множеств M1 и M2 и не содержащее никаких других элементов.
Определение. Пересечение M1M2 множеств M1 и M2 – множество, содержащее элементы, которые
входят одновременно в оба множества M1 и M2, и не содержащее никаких других элементов.
Замечание. Объединение и пересечение произвольного числа множеств не зависит от порядка
множеств.
Теорема 1. M1M2=M1+M2-M1M2 (или M1M2=M1+M2-M1M2).
Теорема 2 (формула включений-исключений). M1M2…Mk=M1+M2+…+Mk-M1M2M1M3-…-Mk-1Mk+M1M2M3+…+M1M2M3+…+Mk-2Mk-1Mk+…+(1)k+1M1M2…Mk.
Доказательство. Пусть какой-то элемент входит в n>0 из множеств M1, M2, …, Mk (для
определенности в первые n). Тогда он входит в C1n слагаемых первого вида, в C2n слагаемых второго
вида …, в Cnn слагаемых n-го вида. Но C1n-C2n+…+(-1)nCnn=1. Т. е. каждый элемент из левой части
входит в сумму в правой части ровно 1 раз. Наконец, если n=0, то элемент не входит ни в левую, ни в
правую часть.
Задача 567. Сколькими способами можно переставить буквы слова «космос», чтобы две одинаковые
буквы не стояли рядом?
Задача 568. В одной средневековой битве 70% участников лишились уха, 75% глаза, 80% руки и 85%
ноги. Найдите наименьшее количество повредивших одновременно ухо, глаз, руку и ногу.
Решение задачи 568. По теореме 1 наименьшее число одновременно оставшихся без уха и без глаза
45%, а значит (по той же теореме), наименьшее число одновременно оставшихся без уха, без глаза и
без руки 25%, а значит, наименьшее количество повредивших одновременно ухо, глаз, руку и ногу
10%.
Задача 569. На экзамене по математике было предложено три задачи: одна по алгебре, одна по
геометрии и одна по тригонометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по
геометрии 700, по тригонометрии 600. При этом задачи по алгебре и геометрии решили 600
абитуриентов, по алгебре и тригонометрии 500, по геометрии и тригонометрии 400. А 300
абитуриентов решили все задачи. Сколько абитуриентов не решило ни одной задачи?
Решение задачи 569. По теореме 2 1000-x=800+700+600-600-500-400+300, x=100.
Задача 570. Сколько существует натуральных чисел от 1 до 1000, не кратных ни 3, ни 7, ни 11?
Теорема 3. 1. (Полиномиальная формула.) (x1+x2+…+xm)n=

(n k1 k2 … km)x1k1x2k2…xnkn.
k1+k2+…+km=n
8.2. mn=

(n k1 k2 … km).
k1+k2+…+km=n
Доказательство. П. 1 следует из определения, п. 2 из п. 1 при x1=x2=…=xm=1.
Числа Каталана.
Определение. Числа Каталана cn – числа, определяемые следующими соотношениями: c0=1,
137
cn=c0cn-1+c1cn-2+…+cn-2c1+cn-1c0 при n1.
Теорема. cn=(2n!)/n!(n+1)!.
Доказательство. Следует из двух способов решения задачи 571.
Задача 571. Сколькими способами можно расставить 10 букв «р» и 10 букв «п», чтобы для любого
i<20 среди первых i букв было не меньше букв «п», чем «р»?
Решение задачи 571. Первый способ. Пусть мы знаем количество способов Bk расставить k букв «р»
и k букв «п». Для каждой расстановки букв рассмотрим такое наименьшее s, при котором среди
первых 2s букв поровну букв «п» и «р». Все способы поделим на группы в зависимости от s. При s=1
количество способов равно количеству способов расставить остальные 2k букв: Bk. Рассмотрим
произвольное s>1. Первые 2s букв любой расстановки, относящейся к s-той группе, обязательно
начинаются на пп и заканчиваются на рр. Зачеркнем крайние п и р. Получим 2(s-1) букв, которые
дают Bs-1 способов. Последние k+1-s букв расстановки дают Bk+1-s способов. Получаем формулу
Bn+1=1·Bn+B1Bn-1+…+BsBn-s+Bn·1.
Второй способ. Перебор по длине в начале слова группы из букв п. Пусть Bn, k – количество способов
расставить n букв п и n букв р так, что в начале идёт k букв п. Выбросим k-ю букву п и следующую за
ней р. Bn, k=Bn-1, k-1+Bn-1, k+…+Bn-1, n-1. Далее повторяем решение задачи 574.
Задача 572. Сколько существует правильных скобочных выражений из 12 скобок (по 6 каждого
вида)?
Указание к задаче 572. Буква п – открывающая скобка, буква р – закрывающая.
Задача 573. На окружности отмечены 10 точек. Сколькими способами можно провести пять хорд с
концами в отмеченных точках? Хорды не должны иметь общих точек, в т. ч. концов.
Указание к задаче 573. Одна вершина фиксируется. Перебор по другому концу хорды.
Задача 574. Мама печёт 6 пирогов: сначала с абрикосами (А), затем с брусникой (Б), с вишней (В), с
грибами (Г), с джемом (Д) и с ежевикой (Е). Пока она этим занимается, в кухню иногда прибегают
дети и каждый раз съедают самый горячий пирог. Сколькими способами могли быть съедены
пироги?
Решение задачи 574. Пусть Bn, k – количество способов съесть n пирогов, начиная с k-го пирога.
Тогда останется n-1 пирог, которые мы перенумеруем от 1 до n-1. Съедены «следующим ходом»
могут быть пироги с номерами от k-1 до n-1. Таким образом, Bn, k=Bn-1, k-1+Bn-1, k+…+Bn-1, n-1. Bn, 0=0, Bn,
n=1.
При всех k<n Bn, k=Bn-1, k-1+(Bn-1, k+…+Bn-1, n-1)=Bn-1, k-1+Bn, k+1.
Докажем по индукции, что Bn, k=k·(2n-k-1)!/(n-k)!n!. При n=1 формула верна. Пусть она верна для
всех чисел Bm, k при m<n. Для проверки формулы при m=n проведём индукцию по убыванию k. При
k=n формула верна. Воспользуемся Bn, k=Bn-1, k-1+Bn, k+1.
Осталось заметить, что ответ в задаче – сумма Bn, 1+Bn, 2+…+Bn, n=Bn+1, 1=(2n)!/n!(n+1)!=Kn. При n=6
это 132.
Задача 575. Сколькими способами выпуклый 17-угольник можно разбить (диагоналями) на 15
треугольников?
Указание к задаче 575. Для первой вершины смотрим, к вершине с каким наименьшим номером из
неё проведена диагональ (или не проведено ни одной).
Числа Фибоначчи.
Задача 576. Сколькими способами можно разрезать полоску 2 х 20 клеток на доминошки 1 х 2?
Задача 577. Ко дню Российского флота продавец украшает витрину 12 горизонтальными полосами
ткани трёх цветов. При этом он выполняет два условия: 1) одноцветные полосы не должны висеть
рядом и 2) каждая синяя полоса обязательно должна висеть между белой и красной (неважно, с какой
стороны от синей полосы белый сосед, а с какой красный). Сколькими способами он может это
сделать?
Идея решения задачи 577. Назовём белую и красную полосы зелёными. Пусть Tn – количество
способов развесить n полос. Тогда T1=T2=2, Tn+2=Tn+1+Tn (первая полоса зелёная; вторая полоса тоже
зелёная и дальше что угодно, или вторая полоса синяя, третья зелёная и дальше что угодно), таким
образом количества способов – это удвоенные числа Фибоначчи. Ответ: 288.
Задача 578. Обозначим через a(n) число способов, которыми данное натуральное число n можно
представить в виде суммы нескольких (быть может, одного) натуральных слагаемых, больших
единицы, с учетом их порядка. Докажите для каждого n тождество: a(2)+a(4)+...+a(2n)=a(2n+1).
Идея решения задачи 578. Докажем по индукции, что a(n+2)=a(n+1)+a(n). База очевидна. Способы
разбиваем на две группы: оканчивающиеся на 2 (двойку на конце убираем, способов a(n)) и
138
остальные (уменьшаем последнее число на 1, способов a(n+1)). Отсюда a(n)=Fn-1. Далее по индукции
проверяем свойство для чисел Фибоначчи a(2)+a(4)+...+a(2n)=a(2n+1).
Задача 579. На доске написаны два числа. Петя в качестве третьего числа написал их сумму, в
качестве четвёртого – сумму второго и третьего, и т. д. пока не получилось шесть чисел. Найдя сумму
всех шести чисел, Петя заметил, что зная эту сумму, можно определить одно из шести слагаемых.
Какое?
Задача 580. Сколькими способами из чисел 1, 2, …, 11 можно выбрать несколько (может быть, 0)
чисел так, чтобы среди выбранных чисел не было трёх идущих подряд чисел?
Решение задачи 580. Пусть f(n) – количество способов выбрать требуемое из первых n чисел. Тогда
f(1)=2, f(2)=4, f(3)=7, f(n+3)=f(n)+f(n+1)+f(n+2) по индукции, так как число наборов, не содержащих
n+3, равно f(n+2), содержащих n+3, но не содержащих n+2 – f(n+1), и, наконец, содержащих n+3, n+2
и не содержащих n+1 – f(n). Вычисляем f(4)=13, f(5)=24, f(6)=44, f(7)=81, f(8)=149, f(9)=274,
f(10)=504, f(11)=927.
Нестандартные комбинаторные задачи.
Задача 581. Сколько существует делящихся на 9 десятизначных натуральных чисел, в десятичной
записи которых участвуют только цифры 0 и 5?
Задача 582. В ряд выписаны в порядке возрастания числа, делящиеся на 9: 9, 18, 27, 36, … Под
каждым числом этого ряда записана его сумма цифр. Что во втором ряду встретится раньше: число
36 или четыре раза подряд число 27?
Задача 583. Каждую грань куба можно покрасить в белый или в чёрный цвета. Сколько разных по
окраске кубов можно получить?
Задача 584. Сколькими способами можно представить натуральное число n в виде суммы трёх
натуральных слагаемых?
Задача 585. Сколькими способами можно разложить миллион в произведение трёх натуральных
множителей? Разложения, отличающиеся порядком множителей, считаются различными.
Идея решения задачи 585. 1000000=2656. Надо перемножить количество способов выбрать
показатели у двойки и у пятёрки. А то и другое решается как предыдущая задача. Ответ: 282=784.
Задача 586. Сколько квадратов изображено на рисунке?
Задача 587. Сколько прямоугольников изображено на рисунке?
Задача 588. Даны шесть цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Найти сумму всех четырехзначных четных чисел,
которые можно написать этими цифрами (одна и та же цифра может повторяться).
Идея решения задачи 588. Сумма равна количеству чисел, умноженному на среднее число.
Последнее равно
(1000+2000+3000+4000+5000)/5+(0+100+200+…+500)/6+(0+10+20+…+50)/6+(0+2+4)/3.
Задача 589. Сколько целочисленных решений имеет неравенство /x/+/y/<100?
Задача 590. Сейф открывается при помощи цифрового кода, циферблат которого состоит из 100
клавиш с числами, расположенными по окружности. Для того чтобы открыть сейф, необходимо
нажать какие-то 3 клавиши, причем известно, что между любыми двумя искомыми клавишами
располагаются не менее 10 клавиш. Сколько комбинаций из трех клавиш необходимо перепробовать,
чтобы заведомо открыть сейф, если:
а) порядок нажатия клавиш не важен; б) этот порядок важен?
Идея решения задачи 590. Сначала решим б) и затем для решения а) разделим на 3!. Первую
клавишу можно выбрать 100 способами, вторую 79 способами, последнюю в зависимости от второй
разберите случаи.
Сколько целочисленных решений имеет неравенство /x/+/y/<100?
Задача 591. Каких трёхзначных чисел больше – тех, у которых средняя цифра больше обеих крайних,
или тех, у которых средняя цифра меньше обеих крайних? Насколько?
Сколько целочисленных решений имеет неравенство /x/+/y/<100?
Задача 592. Сколько целочисленных решений имеет неравенство /x/+/y/<100?
Задача 593. Назовём шестизначное число отличным, если в его записи встречаются две соседние
цифры, отличающиеся на 5. Сколько существует отличных чисел?
Указание к задаче 593. Чисел, не являющихся отличными, 9·9·9·9·9·9 (сколько возможностей для
следующей цифры?).
Задача 594. В алфавите племени Бум-Бум 6 букв. Словом является любая последовательность из 6
букв, в которой есть хотя бы две одинаковые буквы. Сколько слов в языке племени Бум-Бум?
139
Задача 595. Сколькими способами король может из верхнего правого угла доски 6 х 6 попасть в
нижний левый, двигаясь влево, вниз и по диагонали влево-вниз?
Идея решения задачи 595. В клетки таблицы 6 х 6 начиная с верхнего правого угла ставим числа,
которые показывают, сколькими способами можно попасть на каждую клетку. Ответ: 1683.
Задача 596. Каркас куба с ребром длины 4 разделен точками на единичные отрезки (на каждом ребре
отмечено по три точки, не считая вершин куба). Сколько различных прямых определяют эти точки?
Решение задачи 596. Временно исключим 12 прямых, проходящих через рёбра. Тогда через каждую
вершину куба проходит 9·3+4=31 прямая, через каждую из остальных точек 44-5=39 прямых, каждая
прямая учтена дважды, ответ (8·31+36·39)/2+12=838.
Задача 597. Сколько пар целых чисел (x, y) удовлетворяет системе неравенств 2x3y, 3x4y, 5x7y20.
Идея решения задачи 597. Замена переменных x=3b-4a, y=2b-3a. Это то же самое, что a=2x-3y, b=3x4y. Пары (a, b) и (x, y) одновременно являются или не являются целыми. В новых переменных
система принимает вид a0, b0, a+b20. Ответ: 231.
Задача 598. По окружности расставлены произвольным образом числа +1 и –1, их всего 2k. Затем
между каждыми двумя соседними числами ставится их произведение, а сами числа стираются. Затем
эта операция проделывается ещё раз, и т. д. Доказать, что не более, чем через 2k таких операций
останутся только единицы.
Решение задачи 598. Если следить за правым соседом числа a1, то сначала он станет a1·a2, затем
a1·a22a3, …, a1·a2^C1n·…·an^Cnn·a1. Осталось заметить, что все Cin чётны при n=2k.
Задача 599. Секретный код к любому из сейфов ФБР – натуральное число от 1 до 1700. Двое
шпионов узнали по одному коду каждый и решили обменяться информацией. Согласовав заранее
свои действия, они встретились на берегу реки возле кучи из 26 камней. Сначала первый шпион
кинул в воду несколько камней, затем второй, и т. д. по очереди, пока камни не кончились. Затем они
разошлись. Как была передана информация? Шпионы не сказали ни слова.
Идея решения задачи 599. Расположим в ряд n единиц и выберем k-1 из n-1 промежутков между
единицами, это можно сделать Ck-1n-1 способами.
Разные комбинаторные задачи.
Задача 600. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность», чтобы
две буквы «о» не шли подряд?
Решение задачи 600. Рассмотрим 2 случая: на конце о или нет. Пусть о на конце нет. Тогда каждую
букву о объединим со следующей за ней буквой. Получится новое слово с 18-7=11 буквами, из них 7
«двойных» и 4 обычных букв. Выбрать места для «двойных» букв можно C711 способами. Возьмём
какой-нибудь из этих способов. Расставить согласные можно 11!/(2!1!2!3!1!1!1!) способами. Если о
на конце, рассмотрим остальные 17 букв, из них 6 букв о. Окончательный ответ
C711·11!/(2!1!2!3!1!1!1!)+C611·11!/(2!1!2!3!1!1!1!)=(330+462)1663200=
=1317254400.
Задача 601. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длины ребер
которых выражаются натуральными числами от 1 до 10?
Решение задачи 601. Все три ребра различны у С310=120 параллелепипедов, все они одинаковы у
С110=10 параллелепипедов, два одинаковых ребра у A210=90 параллелепипедов. Ответ: 220.
Задача 602. 20 пассажиров собираются совершить поездку в поезде. В кассе есть 12 билетов на
нижние полки и 8 — на верхние. При этом 4 пассажира не желают ехать внизу, а 5 пассажиров —
наверху. Сколькими способами их можно разместить в поезде, если:
а) порядок размещения пассажиров по местам как внизу, так и наверху не учитывается;
б) порядок размещения учитывается и внизу и наверху;
в) учитывается только порядок размещения пассажиров внизу?
Указание к задаче 602. Сначала решите задачу а).
Задача 603. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если каждое
число должно состоять из трех четных и трех нечетных цифр, причем никакие две цифры в нем не
повторяются?
Указание к задаче 603. Отберите сначала 3 чётные цифры, 3 нечётные цифры, затем расположите
выбранные 6 цифр.
Задача 604. В лаборатории работают 8 физиков и 10 химиков. Надо создать рабочие группы по трем
темам. В первую группу должны войти 4 физика, во вторую — 5 химиков, а третья должна состоять
140
из трех человек, которые могут быть как физиками, так и химиками. Сколькими способами можно
создать такие группы?
Указание к задаче 604. Отберите сначала группы физиков и химиков.
Задача 605. У филателиста есть 8 разных марок на космическую тему и 10 разных марок на
спортивную тему. Сколькими способами он может наклеить 3 марки первого вида и 3 марки второго
вида в альбом на 6 пронумерованных мест?
Указание к задаче 605. Подсчитайте отдельно, сколькими способами можно выбрать космические
марки, сколькими спортивные и сколькими способами можно расположить 6 выбранных марок.
Задача 606. Докажите, что 20 взвешиваниями без гирь нельзя упорядочить по массе 10 предметов.
Задача 607. а) Сколькими способами можно разложить 3 марки по 20 к. и 10 марок по 10 к. в 4 пакета
разного цвета? б) Решите эту же задачу, если пакеты неразличимы.
Указание к задаче 607. а) Положим отдельно марки по 20 коп., затем марки по 10 коп. (сочетания с
повторениями). Перемножим. б) Если пакеты одинаковые, способов меньше в 4! раз.
Задача 608. В классе 20 учеников. Каждый дружит не менее, чем с 10 другими. Докажите, что в этом
классе можно выбрать две такие тройки учеников, что любой ученик из одной тройки дружит с
любым учеником из другой тройки.
Решение задачи 608. Пусть f(i, j, k) – число общих друзей у i-го, j-го и k-го учеников, S – сумма всех
таких чисел. В задаче требуется показать, что при некоторых i, j, k f(i, j, k)3. Всего чисел F будет
C320=1140. Так как у каждого не менее 10 друзей, то при подсчёте S мы учитываем каждого не менее
C310 раз, поэтому S120·20=2400. Применим принцип Дирихле.
3.2. ИГРЫ.
Классификация игр.
Как только какая-то игра математически обрабатывается, и создается безошибочный алгоритм
действия игрока, так сразу же она перестает быть игрой, превращаясь в строго определенную
последовательность действий, ведущих или к победе, или к ничьей, или к проигрышу. После
выявления такого алгоритма для знающего его игра уже теряет свою привлекательность, она
превращается в строгий набор фиксированных действий.
Однако даже математическая теория игр не способна стопроцентно предопределить исход
некоторых игр. Представляется возможным выделить три основные причины неопределенности
исхода игры (конфликта).
1. Игры, в которых не имеется реальной возможности исследования всех или, по крайней мере,
большинства вариантов игрового поведения и выбора из них одного наиболее правильного, ведущего
к выигрышу. Неопределенность вызвана значительным числом вариантов, сложностью их
ранжирования. Человеческий ум в ограниченный отрезок времени просто не в состоянии равным
образом исследовать абсолютно все варианты (к примеру, шахматы, японская игра го, русские и
международные шашки, британские реверси).
2. Непрогнозируемое игроками случайное влияние факторов на игру. Эти факторы оказывают
решающее воздействие на исход игры и лишь в малой степени могут быть или вообще не могут быть
контролируемыми и определяемыми играющими. Окончательный исход игры лишь в малой, крайне
незначительной степени определяется самими действиями игроков. Игры, исход которых
оказывается неопределенным в силу случайных причин, называются азартными (от французского
hasard – случай). Исход игры всегда носит лишь вероятностный, предположительный характер
(рулетка, игра в кости, игра в «орлянку», многие карточные игры).
3. Отсутствие информации о том, какой именно стратегии придерживается противник. Неведение
игроков о поведении соперника носит принципиальный характер и определяется самим правилами
игры.
Классификация игр строится на основе следующих оснований-признаков:
* число участников – одиночные, парные, с тремя участниками и т.д.;
* число стратегий – конечные (каждый игрок располагает конечным множеством ходов) и
бесконечные (по крайней мере один игрок располагает бесконечным множеством ходов, к примеру
игра биологического вида с природой);
* характер отношений игроков – бескоалиционные игры, игроки в которых играют каждый за себя и
кооперативные игры, игроки объединяются в коалиции с одинаковыми на время игры интересами;
* характер выигрыша – игры с нулевой суммой (сумма общего выигрыша не меняется, а лишь
перераспределяется или сумма выигрышей всех игроков во всех партиях данной игры нулевая) и
141
игры с ненулевой суммой, к примеру лотерея, в которой организатор всегда выигрывает, а другие
игроки (покупатели билетов) всегда получают суммарный выигрыш значительно меньший стоимости
билетов;
* число ходов – одноходовые и многоходовые;
* состояние информации игры – игры с полной информацией (игроки получают всю игровую
информацию после очередного хода соперника) и игры с неполной (скрытой) информацией.
Соглашения. В дальнейшем во многих игровых задачах для сокращения условию мы будем
придерживаться следующих соглашений. 1) Если в задаче не сказано, сколько игроков, то их двое. 2)
Если не сказано, как ходят, то по очереди. 3) Если не сказано, кто выигрывает, то проигрывает тот,
кто не может сделать ход по правилам. 4) Если не сказано, что надо найти, то надо найти, кто
выигрывает и как он должен действовать (предъявить его стратегию).
Стратегия игрока.
Стратегия игрока – это алгоритм игры (правило, инструкция), указывающая для каждой ситуации,
которая может появиться в игре, какой ход должен сделать игрок, и приводящая к цели при любой
игре противника.
Теорема. Если в игре участвуют двое игроков, и удается доказать, что игра заканчивается за
конечное число ходов выигрышем одного из игроков, то возможна ровно одна из двух следующих
возможностей:
1) Имеется выигрышная стратегия у начинающего игрока, т. е. алгоритм его действий, приводящий к
его выигрышу независимо от действий соперника.
2) Имеется выигрышная стратегия у игрока, который делает ход вторым.
Идея доказательства. Строим дерево позиций и исследуем их с конца, указывая для каждой из них,
является она выигрышной или проигрышной для начинающего. Рано или поздно мы сможем
определить, кто выигрывает в начальной позиции.
Пусть в игре участвуют двое игроков, и удается доказать, что игра заканчивается за конечное число
ходов выигрышем одного из игроков или ничьей. Будем считать, что каждый игрок считает свою
победу самым благоприятным для себя исходом игры; если же победа невозможна, то он стремится к
ничьей. Если игра при правильных действиях обоих игроков заканчивается ничьей, то в качестве
доказательства ничейности игры необходимо доказать наличие стратегий у каждого из игроков,
гарантирующих им как минимум ничью независимо от действий соперника. Приведём пример.
Задача 609. Играют двое, закрашивая по очереди клетки квадрата 10 х 10: начинающий красит
любой непокрашенный прямоугольник 1 х n в красный цвет, а его партнер - в синий цвет. Игра
заканчивается, когда все клетки покрашены. Выигрывает тот, кто покрасит больше клеток (при
равенстве - ничья). Кто выигрывает, если оба игрока действуют наилучшим образом?
Решение задачи 609. При правильной игре обоих игроков – ничья.
Стратегия первого игрока («жадная стратегия»). Начинающий каждым ходом красит как можно
больше клеток. Тогда ответным ходом его соперник покрасит не больше клеток, чем покрасил
начинающий (иначе бы начинающий покрасил прямоугольник, покрашенный соперником). Так как
каждым ходом начинающий красит не меньше клеток, чем соперник, и делает не меньше ходов, в
итоге он покрасит не меньше, чем соперник.
Стратегия второго игрока (симметричная стратегия). Второй игрок красит прямоугольник,
симметричный ходу соперника относительно центра квадрата 10 х 10. Докажем два следующих
утверждения совместной индукцией по числу k сделанных ходов:
1) перед k-м ходом начинающего непокрашенная область имеет центр симметрии;
2) второй игрок всегда сможет сделать k-й ход согласно своей стратегии.
База индукции. 1) Перед первым ходом (до начала игры) квадрат имеет центр симметрии.
2) Какой бы ход не сделал начинающий, он не сможет закрасить клетки, симметричные друг другу
относительно центра доски, так как эти клетки стоят в разных строках и разных столбцах (сумма
номеров их строк равна 11, сумма номеров их столбцов также 11, равные номера строк или столбцов
невозможны, 11 не делится на 2). Но прямоугольник, который закрасил начинающий, не содержит
двух клеток одновременно в разных строках и в разных столбцах, так как вертикальный
прямоугольник закрывает клетки одного столбца, а горизонтальный – клетки одной строки. Поэтому
ответному ходу второго игрока ничего не мешает: симметрия незакрашенной области перед ходом
начинающего и отсутствие общих клеток у прямоугольника, закрашенного начинающим и
симметричного ему прямоугольника позволяют второму игроку сделать ход согласно его стратегии.
Пусть в течение первых k ходов оба утверждения верны. Рассмотрим k+1 ход.
142
1) Перед k-м ходом незакрашенная область была симметрична относительно центра квадрата 10 х 10,
были сделаны симметричные ходы, поэтому перед k+1 ходом незакрашенная область также имеет
центр симметрии.
2) Доказательство аналогично тому, как доказывалась возможность для второго игрока сделать
первый ход.
Таким образом, второй игрок имеет стратегию, позволяющую закрасить не меньше 50 клеток.
Каждый из игроков гарантирует себе ничью или выигрыш, если будет придерживаться своей
стратегии. Поэтому при правильной игре обоих игроков результат игры - ничья.
Несколько игровых идей.
Идея «Заповедник». Игрок, у которого больше возможностей сделать ход, оставляет себе
возможность сделать такой ход, который невозможен для соперника.
Задача 610. Имеется полоска из 100 клеток. Двое по очереди красят ее клетки в черный цвет, причем
первый всегда закрашивает 4 соседних клетки, а второй — три соседних клетки. Уже покрашенную
клетку второй раз красить нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто
выигрывает при правильной игре: первый или второй?
Задача 611. Дана белая доска размером 100 x 100 клеток. Двое по очереди красят ее клетки в черный
цвет, причем первый всегда закрашивает квадрат 2 x 2, а второй — три клетки, образующие "уголок".
Уже покрашенную клетку второй раз красить нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать
очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?
Задача 612. Двое играющих по очереди красят полоску из 150 клеток: первый всегда красит две
клетки подряд, а второй - три. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто должен выиграть при
правильной игре?
Идея решения задачи 612. Начинающий выиграет. В какой-то момент (можно на первом ходу) он
оставляет незакрашенный просвет в две клетки и не трогает его, пока есть не менее трех
незакрашенных клеток подряд.
Идея многих заготовок. Если начать выигрышные комбинации сразу в нескольких местах, то повезёт
хотя бы в одном из них.
Идея многих заготовок.
Задача 613. Двое играют в крестики-нолики на бесконечной доске. Могут ли крестики поставить
четыре своих знака в вершинах квадрата?
Задача 614. Двое играют в крестики-нолики на бесконечной доске. Крестики делают два хода
подряд. Могут ли они поставить сто крестиков в ряд?
Задача 615. На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает
произвольную клетку в красный цвет; второй окрашивает произвольную неокрашенную клетку в
синий цвет; затем первый окрашивает произвольную неокрашенную клетку в красный цвет, а второй
еще одну неокрашенную клетку в синий цвет и т. д. Первый стремится к тому, чтобы центры какихто четырёх красных клеток образовали квадрат со сторонами, параллельными линиям сетки, а второй
хочет ему помешать. Кто выиграет?
Задача 616. а) Играют двое. Первый выписывает в строку слева направо цифры, произвольно чередуя
0 и 1, пока всех цифр не станет всего 1999. Каждый раз после того, как первый выписал очередную
цифру, второй меняет между собой две соседние цифры из уже написанного ряда (когда написана
только одна цифра, второй пропускает ход). Всегда ли второй может добиться того, чтобы после его
последнего хода расположение цифр было симметричным относительно средней цифры?
б) Та же задача, но второй может менять не обязательно соседние (а любые) цифры.
Указание к задаче 616. а) Постройте контрпример.
б) Индукция. Обмен в тройке (центральная, новая, симметричная новой).
Задача 617. Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в
ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место
красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим,
если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему
помешать?
Решение задачи 617. Не может. Пусть первый ставит точки на прямую, заботясь только о том, чтобы
не попасть в уже поставленную точку (это всегда возможно, так как на прямой бесконечно много
точек). Если уже поставлено n красных точек на прямой, то прибавление одной новой точки на этой
же прямой увеличивает количество мест, куда можно поставить красную точку, чтобы с уже
поставленными она образовала правильный треугольник, на 2n (новая точка с каждой из старых - это
143
одна сторона, к ней можно добавить двумя способами вершину правильного треугольника). Итак,
количество мест, куда можно поставить точку, чтобы образовался правильный треугольник, после
постановки (n+1)-й красной точки равно сумме арифметической прогрессии 2+4+6+...+2n=n(n+1).
Число синих точек после этого хода становится равным 10(n+1), что при при n>10 уже меньше, чем
число возможных мест для красной точки, создающей правильный треугольник. Тем самым, у
первого после 10-го хода всегда есть возможность добиться цели.
Идея «Нет выбора». Если один из игроков делает «плохой ход», то сразу же проигрывает. Ходов, не
являющихся «плохими», в каждой ситуации не больше одного.
Задача 618. В кучке 720 спичек. Играют двое, ходят по очереди. За один ход можно взять любое
количество спичек от 1 до 719, которое ещё не брали. Выигрывает тот, кто забирает последние
спички. Чем закончится игра, если оба игрока действуют наилучшим образом?
Задача 619. Хулиганы Петя и Вася вырывают листы из 100-страничной книги. Начинает Петя, ходят
по очереди, вырывая по листу. Выигрывает тот, после хода которого сумма номеров некоторых
(может быть, одной) из вырванных им страниц равна 100. Но Петя может складывать только
нечетные, а Вася – только четные номера. Кто выиграет?
Идея «Возможность воспользоваться стратегией другого игрока» (передача хода). Если мы можем
воспользоваться стратегией противника, то наши дела не хуже, чем у него. Например, выигрыш (или
ничья) обеспечивается, когда можно по своему желанию попасть в некоторую позицию, которая
выигрышная для противника.
Особенность задач на эту идею – невозможность выяснить, какова должна быть выигрышная
стратегия того игрока, который выигрывает при правильной игре. Можно только указать игрокапобедителя.
Вместе с данной игрой рассматривается ещё одна, в которой один ход уже сделан. Этот ход такой,
что уже на следующем ходу обе игры, предложенная в задаче и та, которую мы придумали и
рассматриваем, ничем друг от друга не отличаются.
Задача 620. Две телекомпании получили право освещать столицу международной шахматной мысли
Нью-Васюки, состоящую из 200 кварталов, расположенных на пересечении 11 улиц, идущих с севера
на юг, и 21 улицы, идущей с запада на восток. Телекомпании по очереди ставят на неосвещённый
перекрёсток прожектор, освещающий весь северо-восточный угол города. Ставить прожектор на
освещённый перекрёсток нельзя. Приз имени Остапа Бендера получит та телекомпания, которой
нечего будет освещать. Какая телекомпания выигрывает приз при правильной игре?
Решение задачи 620. Начинающая. Рассмотрим новую игру, которая отличается от нашей игры тем,
что до начала игры в городе северо-восточный перекрёсток освещён. Если в новой игре выигрывает
начинающая телекомпания, то и в старой она выигрывает, делая те же ходы. Если в новой игре
выигрывает телекомпания, делающая второй ход, то в старой игре начинающая телекомпания
передаёт ход сопернику, устанавливая первым ходом прожектор в северо-восточный угол.
Задача 621. На доске написаны числа от 1 до N. Двое играющих по очереди вычёркивают какоенибудь невычеркнутое число, а вместе с ним – все его невычеркнутые делители. Проигрывает тот,
кому невозможно сделать ход. Кто выигрывает?
Решение задачи 621. Выигрывает начинающий. Рассмотрим игру с теми же правилами,
отличающуюся лишь тем, что вначале на доске нет единицы (написаны числа от 2 до N). Назовём её
“игра без единицы”. Если в игре без единицы выигрывает начинающий, то и в игре с единицей – тоже
начинающий. Он делает точно такой же первый ход, и далее игры ничем не отличаются друг от
друга. Если же в игре без единицы тот, кто делает первый ход, проигрывает, то в игре с единицей
начинающий первым ходом вычёркивает число 1.
Задача 622. Имеется множество чисел M={1, 2, …, N}. За один ход можно выписать на доску
подмножество множества M. Нельзя выписывать подмножества уже выписанного множества. Играют
двое, ходят по очереди. Проигрывает сделавший последний ход. Кто выигрывает?
Задача 623. Выписаны в ряд числа от 1 до 2009. Играют двое, делая ходы поочередно. За один ход
разрешается вычеркнуть любое из записанных чисел вместе со всеми его делителями. Выигрывает
тот, кто зачеркнёт последнее число. Докажите, что у первого игрока есть способ играть так, чтобы
всегда выигрывать.
Задача 624. 100 карточек в стопке пронумерованы от 1 до 100 сверху вниз. Двое играющих по
очереди снимают сверху по одной или несколько карточек и отдают сопернику. Выигрывает тот, у
кого первого произведение номеров всех карточек станет кратно 1000000. Кто из игроков может
гарантировать себе выигрыш?
144
Идея решения задачи 624. Ничьей быть не может, так как есть 9 чисел, кратных 10 и одно кратное
100 (произведение делится на 1011, хотя бы в одном произведении будет множитель 106). Рассмотрим
игру для чисел от 2 до 100. Если выигрывает первый, то в первой игре он тоже выигрывает, если
второй, то первый берет единицу и пользуется его стратегией.
Идея «Четность числа ходов постоянна» (Игры-шутки). Один из игроков выигрывает независимо от
того, как оба ходят. Он вынужден выигрывать, даже если не хочет этого!
Задача 625. В кучке 100 камней. За один ход разрешается взять 1 или 3 камня. Играют двое, ходят по
очереди. Выигрывает тот, кто возьмёт последние камни. Кто выигрывает при правильной игре?
Задача 626. На листе клетчатой бумаги размером k х p клеток (k>1, p>1) двое делают разрезы по
линиям сетки. Первый разрез ведется от края, следующие - от конца предыдущего. Проигрывает тот,
после разреза которого лист распадется на два куска. Кто должен выиграть?
Указание к задаче 626. Результат зависит от того, на чьем ходе закончатся внутренние узлы сетки.
Их (k-1)(p-1). Если это число нечетное (то есть k и p четные), то при правильной игре начинающего
второй игрок, после того, как закончатся узлы, вынужден делать проигрышный разрез. Если хотя бы
одно из чисел k, p нечетное, то выигрывает второй игрок.
Задача 627. Двое по очереди ломают шоколадку 6 х 8. За ход разрешается сделать прямолинейный
разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто
выиграет?
Задача 628. Имеется три кучки камней: в первой - 10, во второй - 15, в третьей - 20. За ход
разрешается разбить любую кучку на две меньшие; проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто
выиграет?
Задача 629. Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били друг друга.
Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?
Задача 630. Числа от 1 до 20 выписаны в строчку. Игроки по очереди расставляют между ними
плюсы и минусы. После того, как все места заполнены, подсчитывается результат. Если он четен, то
выигрывает первый игрок, если нечетен, то второй. Кто выиграет?
Задача 631. На доске написаны 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры
и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными - единицу. Если последняя
оставшаяся на доске цифра - единица, то выиграл первый игрок, если двойка - то второй. Кто
выиграет?
Задача 632. На доске написаны числа 25 и 36. За ход разрешается дописать еще одно натуральное
число - разность любых двух имеющихся на доске чисел, если она еще не встречалась. Проигрывает
тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?
Указание к задаче 632. Алгоритм Евклида дает НОД(25, 36)=1. Значит, в игре встретятся все числа
от 1 до 36.
Задача 633. Дана клетчатая доска 9 х 10 клеток. За ход разрешается вычеркнуть любую горизонталь
или любую вертикаль, если в ней к моменту хода есть хотя бы одна невычеркнутая клетка.
Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?
Задача 634. Дана клетчатая доска 10 х 12 клеток. За ход разрешается вычеркнуть любую горизонталь
или любую вертикаль, если в ней к моменту хода есть хотя бы одна невычеркнутая клетка.
Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?
Задача 635. Дана клетчатая доска 9 х 11 клеток. За ход разрешается вычеркнуть любую горизонталь
или любую вертикаль, если в ней к моменту хода есть хотя бы одна невычеркнутая клетка.
Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?
Задача 636. Имеется фанерная доска n х n, разделенная на клетки. Двое игроков по очереди делают
пропил лобзиком между соседними узлами. При этом нельзя соединять два узла, если оба они
расположены не на краю и до обоих ещё не соединены ни с одним узлом. Проигрывает тот из
игроков, после хода которого доска распадается на два части. Кто выигрывает? Кто выиграет?
Задача 637. Имеется шоколадка размером 13 х 26. За ход можно сделать прямолинейный разлом
одного из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Захотите ли Вы
начать игру при таких условиях?
Идея «Минимакс».
Задача 638. Малыш и Карлсон делят между собой 10 конфет следующим образом: Карлсон делит
конфеты на две кучки, а Малыш выбирает себе одну из кучек. По сколько конфет могут обеспечить
себе Малыш и Карлсон?
Анализ задачи 638. Проанализируем стратегию Карлсона в этой простой игре. Карлсон не знает,
какую из кучек конфет выберет Малыш, но он предполагает, что Малыш возьмет себе большую
145
кучку, то есть, постарается максимизировать свой выигрыш. Поэтому Карлсон выбирает такой ход,
который минимизирует этот максимальный выигрыш Малыша. Такая стратегия (уменьшение
наибольшего выигрыша противника) называется минимаксом. Идея минимакса используется в
шахматных и некоторых других компьютерных программах.
Игра Ричмана
Правила игры. Играют 2 игрока – Синий и Красный. Синий игрок в начале игры имеет B долларов,
Красный – R долларов, где B и R – неотрицательные действительные числа, в сумме составляющие 1.
Игровое поле - ориентированный граф с двумя отмеченными вершинами – синей (b) и красной (r),
такой, что из каждой вершины v есть ориентированный путь хотя бы в одну из вершин b или r. В
некоторой вершине графа находится фишка.
Ход состоит в следующем. Каждый игрок записывает на листе бумаги (в тайне от соперника)
неотрицательное действительное число, не превосходящее его текущий капитал. После этого игроки
сравнивают написанные числа. Игрок, предложивший за ход большую сумму, получает право
передвинуть фишку на любую соседнюю вершину графа (соблюдая ориентацию). При этом сумма,
которую предложил этот игрок, передается сопернику (то есть вычитается из капитала одного игрока
и прибавляется к капиталу другого). Если окажется, что игроки предложили одинаковые суммы, то
право хода определяет жребий (подбрасывается монета). В этом случае так же производится передача
денег.
Игрок выигрывает, если ему удастся поставить фишку в вершину своего цвета. Если игра
продолжается бесконечно, считается, что она закончилась вничью.
Задача 639. а) Рассмотрите игру на графе на рисунке 1 (B=0,7). Имеет ли Синий игрок
непроигрышную стратегию? А выигрышную?
Рис.1
Рис.3
Рис.
2
Рис.2
б) Те же вопросы для графа на рисунке 2 (B=0,4).
в) Те же вопросы для графа на рисунке 3 (B=0,5).
Задача 640. а) Для каждой черной (отличной от b и r) вершины v графа, изображенного на рисунке 4,
найдите такое число R(v), что если сначала фишка находится в вершине v, то при B>R(v)
непроигрышную стратегию имеет Синий, а при B<R(v) - Красный.
б) Тот же вопрос для графа на рисунке 5 (граф имеет n ребер).
в) Тот же вопрос для графа на рисунке 6.
Задача 641. Пусть начальный капитал Красного в 30 раз больше начального капитала Синего. Можно
ли так ориентировать ребра куба на рисунке 7 (каждое ребро нужно ориентировать либо в одну, либо
в обе стороны), чтобы выполнялись следующие два условия: а) из любой вершины есть
ориентированный путь в красную вершину; б) при некотором начальном расположении фишки, у
красного нет выигрышной стратегии?
Задача 642. Рассмотрите игру на графе, изображенном на рисунке 8 (указана начальная вершина,
капитал Синего B=0,6). Какого числа ходов достаточно Синему для выигрыша?
Рис.4
Рис.5
Рис.6
146
Рис.7
Рис.8
Соответствие в играх.
Наличие удачного ответного хода может обеспечиваться симметрией, разбиением на пары,
дополнением числа.
Идея. Стратегия дополнения.
Задача 642. Из 1997 первый играющий вычитает 1, 7 или 9. Второй вычитает из результата число,
которое записывается одной из ненулевых цифр результата, и т.д. Побеждает тот, у кого получится 0.
Кто победит?
Идея решения задачи 642. Начинающий вычтет 7 и далее всегда будет вычитать последнюю цифру.
Тогда второй будет иметь последовательно числа 1990, 1980, ..., 10, 0.
Задача 643. В куче лежат 50 камней. Двое поочередно добавляют в нее от 1 до 10 камней.
Выигрывает тот, кто доведет число камней до 200. Кто это будет - первый или второй?
Решение задачи 643. Чтобы в конце оказалось 200 камней, надо перед этим сделать так, чтобы у
соперника было 189, 178 и т.д. Из чисел вида 2+11k, больших 50, наименьшее 57. Следовательно,
первый игрок выигрывает, доведя первым ходом число камней до 57, а далее дополняя выставленные
соперником камни до 11.
Задача 644. Двое по очереди берут из кучи камни. Разрешается брать любую степень двойки (1, 2, 4,
...). Взявший последний камень выигрывает. Кто победит в этой игре?
Решение задачи 644. Если исходное число камней делится на 3, то выигрывает второй, беря каждый
раз по 1 или 2 камня и оставляя число камней, которое делится на 3. Если исходное число камней не
делится на 3, то та же стратегия приводит к победе первого игрока.
Задача 645. На концах клетчатой полоски 1 х 20 стоит по шашке. За ход разрешается сдвинуть
любую шашку в направлении другой на одну или на две клетки. Перепрыгивать шашкой через
шашку нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача 646. На концах клетчатой полоски 1 х 20 стоит по шашке. За ход разрешается сдвинуть свою
шашку в любом направлении на одну или на две клетки. Перепрыгивать шашкой через шашку
нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача 647. Игра начинается с числа 60. За ход разрешается уменьшить имеющееся число на любой
из его делителей. Проигрывает тот, кто получит ноль.
Задача 648. Игра начинается с числа 0. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое
натуральное число от 1 до 9. Выигрывает тот, кто получит число 100.
Задача 649. Двое выписывают 100-значное число. Ходят по очереди. За один ход разрешается
приписать уже к имеющемуся числу одну цифру – 3, 4, 5 или 6. Второй выигрывает, если число
разделится на 9. Кто выигрывает?
Задача 650. Двое пишут 100-значное число, используя только цифры 2, 3, 4. Сначала начинающий
игрок пишет первую цифру, затем второй игрок – вторую, затем начинающий – третью цифру и т. д.
по очереди. Может ли второй игрок добиться того, чтобы 100-значное число разделилось на 9, если
начинающий стремится ему помешать?
Решение задачи 650. Не может. Первый может, например, сначала написать 3, а дальше дополнять
каждый раз цифру второго до 6. Сумма цифр 99-значного числа тогда разделится на 9.
Задача 651 (игра Баше). В кучке некоторое количество спичек. За один ход можно взять от 1 до k
спичек. Выигрывает тот, кто возьмёт последние спички. Играют двое, ходят по очереди. Кто
выигрывает при правильной игре?
Задача 652. В корзине лежат 100 орехов. Двое играют в следующую игру: по очереди берут
несколько орехов из корзины. На n-м ходу можно брать не менее одного и не более n орехов.
Выигрывает тот, кто берет последний орех. Кто выигрывает при правильной игре? Первый делает 1й, 3-й, 5-й, … ходы, Второй – 2-й, 4-й, 6-й и т. д. ходы.
147
Задача 653. Двое играют в такую игру. Вначале на доске написано число 35. Затем играющие по
очереди отнимают от написанного числа простое число или 1. Выигрывает игрок, получивший 0. Кто
выиграет при правильной игре?
Указание к задаче 653. Дополнение до четырёх. Первый оставляет числа, кратные 4.
Задача 654. На столе лежит 37 спичек. Разрешается по очереди брать не более 5 спичек. Выигрывает
тот, кто возьмет последнюю. Кто выигрывает при правильной игре?
Задача 655. Двое пишут 30-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру
пишет первый, вторую - второй, третью - первый и т. д. Может ли второй добиться того, чтобы
полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?
Задача 656. Двое пишут 20-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру
пишет первый, вторую - второй, третью - первый и т. д. Может ли второй добиться того, чтобы
полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?
Задача 657. Нарисовано по кругу 12 (20, 100, любое чётное число) кружочков. Игроки по очереди
ставят в кружки числа от 1 до 12. Ходить можно куда угодно, но повторять числа нельзя и требуется
соблюдать правило: рядом стоящие числа должны отличаться на 1. Кто не может сделать ход проиграл.
Задача 658. Имеются 4 кучки камней по 9, 10, 12 и 18 камней соответственно. При своем ходе игрок
может взять из одной кучки 1 или 2 камня. Кто не может сделать ход - проиграл. Определить
результат игры (т.е. найти выигрышную стратегию для одного из игроков).
Задача 659. Света и Аня по очереди (сначала Света) слева направо пишут цифры четырёхзначного
числа. Если полученное число делится на 9, то выиграет Аня, иначе - Света. У кого из девочек есть
выигрышная стратегия?
Задача 660. На одном конце полосы 1 х 100 стоит чёрная шашка, а на другом - белая. Двое по
очереди двигают каждый свою шашку (первый - черную, второй - белую) на 1, 2, 3 или 4 клетки в
направлении шашки соперника (перескакивать через чужую шашку запрещено). Проигрывает тот,
кто не может сделать ход. Кто выиграет?
Идея. Разбиение на пары.
Задача 661. Дана полоска 1 х 99, клетки которой занумерованы слева направо числами от 1 до 99.
Двое учеников играют в игру, по очереди делая свои ходы. За один ход требуется зачеркнуть одну
произвольную клетку в полоске или любые две последовательные, где первая из них – чётная.
Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто может обеспечить себе выигрыш – начинающий
или его соперник?
Идея решения задачи 661. Выиграет начинающий. Он зачеркивает произвольную четную клетку. В
результате игра распадается на 48 прямоугольников 1 х 2 и две отдельные клетки. Далее
симметричная стратегия.
Задача 662. Двое заполняют по очереди таблицу 3 х 3 любыми действительными числами. Затем
первый находит сумму чисел первой и третьей строки, а второй - сумму чисел первого и третьего
столбца. Выигрывает тот, у кого сумма больше. Кто победит?
Идея решения задачи 662. Как только из четырех чисел b1, b3, a2, c2 (в шахматной нотации) будут
написаны три, первый игрок находит четвертое из условия b1+b3>a2+c2 и выигрывает.
Задача 663. На девяти карточках пишут произвольные действительные числа. Игроки заполняют
таблицу цифрами 3 х 3, раскладывая в ее клетки приготовленные карточки. Затем считают сумму по
тем же правилам. Кто теперь победит?
Идея решения задачи 663. Пусть на карточках написаны числа x1, x2 ... x9. 1) Если x1+x9>x2+x8, то
первый игрок берет себе наибольшее число x9 и ставит в b1 или b3, а следующим ходом ставит
противнику в a2 или c2 наименьшее - x1 или x2. 2) Если x1+x9<x2+x8, то сначала первый игрок ставит x1
в a2, а при втором ходе x9 или x8 в b1 или b3. В обоих случаях первый выигрывает. 3) Если x1+x9=x2+x8,
то игра закончится вничью.
Задача 664. Двое играют на полосе из 12 клеток. При каждом ходе можно поставить на любое поле
шашку или сдвинуть на одну клетку вправо выставленную ранее шашку. Игрок выигрывает, когда
занимает шашкой последнее свободное поле полосы. Кто победит? (На каждой клетке может
размещаться только одна шашка.)
Идея решения задачи 664. Выигрывает второй. Он постоянно следит, чтобы каждая группа
свободных полей (между шашками и от шашек до границ) была четной.
Задача 665. Двое игроков по очереди вставляют в запись ?x+?=?x+? вместо знаков вопроса по
одному из данных различных чисел a, b, c, d (в любом порядке, но без повторений). Например:
aх+b=cх+d. Когда все пропуски заполнятся, нужно решить полученное линейное уравнение. Если его
148
корень - положительное число, выигрывает первый, иначе - второй. Кто выигрывает при правильной
игре?
Идея решения задачи 665. Выигрывает второй. Можно считать, что a<b<c<d. Разобьем числа на
пары {a, b} и {c, d}. После хода первого второй ставит второе число той же пары в ту же (левую или
правую) часть уравнения. В результате коэффициент с одной стороны будут меньше, чем
коэффициент при той же степени с другой стороны. Поэтому при любом положительном x левая
часть будет строго меньше, чем правая, так что ни одно положительное число не будет корнем
уравнения.
Задача 666. На столе лежат карточки, на которых написаны по одному разу все делители числа 2000,
причем на каждой карточке написан один из делителей. Два игрока по очереди берут себе по одной
карточке. Проигрывает тот, у кого число на одной из его карточек делится на другое из его карточек.
Кто выигрывает при правильной игре?
Решение задачи 666. Выигрывает второй. Карточки с числами a и b назовем дополняющими друг
друга, если a·b=2000. Ясно, что для каждой карточки имеется ровно одна ее дополняющая, а второй
игрок в ответ на ход первого всегда сможет взять карточку, дополняющую карточку, выбранную
первым.
Покажем, что второй игрок тогда не может проиграть. Пусть у второго игрока оказались карточки с
числами c и d, где c делится на d. Но тогда еще до этого у первого игрока были карточки с числами
2000:c и 2000:d, второе из которых делится на первое, так как (2000:c)/(2000:d)= d:c.
Задача 667. На шахматной доске стоит фишка. Двое по очереди передвигают фишку на соседнюю по
стороне клетку. При этом запрещается ставить фишку на поле, где она уже побывала. Проигрывает
тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Задача 668. В одном из углов шестиугольной игровой доски со стороной n (на
рисунке изображена доска для n=3) стоит фишка. Играют двое, ходят по
очереди. Ход состоит в передвижении фишки по отрезку на соседнее поле,
причем нельзя ставить фишку на поле, на котором она уже побывала.
Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход без нарушения правил.
Кто выиграет при правильной игре - начинающий или второй игрок?
Решение задачи 668. Второй выигрывает, разбивая узлы решётки (кроме того, где
первоначально стояла фишка) на пары соседних (см. рисунок). После каждого хода
первого игрока второй перемещает фишку в узел, находящийся в паре с только что
занятым. Число пар конечно, поэтому рано или поздно у первого игрока не будет
хода.
Задача 669. Малыш и Карлсон разрезали круглый торт прямолинейными
разрезами, проходящими через его центр, на 20 одинаковых кусков. Они
договорились поочередно съедать по 3 произвольных куска, а оставшиеся 2 куска
достанутся Малышу, если они окажутся рядом, и Карлсону в противном случае.
Начинает есть, конечно, Карлсон. Кто из них сумеет съесть больше кусков торта?
Указание к задаче 669. Малыш разбивает куски на 10 пар соседних.
Задача 670. У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2, ..., 55 кг. Они по очереди подкладывают свои гири каждый на свою чашу двухчашечных весов. Первым ходит Вася. Петя выигрывает, если разность
масс гирь на чашах окажется равной 50 кг. Сможет ли он этого добиться?
Задача 671. Двое играют в следующую игру на первоначально пустой доске 1 x 1999, клетки которой
занумерованы слева направо числами от 1 до 1999. У игроков имеется мешок с достаточно большим
количеством фишек. За один ход игрок может либо взять фишку из мешка и поставить ее на
произвольное пустое поле, либо передвинуть какую-нибудь из уже стоящих фишек (например, с поля
номер N) на пустое поле с наименьшим номером, большим N (если такое поле найдется). Ходят
игроки по очереди, проигрывает тот из них, кто не сможет сделать очередной ход. Кто выигрывает
при правильной игре - начинающий игрок или его соперник?
Задача 672. Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычеркивает 9 чисел (по
своему выбору) из последовательности 1, 2, ..., 100, 101. После одиннадцати таких вычеркиваний
останутся 2 числа. Первому игроку присуждается столько очков, какова разница между этими
оставшимися числами. Доказать, что первый игрок всегда сможет набрать по крайней мере 55 очков,
как бы ни играл второй.
Задача 673. На квадратном поле размерами 99 х 99, разграфленном на клетки размерами 1 х 1,
играют двое. Первый игрок ставит крестик на центр поля; вслед за этим второй игрок может
поставить нолик на любую из восьми клеток, окружающих крестик первого игрока, и т.д. Первый
149
игрок выигрывает, если ему удастся поставить крестик на любую угловую клетку. Доказать, что при
любой игре второго игрока первый всегда может выиграть.
Задача 674. В ряд записаны n единиц: 1, 1, 1, ..., 1. Каждым ходом разрешается между любыми двумя
цифрами поставить знак сложения или знак умножения. Когда все n-1 знаков будут поставлены,
вычисляется значение полученного выражения (сначала выполняются все умножения, а затем сложения). Если получилось чётное число, то выигрывает первый, а если нечётное - второй.
Задача 675. Имеется система уравнений
*x+*y+*z=0,
*x+*y+*z=0,
*x+*y+*z=0.
Два игрока поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа. Доказать, что начинающий всегда может
добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.
Задача 676. Ветка кустарника имеет один лист сверху и n пар листьев (листья одной пары растут из
одной точки стебля). Двое по очереди срывают листья. За ход можно сорвать любой лист или любую
пару листьев, растущих из одной точки. Кто выигрывает при правильной игре?
Задача 677. Двое играющих по очереди вычеркивают одно число из ряда 1, 2, ..., 27 до тех пор, пока
не останется два числа. Если сумма этих чисел делится на 5, то выиграл первый, иначе - второй. Кто
выиграет при правильной игре?
Задача 678. Два игрока по очереди берут по одной из девяти фишек, на которых написаны числа 1, 2,
..., 9. Выигрывает тот, кто первым соберет у себя какие-либо три фишки, дающие в сумме 15. Кто
победит при правильной игре?
Задача 679. На некоторой клетке шахматной доски стоит король. Двое по очереди передвигают его
по шахматным правилам, однако, нельзя возвращать короля на клетку, где он только что был.
Выигрывает игрок, после хода которого король окажется, где он уже побывал. Кто из игроков может
обеспечить себе победу при любой игре противника?
Идея. Центральная симметрия.
Задача 680. Двое играющих по очереди выкладывают монетки на круглый стол. Нельзя класть
монету на другую монету. Проигрывает тот, после хода которого не останется места для ещё одной
монеты. Кто выигрывает и как он должен действовать?
Задача 681. Двое игроков поочерёдно выкладывают одинаковые круглые монеты на шахматную
доску, центральный квадрат 2 x 2 которой вырезан. Монету можно класть только на свободное место.
Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? По крайней мере
одна монета на доску помещается.
Задача 682. Играют двое. На первой горизонтали шахматной доски стоит восемь белых шашек, на
последней - восемь черных. За ход каждый из играющих может передвинуть шашку своего цвета
вперед по вертикали на любое количество клеток, но так, чтобы не перепрыгнуть шашку соперника.
Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача 683. На окружности даны 10 точек. Двое по очереди соединяют любые две ещё не
соединённые точки отрезком так, чтобы эти отрезки не пересекались (нигде кроме данных точек).
Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.
Задача 684. Двое мальчиков играют в такую игру: они по очереди ставят ладьи на шахматную доску.
Выигрывает тот, при ходе которого все клетки доски оказываются битыми или занятыми
поставленными фигурами. Кто выигрывает, если оба стараются играть наилучшим образом?
Задача 685. На доске размером 8 х 8 двое по очереди закрашивают клетки так, чтобы не появлялось
закрашенных уголков из трех клеток. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает
при правильной игре?
Задача 686. В каждой клетке доски 11 х 11 стоит шашка. За ход разрешается снять с доски любое
количество подряд идущих шашек либо из одного вертикального, либо из одного горизонтального
ряда. Выигрывает снявший последнюю шашку.
Задача 687. На окружности расставлено 20 точек. За ход разрешается соединить любые две из них
отрезком, не пересекающим отрезков, проведенных ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать
ход.
Задача 688. Кошка ловит мышку в лабиринте (см. рисунок). Кошка ходит первой, начиная с узла,
отмеченного буквой "К". Затем ходит мышка (из узла "М"), затем опять кошка и т. д. Из любого узла
кошка и мышка ходят в любой соседний узел. Если в какой-то момент кошка и мышка оказываются в
одном узле, кошка ест мышку. Сможет ли кошка поймать мышку?
*-*-*-*
150
| | | |
*-*-М-*
| | | |
*-К-*-*
| | | |
*-*-*-*
Задача 689. Вершины правильного 10-угольника закрашены чёрной и белой краской через одну.
Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит отрезок, соединяющий вершины
одинакового цвета. Эти отрезки не должны иметь общих точек (даже концов) с проведенными ранее.
Побеждает тот, кто сделал последний ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий игру
или его партнер?
Задача 690. Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг
друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача 691. Вершины правильного 12-угольника закрашены чёрной и белой краской через одну.
Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит отрезок, соединяющий вершины
одинакового цвета. Эти отрезки не должны иметь общих точек (даже концов) с проведенными ранее.
Побеждает тот, кто сделал последний ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий игру
или его партнер?
Задача 692. Двое по очереди ставят королей в клетки доски 9 х 9 так, чтобы короли не били друг
друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача 693. Дана клетчатая доска 10 х 10. За ход разрешается покрыть любые 2 соседние клетки
доминошкой (прямоугольником 1 х 2) так, чтобы доминошки не перекрывались. Проигрывает тот,
кто не может сделать ход.
Задача 694. Дан куб со стороной 4, составленный из единичных кубиков. За ход разрешается
проткнуть спицей любой ряд, если в нем есть хотя бы один непроткнутый кубик. Проигрывает тот,
кто не может сделать ход.
Задача 695. Дан прямоугольный параллелепипед размерами 4 х 4 х 3, составленный из единичных
кубиков. За ход разрешается проткнуть спицей любой ряд, если в нем есть хотя бы один
непроткнутый кубик. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача 696. Имеется шоколадка с пятью продольными и восемью поперечными углублениями, по
которым её можно ломать (всего получается 9·6=54 дольки). Играют двое, ходят по очереди.
Играющий за свой ход отламывает от шоколадки полоску шириной 1 и съедает её. Другой играющий
за свой ход делает то же самое с оставшейся частью, и т. д. Тот, кто разламывает полоску шириной 2
на две полоски шириной 1, съедает одну из них, а другую съедает его партнер. Докажите, что
начинающий игру может действовать таким образом, что ему достанется по крайней мере на 6 долек
больше, чем второму (при любых действиях второго).
Задача 697. Двое по очереди ставят ладьи в клетки шахматной доски. Очередным ходом надо побить
хотя бы одну небитую клетку. Ладья бьет и клетку, на которой стоит. Проигрывает тот, кто не может
сделать ход.
Задача 698. Двое играют в крестики-нолики на доске 10 х 10 по следующим правилам. Сначала они
заполняют крестиками и ноликами всю доску, ставя их по очереди (начинающий игру ставит
крестики, его партнер - нолики). Затем подсчитываются два числа: K - число пятерок подряд стоящих
крестиков и, аналогично, H - число пятерок подряд стоящих ноликов. (Считаются пятерки, стоящие
по горизонтали, по вертикали и параллельно диагонали; если подряд стоят шесть крестиков, то это
даёт две пятерки, если семь, то три и т. д.) Число K-H считается выигрышем первого игрока
(проигрышем второго). Существует ли у первого игрока беспроигрышная стратегия? Существует ли
у него выигрышная стратегия?
Задача 699. На доске размером 8 х 8 двое по очереди закрашивают клетки так, чтобы каждая
следующая закрашиваемая клетка не имела общих сторон с уже закрашенными. Проигрывает тот, кто
не может сделать ход.
Задача 700. На доске размером 9 х 9 двое по очереди закрашивают клетки так, чтобы каждая
следующая закрашиваемая клетка не имела общих сторон с уже закрашенными. Проигрывает тот, кто
не может сделать ход.
Задача 701. На доске размером 7 х 7 двое по очереди закрашивают клетки так, чтобы каждая
следующая закрашиваемая клетка не имела общих точек с уже закрашенными. Проигрывает тот, кто
не может сделать ход.
151
Задача 702. Соты с медом (квадратики размером 1 х 1) расположены в виде квадрата 9 х 9. В
центральном квадратике вместо меда - деготь. За один ход разрешается сделать вертикальный или
горизонтальный разрез (по сторонам квадратиков) и съесть тот из отрезанных кусков, в котором нет
дегтя. Играют двое, ходы делаются поочередно, проигрывает тот, кому приходится съедать деготь.
Кто выигрывает?
Задача 703. В противоположные углы клетчатой доски 8×8 ставятся чёрная и белая ладьи, остальные
поля заполняются серыми пешками. Двое играющих ходят по очереди каждый своей ладьей. Каждым
ходом игрок обязан что-нибудь съесть - пешку или ладью противника. Проигрывает тот, кто не
сможет сделать хода. Кто выиграет при правильной игре?
Задача 704. Игровое поле представляет собой прямоугольник размером 2 х n (где n - натуральное
число), разбитый на клеточки 1 х 1. Играют двое, ходят по очереди. Каждым ходом игрок
закрашивает либо одну ещё не закрашенную клетку, либо две соседние (по вертикали или
горизонтали) ещё не закрашенные клетки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача 705. Двое играют на доске 8 х 8, закрашивая её клетки - каждый в свой цвет (красный и синий
для первого и второго игрока соответственно). В начальный момент времени a1 закрашена в красный
цвет, h8 в синий. За ход игрок красит одну из незакрашенных клеток, соседних (по вертикали или
горизонтали) с последней закрашенной его цветом, в свой цвет - "ведёт змейку". Красить повторно
или перекрашивать закрашенные противником нельзя! Кто не может сделать ход - проиграл.
Идея. Осевая симметрия.
Задача 706. Фили и Кили играют в шахматы. Кроме шахматной доски у них есть одна ладья,
которую они поставили в правый нижний угол, и делают ей ходы по очереди, причем ходить
разрешается только вверх или влево (на любое количество клеток). Кто не может сделать хода, тот
проиграл. Кили ходит первым. Кто выиграет при правильной игре?
Задача 707. Ладья стоит на поле a1 шахматной доски. За ход разрешается сдвинуть ее на любое
число клеток вправо или вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на клетку h8. Кто выигрывает
при правильной игре?
Задача 708. Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг
друга. (Цвет слонов значения не имеет). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача 709. Дан прямоугольный параллелепипед размерами 4 х 3 х 3, составленный из единичных
кубиков. За ход разрешается проткнуть спицей любой ряд, если в нем есть хотя бы один
непроткнутый кубик. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача 710. Двое играют в такую игру. Дана шоколадка с продольными и поперечными
углублениями, по которым её можно ломать. Первый разламывает шоколадку по одной из линий,
второй разламывает одну из частей, первый разламывает одну из трёх образовавшихся частей и т. д.
Игра заканчивается в тот момент, когда в результате очередного хода возникнет долька, на которой
уже нет углублений; сделавший этот ход выигрывает. На шоколадке 60 долек: имеется 5 продольных
и 9 поперечных углублений. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?
Задача 711. Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски. Очередным ходом надо
побить хотя бы одну небитую клетку. Слон бьет и клетку, на которой стоит. Проигрывает тот, кто не
может сделать ход.
Задача 712. Квадрат 10 х 10 на клетчатой бумаге. Двое по очереди режут прямыми по сетке. Один
отрезает, одну из получившихся частей уничтожает, другую отдаёт другому. Тот делает тоже самое.
Проигрывает тот, кому досталось 1 х 1. Кто выигрывает при правильной игре?
Задача 713. Игра происходит на квадрате клетчатой бумаги 9 х 9. Играют двое, ходят по очереди.
Начинающий игру ставит в свободные клетки крестики, его партнер - нолики. Когда все клетки
заполнены, подсчитывается количество строк и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов число K, и количество строк и столбцов, в которых ноликов больше, чем крестиков - число Н (всего
строк и столбцов 18). Разность В=К-Н считается выигрышем игрока, который начинает. Найдите
такое значение B, что 1) первый игрок может обеспечить себе выигрыш не меньше B, как бы ни играл
второй игрок; 2) второй игрок всегда может добиться того, что первый получит выигрыш не больше
B, как бы тот ни играл.
Указание к задаче 713. Начинающий занимает центральное поле и далее отвечает центральносимметрично ходу второго игрока. В результате он выиграет центральную строку и столбец, а
остальные распределяются поровну. Счет 10:8.
Задача 714. Ладья стоит в правом верхнем углу шахматной доски размером K х N. Два игрока делают
ходы по очереди. Одним ходом разрешается двинуть ладью на несколько полей вниз или влево.
152
Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто побеждает при правильной игре - первый или
второй?
Задача 715. Есть клетчатый прямоугольник 10 х 3 клеток. Двое ходят по очереди. За один ход можно
закрасить квадрат 1 х 1, 2 х 2 или 3 х 3 клетки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Ранее
покрашенные квадраты заново красить нельзя. Кто выигрывает при правильной игре?
Другие идеи соответствия.
Задача 716. а) Имеется две кучки камней по 7 камней в каждой. За ход разрешается взять любое
колличество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.
б) На столе лежат две кучки, из 17 и 13 спичек. Двое ходят по очереди. За один ход разрешается взять
любое количество спичек из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.
в) Та же игра, только кучек три и в каждой по 15 спичек.
Решение задачи 716. а) В этой игре можно указать простую стратегию, обеспечивающую выигрыш
второму игроку: он должен играть таким образом, чтобы после его хода в кучках становилось
поровну камней. Иными словами, если первый игрок берет несколько камней из одной кучки, то
второй берет столько же из другой. Действуя таким образом, второй игрок может всегда ответить на
ход первого, поэтому проигрывает первый игрок.
б) Выигрывает второй. Он сначала уравнивает количество спичек в кучках, а затем копирует ходы
противника.
в) Выиграет первый, если он сразу возьмет все спички в одной из кучек, а дальше будет повторять
ходы противника. Если первый не сделал этого, то выиграет второй. Для этого он должен взять все
спички из меньшей кучки (в двух других должно остаться одинаковое количество спичек) и в
дальнейшем следовать симметричной стратегии.
Задача 717. По кругу записано n минусов. Двое играющих по очереди переправляют один или два
соседних минуса на плюсы. Проигрывает тот, у кого нет хода. Выясните, при каких n выигрывает
начинающий, а при каких – его партнёр?
Задача 718. В строчку написаны 9 минусов: - - - - - - - - - . Два игрока по очереди переправляют один
или два соседних минуса на плюс. Выигрывает переправивший последний минус.
Задача 719. На столе лежат две стопки монет: в одной из них 30 монет, а в другой - 20. За ход
разрешается взять любое количество монет из одной стопки. Проигрывает тот, кто не сможет сделать
ход. Кто из игроков выигрывает при правильной игре?
Задача 720. Имеется цепочка сосисок длины n. Два кота по очереди перегрызают по одной
перемычке между сосисками и съедают образовавшиеся одиночные сосиски. Выигрывает тот, кто
съест большее число сосисок.
Решение задачи 720. Эта задача широко известна в случае, когда n=6. В этом случае, как легко
убедиться простым перебором, выигрывает первый кот, съедая 4 сосиски). В общем случае ответ
таков: если n нечетно, то выигрывает второй кот, если же n четно, то выигрывает первый кот.
В самом деле, пусть n=2k+1 нечетно. Занумеруем все сосиски подряд числами от 1 до n. Сосиску с
номером k+1 будем называть центральной. Второму коту каждым ходом нужно перегрызать
перемычку, симметричную той, которую перегрыз на предыдущем ходу первый кот (относительно
центральной сосиски). Тогда он съест сосисок не меньше, чем первый, причем первый при такой игре
не сможет съесть центральную сосиску (так как ее концы (перемычки) симметричны друг другу
относительно этой сосиски). Значит, второй кот съест не менее k+1 сосиски и выиграет.
Пусть теперь n=2k четно. Занумеруем все сосиски подряд числами от 1 до n. В этом случае первый
кот должен первым ходом съесть одну из крайних сосисок (скажем, последнюю). Тогда перед вторым
котом окажется нечетное число сосисок, и из них он сможет съесть только меньше половины, если
первый игрок будет пользоваться стратегией второго для случая нечетного n. (Другими словами,
далее первому игроку надо отвечать на ходы второго симметричными (относительно k+1-ой сосиски)
ходами.) При такой стратегии первый игрок съест в результате по крайней мере на две сосиски
больше, чем второй.
Задача 721. Есть 10 синих и 10 красных шариков. Каждым ходом можно забрать себе несколько
шариков одного цвета или несколько шариков одного цвета (ранее забранных) положить обратно.
Ходы делают двое по очереди. Выигрывает тот, кто забрал все шарики. Кто выигрывает при
правильной игре?
Выигрышные и проигрышные позиции.
Идеи. 1. Пусть число позиций в игре конечно, и позиции не могут повторяться. Тогда игра рано или
поздно закончится. Рассмотрим позиции, которыми игра заканчивается. Определим, кто из игроков
153
выигрывает в каждой из них – начинающий (НВ – начинающий выигрывает) или второй игрок (НП –
начинающий проигрывает). Затем исследуем те позиции, из которых игра заканчивается не более,
чем через 1 ход. Если из позиции есть ход в позицию НП, то она – НВ. В противном случае – НП.
Далее определяем позиции, из которых игра закончится не более, чем за 2 хода. И так далее. Рано или
поздно мы определим тип начальной позиции (НВ или НП). В первом случае в игре выигрывает
начинающий, во втором – его соперник. Выигрышная стратегия – ходить в позиции НП.
2. Если в игре возможен ничейный исход, то позиции бывают трёх видов – НВ, ничья и НП. Из
позиции НВ обязательно есть ход в НП. Из ничейной позиции нет хода в позиции НП, но есть ход в
ничейную позицию. Из позиции НП нет хода ни в позицию НП, ни в ничейную позицию.
Выигрышная стратегия (если она у одного из игроков существует, то есть начальная позиция - НВ
или НП) – ходить в позиции НП. Если же начальная позиция – ничейная, то ничейные стратегии
игроков – ходить в НП, а если нет такой возможности, то в ничейную позицию.
Задача 722. В куче 1997 камней, которые двое берут по очереди. Разрешается взять 1, 10 или 11
камней. Выигрывает взявший последний камень. Кто должен победить?
Решение задачи 722. Выигрывает первый. Начнем с конца. Проигрышные позиции содержат: 0, 2, 4,
6, 8; 20, 22, 24, 26, 28; ...; 1980, 1982, 1984, 1986, 1988 камней. Первым ходом первый игрок берет 11
камней.
Задача 723. Изменим условие предыдущей задачи: взявший последний камень проигрывает. Кто
теперь победит?
Решение задачи 723. Победит снова первый. Проигрышные позиции содержат: 1, 3, 5, 7, 9; 21, 23, 25,
27, 29; ...; 1981, 1983, 1985, 1987, 1989 камней. Первый сначала берет 10 камней.
Задача 724. Имеется две кучки камней - 7 в первой и 5 во второй. За ход разрешается взять любое
количество камней из одной кучки или поровну из обеих. Проигрывает тот, кто не может ходить.
Решение задачи 724. Решение этой задачи удобно изобразить на клетчатой доске размером 8 х 6, т.к.
мы включаем "нулевые" клетки, которые соответствуют пустому количеству камней в кучках. По
горизонтали - камни из первой кучки, по вертикали – камни из второй кучки.
Допустим, мы стоим на клетке (4; 3), т.е. в первой кучке 4 камня, а во второй 3. Тогда, если мы будем
двигаться вниз, то во второй кучке число камней будет уменьшаться, а в первой оно не изменится.
Если мы будем двигаться влево, то наоборот в первой число камней будет уменьшаться. Если мы
пойдем по диагонали вниз, то число камней в обеих кучках уменьшится на одинаковое количество.
Ходить вверх, вправо и по диагонали вверх нельзя, т.к. мы берем камни из кучек, а не добавляем.
Теперь мы расставляем знаки "+" (НВ) и "-" (НП), начиная с клетки (0; 0). Т.к. мы можем брать любое
количество камней, то наш ход аналогичен ходу ферзя. В результате мы видим, что на клетке (7; 5)
стоит знак "+", значит выиграет начинающий, причем он должен ходить на "+".
Задача 725. Король стоит на поле a1 шахматной доски. За ход разрешается сдвинуть его на одну
клетку вправо, или на одну клетку вверх, или на одну клетку вправо-вверх. Выигрывает тот, кто
поставит короля на клетку h8. Кто выигрывает при правильной игре?
Идея решения задачи 725. Начинающий сходит на b2 и дальше будет ходить в том же направлении,
что и его соперник. Другими словами: начинающий ходит на клетки, обе координаты которых чётны.
Задача 726. Двое играют в такую игру: на столе лежат 7 монет по два фунта и 7 монет по одному
фунту. За ход разрешается взять монет на сумму не более трех фунтов. Забравший последнюю
монету выигрывает. Кто победит при правильной игре?
Задача 727. Двое играют в такую игру: на столе лежат 12 монет по два фунта и 12 монет по одному
фунту. За ход разрешается взять монет на сумму не более трех фунтов. Забравший последнюю
монету выигрывает. Кто победит при правильной игре?
Задача 728. Имеются две кучки конфет: в одной - 20, в другой - 21. За ход нужно съесть одну из
кучек, а вторую разделить на две не обязательно равных кучки. Проигрывает тот, кто не может
сделать ход.
Задача 729. Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом
увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы натуральной, но меньше
старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравшим считается тот, в результате хода
которого получится 1987. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?
Задача 730. Игра начинается с числа 1. За ход разрешается умножить имеющееся число на любое
натуральное число от 2 до 9. Выигрывает тот, кто первым получит число, большее 1000.
Решение задачи 730. Анализируя с конца, находим позиции НП. Это числа от 56 до 111 и от 4 до 6.
Таким образом, выигрывает первый игрок (его первый ход - в 4, 5 или 6).
154
Задача 731. Игра начинается с числа 2. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое
натуральное число, меньшее его. Выигрывает тот, кто получит 1000.
Решение задачи 731. Анализируя с конца, находим позиции НП: 500, 250, 125, 62, 31, 15, 7, 3.
Выигрывает первый игрок.
Задача 732. В коробке лежит 300 спичек. За ход разрешается взять из коробка не более половины
имеющихся в нем спичек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача 733. Имеется две кучки спичек: 101 спичка и 201 спичка. За ход разрешается уменьшить
количество спичек в одной из кучек на число, являющееся делителем количества спичек в другой
кучке. Выигрывает тот, после чьего хода спичек не остается.
Задача 734. Имеется две кучки спичек: 100 спичек и 201 спичка. За ход разрешается уменьшить
количество спичек в одной из кучек на число, являющееся делителем количества спичек в другой
кучке. Выигрывает тот, после чьего хода спичек не остается.
Указание к задачам 733 и 734. Число спичек в кучках разной чётности – НВ. В обеих кучках число
спичек нечётно – НП. Остальные позиции можно не исследовать.
Задача 735. Имеется три кучки камней: в первой - 50, во второй - 60, в третьей - 70. Ход состоит в
разбиении каждой кучки, состоящей более чем из одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает
тот, после чьего хода во всех кучках будет по одному камню.
Задача 736. Ферзь стоит на поле c1. За ход его можно передвинуть на любое число полей вправо,
вверх или по диагонали "вправо-вверх". Выигрывает тот, кто поставит ферзя на поле h8.
Задача 737 (игра Цзяньшицзы.) В двух кучках N1 и N2 камней. Играют двое, ходят по очереди.
Разрешается за одни ход выбросить из любой кучки любое число камней или из обеих кучек, но
поровну. Выигрывает выкинувший последние камни. Кто выигрывает при правильной игре?
Задача 738. Конь стоит на поле a1. За ход разрешается передвигать коня на две клетки вправо и одну
клетку вверх или вниз, или на две вверх и на одну вправо или влево. Проигрывает тот, кто не может
сделать ход.
Задача 739. Имеется две кучки по 7 камней. За ход разрешается взять один камень из любой кучки
или по камню из каждой кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача 740. Имеется две кучки по 7 камней. За ход разрешается взять один камень из любой кучки
или по камню из каждой кучки или переложить один камень из первой кучки во вторую.
Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача 741. Имеется две кучки по 11 спичек. За ход можно взять две спички из одной кучки и одну
из другой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача 742. Игра начинается с числа 1000. За ход разрешается вычесть из имеющегося числа любое,
не превосходящее его, натуральное число, являющееся степенью двойки (можно вычесть 1=20).
Выигрывает тот, кто получит ноль.
Задача 743. В кучке 100 яблок. Разрешается съесть за один ход 3, 4 или 5 яблок. Играют двое, ходят
по очереди. Выиграет съевший последнее яблоко. Если останется 1 или 2 яблока, то ничья. Кто
выиграет при правильной игре?
Задача 744. Игра начинается с числа 40. Первый игрок вычитает из него 2 либо делит его на 2.
Второй игрок с полученным числом также проделывает любую из этих операций, затем снова ходит
первый, и т.д. Проигравшим считается тот, у кого получается нечетное число или ноль. Найти
выигрышную стратегию для какого-либо игрока или доказать, что ее не существует.
Задача 745. В кучке 2000 камней. Играют двое, ходят по очереди. За один ход разрешается взять из
кучки 3 или 8 камней. Выигрывает тот, кто возьмёт из кучки последние камни. Если в кучке осталось
1 или 2 камня, то ничья. Кто выигрывает при правильной игре?
Идея решения задачи 745. Позицией назовём количество оставшихся камней. Все позиции можно
разделить на 3 класса: НВ (игрок, который делает первый ход из позиции, при правильной игре
выигрывает), ничья (при правильной игре ничья), НП (игрок, который делает первый ход из позиции,
при правильной игре соперника проигрывает). Очевидно, позиция, в которой нет камней, - позиция
НП. Позиция с 1 или 2 камнями – ничья. Позиция, из которой есть ход в позицию НП, - позиция НВ.
Позиция, из которой нет хода в позицию НП, но есть ход в позицию ничья, - позиция ничья. Позиция,
из которой все ходы возможны только в позиции НВ, - позиция НП. По индукции доказывается, что
принадлежность позиции к тому или иному классу определяется остатком от деления числа камней
на 11.
Начинающий проигрывает, если число камней 11n или 11n+6 (n=0 или nN).
Начинающий выигрывает, если число камней 11n+3, или 11n+8, или 11n+9 (n=0 или nN).
Ничья во всех остальных случаях.
155
Так как 2000=11·181+9, то выигрывает начинающий. Его стратегия: оставлять после своего хода
число камней, дающее при делении на 11 остатки 0 или 6.
Задача 746. Два игрока играют на доске m x n в следующую игру. Они по очереди ходят королями
(один игрок белым, другой чёрным), стоящими в противоположных углах доски. Короля можно
передвигать по шахматным правилам, но так, чтобы расстояние между центрами клеток, на которых
стоят короли, уменьшалось (королям разрешается занимать соседние клетки). Проигрывает тот, кто
не сможет сделать ход по правилам. Кто выигрывает при правильной игре?
Идея решения задачи 746. Если одна из сторон равна 1, то
начинающий выигрывает, если вторая сторона нечётна, и
проигрывает, если вторая сторона чётна. Если обе стороны
больше 1, то начинающий проигрывает, если они обе нечётны,
и проигрывает в противном случае. Для доказательства
заметим, что можно считать одного короля неподвижным и
перемещать другого короля. Разобъём все клетки на
выигрышные и проигрышные для начинающего следующим
образом (см. рисунок). Клетка, на которой стоит неподвижный
король, закрашена в шахматном порядке. Проигрышные
(заштрихованные) клетки – те, из которых есть ход (влево, вниз
или по диагонали влево-вниз) только на клетки, которые
выигрышные или на которых стоит другой король. С
выигрышной клетки есть ход на проигрышную.
Задача 747. Двое играющих по очереди переводят часовую стрелку на 2 или 3 часа вперёд. В начале
часовая стрелка указывает 6 часов, победителем считается тот, после чьего хода она укажет 12 часов.
(Стрелка может сделать несколько оборотов, прежде чем остановится на 12 часах.)
Задача 748. Двум школьникам задали домашнее задание (одно на двоих) из 100 задач (задачи
пронумерованы числами от 1 до 100). Школьники решают задачи по очереди. Каждый своим ходом
может решить либо первую, либо первые две из оставшихся задач, либо отдать своему папе вторую,
четвертую, шестую, ... из оставшихся задач (которые тот решает). Выигрывает тот школьник, после
хода которого все задачи будут решены.
Указание к задаче 748. В конце останется 0 задач. На предыдущем ходе - либо одна, либо две
задачи. Если одна или две задачи остались перед первым игроком, то он выиграл - отметим эти
ситуации как выигрышные для него. Если же перед его ходом остались три задачи, то он проиграл эта ситуация проигрышная. Аналогично двигаясь дальше, можно отметить все выигрышные и
проигрышные позиции и понять, кто из игроков выигрывает при правильной игре.
Задача 749. 15-угольник каждым ходом разрезается по диагонали, получившаяся часть с меньшим
количеством сторон уничтожается, а другая - отдаётся сопернику. Проигрывает тот, кому достался
треугольник. Кто выигрывает - первый или второй?
Задача 750. В трёх кучках лежат конфеты: в первой - 1 конфета, во второй - 2, в третьей - 3. Играют
двое. Ход состоит в том, что игрок съедает несколько конфет, но только из одной кучки. Побеждает
тот, кому достанется последняя конфета. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?
Задача 751. Имеется 15 орехов. Каждый из двух играющих при своём ходе может забрать себе не
более половины всех орехов. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача 752. Игроки ломают шоколадку m х n, меньшую часть съедают (если равны - любую), а
оставшуюся дают сопернику. Кто не может ломать - проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?
а) m=2, n=6; б) m=5, n=7; в) m=10, n=15; г) m=3, n=12?
Другие идеи.
Задача 753. 2n конфет разложены по n коробкам. Девочка и мальчик по очереди берут по одной
конфете, первой выбирает девочка. Докажите, что мальчик может выбирать конфеты так, чтобы две
последние конфеты оказались из одной коробки.
Решение задачи 753. Мальчик может брать конфеты таким образом, чтобы после того, как он
возьмет k-ую конфету, по крайней мере k коробок оказались пустыми.
Покажем, что мальчик может взять свою первую конфету таким образом, чтобы после этого хотя бы
одна коробка освободилась. После того, как девочка взяла первую конфету, осталось 2n-1 конфет в n
коробках, и следовательно, в какой-то из коробок осталось не более одной конфеты. Если в этой
коробке нет конфет, то мальчик может взять конфету из любой коробки. Если же в этой коробке одна
конфета, пусть мальчик возьмет ее. Итак, после того, как мальчик берет первую конфету, одна
156
коробка становится пустой и остается 2(n-1) конфет, разложенных в n-1 коробок. Если мальчик будет
и дальше действовать таким образом, то после того, как он возьмет вторую конфету, две коробки
становятся пустыми, и т.д., после того, как мальчик возьмет k-ую конфету, k коробок становятся
пустыми. В конце концов, после того, как мальчик возьмет (n-1)-ую конфету, все коробки, за
исключением одной, становятся пустыми. Это и означает, что две оставшиеся конфеты лежат в одной
коробке.
Задача 754. На столе лежит N>1 спичек. Первый игрок своим первым ходом снимает со стола от 1 до
N-1 спичек. Ходят по очереди. В дальнейшем каждый игрок может взять не менее 1 спички и не
более, чем взял его партнёр предыдущим ходом. Выигрывает тот, кто взял последние спички. Кто
выигрывает при правильной игре в зависимости от n?
Указание к задаче 754. Если N - степень двойки, выиграет тот, кто ходит вторым, иначе начинающий. Сначала объединяем спички в равные группы, в каждой из которых число спичек равно
наибольшей степени двойки, на которую делится первоначальное число спичек. Если число групп
нечётно и не одна - выиграл начинающий, забирая одну группу. Разбивать группы не выгодно.
Задача 755. В трех кучах лежат 1997, 1998 и 1999 камней. Играют двое. За один ход разрешается
убрать две кучи, а третью разделить на три новые (непустые) кучи. Выигрывает тот, кто не может
сделать ход. Кто победит - первый или второй игрок?
Решение задачи 755. Выигрывает первый. Стратегия выигрыша проста: надо добиваться, чтобы в
некоторых новых кучах число камней оканчивалось цифрами 3 или 4, а в остальных новых кучах - не
превышало 4. Например, кучу из 1999 камней можно разделить на такие три: 563, 663, 773 или 2, 3,
1994 и т.д. Легко видеть, что противник не может воспользоваться той же стратегией. Через
несколько ходов первый игрок предложит 3 кучи: в одной 3 или 4 камня, в двух других - не более чем
по 4. Второй игрок может сделать ход, а следующий ход уже невозможен.
Задача 756. Имеется 2 точки. За один ход можно 1) нарисовать линию, соединяющую две точки, и
поставить на ней точку, или 2) провести петлю из точки, и нарисовать на ней точку. Нельзя, чтобы
линии пересекались. Также нельзя, чтобы из точки выходило больше 3 линий.
Задача 757 (игра «Ним»). а) Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни.
За один ход разрешается взять любое (ненулевое) количество камней, но только из одной кучки.
Выигрывает тот, кто взял последний камень. Какой следует сделать ход, если перед вами три кучки:
3, 4 и 5 камней?
б) Кто выигрывает при правильной игре, если кучек первоначально три с числом спичек 25, 37 и 48?
Указание к задаче 757. Запишем числа спичек в кучках в двоичной системе счисления и в каждом
разряде выполним сложение по модулю 2. Если во всех разрядах нули, то позиция НП, иначе НВ.
Перейти тогда надо в НП. Просто надо посмотреть, сколько спичек взять из наибольшей кучки. Из
НП в НП не перейти.
Идея решения задачи 757 б). Начинающий выигрывает. Стратегия такова. Запишем числа в
двоичной системе счисления. После вашего хода в каждом разряде должно оставаться чётное число
единиц. Остаётся доказать, что начинающий всегда этого может добиться. Первоначально 25=110012,
37=1001012, 48=1100002 и в разрядах, соответствующих 23 и 22, сумма цифр нечётна. Поэтому первый
ход – разменивание единицы в самом старшем разряде, который необходимо изменить (это
восьмёрки) и добавление единиц в остальные (младшие) разряды, которые необходимо изменить (это
четвёрки). В кучке 25 оставляем 21 и берём 4.
Задача 758. На плоскости расположены 100 точек-овец и одна точка-волк. За один ход волк
передвигается на расстояние не больше 1, после этого одна из овец передвигается на расстояние не
больше 1, после этого снова ходит волк и т.д. При любом ли начальном расположении точек волк
сможет поймать одну из овец?
Решение задачи 758. Введем на плоскости систему координат. Пусть k-ая овца имеет координаты
(4k; 0), k=1, 2, ..., 100, а начальное положение волка таково, что за один ход он не может достичь ни
одной овцы. Опишем стратегию овец. Овцы будут ходить только по прямым x=4k. Пусть перед
ходом овец волк находится в точке (x; y) одной из вертикальных полос |x-4k|<2 (эти полосы не
пересекаются). Тогда ходит овца с номером k, причем если эта овца находится в точке (4k; z), то она
перемещается в точку (4k; z+1) если z>y и в точку (4k; z-1) если z не больше y (т.е. k-ая овца
удаляется от волка на 1 вдоль оси Oy). Ясно, что после этого волк за один ход снова не может
поймать ни одной овцы. Если волк перед ходом овец находится вне полос |x-4k|<2, то овцы могут
сделать любой ход. Придерживаясь этой стратегии, овцы смогут добиться того, что ни одна из них не
будет поймана.
157
Задача 759. В одной куче 18 конфет, а в другой - 23. Двое играют в игру: одним ходом можно съесть
одну кучу конфет, а другую разделить на две кучи. Проигравшим считается тот, кто не может сделать
ход, т.е. перед ходом которого имеются две кучи из одной конфеты. Кто выигрывает при правильной
игре.
Решение задачи 759. Первым ходом начинающему нужно съесть кучу из 23 конфет, а кучу из 18
конфет разделить на две кучи с нечетным числом конфет. После этого второй съест одну из куч, а
другую кучу разделит на две кучи, в одной из которых четное число конфет, а в другой - нечетное.
Теперь перед первым игроком ситуация, аналогичная начальной - имеются две кучи, в одной из
которых четное число конфет, а в другой - нечетное. Первый снова должен съесть "нечетную" кучу, а
"четную" кучу поделить на две нечетных, и т.д. Как бы ни ходил второй, после его хода остается две
кучи, одна из которых имеет четное (а, следовательно, большее 1) число конфет. Поэтому после хода
второго первый может сделать свой ход. Таким образом, если первый будет придерживаться
описанной выше стратегии, то он победит.
Задача 760. Двое играют в следующую игру: имеется две кучи конфет. Играющие делают ход по
очереди. Ход состоит в том, что играющий съедает одну из куч, а другую делит на две (равные или
неравные) части. Если он не может разделить кучу, так как там всего одна конфета, то он её съедает и
выигрывает. Вначале в кучах было 33 и 35 конфет. Кто выигрывает, начинающий или его партнер, и
как для этого надо играть?
Указание к задаче 760. Стратегия: после хода оставлять в обеих кучках число камней, дающее при
делении на 5 остатки 2 или 3. Выигрывает начинающий, съедая 33 и деля 35, например, на 17 и 18.
Задача 761. Два маляра красят забор, огораживающий дачные участки. Они приходят через день и
красят по одному участку (участков 100 штук) в красный или зелёный цвет. Первый маляр дальтоник
и путает цвета, он помнит, что и в какой цвет он сам покрасил, и видит, что покрасил второй маляр,
но не знает, в какой цвет. Первый маляр добивается того, чтобы в наибольшем числе мест зелёный
участок граничил с красным. Какого наибольшего числа переходов он может добиться (как бы ни
действовал второй маляр)? Считается, что дачные участки расположены в одну линию.
Задача 762. На плоскости даны 2005 точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой).
Каждые две точки соединены отрезком. Тигр и Осёл играют в следующую игру. Осёл помечает
каждый отрезок одной из цифр, а затем Тигр помечает каждую точку одной из цифр. Осёл
выигрывает, если найдутся две точки, помеченные той же цифрой, что и соединяющий их отрезок, и
проигрывает в противном случае. Доказать, что при правильной игре Осёл выиграет.
Решение задачи 762. Выделим из данных точек какие-нибудь 1024. Докажем, что Осёл может так
пометить отрезки, что независимо от того, как пометит точки Тигр, среди выделенных 1024 точек
найдутся две точки одного цвета, соединённые отрезком того же цвета.
Покажем, как может для этого действовать Осёл. Разобьём выделенные точки на 512 пар и пометим
нулём отрезки, соединяющие точки из одной пары. Далее, объединим получившиеся пары по две.
Получим 256 четвёрок. Пометим цифрой 1 ещё не помеченные отрезки, соединяющие точки одной
четвёрки. После этого объединим получившиеся четвёрки по две. Получим 128 восьмёрок. Пометим
цифрой 2 ещё не помеченные отрезки, соединяющие точки из одной восьмёрки, и так далее. На
последнем шаге мы объединим получившиеся две группы по 512 точек в одну и пометим ещё не
помеченные отрезки цифрой 9.
Докажем, что как бы теперь Тигр не покрасил точки, Осёл выиграет. Предположим, что Тигр может
раскрасить точки так, чтобы не нашлось отрезка, помеченного той же цифрой, что и оба его конца.
Заметим, что в каждой из 512 исходных пар найдётся точка, помеченная ненулевой цифрой.
Действительно, иначе эти две точки образовывали бы пару, дающую выигрыш Ослу. Рассмотрим
какую-нибудь из 256 четвёрок. В каждой из двух пар, из которых она образована, найдётся точка,
помеченная не нулём. Если бы обе эти точки были помечены единицей, они образовывали пару,
дающую выигрыш Ослу (поскольку они соединены отрезком, помеченным цифрой 1).
Следовательно, в каждой из 256 четвёрок найдётся точка, помеченная не нулём и не единицей.
Продолжая это рассуждение, получаем, что в каждой из 128 восьмёрок найдётся точка, помеченная
не нулём, не единицей и не двойкой, и т. д.; в каждой из двух групп по 512 найдётся точка,
помеченная не нулём, не единицей, не двойкой, …, не восьмёркой. Следовательно, эти точки
помечены цифрой 9. Но они соединены отрезком, помеченным цифрой 9, что противоречит
предположению. Следовательно, Осёл выигрывает независимо от игры Тигра.
Задача 763. Два игрока играют в уголки-квадратики. У одного игрока есть мешок уголков из трёх
клеток, у другого мешок квадратиков, состоящих из одной клетки. Начинающий выкладывает не
менее одной своей фигуры (сколько угодно), второй игрок добавляет сколько угодно своих фигур.
158
Начинающий выигрывает, если из выложенных фигур удаётся сложить прямоугольник, и
проигрывает в противном случае. Верно ли, что один из игроков имеет выигрышную стратегию
независимо от того, кто начинает игру?
Решение задачи 763. Да. Тот, у кого мешок с квадратиками, выигрывает. Если он ходит первым, то
выкладывает три квадратика и независимо от соперника сможет составить прямоугольник со
стороной 3. Если он ходит вторым, то выкладывает такое количество квадратиков, чтобы суммарная
площадь была простым числом.
Задача 764. Кошка ловит мышку в лабиринте (см. рисунок). Кошка ходит первой, начиная с узла,
отмеченного буквой "К". Затем ходит мышка (из узла "М"), затем опять кошка и т. д. Из любого узла
кошка и мышка ходят в любой соседний узел. Если в какой-то момент кошка и мышка оказываются в
одном узле, кошка ест мышку. Сможет ли кошка поймать мышку?
*-*-*
| | |\
*-*-М-*
| | | |
*-К-*-*
| | | |
*-*-*-*
Задача 765. Часовая стрелка установлена на 12 часах. Играют двое, ходят по очереди. Каждым ходом
можно сдвинуть стрелку можно на 2 часа вперёд или на 1 час назад. Проигрывает тот, кто впервые
перевёл стрелку на уже встречавшееся число.
Задача 766. а) Двое играющих по очереди разбивают все числа имеющегося набора (при первом ходе
весь набор - число 10) на натуральные слагаемые или на большие 1 натуральные сомножители. За
один ход разбивается одно число на 2 слагаемых или 2 сомножителя. Проигрывает тот, кто не может
сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?
б) Та же игра, исходный набор - число 11.
Задача 767 (игра Гранди.) Имеется кучка спичек. За один ход любую кучку можно поделить на две
неравные кучки. Играют двое, ходят по очереди. Проигрывает тот, кому нельзя сделать ход. Кто
выигрывает?
Указание к задаче 767. Функция Гранди позиции – это поразрядная двоичная сумма функций
Гранди кучек. Функция Гранди кучки – это наименьшее целое неотрицательное число, которое не
является функцией Гранди позиции, которую можно получить из кучки через один ход. НП – это
позиции с функцией Гранди, равной нулю.
Задача 768. На аукционе продают 3 картины. У каждого из двух покупателей по N монет. Сначала
продают первую картину. Покупатели по очереди называют цену, каждый раз выше предыдущей,
либо кто-то говорит "отказываюсь от торга". В этом случае картина достаётся сопернику (а названное
последний раз этим соперником количество монет уходит устроителям аукциона; если один
покупатель отказался от торга до того, как была названа первая цена, то второй покупатель получает
картину бесплатно). Далее продаётся следующая картина (очерёдность ходов продолжает
соблюдаться, отказ от торга - не ход), потом последняя. Побеждает тот, кто купил больше картин.
Кто победит при правильной игре? Рассмотрите случаи: а) N=3; б)N=4.
Задача 769. Два программиста играют в следующую игру. Первый выбирает одно из двух чисел 11
или 17 (вариант: 10 или 17) и вводит его в компьютер. Затем второй выбирает одно из чисел 11 или
12 и вводит его (второй больше не участвует в игре). Компьютер складывает эти числа. Через минуту
компьютер к полученному результату снова прибавляет число, введенное вторым, еще через минуту
делает то же самое и т.д. Первый имеет право в любой момент переставить цифры последнего из
имеющихся на экране чисел. Если число на экране станет трехзначным, выигрывает второй, иначе первый. Кто выиграет при правильной игре?
Задача 770. Разбойники Хапок и Глазок делят кучу из 100 монет. Хапок захватывает из кучи
пригоршню монет, а Глазок, глядя на пригоршню, решает, кому из двоих она достается. Так
продолжается, пока кто-то из них не получит 9 пригоршней, после чего другой забирает все
оставшиеся монеты (дележ может закончиться и тем, что монеты будут разделены прежде, чем кто-то
получит 9 пригоршней). Хапок может захватить в пригоршню сколько угодно монет. Какое
наибольшее число монет он может гарантировать себе независимо от действий Глазка? (Укажите это
число, покажите, как Хапок может его себе гарантировать, и докажите, что большего он
гарантировать не может).
Решение задачи 770. Ответ: 46 монет.
159
Глазок может брать себе все кучки из не менее 6 монет, а остальные отдавать. Тогда или Глазок
получит не менее 54 монет, или Хапок не более 45. Таким образом, в любом случае Хапок получит не
более 46 монет.
46 монет он получить может. В самом деле, он сначала возьмет 8 раз по 5 монет и 9 раз по 6 монет.
Тогда или Глазок получит не более 54 монет, или Хапок не менее 46 монет.
Задача 771. По кругу стоят n коробочек, в одной из них белый и чёрный камни, прочие пусты.
Игроки перекладывают по очереди камни: первый перекладывает белый камень по часовой стрелке
через одну или через две коробочки, второй - чёрный камень против часовой стрелки также через
одну или через две. Победит тот, кто положит свой камень в коробочку с камнем соперника. Кто
одержит победу при правильной игре?
Задача 772. Написано число 1000000. Первый игрок пишет произведений двух натуральных чисел,
больших 1, равное 1000000. Второй выбирает любой сомножитель и под ним пишет равное ему
произведение двух сомножителей. И т. д. по очереди. Проигрывает тот, кто не смог сделать
очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре - первый или второй?
Задача 773. Света и Аня по очереди слева направо пишут цифры четырёхзначного числа. Первую Света, вторую - Аня, третью - Света, четвёртую - Аня. Если полученное число делится на 12, то
выиграет Аня, иначе - Света. У кого - Светы или Ани - есть выигрышная стратегия?
Задача 774. Колбаса стоит 1000 рублей. Играют директора двух магазинов. Каждый своим ходом
повышает цену колбасы на целое число процентов, меньшее 100, и при этом на целое число рублей.
Проиграет директор, не сумевший повысить цену по этим правилам. Кто проиграет?
3.3. ГРАФЫ.
Граф - это система точек, соединенных линиями. Построение графа выделяет в чистом виде объекты
и связи и потому часто оказывается полезным. Многие олимпиадные задачи являются фактами из
теории графов. В процессе решения задачу часто приводят к более удобному виду, например,
формулируют ее условие на языке графов.
Что такое граф.
Определение. Граф – это совокупность двух множеств: непустого множества вершин и множества
рёбер. Рёбра графа соединяют между собой некоторые пары его вершин.
Замечания. 1. Для ребра неважно, в каком порядке перечислены его вершины. Любую из них можно
считать началом ребра, а другую – концом. Вершины графа изображают точками, рёбра – линиями.
2. Для решения задачи из области теории графов иногда приходится рассматривать разные объекты,
«не совсем графы». Например, такие, у которых между одной и той же парой вершин проходит
несколько рёбер, или такие, у которых есть рёбра с совпадающими началом и концом. Они не
являются графами, поэтому при рассмотрении в дальнейшем таких объектов внимательно
проверяйте, верны ли для них используемые в решении теоремы.
Определение. Степень вершины v – количество рёбер, для которых одним из концов является v.
Определение. Если степени всех вершин графа конечны, то граф называется локально конечным.
Определение. Вершина графа называется изолированной, если её степень равна 0.
Определение. Граф называется нуль-графом, если он не содержит рёбер (т. е. если все его вершины
изолированные).
Определение. Граф называется полным, если он содержит все возможные рёбра, которые можно
провести между вершинами графа.
Определение. Граф называется конечным / бесконечным, если число его рёбер конечно / бесконечно.
Замечание. Конечный граф может иметь бесконечно много вершин, но в этом случае все они, кроме
конечного числа, изолированные.
Задача 775. Приведите примеры бесконечных графов: а) являющегося локально конечным;
б) не являющегося локально конечным.
Задача 776. Докажите, что не существует графа с пятью вершинами, степени которых равны 4, 4, 4,
4, 2.
Задача 777. Докажите, что для всех n существует граф с 2n вершинами, степени которых равны 1, 1,
2, 2, …, n, n.
Задача 778. Сколько существует графов а) с 10 вершинами, степень каждой из которых равна 9;
б) с 8 вершинами, степень каждой из которых равна 3?
160
Задача 779. В классе 30 человек. Может ли быть так, что все учащиеся имеют (в этом классе) разное
число друзей?
Изображение объектов из условия задачи и связей между ними в виде графа.
Идея. Фишки движутся по кругу.
Определение. Простой цикл - несколько (не менее трёх) вершин графа, таких, что каждая вершина
соединена только с предыдущей и следующей вершинами, а первая вершина - с последней.
Теорема 1. Пусть фишки двигаются по вершинам простого цикла так, что
1) за один ход перемещается только одна фишка, причём на соседнюю вершину;
2) одновременно в одной вершине находится не более одной фишки.
Тогда порядок фишек не меняется.
Задача 780. Двенадцать полей расположен по окружности. На четырёх соседних полях стоят четыре
разноцветные фишки: красная, жёлтая, зелёная и синяя. Одним ходом можно передвинуть любую
фишку с поля, на котором она стоит, через четыре поля на пятое, если оно свободно, в любом из двух
возможных направлений. После нескольких ходов фишки стали опять на те же четыре поля. Как они
могут при этом переставиться?
Задача 781. В трёх вершинах правильного пятиугольника расположили по фишке. Разрешается
передвигать их по диагонали в любую свободную вершину. Можно ли таким образом добиться того,
чтобы одна из фишек вернулась на свое место, а две другие поменялись местами?
Задача 782. Можно ли, сделав несколько ходов конями, перейти от левого
рисунка к правому (кони разного цвета показаны буквами К разной
толщины)?
Идея. Просто изобразим граф.
Соединим объекты, данные в условии ("вершины") связями ("рёбрами") и посмотрим, что получится.
Таким способом можно решить любую алгоритмическую задачу (или доказать, что она
неразрешима).
Задача 783. Можно ли расставить по кругу числа 14, 27, 36, 57, 178, 467, 590, 2345 так, чтобы любые
два соседних числа имели общую цифру?
Решение задачи 783. Можно. 14, 178, 27, 57, 590, 2345, 36, 467.
Задача 784. Несколько фишек двух цветов расположены в ряд (встречаются оба цвета). Известно, что
фишки, между которыми 10 или 15 фишек, одинаковы. Какое наибольшее число фишек может быть?
Решение задачи 784. Если их хотя бы 26, то одного цвета: 11, 22, 6, 17, 1, 12, 23, 7, 18, 2, 13, 24, 8, 19,
3, 14, 25, 9, 20, 4, 15, 26, 10, 21, 5, 16. Если не больше 25, то все остальные, кроме соседних в этом
ряду, не связаны, ряд разбивается на несколько частей, каждая из которых может быть своего цвета.
Задача 785. Выпишите в ряд цифры от 1 до 9 так, чтобы число, составленное из двух
соседних цифр, делилось либо на 7, либо на 13.
Задача 786. Запишите числа от 1 до 17 так в строку в некотором порядке так, чтобы сумма
любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.
Идея. Исследование "под микроскопом".
Иногда бывает полезно рассмотреть какую-либо вершину и её окрестность.
Задача 787. За круглым столом сидело 15 человек. Они хотят пересесть так, чтобы те, кто раньше
сидел рядом, теперь сидели бы через два человека. Возможно ли это?
Задача 788. На Марсе 2000 стран, причём из любых четырёх стран найдётся по крайней мере одна
страна, которая дружит со всеми 3 странами из этой четвёрки. Найдите наименьшее возможное
количество стран на Марсе, которые дружат со всеми странами.
Задача 789. В войске герцога Икторна 1000 гоблинов. Любые два гоблина либо дружат, либо
враждуют, либо незнакомы. Гоблины – существа малообщительные и разговаривают только с
друзьями. К тому же они всегда в плохом настроении, поскольку у каждого гоблина любые два его
друга враждуют, а любые два врага дружат. Докажите, что чтобы всё войско узнало о предстоящем
наступлении на Данвин, герцог должен сообщить об это не менее, чем 200 гоблинам.
161
Идея решения задачи 789. Заметим, что никто из гоблинов не имеет больше двух друзей (если один
гоблин дружит с тремя или более, то эти трое (или более) – враги, что противоречит условию).
Назовём компанией гоблина вместе со всеми его друзьями, друзьями его друзей, и так далее. Легко
доказать, что в каждой компании не более 5 друзей. Значит, компаний не менее 200.
Идея. Несколько важных примеров.
Задача 790. В некотором царстве любой город соединён авиалиниями не более, чем с тремя другими.
Известно, что из любого города можно добраться до любого другого, сделав не более одной
пересадки. Какое максимальное число городов может быть в одном государстве?
Задача 791. Верно ли, что компанию всегда можно разбить на пары знакомых, если каждый знаком
ровно с тремя из остальных?
Замечание. Граф, являющийся примером к задаче 790, называется "граф Петерсена".
Задача 792. Для отмывания денег N банками была разработана схема перевода финансов, по которой
каждый из этих банков был связан взаимными переводами грязных денег с K>2 из этих N банков. В
связи с предстоящей проверкой схему было решено изменить. Каждому банку было предложено
прекратить такие связи ровно с двумя банками. При любых ли N и K это возможно?
Графы и делимость.
Идея. Можно на ребрах написать разные простые числа, а в вершинах - произведения чисел,
написанных на инцидентных им ребрах (то есть на рёбрах, выходящих из этих вершин).
Задача 793. Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре
чисел, связанных ребром, одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было?
Задача 794. Можно ли в вершинах фигуры на рисунке расставить целые числа так, чтобы в соседних
вершинах числа имели общий делитель больше 1, а в несоседних вершинах были взаимно простыми?
Задача 795. Можно ли расставить натуральные числа в клетках шахматной доски так, чтобы в
каждой паре соседних (имеющих хотя бы одну общую вершину) клеток одно из чисел делилось на
другое, а для каждой пары несоседних клеток такого не было?
Идея. Соединим ребром числа, отличающиеся ровно в 2 раза.
Задача 796. В спортклубе тренируются 100 толстяков, веса которых равны 1 кг, 2 кг, ..., 100 кг. На
какое наименьшее число команд их можно разделить, чтобы ни в какой команде не было двух
толстяков, один из которых вдвое тяжелее другого?
Задача 797. Из чисел 1, 2, 3,...99, 100 взяли произвольно 51 число. Доказать, что среди выбранных
всегда найдутся два числа, одно из которых делится на другое.
Задача 798. Можно ли из чисел 1, 2, …, 50 выбрать 33 числа таких, что ни одно из них не больше
другого ровно в 2 раза?
Однородные графы.
Идея. Сумма степеней вершин конечного графа чётна.
Теорема 1. 1) В конечном графе сумма степеней вершин чётна.
2) В конечном графе число вершин, имеющих нечётную степень, чётно.
Идея доказательства. Разрежем каждое ребро пополам. Число половин ребер с одной стороны
четно, с другой стороны равно сумме степеней вершин графа.
Задача 799. Может ли в компании из 15 человек у каждого быть ровно 5 знакомых?
Задача 800. В классе учится 30 школьников. Может ли у 9 школьников быть по 3 друга (в этом
классе), у 11 – по 4 друга, у 10 – по 5 друзей?
Задача 801. У короля 19 баронов-вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассального
баронства 1, 5 или 9 соседних баронств?
Задача 802. Джон, приехав из Диснейленда, рассказывал, что там на заколдованном озере имеются 7
островов, с каждого из которых ведёт 1, 3 или 5 мостов. Верно ли, что хотя бы один из этих мостов
обязательно выходит на берег озера?
Задача 803. Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с
тремя другими?
Определение. Граф называется однородным графом степени n, если степени всех вершин графа
равны n.
Примеры. 1. Все полные графы и нуль-графы однородны.
2. Графы, составленные из вершин и рёбер правильных многогранников, однородны.
3. Конечный граф с бесконечным числом вершин, не являющийся нуль-графом, не однородный.
Задача 804. Приведите примеры однородных графов степени 2 и 3.
162
Задача 805. Найдите степени графов из примера 2.
Теорема 2. 1) В однородном графе степени n число рёбер e и число вершин v связаны формулой
e=vn/2.
2) Если степень однородного графа нечётна, то число его вершин чётно.
Задача 806. В государстве 100 городов, и из каждого из них выходит 4 дороги. Дороги начинаются и
заканчиваются в городах и не пересекаются. а) Сколько всего дорог в государстве? б) Может ли такое
быть?
Указание к задаче 806 б). Изобразите 100 точек в виде квадрата 10 х 10.
Задача 807. Собралась компания из n человек. Каждый знаком с тремя другими. При каких n это
возможно?
Теорема 3. В полном графе с n вершинами n(n-1)/2 рёбер.
Задача 808. 10 друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал 5 открыток.
Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.
Задача 809. 8 теннисистов провели круговой турнир. Докажите, что найдутся 4 теннисиста A, B, C,
D, такие, что выполнены условия: 1) A выиграл у B, C и D, 2) B выиграл у C и D, 3) C выиграл у D.
Решение задачи 809. Теннисист A, выигравший наибольшее число игр (или один из таких
теннисистов), выиграл по крайней мере у 4 человек (в среднем в 7 играх одерживается 3,5 победы).
Рассмотрим подтурнир между этими 4 теннисистами без учета игр с остальными. Один из них (B)
выиграл хотя бы у двух других (в среднем в 3 играх одерживается 1,5 победы), из этих двоих один
(C) выиграл у другого (D).
Идея. Воспользуйтесь описанием однородных графов степени 2.
Теорема 4. Конечный однородный граф степени 2 является объединением простых циклов.
Задача 810. На математической олимпиаде было предложено 20 задач. На закрытие пришло 20
школьников. Каждый из них решил по две задачи, причём выяснилось, что среди пришедших каждую
задачу решило ровно два школьника. Докажите, что можно так организовать разбор задач, чтобы
каждый школьник рассказал одну из решенных им задач, и все задачи были разобраны.
Задача 811. 38 попугаев передрались, измеряя рост удава. Каждый из них сумел выдрать одно перо
из чьего-то хвоста, и у каждого было выдрано одно перо. Кроме того, для любых трех попугаев
можно указать четвертого, выдравшего перо у одного из них. Докажите, что для наведения порядка
удав может проглотить не более 6 попугаев, а остальных рассадить поровну в две клетки так, чтобы
ни один попугай не попал в одну группу со своим обидчиком.
Указание к задаче 811. Разбиваем на циклы. Съедать надо только из циклов нечетной длины.
Циклов длины 3 нет. А длины 5, 7, … всего не больше 7, но их четное число, то есть не больше 6.
Задача 812. На kn карточках с двух сторон написаны числа от 1 до n по 2k раз каждое. Докажите, что
эти карточки можно положить на стол так, чтобы сверху каждое число было написано ровно k раз.
Указание к задаче 812. Разбиваем на циклы как в домино. Если образуется цикл с «хвостиком»,
удаляем цикл. В конце всё будет разбито на циклы. Повернем на ту сторону, в которой число первое
встречается в цикле. Всего поровну, потому что всего с одной и с другой стороны поровну.
Теорема 5. Если в конечном цикле вершины можно раскрасить в два цвета так, что нет одноцветных
вершин, соединенных ребром, то цикл имеет чётную длину.
Задача 813. 20 футбольных команд проводят первенство. В первый день все команды сыграли по
одной игре. Во второй также все команды сыграли по одной игре. Докажите, что после второго дня
можно указать такие 10 команд, что никакие две из них не играли друг с другом.
Указание к задаче 813. После второго тура циклы четной длины. Выбираем команды в каждом
цикле через одну.
Теория Рамсея.
Задача 814. а) Каждое из рёбер полного графа с 6 вершинами покрашено в один из двух цветов.
Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми одного цвета.
б) Докажите, что среди любых шести человек найдутся или трое попарно знакомых, или трое
попарно незнакомых. (Считаем, что все знакомства взаимные.)
Решение задачи 814 б). Возможны следующие случаи.
1) Найдётся человек, имеющий не менее 3 знакомых. Если какие-то двое его знакомых знакомы
между собой, то мы нашли троих попарно знакомых. Если же никакие его знакомые не знакомы
между собой, то мы нашли троих попарно незнакомых.
2) Ни у кого нет трёх и более знакомых. Значит, у всех три и более незнакомых. Значит, найдётся
человек, не знакомый не менее, чем с тремя другими. Далее рассуждаем так же, как и в случае 1. Если
163
какие-то двое не знакомых с этим человеком между собой не знакомы, то мы нашли троих попарно
незнакомых. Иначе все незнакомые нашего человека знакомы между собой, и мы нашли троих
попарно знакомых.
Задача 815. Каждое из рёбер полного графа с 17 вершинами покрашено в один из трёх цветов.
Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.
Решение задачи 815. Выберем первую вершину произвольно. Она соединена не менее, чем шестью
одноцветными рёбрами (докажите, используя принцип Дирихле). Рассмотрим любые шесть других
концов этих рёбер. Если какие-то два из них соединены ребром такого же цвета, то мы нашли три
искомые вершины. Остаётся случай, когда все шесть вершин соединены друг с другом только
рёбрами двух оставшихся цветов. А это задача 814 а), которую мы решили.
Задача 816. Каждое из рёбер полного графа с 9 вершинами покрашено в один из двух цветов
(красный или синий). Докажите, что есть четыре вершины, все рёбра между которыми красные, или
три вершины, все рёбра между которыми синие.
Решение задачи 816. Выберем первую вершину произвольно, но так, чтобы число выходящих из неё
синих рёбер было не равно 5. Если из неё выходит 4 и менее синих ребра, то рассмотрим четырёх
соседей, в которые ведут красные рёбра. Или в этой четвёрке есть синее ребро (и найдена тройка
синих соседей), или все рёбра красные (четвёрка красных соседей). Пусть из первой выбранной
вершины выходит не менее 6 красных рёбер. Рассмотрим 6 «красных вершин». По задаче 814 а)
среди них есть тройка, соединенная одноцветными рёбрами.
Задача 817. Каждое из рёбер полного графа с 18 вершинами покрашено в один из двух цветов
(красный или синий). Докажите, что есть четыре вершины, все рёбра между которыми красные, или
четыре вершины, все рёбра между которыми синие.
Указание к задаче 817. Выберем первую вершину произвольно. У неё есть по крайней мере 9
соседей одного цвета, для определенности синего. Дальше для этих 9 соседей применим задачу 816.
Теорема 1. Обозначим Nk(n1, n2, …, nk) минимальное количество вершин полного графа, для которого
при произвольной раскраске рёбер в k цветов найдётся или n1 вершин, соединённых рёбрами первого
цвета, или n2 вершин, соединённых рёбрами второго цвета, …, или nk вершин, соединённых рёбрами
k-го цвета. Тогда
N2(3, 3)6, N2(3, 4)9, N2(4, 4)18, N3(3, 3, 3)17.
Задача 818. Докажите, что N2(3, 3)=6.
Теорема 2. В обозначениях теоремы 1 N1(n)=n, N2(1, n)=N2(2, n)=n, N2(m, n)=N2(n, m).
Теорема 3. 1) N2(m, n)N2(m, n-1)+N2(m-1, n).
2) N2(m, n)N2(m, n-1)+N2(m-1, n)-1 при чётных N2(m, n-1) и N2(m-1, n).
3) Nk(n1, n2, …, nk)Nk(n1-1, n2, …, nk)+Nk(n1, n2-1, …, nk)+…+Nk(n1, n2, …, nk-1)-k+1.
Таблица значений N2(n, m).
n \ m
2 3
4
5
6
7
8
9
m
2
2 3
4
5
6
7
8
9
m
3
3 6
9
14
19
26
33
42
[(m2+3)/2]
4
4 9
18
31
50
75
108
149
…
5
5 14
31
62
111
186
293
442
…
6
6 19
50
111
222
407
700
1141
…
7
7 26
75
186
407
814
1513 2654
…
8
8 33
108
293
700
1513 3026 5679
…
9
9 42
149
442
1141 2654 5679 11358 …
n
n [(n2+3)/2] …
…
…
…
…
…
…
Задача 819. В группе из 42 человек среди любых троих есть двое знакомых. Докажите, что в этой
группе найдутся 9 человек, попарно знакомых друг с другом.
Решение задачи 819. Возьмем одного из них (A1). Если он знаком менее, чем с 33, то остальные 9
обязаны быть знакомы друг с другом (иначе пара незнакомых и A1 не удовлетворяет условию).
Осталось доказать, что из 33 найдется восьмерка попарно знакомых. Возьмем того, кто знаком с
наименьшим числом из остальных. Если менее, чем с 25, то остальные 8 попарно знакомы. Пусть он
знаком с 25. Все не могут быть знакомы ровно с 25, значит, найдется кто-то, кто знаком с 26.
Рассмотрим 26 человек, найдем среди них семерку. Тот, кто знаком с наименьшим числом из
остальных 25, должен быть знаком не менее, чем с 19 (иначе найдется семерка остальных).
Аналогично из 19 находим 6-ку, из 14 5-ку, из 9 4-ку, из 6 3-ку, из 3 2-ку, что верно по условию.
164
Задача 820. В классе учится 25 человек. Известно, что среди любых трёх из них есть двое друзей.
Докажите, что есть ученик, у которого не менее 12 друзей.
Идея решения задачи 820. От противного. Пусть у всех меньше 12 друзей, и двое учеников не
дружат. Каждый набирает команду друзей. Тогда кто-то не попадет ни в одну команду.
Задача 821. В зале находится 100 человек, каждый из которых знаком по крайней мере с 67 из
остальных присутствующих. Доказать, что в зале непременно найдутся 4 человека, из которых любые
два знакомы друг с другом.
Идея решения задачи 821. Первый знаком с 67 другими. Выбираем второго из числа его знакомых.
Общих знакомых у первого и второго не меньше 34. Выбираем из них третьего. Общих знакомых у
всех троих не меньше 1. Выбираем из них четвёртого.
Задача 822. В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тёзок и
сколько однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел
встретились все целые, от 0 до 10 включительно. Докажите, что в классе есть два ученика с
одинаковыми именем и фамилией.
Решение задачи 822. Объединим учеников в группы по фамилиям и в группы по именам (возможны
группы, состоящие из одного человека - например, ученик, не имеющий однофамильцев). Каждый
войдет в две группы – по фамилии и по имени. Действительно, есть группы, состоящие из 1, 2, …11
человек, поэтому групп не меньше 11, но 1+2+…+11=66=233, т.е. мы уже посчитали каждого
ученика дважды, значит, больше групп нет.
Рассмотрим группу из 11 человек (скажем, однофамильцев). Остальных групп и, в частности, групп
тезок не более десяти. Поэтому какие-то двое из 11 входят в одну группу тезок, т.е. у них одинаковые
и имя, и фамилия.
Задача 823. В футбольном турнире 18 команд сыграли между собой 8 туров — каждая команда
сыграла с восемью разными командами. Доказать, что найдется три команды, не сыгравшие между
собой пока ни одного матча.
Решение задачи 823. Рассмотрим одну из команд. Она сыграла с 8 командам и с 9 не сыграла. Если
среди этих девяти последних есть две, не сыгравшие между собой, то все доказано. Предположим,
что это неверно. Тогда все эти девять команд сыграли между собой, для чего им потребовалось
сыграть 36 матчей. Однако в каждом туре они могут сыграть между собой только 4 матча и всего за 8
туров 32 матча. Мы видим, таким образом, что все эти девять команд не могли сыграть между собой,
а потому три искомые команды найдутся.
Задача 824. Назовем тройку людей хорошей, если ее можно отправить в поход (так что люди не
поссорятся) и плохой в противном случае. Докажите, что из бесконечного числа людей можно
выбрать либо 100 человек так, чтобы любая тройка из них была хорошей, либо 100 человек так,
чтобы любая тройка из них была плохой.
Указание к задаче 824. Зафиксируем одного человека. Это позволяет называть все пары оставшихся
людей хорошими или плохими, поскольку каждую такую пару можно дополнить до тройки
выделенным человеком. Выберем из оставшихся людей бесконечное подмножество так, чтобы все
пары имели один тип (как это сделать - описано ниже). Зафиксируем в нем нового человека, и снова
из нового множества получим еще более узкое подмножество и т.д. Получим цепочку людей и
выберем из нее 100 человек первого или 100 человек второго типа, что и требовалось.
Теперь покажем, как выбрать бесконечное подмножество людей, чтобы все пары имели один и тот же
тип. Зафиксируем человека. Это позволит определить тип уже у людей. Возьмем бесконечное
подмножество одного типа и человека в нем, и повторим ту же процедуру. Получим бесконечную
цепочку людей, каждый из которых “смотрит” на предыдущих или только хорошо, или только плохо.
Выберем бесконечную цепочку однотипных.
Связность.
Определение. Маршрут в графе – это последовательность рёбер такая, что конец предыдущего ребра
является началом следующего.
Замечания. 1. Одна и та же вершина, одно и то же ребро могут встречаться в маршруте несколько
раз.
2. Маршрут может быть пустым (не содержать ребер).
3. Последовательность ребер маршрута может не иметь ни начала, ни конца.
Теорема 1. Если в графе существует какой-нибудь маршрут с началом в вершине A и с концом в
вершине B, то существует и маршрут из A в B, в котором вершины (и тем более рёбра) не
повторяются.
165
Идея доказательства. Выбрасываем участки между одинаковыми вершинами. Так мы можем
сделать не более, чем столько раз, сколько ребер в маршруте, т. е. рано или поздно процесс удаления
участков маршрута завершится.
Определения. 1. Вершина маршрута называется начальной, конечной или промежуточной в
зависимости от того, есть ли в маршруте рёбра, предшествующие вершине и следующие за
вершиной.
2. Маршрут без повторяющихся рёбер называется цепью, без повторяющихся вершин – простой
цепью.
3. Маршрут называется односторонне-бесконечным, если он имеет начальную вершину, но не имеет
конечной или, наоборот, имеет конечную вершину, но не имеет начальной. Маршрут называется
двусторонне-бесконечным, если он не имеет ни начальной, ни конечной вершины. Маршрут,
имеющий начальную и конечную вершины, называется конечным.
4. Маршрут называется нетривиальным, если он содержит хотя бы одно ребро. В противном случае
(нет рёбер) маршрут называется нуль-маршрутом.
5. Конечные маршруты имеют длину – количество рёбер, соединяющих начальную и конечную
вершины.
Задача 825. В государстве 2008 городов, некоторые (но не все!) пары городов соединены
беспосадочными авиалиниями, причем из любого города можно долететь до любого другого
(возможно, с пересадками). Докажите, что министерство авиации может открыть новую авиалинию
между какими-то двумя городами, так, что после этого из любого города в любой другой можно
будет долететь, сделав менее 1400 пересадок.
Указание к задаче 825. Если в графе нет маршрута длины 1400 – всё очевидно. Если есть –
соединим его концы, если они не соединены. Тогда из любого города в любой можно будет пролететь
либо минуя цикл длины 1400, либо по меньшей его стороне.
Определения. 1. Маршрут конечной длины называется циклическим, если начальная и конечная
вершины совпадают. Циклический маршрут называется циклом, если его рёбра не повторяются, и
простым циклом, если никакая вершина не встречается более одного раза (кроме начальной, которая
встретится второй раз в любом цикле – будет конечной вершиной).
2. Две вершины A и B графа называются связанными, если существует маршрут с началом A и
концом B.
3. Граф называется связным, если любая пара вершин в нём связана.
Теорема 2. Все вершины графа можно разбить на группы так, что вершины, лежащие в одной группе,
связаны между собой, а в разных – не связаны.
Определение. Каждая такая группа вершин называется компонентой связности графа.
Следствие. Каждая компонента связности – связный граф.
Идея. Иногда достаточно изобразить граф для того, чтобы убедиться, связаны ли нужные вершины.
Задача 826. Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Корабли
летают по следующим маршрутам: Земля-Меркурий, Плутон-Венера, Земля-Плутон, ПлутонМеркурий, Меркурий-Венера, Уран-Нептун, Нептун-Сатурн, Сатурн-Юпитер, Юпитер-Марс и МарсУран. Можно ли добраться с Земли до Марса?
Задача 827. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник
обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное
число, составленное из цифр-названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в
город 9?
Идея. Сумма степеней вершин каждой компоненты связности чётна.
Теорема 3. Если в конечном графе ровно две вершины A и B имеют нечётную степень, то они
связаны.
Задача 828. В Тридевятом царстве лишь один вид транспорта – ковёр-самолёт. Из столицы выходит
21 ковролиния, из города Дальний – одна, а из всех остальных городов – по 8. Докажите, что из
столицы можно долететь в Дальний (возможно, с пересадками).
Задача 829. В стране из каждого города выходит 100 дорог и от любого города можно добраться до
любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт. Докажите, что и теперь от любого города можно
добраться до любого другого.
Теорема 4. Пусть граф имеет n вершин и k компонент связности. Тогда максимальное число рёбер
графа равно N(n, k)=(n-k)(n-k+1)/2.
166
Доказательство. Если в графе все компоненты связности, кроме одной, содержат по одной вершине,
а последняя – полный граф с n-k+1 вершиной, то число рёбер в таком графе равно (n-k)(n-k+1)/2.
Обозначим такой граф Gmax(n, k).
Докажем, что больше рёбер, чем в Gmax(n, k), в графах с n вершинами и k компонентами связности
быть не может. Пусть среди компонент связности есть две (G1 и G2) с числом вершин больше одной.
Пусть n1n2>1 – число вершин в них. Построим новый граф следующим образом. Все компоненты
связности сделаем полными графами. Затем число вершин в G1 увеличим на одну, в G2 уменьшим на
одну. Нетрудно видеть, что число рёбер в новом графе увеличится. Действуя таким образом, мы рано
или поздно придём к графу Gmax(n, k).
Теорема 5. Граф с n вершинами и с числом рёбер большим, чем N(n, 2)=(n-2)(n-1)/2, связен.
Теорема 6. Граф с n вершинами, степень каждой из которых не менее (n-1)/2, связен.
Задача 830. В стране Семёрка 15 городов, каждый из которых соединён дорогами не менее, чем с
семью другими. Докажите, что из любого города можно добраться до любого другого (возможно, с
пересадками).
Теорема 7. Наименьшее число рёбер в связном графе с n вершинами равно n-1.
Доказательство. Пример графа с n вершинами и n-1 рёбрами – простая цепь длины n-1. Пусть теперь
граф связен. Выберем в нём вершину A. С вершиной A связаны все остальные вершины. Изобразим
все вершины графа. За каждый шаг к уже изображённой части графа мы будем добавлять ребро так,
что после этого шага все концы проведённых рёбер связаны с A. Новое ребро не может соединять две
вершины, не связанные с A перед этим шагом. Число вершин, которые «присоединяются» к A за
один шаг, не больше одной. А всего их (кроме A) n-1. Т. е. рёбер не меньше n-1. Осталось понять,
почему на каждом шаге новое ребро присоединить можно (следует из связности графа).
Пример. Если граф имеет 5 вершин, то (по теоремам 6 и 7) при числе рёбер от 0 до 3 он не связный,
при числе рёбер от 7 до 10 граф связный, при числе рёбер от 4 до 6 граф может быть как связным, так
и несвязным.
Задача 831. Тетрадный лист раскрасили в 23 цвета по клеткам. Пара цветов называется хорошей,
если существует две соседние клетки, закрашенные этими цветами. Каково минимальное число
хороших пар?
Задача 832. На доске 9 х 9 закрашено несколько клеток так, что от любой закрашенной клетки можно
добраться до любой другой, двигаясь только по закрашенным клеткам и каждый раз переходя на
соседнюю клетку через сторону. Сторона клетки равна 1. Докажите, что периметр закрашенной
фигуры не превосходит 120.
Идея решения задачи 832. От противного. Пусть периметр (он четный, так как для обхода фигуры
надо сделать столько же шагов влево, сколько вправо, аналогично вверх, вниз) не меньше 122.
Будем строить фигуру, начиная с одной из ее клеток и увеличивая на каждом шаге на одну клетку,
так, чтобы фигура оставалась связной. За один шаг периметр увеличивается не более, чем на 2.
Шагов не менее (122-4):2=59, площадь фигуры не менее 60. Остальных клеток не более 21. При
добавлении одной из остальных клеток периметр уменьшается не более, чем на 4. После того, как,
добавляя остальные клетки по одной, мы получим квадрат 9 х 9, его периметр будет не меньше 1224·21=38 вместо 36. Противоречие.
Задача 833. В стране 100 городов. Некоторые пары городов соединены беспосадочными
авиалиниями трех авиакомпаний. Известно, что, пользуясь авиалиниями любых двух из этих
авиакомпаний, можно из любого города долететь до любого другого (возможно, с пересадками).
Найдите наименьшее возможное количество авиалиний.
Идея решения задачи 833. Пример со 149 авиалиниями. Первая авиакомпания 1-2, 3-4, …, 97-98, 99100. Вторая 2-3, 4-5, …, 98-99. Третья 100-1, 100-3, …, 100-97, 100-98. Ясно, что рейсов любых двух
авиакомпаний в сумме не меньше 99 (это необходимо для связности), а значит, всего не меньше 149
(складываем три таких неравенства и делим на 2).
Задача 834. В некоторой стране 30 городов, причём каждый соединён с каждым дорогой. Какое
наибольшее число дорог можно закрыть на ремонт так, чтобы из каждого города можно было
проехать в каждый? (Как обычно, дороги не пересекаются, начинаются и заканчиваются в городах, не
разветвляются, в местах возможных пересечений одна из дорог проходит эстакадой над другой.)
Задача 835. Клетчатая плоскость раскрашена десятью красками так, что соседние (т. е. имеющие
общую сторону) клетки покрашены в разные цвета, причём все десять красок использованы. Каково
минимально возможное число пар соседних красок? (Две краски называются соседними, если ими
покрашены какие-то две соседние клетки.)
167
Деревья.
Определения. 1. Дерево – связный граф без циклов. 2. Лес – граф без циклов.
Замечания. 1. Компоненты связности леса – деревья. 2. Любая часть леса есть лес. 3. Любая цепь
леса простая.
Определение. Вершина графа называется висячей, если её степень равна 1.
Теорема 1. Свойства деревьев. 1. В дереве любые две вершины связаны единственной цепью.
2. Если в графе любые две вершины связаны единственной цепью, то граф – дерево.
3. (Лемма о висячей вершине.) Любое конечное дерево, содержащее не менее двух вершин, имеет не
менее двух висячих вершин.
4. Если число вершин в дереве больше двух, то среди них есть не висячие вершины.
Задача 836. В конечном графе все вершины имеют степень 3. Докажите, что в этом графе есть цикл.
А если граф бесконечный?
Задача 837. Рёбра дерева окрашены в два цвета. Если в какую-то вершину приходят рёбра только
одного цвета, то их все можно перекрасить в другой цвет. Можно ли все дерево cделать
одноцветным?
Указание к задаче 837. Лемма о висячей вершине и индукция по числу вершин.
Теорема 2. Свойства деревьев.
1. При удалении любого ребра дерево превращается в несвязный граф, содержащий 2 компоненты
связности.
2. При удалении ребра из леса число его компонент связности увеличивается на 1.
3. В конечном дереве с n вершинами n-1 ребро.
4. Если в конечном связном графе число рёбер на единицу меньше числа вершин, то такой граф –
дерево.
5. Если граф конечный и связный, но не дерево, то число его рёбер не меньше числа вершин.
Таким образом, деревья – это наименьшие связные графы с заданным числом вершин: у деревьев
число рёбер наименьшее, при удалении ребра из дерева получится несвязный граф, а при удалении
ребра из цикла связного графа получится связный граф.
Доказательство. 3. Если дерево состоит более, чем из одной вершины, то в нём есть висячая
вершина. Удалим её вместе с соединяющим её ребром (это можно сделать по лемме о висячей
вершине). Так будем поступать, пока не останется одна вершина. Следовательно, вершин на 1
больше, чем рёбер.
4. От противного. Пусть такой граф – не дерево. Значит, в нём есть цикл. Удалим в цикле одно ребро.
Если ещё остался цикл, то с ним поступим так же. И так далее. Добьёмся того, что циклов не будет.
Граф после каждого такого удаления ребра не перестанет быть связным, то есть мы получим дерево.
В нём n вершин и n-1 ребро, что противоречит условию.
Идея. Граф можно последовательно упростить:
1) Что можно делать с графом? Разбить на компоненты связности.
2) Что можно делать со связным графом? Превратить его в дерево, удаляя по одному ребру в любом
цикле.
3) Что можно делать с деревом? Удаляя висячие вершины вместе с выходящими из них рёбрами,
превратить его в граф, состоящий из 1 вершины.
Задача 838. Волейбольная сетка имеет вид прямоугольника размером 50 x 600 клеток. Какое
наибольшее число верёвочек можно перерезать так, чтобы сетка не распалась на куски?
Решение задачи 838. Будем рассматривать волейбольную сетку как граф, вершины которого – узлы
сетки, а рёбра – верёвочки. Будем удалять из графа рёбра до тех пор, пока в графе есть циклы (можно
удалить любое ребро цикла). В конце концов мы приходим к дереву. Оно содержит 51·601=30651
вершину и 30650 рёбер. Первоначально рёбер было 601·50+600·51=60650. Следовательно, перерезать
можно 30000 верёвочек (но не более).
Задача 839. Докажите, что из любого связного графа можно удалить вершину вместе с выходящими
из неё рёбрами так, чтобы граф остался связным.
Задача 840. В стране 100 городов, некоторые из них соединены авиалиниями. Известно, что от
любого города можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Докажите, что можно
побывать в каждом городе, сделав не более 198 перелётов.
Задача 841. В марсианском метро 100 станций. От любой станции до любой другой можно проехать.
Забастовочный комитет хочет закрыть проезд через одну из станций так, чтобы между всеми
остальными станциями был возможен проезд. Докажите, что такая станция найдётся.
Указание к задаче 841. Для любой станции закроем наиболее удалённую от неё.
168
Расстояния на графе.
Пусть граф связный. Тогда любые две его вершины связаны простой цепью. Среди них есть одна или
несколько цепей наименьшей длины.
Определение. Расстоянием (A, B) между вершинами A и B графа называется наименьшая длина
простой цепи, соединяющей эти вершины. Для вершин, принадлежащих разным компонентам
связности, расстоянием между ними назовём +.
Теорема 1. Свойства расстояния. 1) (A, B)0. 2) (A, B)=0 тогда и только тогда, когда A=B. 3) (A,
B)=(B, A).
4) (Неравенство треугольника.) (A, B)+(B, C)(A, C).
Определение. Диаметр графа – максимальное расстояние между его вершинами.
Примеры. Диаметр несвязного графа равен +. Диаметр полного графа равен 1.
Задача 842. Найдите диаметры графа Петерсена и графов правильных многогранников.
Определение. Назовём окружностью с центром A радиуса n множество вершин графа, удалённых от
вершины A на расстояние n (n0).
Теорема 2. Вершины, удалённые от A на расстояние n, могут быть соединены лишь с вершинами,
удалёнными от A на расстояния n-1 (их не менее одной), n, n+1.
Доказательство. Следует из неравенства треугольника.
Идея. 1. Граф можно разбить на концентрические окружности и присвоить каждой вершине номер
цвета, равный расстоянию до общего центра окружностей.
2. В частности, дерево можно подвесить за любую вершину, называемую корнем. В этом случае
полезно рассматривать ветви дерева.
Определение. Ветвь вершины v дерева с корнем v0 – множество вершин, связанных с v0 цепями,
проходящими через v.
Задача 843. В группе людей каждый имеет знакомого. Докажите, что эту группу можно разбить на
две так, чтобы каждый человек имел знакомого из другой группы.
Идея решения задачи 843. Возьмём любого человека и посадим его в группу 1. Всех его знакомых –
в группу 2. Всех их непосаженых знакомых – снова в 1. Если знакомые кончились, а люди ещё есть,
то проведём ту же операцию для оставшихся. Это разбиение подходит.
Задача 844. В некотором поселке 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными вчера
новостями со всеми знакомыми; каждая новость становиться известной всем жителям поселка.
Докажите, что можно выбрать 90 жителей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то
новость, то через 10 дней она станет известна всем жителям поселка.
Идея решения задачи 844. Доведем до дерева (уберём лишние рёбра). Отметим висячие вершины,
вторые с краю (висячие после удаления висячих), третьи с краю и т. д. Назовём центром дерева все
вершины, с краю 11-е или с ещё большим номером. Возьмем любую вершину, висячую в графе –
центре дерева. Уберем её и все вершины ближе к краю, для которых она ближайшая из центра.
Пришли к дереву, у которого по крайней мере на 11 вершин меньше и из них нужно выбрать 89. И
так далее. Через 89 таких шагов останется не более 1000-89·11=21 вершины. Сообщим новость
одному из наиболее удаленных от края.
Эйлеровы циклы.
Задача 845 (о Кёнигсбергских мостах). План расположения семи мостов в Кёнигсберге приведён на
рисунке слева. Можно ли, путешествуя по Кёнигсбергу, пройти через каждый мост по одному разу и
вернуться в исходную точку путешествия?
Эта задача, решённая в общем виде Эйлером, послужила началом математической теории графов. На
рисунке справа изображённый Эйлером граф (хотя, вообще-то, он не совсем граф), соответствующий
этому рисунку.
Определения. 1. Цикл, в котором каждое ребро графа участвует ровно один раз, называется
эйлеровым циклом. 2. Граф, содержащий эйлеров цикл, называется эйлеровым графом.
с
С
d
a
A
b
g
e
D
f
B
169
Теорема 1. Конечный граф является эйлеровым в том и только в том случае, когда выполняются два
условия:
1) граф связен и 2) все степени вершин графа чётны.
Доказательство. Оба условия необходимы: если граф не связный, то мы можем путешествовать
только внутри одной компоненты связности. Каждый раз, когда эйлеров цикл проходит через
вершину, он должен войти в неё по одному ребру, а выйти по другому, поэтому число рёбер,
выходящих из каждой вершины, чётно.
Докажем, что если оба условия выполнены, то граф эйлеров. Построим в графе один из циклов
наибольшей длины. Предположим противное: такой цикл содержит не все рёбра графа. В силу
связности графа найдётся такое ребро, которое не вошло в цикл и у которого по крайней мере одна
вершина – вершина цикла. Пройдём цикл, начиная с этой вершины A (пока для каждой вершины мы
прошли чётное число рёбер, из неё выходящих), затем будем двигаться дальше по ещё не
пройденному ребру и ещё дальше, насколько это возможно. Мы обязательно остановимся в A (иначе
мы прошли через вершину, в которой остановились, нечётное число раз и там есть ещё рёбра). Т. е.
наш длиннейший цикл оказалось возможно удлинить. Полученное противоречие доказывает
достаточность условий 1), 2).
Задача 846. Граф состоит из 64 вершин и некоторого числа рёбер и задаётся следующим образом.
Если вершины считать полями шахматной доски, то две вершины соединены ребром в том и только в
том случае, если шахматная фигура может сделать ход с одного из этих полей на другое. Является ли
граф эйлеровым, если эта фигура – А) ладья; Б) слон; В) ферзь; Г) конь; Д) король?
Теорема 2. Существует маршрут, проходящий через каждое ребро конечного связного графа по 2
раза: по разу в каждом из двух направлений.
Идея доказательства. Для деревьев утверждение теоремы верно (индукция), а от любого связного
графа можно перейти к дереву, удаляя рёбра.
О бесконечных графах. В случае бесконечных графов эйлеровых циклов
не существует. Но могут существовать или односторонне-бесконечные,
или двусторонне-бесконечные цепи, проходящие через все рёбра.
Пример. Пусть вершины графа – точки плоскости с целыми координатами,
а рёбра – отрезки длины 1, их соединяющие. Для графа (см. рисунок)
существует двусторонне-бесконечная цепь, проходящая через все рёбра.
Задача о вычерчивании фигуры. Можно ли начертить фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и
не проводя линии дважды? Из двух фигур на рисунке левую начертить можно, правую – нет. В каком
случае это можно сделать – отвечает следующая теорема.
Теорема 3. Конечный граф можно начертить без отрыва от бумаги тогда и только тогда, когда он
связен и вершин нечётной степени не больше двух (т. е. 0 или 2).
Доказательство. Связность, очевидно, необходима. Все вершины, кроме начала и конца линии,
имеют чётную степень, так как линия столько раз входит в них, сколько и выходит. Если степени
всех вершин чётны, то по теореме 21 искомая линия существует (и даже является циклом). Пусть есть
ровно две вершины нечётной степени. Соединим их ребром, построим эйлеров цикл и выбросим из
него построенное ребро.
Задача 847. Можно ли нарисовать эту картинку, не отрывая карандаша от бумаги
и проходя по каждой линии по одному разу?
Задача 848. Дан правильный 45-угольник. Можно ли так расставить в его вершинах цифры от 0 до 9
так, чтобы для любой пары различных цифр нашлась сторона, концы которой занумерованы этими
цифрами?
Указание к задаче 848. Рассмотрите полный граф, вершины которого - цифры от 0 до 9. Задача
сводится к его обходу.
Задача 849. Можно ли нарисовать граф, не отрывая карандаша от бумаги и не
проводя линии дважды? Решите эту задачу для графов на обоих рисунках.
Задача 850. Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям (см. рисунок)
так, чтобы при этом перелезть через каждый забор ровно один раз?
Задача 851. Имеется группа островов, соединённых мостами так, что от каждого острова можно
добраться до любого другого. Турист обошёл все острова, пройдя по каждому мосту ровно один раз.
На острове Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов ведёт с Троекратного, если турист а) не
170
с него начал и не на нём закончил; б) с него начал, но не на нём закончил; в) с него начал и на нём
закончил?
Задача 852. Дан кусок проволоки длиной 120 см. Можно ли, не ломая проволоки, изготовить каркас
куба с ребром 10 см?
Задача 853. а) Можно ли составить решётку (обведены все клетки квадрата 4 х 4) из 5 ломаных
длины 8?
б) А из 8 ломаных длины 5?
Задача 854. На плоскости дано 100 окружностей, составляющих связную (т. е. не распадающуюся на
части) фигуру. Докажите, что эту фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не
проводя дважды одну и ту же линию.
Задача 855. В одной из вершин а) куба, б) октаэдра сидит муха. Может ли она проползти по рёбрам
по одному разу и вернуться в исходную вершину?
Теорема 4. Пусть число вершин нечётной степени связного графа равно 2n. Тогда его можно
начертить с помощью n линий (т. е. отрывая карандаш от бумаги n-1 раз).
Задача 856. Посёлок построен в виде квадрата 3 квартала на 3 квартала (кварталы - квадраты со
стороной b, всего 9 кварталов). Какой наименьший путь должен пройти асфальтоукладчик, чтобы
заасфальтировать все улицы, если он начинает и кончает свой путь в угловой точке A? (Стороны
квадрата - тоже улицы).
Идея решения задачи 856. Длина пути 28. Вершин нечетной степени 8. Если считать отрезки,
выходящие из каждой вершины, их не менее 4 (из угловых) + 8 (из центральных) + 16 (из остальных).
Пример с 28 легко строится.
Задача о плане выставки. Каким должен быть план выставки, чтобы все экспонаты оказались
просмотренными по разу независимо от того, в каком порядке посещать залы (соблюдая лишь
правило: всегда идти по ещё непройденным переходам)?
Определения. 1. Эйлеров граф называется произвольно вычерчиваемым из вершины A, если, идя по
любой цепи из A и не проходя по пройденным рёбрам, мы независимо от порядка обхода пройдём
все рёбра по одному разу (т. е. пройдём эйлеров цикл). 2. Мотком называется граф, состоящий из
непересекающихся по рёбрам простых циклов, имеющих только две общие вершины.
Теорема 5. Эйлеров граф произвольно вычерчиваем из вершины A тогда и только тогда, когда все
его циклы проходят через A.
Примеры. Граф на рисунке слева – не произвольно вычерчиваемый из нижней вершины, так как есть
возможность пройти нижний цикл и не проходить верхний. Граф на рисунке в центре - произвольно
вычерчиваемый из нижней вершины. Граф на рисунке справа – моток.
Теорема 6. Граф, произвольно вычерчиваемый более, чем из одной вершины, является мотком.
Доказательство. Следует из определения мотка и теоремы 5.
Гамильтоновы циклы.
Определения. 1. Простой цикл называется гамильтоновым, если он проходит через все вершины
графа.
2. Простая цепь называется гамильтоновой, если она проходит через все вершины графа.
Замечания. 1. Распространённая интерпретация задачи о гамильтоновых циклах такова. Обед накрыт
на круглом столе. Среди гостей некоторые являются друзьями. При каких условиях можно всех
присутствующих рассадить так, чтобы рядом сидели только друзья?
2. Гамильтонов цикл может существовать только в конечных связных графах, но не во всех.
Критерий существования в графе гамильтонова цикла неизвестен. Известны лишь некоторые
достаточные условия существования гамильтонова цикла. Одно из наиболее известных - следующая
теорема.
Теорема 1. Если в связном графе с числом вершин n степень каждой вершины не меньше n/2, то в
графе есть гамильтонов цикл.
171
Идея доказательства. Пусть (a) – степень вершины a. Рассмотрим самую длинную простую цепь
графа a0, a1, …, ak. Тогда (a0)+(ak)nk+1. Заметим, что существует цикл, проходящий через
вершины a0, a1, …, ak по одному разу. Это следует из того, что по принципу Дирихле для какого-то из
ребер простой цепи правый конец соединён ребром с a0, а левый с ak. Если k+1<n (не все вершины
графа входят в цепь), то, рассматривая путь от одной из оставшихся вершин до ближайшей вершины
цикла, получим противоречие с выбором самой длинной цепи.
Примеры. 1. Гамильтоновы циклы некоторых графов (три рисунка). Рёбра, не входящие в
гамильтонов цикл, показаны пунктиром. 2. Обход конём шахматной доски – гамильтонов цикл
(вершины графа – поля доски, рёбра соединяют поля, находящиеся друг от друга на расстоянии хода
коня). Показан один из возможных способов (всего их очень много).
Задача 857. Можно ли обойти доску, состоящую
из 12 клеток (см. рисунок), шахматным конём?
Задача 858. Какие из графов правильных
многогранников имеют гамильтоновы
циклы?
Задача 859. Есть ли гамильтонов цикл у графа
Петерсена?
Задача 860. Граф имеет вид квадрата, разбитого
на n2 равных квадратиков. При каких n в графе
существует гамильтонов цикл?
Задача 861. Имеет ли решение задача обхода
доски n x n шахматным конём при n=3, 4, 5, 6, 7?
Задача 862. На шахматной доске 4 х 4
расположена фигура – «летучая ладья», которая
ходит так же, как обычная ладья, но не может за
один ход стать на поле, соседнее с предыдущим.
Может ли она за 16 ходов обойти всю доску,
становясь на каждое поле по разу, и вернутся в
исходное поле?
Решение задачи 862. Может. См. таблицу.
5 11
6 12
1 15
2 16
8 10
7
9
4 14
3 13
56
41
58
35
50
39
60
33
47
44
55
40
59
34
51
38
42
57
46
49
36
53
32
61
45
48
43
54
31
62
37
52
20
5
30
63
22
11
16
13
29
64
21
4
17
14
25
10
6
19
2
27
8
23
12
15
1
28
7
18
3
26
9
24
Плоские графы.
Определение. 1. Граф называется плоским (планарным), если он может быть изображён на
плоскости так, что все общие точки линий, изображающих рёбра, являются вершинами графа, и
каждая такая линия содержит две такие точки (начало и конец ребра). 2. Изображение плоского графа
называется правильно нарисованным, если оно удовлетворяет требованию из определения плоского
графа.
Комментарий. Граф плоский, если его можно нарисовать на листе бумаги без пересечений рёбер.
Один и тот же граф можно нарисовать по разному.
Пример. Полный граф с 4 вершинами плоский (см. рисунок справа). Такой граф обозначается K4.
В общем случае, полный граф с n вершинами обозначается Kn.
Определение. Графы с одинаковым числом вершин называются изоморфными, если вершины
каждого графа можно занумеровать так, что если вершины с данными номерами в одном из графов
соединены ребром, то они соединены ребром и в другом графе.
Задача 863. Докажите изоморфизм графов Петерсена, изображенных так, что один из них обладает
симметрией третьего порядка, а другой - симметрией пятого порядка.
172
Задача о домиках и колодцах. Три поссорившихся соседа имеют три общих колодца. Требуется
соединить непересекающимися тропинками каждый домик с каждым колодцем. Можно ли это
сделать?
Примеры. 1. Полный граф с 5 вершинами (K5) не плоский.
2. Не является плоским и граф из задачи о домиках и колодцах (он обозначается K3,3).
Определение. Два конечных графа называются гомеоморфными, если один из них может быть
получен из другого за конечное число шагов, каждый из которых - совершение одного из следующих
действий:
1) нарисовать на любом ребре вершину;
2) удалить вершину степени 2.
Определение. Подграф состоит из некоторых или всех вершин графа и всех ребер графа,
соединяющих эти вершины.
Теорема 1 (критерий планарности графа). Конечный граф является плоским тогда и только тогда,
когда он не содержит подграфа, гомеоморфного K5 или K3,3.
Задача 864. Расположите на плоскости 6 точек и соедините их непересекающимися линиями так,
чтобы из каждой точки выходили четыре линии.
Задача 865. Плоскими являются графы всех правильных многогранников (вершины и рёбра графа
соответствуют вершинам и рёбрам правильного многогранника). Изобразите их правильно!
Формула Эйлера и следствия из неё.
Правильно нарисованный конечный плоский граф разбивает плоскость на части, из которых одна
часть – внешняя (её мы тоже будем учитывать). Обозначим число вершин графа через V, число рёбер
через E, число частей плоскости (вместе с внешней) через F. Справедлива следующая
Теорема 1 (формула Эйлера). Для правильно нарисованного конечного связного плоского графа
выполняется равенство V-E+F=2.
Доказательство. Будем удалять рёбра до тех пор, пока не получим дерево. Для дерева F=1 и V-E=1,
поэтому теорема справедлива. При удалении очередного ребра величина V-E+F не изменяется, так
как количество вершин не изменяется, а количество рёбер и вершин уменьшается на 1 (две части
плоскости при удалении ребра сливаются). Поэтому и для первоначального графа величина V-E+F
равна 2.
Задача 866. В квадрате отметили 20 точек и соединили их непересекающимися отрезками друг с
другом и с вершинами квадрата так, что квадрат разбился на треугольники. Сколько получилось
треугольников?
Решение задачи 866. Первый способ. Рассмотрим граф, рёбра которого – отрезки и стороны
квадрата, вершины – 20 точек и вершины квадрата. Для каждой части плоскости подсчитаем
количество ограничивающих ее рёбер, и все полученные числа сложим. Получим удвоенное число
рёбер (ребро ограничивает два куска). Так как все куски, кроме внешнего (квадрата), треугольники,
то получаем 3(F-1)+4=2E, т. е. Е=(3F+1)/2. Число вершин равно 24. Подставим количества вершин и
рёбер в формулу Эйлера: 24-(3F+1)/2+F=2. Отсюда F=43, а количество треугольников, на которые
разбился квадрат, равно 42.
Второй способ. Сумма углов треугольника (подсчёт углов вокруг каждой точки).
Теорема 2. Для правильно нарисованного конечного плоского графа справедливо неравенство 2E3F.
Доказательство. Удалим все рёбра, не входящие в циклы. Докажем, что даже в этом случае
неравенство справедливо. Каждую часть плоскости ограничивает не менее трёх рёбер. Если для
каждой части плоскости мы сложим количества рёбер на границе, то получим, что число частей не
больше одной трети от числа подсчитанных таким образом рёбер. Но каждое ребро было подсчитано
два раза, на самом деле их вдвое меньше. Получим требуемое неравенство.
Теорема 3. Для конечного плоского графа справедливо неравенство E3V-6.
Доказательство. Пусть граф связен. Нарисуем его правильно. Из предыдущей теоремы 2E3F. Из
формулы Эйлера V-E+2E/32, или E3V-6. Для несвязного графа выпишем неравенства вида E3V-6
отдельно для каждой компоненты связности и сложим их левые и правые части. Получим E3V-6N,
где N – число компонент связности. Тем более E3V-6.
Идея. Неравенство из теоремы 31 позволяет находить неплоские графы. С его помощью докажите,
что:
Задача 867. Полный граф с числом вершин больше четырёх не плоский.
Задача 868. Граф из задачи о домиках и колодцах не плоский.
173
Решение задачи 868. Каждая часть плоскости ограничена не менее, чем четырьмя рёбрами.
Рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 2, приводят нас к неравенству E2F. Подставив
его в формулу Эйлера, получим V-E+E/22, или E2V-4. Но E=9, а V=6.
Задача 869. В плоском графе есть вершина, степень которой не больше 5. Докажите.
Задача 870. Каждое ребро полного графа с 11 вершинами покрашено в один из двух цветов: красный
или синий. Докажите, что либо “красный”, либо “синий” граф не является плоским.
Задача 871. Семиугольник разбит на выпуклые пяти- и шестиугольники, причём так, что каждая его
вершина является вершиной по крайней мере двух многоугольников разбиения. Докажите, что число
пятиугольников разбиения не меньше 13.
Решение задачи 871. Рассмотрим граф, в котором вершины – это многоугольники, а рёбра
соединяют многоугольники, имеющие общую сторону. Из каждой вершины многоугольника выходит
не менее 3 рёбер (рассмотрите два случая: вершина внутри и на границе семиугольника). Это значит,
что (при переходе к графу) каждую часть плоскости ограничивает не менее 3 ребер графа.
Следовательно, верно неравенство E3V-6. Пусть пятиугольников A, шестиугольников B штук.
5A+6B+7=2E6-12=6(A+B+1)-12. Отсюда следует A13.
Задача 872. Докажите, что граф, имеющий 10 вершин, степень каждой из которых равна 5, не
плоский.
Ориентированные графы (орграфы).
Определение. Ориентированный граф (орграф) – это совокупность двух множеств: непустого
множества вершин и множества ориентированных рёбер, которые соединяют между собой некоторые
пары вершин.
Замечания. 1. Для ориентированного ребра важно, в каком порядке перечислены его вершины.
Обязательно одна из вершин (обычно записываемая первой) – начало ребра, другая – конец ребра.
Вершины графа изображают точками, ориентированные рёбра – линиями со стрелкой.
2. Ориентированный граф – это не частный случай графа. Это вообще не граф!
3. Между двумя вершинами ориентированного графа может проходить два ребра противоположной
ориентации.
Идеи.
1. Что можно сделать с ориентированным графом? Его можно превратить в граф, заменив
ориентированные рёбра на неориентированные (и затем при необходимости удалив лишние рёбра).
2. Обратно, граф можно превратить в ориентированный граф, введя на множестве его рёбер
ориентацию.
3. Ориентацию всех рёбер можно заменить на противоположную.
Идея. Общее число входящих стрелок равно общему числу выходящих стрелок.
Задача 873. Дима, приехав из Врунляндии, рассказал, что там есть несколько озер, соединенных
между собой реками (реки текут из озера в озеро). Из каждого озера вытекают три реки, и в каждое
озеро впадают четыре реки. Докажите, что он ошибается.
Задача 874. В некоторой стране есть столица и еще 100 городов. Некоторые города (в том числе и
столица) соединены дорогами с односторонним движением. Из каждого нестоличного города
выходит 20 дорог, и в каждый такой город входит 21 дорога. Докажите, что в столицу нельзя
проехать ни из одного города.
Указание к задаче 874. Пусть в столицу входит k дорог. Тогда общее число входящих дорог равно
k+2100, а общее количество выходящих дорог не больше 2000+(100-k).
Идея. Вспомните эйлеровы циклы.
Задача 875. В связном графе степени всех вершин четны. Докажите, что на ребрах этого графа
можно расставить стрелки так, чтобы выполнялись следующие условия: а) двигаясь по стрелкам,
можно добраться от любой вершины до любой другой; б) для каждой вершины числа входящих и
выходящих ребер равны.
Решение задачи 875. Рассмотрим эйлеров цикл, проходящий по всем ребрам графа, и ориентируем
все ребра в соответствии с порядком прохождения цикла.
Задача 876. На ребрах связного графа расставлены стрелки так, что для каждой вершины числа
входящих и выходящих ребер равны. Докажите, что двигаясь по стрелкам, можно добраться от
любой вершины до любой другой.
Указание к задаче 876. Докажите, что существует замкнутый путь вдоль стрелок, проходящий по
каждому ребру ровно один раз.
Идея. Куда приводят все стрелки?
174
Пусть орграф таков, что между любыми двумя вершинами есть ровно одно ориентированное ребро, и
нет ориентированных циклов. Все такие орграфы устроены весьма однообразно – как в решении
следующей задачи.
Задача 877. В Швамбрании 53 города, каждые два соединены дорогами. При этом дороги сходятся
лишь в городах (перекрёстков нет, в местах возможных пересечений одна из дорог поднимается
эстакадой над другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение
таким образом, что если путешественник может выйти из города, то он туда уже не вернётся.
Доказать, что волшебник может это сделать.
Решение задачи 877. Города нумеруются числами от 1 до 53, и направление движения – из города с
большим номером в город с меньшим номером.
Задача 878. В стране n городов соединены между собой авиалиниями, причём перелёты
осуществляются только в одном направлении. Выполняется условие: вылетев из любого города,
нельзя вернутся в него этими же авиалиниями. Докажите, что можно дополнить систему новыми
маршрутами так, что каждый город будет соединён с каждым напрямую и будет выполняться
прежнее условие.
Решение задачи 878. Пусть a и b не соединены прямым маршрутом. Тогда, если нельзя добавить
маршрут из a в b, то из b есть способ попасть в a (перелёт a  b не удовлетворяет условию).
Аналогично, если нельзя добавить b  a, то из a можно долететь до b. Значит, вылетев из a, в него
можно вернутся (через b).
Идея. Откуда идут стрелки?
Задача 879. В некоторой стране каждый город соединен с каждым дорогой с односторонним
движением. Докажите, что найдется город, из которого можно добраться в любой другой.
Решение задачи 879. Индукция по числу городов. База очевидна. Для доказательства перехода
удалим сначала один из городов. В силу предположения есть город А с требуемым свойством.
Вспомним теперь про удаленный город. Если в него ведет хотя бы одна дорога, то город А искомый. В противном случае сам удаленный город удовлетворяет требуемому свойству.
Задача 880. Докажите, что на ребрах связного графа можно так расставить стрелки, чтобы из
некоторой вершины можно было добраться по стрелкам до любой другой.
Задача 881. В одном государстве 100 городов и каждый соединен с каждым дорогой с
односторонним движением. Докажите, что можно поменять направление движения на одной дороге
так, чтобы от любого города можно было доехать до любого другого.
Решение задачи 881. База - для трех городов. Для доказательства индукционного перехода удалите
город, имеющий и входящие и выходящие дороги.
Задача 882. 20 команд сыграли круговой турнир по волейболу. Докажите, что команды можно
занумеровать числами от 1 до 20 так, что 1-я команда выиграла у 2-й, 2-я - у 3-й, ..., 19-я у 20-й.
Задача 883. В некоторой стране любые два города соединены беспосадочным односторонним (в
одном направлении) рейсом авиакомпании “Мягкая посадка”. При этом из любого города в любой
другой можно перелететь рейсами этой авиакомпании. Докажите, что эта компания может
предложить авиатур, который проходит через каждый город ровно один раз и заканчивается в том же
городе, где начался.
Идея решения задачи 883. Рассмотрим один из ориентированных циклов наибольшей длины. Тогда
если город X, не входящий в цикл, имеет авиалинии в цикл и из цикла, то есть соседние города цикла
AB такие, что AX и XB. Удлиняем цикл. Пусть все города, не входящие в цикл, связаны с
городами цикла в одну сторону (внутрь и наружу). Тогда есть по крайней мере один город, из
которого авиалинии ведут внутрь цикла, и по крайней мере один, из которого наружу. От второго
города к первому есть маршрут минуя цикл. Тогда цикл удлиняем.
Идея. Посмотрим на орцикл.
Задача 884. На каждом ребре выпуклого многогранника поставлена стрелка так, что в каждую
вершину многогранника входит и из каждой вершины выходит хотя бы одна стрелка. Докажите, что
существуют по крайней мере 2 грани многогранника, которые можно обойти по периметру, двигаясь
по направлению стрелок.
Идея решения задачи 884. Начав с любой вершины и двигаясь по стрелкам, находим цикл,
разбивающий поверхность на две области. Взяв внутри области ребро, не входящее в границу,
построим новый цикл, содержащий меньше граней, чем область. Продолжая процесс, получим цикл,
содержащий одну грань.
Задача 885. Имеется несколько юношей, каждый из которых знаком с некоторыми девушками. Две
свахи знают, кто с кем знаком. Одна сваха заявляет: "Я могу одновременно женить всех брюнетов
175
так, чтобы каждый из них женился на знакомой ему девушке!". Вторая сваха говорит: "А я могу
устроить судьбу всех блондинок: каждая выйдет замуж за знакомого юношу!". Этот диалог услышал
любитель математики, который сказал: "В таком случае можно сделать и то, и другое!". Прав ли он?
Идея решения задачи 885. Рассмотрим юношей и девушек, входящих в планы свах, и нарисуем
стрелки от блондинок и брюнетов к предполагаемым парам. В каждой компоненте не более одного
цикла, причем если цикл есть, то стрелки по кругу (и нет ничего другого). Или цепочки. Дальше
просто.
Идея. Принцип Дирихле.
Задача 886. В некотором государстве 101 город. Каждый город соединен с каждым дорогой с
односторонним движением, причем в каждый город входит 50 дорог и из каждого города выходит 50
дорог. Докажите, что из любого города можно доехать в любой другой, проехав не более, чем по
двум дорогам.
Указание к задаче 886. Пусть из города А нельзя доехать до города В. Рассмотрите города, в
которые входят дороги из А, и города, из которых выходят дороги в В.
Двудольные графы. Раскраски вершин графа.
Определение. Граф называется двудольным или графом Кёнига, если множество его вершин можно
разбить на два непересекающихся подмножества V1 и V2 так, что каждое ребро соединяет вершины
из разных подмножеств.
Замечание. Вместо разбиения вершин графа на подмножества обычно красят вершины на рисунке в
два цвета.
Теорема 1. Граф является двудольным тогда и только тогда, когда все его циклы имеют чётную
длину.
Доказательство. Пусть G – двудольный граф. Тогда пройдёмся по какому-нибудь циклу. В нём
вершины из V1 и V2 будут чередоваться, поэтому их чётное число и цикл чётной длины.
Пусть теперь в графе все циклы чётной длины. Зафиксируем вершину A и разделим все вершины
данной компоненты связности так: наша вершина A и все, удалённые от неё на чётное расстояние,
объединим в V1, а все остальные вершины - в V2. Докажем, что нет ребра, соединяющего вершины из
одного подмножества. От противного. Пусть такие вершины B и C есть. Тогда ABCA – маршрут,
имеющий нечётную длину (AB и AC – одинаковой чётности, да ещё BC – одно ребро). Выбросим из
маршрута повторяющийся участок вблизи A и получим цикл нечётной длины. Противоречие. Во всех
остальных компонентах сделаем то же самое. Затем V1 и V2 у разных компонент объединим.
Примеры двудольных графов. 1. Дерево, лес. 2. Цикл чётной длины.
3. Полный двудольный граф Km,n – двудольный граф, в котором все m вершин из V1 соединены со
всеми n вершинами из V2. Он имеет m+n вершин и mn рёбер. В частности, граф K 3,3 – из задачи о
домиках и колодцах.
Задача 887. Схема расположения городов и дорог в некотором государстве представлена на рисунке
слева. Можно ли обойти все города, побывав в каждом из них ровно по одному разу?
Задача 888. Ромбический додекаэдр – многогранник, изображённый на рисунке справа. Докажите,
что нельзя обойти его вершины по одному разу, двигаясь только по рёбрам.
Задача 889. Муравей ползает по проволочному каркасу куба, при этом он никогда не поворачивает
назад. Может ли случиться, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в каждой из остальных - по 20
раз?
Определение. Базисный цикл правильно нарисованного связного плоского графа – это цикл, который
внутри себя содержит ровно одну часть плоскости, на которые изображение графа делит плоскость.
Теорема 2. Граф является двудольным тогда и только тогда, когда все его базисные циклы имеют
чётную длину.
Идея доказательства. В одну сторону очевидно. Пусть базисные циклы имеют чётную длину.
Рассмотрим произвольный цикл. Внутри себя он содержит несколько частей плоскости. Если среди
176
областей есть соседние (имеющие общее ребро или рёбра), то их последовательно объединяем. Если
остались попарно не соседние области, то их рассматриваем как соседние вдоль нашего большого
цикла и последовательно объединяем.
Определения. 1. Раскраска графа в k цветов – разбиение вершин графа на k непересекающихся
множеств такое, что вершины из одного множества не соединены ребром. Граф, для которого
существует раскраска в k цветов, называется k-раскрашиваемым.
2. Хроматическое число графа – минимальное k, при котором граф можно раскрасить в k цветов.
Граф, хроматическое число которого равно k, называется k-хроматическим.
Примеры.
1. Граф 1-хроматический тогда и только тогда, когда он является нуль-графом.
2. Граф 2-хроматический то же самое, что двудольный, то есть не содержит циклов нечётной длины.
Теорема 3. Если максимальная степень вершин графа G равна s(G), то хроматическое число этого
графа не превышает s(G)+1. Более того, почти всегда (за исключением трёх случаев ниже) оно не
превышает s(G):
1 случай. При s(G)=2 граф G содержит компоненту связности, являющуюся циклом нечётной длины.
2 случай. При s(G)>2 граф G содержит компоненту связности, являющуюся однородным графом
степени s(G).
3 случай. При s(G)=0 или 1.
Доказательство. Покажем, как покрасить вершины графа в s(G)+1 цветов. Первую вершину красим
произвольно, а каждую следующую в такой цвет, в который ещё не покрашена ни одна соседняя
вершина.
Покажем, как почти всегда, кроме случаев 1), 2), 3), покрасить граф в s(G) цветов.
Если s(G)=2, то компоненты связности графа – цепи и циклы. Конечно, циклы чётной длины и любые
цепи можно раскрасить в два цвета.
Если s(G)>2, то первую вершину красим произвольно, а каждую следующую в такой цвет, в который
ещё не покрашена ни одна соседняя вершина. Последней в каждой компоненте красим вершину, у
которой не более s(G)-1 соседей (если она есть). Доказательство в случае, если такой вершины нет,
мы приводить не будем.
Теорема 4 (о четырёх красках). Хроматическое число плоского графа не превышает 4.
Задача 890. Докажите, что хроматическое число плоского графа не превосходит 6.
Указание к задаче 890. Вспомните формулу Эйлера и следствия из неё.
Определение. Функция Гранди – такая раскраска графа, при которой каждая вершина покрашена в
цвет с наименьшим номером (из 0, 1, 2, …), отсутствующий у её соседей.
Замечания. 1. Нумерацию цветов начинать не обязательно с 0. Можно с 1.
2. Из определения не следует, что такая раскраска существует.
3. Функция Гранди применяется в теории игр.
Определения. 1. Множество вершин графа называется независимым, если никакие две вершины из
этого множества не соединены ребром.
2. Независимое множество вершин графа называется максимальным независимым, если к нему
нельзя добавить ещё одну вершину так, чтобы оно оставалось независимым.
Теорема 5. Любое независимое множество графа можно дополнить до максимального независимого
множества.
Теорема 6. Для любого графа существует раскраска «функция Гранди».
Идея доказательства. Достаточно покрасить одну компоненту. Выберем в компоненте
максимальное независимое множество и покрасим его в нулевой цвет. Во множестве остальных
вершин компоненты выберем максимальное независимое подмножество и покрасим его в первый
цвет. И так далее.
Паросочетания.
Определение. Паросочетание – множество рёбер графа, в котором никакая пара рёбер не смежна.
Теорема 1 (теорема Холла о паросочетаниях). Пусть имеется N юношей и по крайней мере N
девушек. Тогда способ разбить всех юношей и часть девушек на пары для танца так, чтобы в паре
танцевали знакомые друг с другом юноша и девушка, существует тогда и только тогда, когда
выполнено следующее условие:
(*) для любого k{1, ..., N} и для любых k юношей существует не менее k девушек, каждая из
которых знакома по крайней мере с одним из k юношей.
177
Доказательство. Ясно, что если пары составить удалось, то любые k юношей знакомы в
совокупности не менее, чем с k девушками – например, с теми, с которыми они танцуют.
Пусть теперь условие (*) выполнено. Индукция по k. Если юноша один, то пусть он танцует с любой
из знакомых девушек – такие есть по условию (*). Пусть для N0 юношей при выполнении условия (*)
разбиение на пары всегда найдётся. Рассмотрим произвольных N0+1 юношей и по крайней мере N0+1
девушек таких, что для них условие (*) выполнено.
Первый случай. При некотором k<N0+1 некоторые k юношей знакомы в точности с k девушками.
Тогда их можно разбить на пары по предположению индукции. Остальных тоже можно разбить по
предположению индукции, так как для множества остальных юношей и девушек условие (*) будет
выполнено. (От противного. Пусть оно не выполнено, и у каких-то m остальных юношей в сумме
меньше, чем m знакомых девушек. Тогда вместе с нашими k юношами у них знакомых девушек
меньше k+m, что противоречит условию (*).)
Второй случай. Пусть при всех k<N0+1 любые k юношей знакомы в совокупности по крайней мере с
k+1 девушками. Пусть один из юношей танцует с любой знакомой девушкой. Тогда для остальных
юношей можно воспользоваться предположением индукции: ведь без этой девушки у каждых k
юношей всё ещё остаётся не менее k знакомых девушек.
Теорема 2 (следствие о гареме). Пусть имеется N юношей и некоторое количество девушек, и у
каждых k юношей (из числа данных N) не менее km знакомых девушек. Тогда каждому юноше
можно составить гарем из m девушек (гаремы не пересекаются) так, что у каждого юноши в гареме
будут только знакомые ему девушки.
Доказательство. Клонируем каждого юношу по m экземпляров. Пусть каждый новый юноша знаком
со всеми девушками, что и прежний. Применим теорему Холла о паросочетаниях для Nm юношей.
После того, как все юноши и часть девушек разобьются на пары, клоны юношей объединим.
Каждому выдадим гарем, состоящий из всех девушек, которые танцевали с клонами юноши до
объединения.
Разные задачи.
Задача 891. В компании из k человек (k>3) у каждого появилась новость, известная ему одному.
Докажите, что за 2k-4 телефонных разговора все они смогут узнать все новости.
Идея решения задачи 891. База k=4 очевидна. Переход: кто-то рассказывает свою новость, все
остальные узнают все новости (в том числе его), он узнает у кого-нибудь все новости.
Задача 892. В государстве 2000 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами так, что из
любого города можно проехать в любой другой. Докажите, что это государство можно разбить на
несколько республик (возможно, всего на одну) так, чтобы в каждой республике из любого города
можно было единственным образом проехать в любой другой город этой республики, не выезжая за
ее пределы. (В каждой республике должно быть не менее двух городов.)
Решение задачи 892. Индукция по n (доказываем, что утверждение задачи верно для государств, в
которых 2n городов). База очевидна. Переход: пусть это верно для государств, состоящих из
меньшего числа городов. Если в государстве нет циклов, то всё государство объявляем республикой.
Иначе закроем несколько дорог так, чтобы остался ровно 1 цикл. Назовём дороги цикла важными, а
множество городов, в которые можно добраться из города, не проезжая по важной дороге, окрестностью этого города. (В частности, каждый город входит в свою окрестность.) Возьмём два
города, соединённые важной дорогой (их окрестности не пересекаются). Или в окрестности одного из
них, или в окрестностях двух вместе будет чётное число городов (причём меньше 2n). Будем считать
эти города одной страной, остальные другой, и в каждой стране восстановим закрытые дороге. Затем
для каждой страны воспользуемся предположением индукции, предварительно проверив, что страны
связные с чётным числом городов.
3.4. АЛГОРИТМЫ.
О некоторых алгоритмах см. соответствующие разделы (например, алгоритм Евклида).
Разные алгоритмы.
Задача 893. Дана клетчатая таблица 99 х 99, каждая клетка которой окрашена в черный или в
белый цвет. Разрешается одновременно перекрасить все клетки некоторого столбца или
178
некоторой строки в тот цвет, клеток которого в этом столбце или в этой строке до
перекрашивания было больше. Всегда ли можно добиться того, чтобы все клетки таблицы
стали покрашены в один цвет?
Задача 894. Квадрат 8 х 8 раскрашен в два цвета. Можно любой прямоугольник 1 х 3 перекрашивать
в преобладающий в нем цвет. Доказать, что такими операциями можно сделать весь квадрат
одноцветным.
Задача 895. Первоначально на доске написано натуральное число A. Разрешается прибавить к нему
один из его делителей, отличных от него самого и единицы. С полученным числом разрешается
проделать аналогичную операцию, и т. д. Докажите, что из числа A=4 можно с помощью таких
операций прийти к любому наперёд заданному составному числу.
Задача 896. Сломанный калькулятор выполняет только одну операцию "звездочка": a*b=1-a/b.
Докажите, что с помощью этого калькулятора все же возможно выполнить любое из четырех
арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление).
Задача 897. Неуловимый Джо никогда не проигрывает на рулетке больше четырех раз подряд и
никогда не ставит больше 10 долларов. Как ему выиграть 1000 долларов? (В случае выигрыша на
рулетке возвращается удвоенная ставка; вначале Джо имеет 100 долларов.)
Задача 898. На столе лежат четыре одинаковые монеты. Разрешается двигать монеты, не отрывая их
от стола. Нужно расположить (не пользуясь измерительными инструментами!) монеты так, чтобы
можно было положить на стол пятую монету такого же размера, касающуюся этих четырёх.
Задача 899. Даны n карточек; на обеих сторонах каждой карточки написано по одному из чисел 1, 2,
..., n, причём так, что каждое число встречается на всех n карточках ровно два раза. Доказать, что
карточки можно разложить на столе так, что сверху окажутся все числа: 1, 2, ..., n.
Задача 900. Несколько камней весят вместе 10 тонн, при этом каждый из них весит не более 1 тонны.
1) Докажите, что этот груз можно за один раз увезти на пяти трехтонках. 2) Приведите пример набора
камней, удовлетворяющих условию, для которых четырех трехтонок может не хватить, чтобы увезти
груз за один раз.
Задача 901. Из 11 шаров два радиоактивны. Про любой набор шаров за одну проверку можно узнать,
имеется ли в нем хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Доказать, что
менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать нахождение обоих радиоактивных шаров, а за 7
проверок их всегда можно обнаружить.
Задача 902. На международный конгресс приехало 578 делегатов из разных стран. Любые три
делегата могут поговорить между собой без помощи остальных (при этом, возможно, одному из них
придется переводить разговор двух других). Докажите, что всех делегатов можно поселить в
двухместных номерах гостиницы таким образом, чтобы любые двое, живущие в одном номере, могли
поговорить без посторонней помощи.
Задача 903. На доске выписаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Разрешается стереть любые два числа
и вместо них выписать их разность - неотрицательное число. После семи таких операций на доске
будет только одно число. а) Может ли оно равняться 97? б) Чему оно может быть равно?
Задача 904. а) Имеется кусок цепи из 60 звеньев, каждое из которых весит 1 г. Какое наименьшее
число звеньев надо расковать, чтобы из образовавшихся частей можно было составить все веса в 1 г,
2 г, 3 г, ..., 60 г (раскованное звено весит тоже 1 г)? б) Тот же вопрос про цепь из 150 звеньев.
Задача 905. В Монголии имеются в обращении монеты в 3 и 5 тугриков. Входной билет в
центральный парк стоит 4 тугрика. Как-то раз перед открытием в кассу парка выстроилась очередь из
200 посетителей. У каждого из них, а также у кассира есть ровно 22 тугрика. Докажите, что все
посетители смогут купить билет в порядке очереди.
Задача 906. Город представляет собой бесконечную клетчатую плоскость (линии - улицы, клеточки кварталы). На одной улице через каждые 100 кварталов на перекрестках стоит по милиционеру. Гдето в городе есть бандит (местонахождение его неизвестно, но перемещается он только по улицам).
Цель милиции - увидеть бандита. Есть ли у милиции способ (алгоритм) наверняка достигнуть своей
цели? (Максимальные скорости милиции и бандита какие-то конечные, но не известные нам
величины, милиция видит вдоль улиц во все стороны на бесконечное расстояние).
Задача 907. На экране терминала с доступом к "Матрице" горит число, которое каждую минуту
увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Хакер Нео имеет возможность в любой момент
179
изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число
никогда не стало четырехзначным? Добившись этого, он зациклит действия агентов и спасет своих
друзей.
Задача 908. Пусть l(n) - наименьшее число умножений, необходимое для нахождения xn. На примере
чисел n=15 и n=63 покажите, что бинарный метод возведения в степень не всегда оптимален, то есть
для некоторых n выполняется неравенство l(n)<b(n). (Бинарный метод – последовательное возведение
в квадрат, т. е. получение x2, x4, x8, ... Затем нужные степени перемножаются. b(n) - число
умножений, необходимое для нахождения xn бинарным методом.)
Задача 909. По кругу расставлены числа от 1 до 12 (в естественном порядке, как на циферблате
часов). Начиная с 1, отсчитывают числа и вычёркивают каждое третье (т. е. сначала будет
вычеркнуто 3, затем 6 и т. д.) Какое число останется последним? (Вычеркнутые числа при счёте
пропускаются.)
Задача 910. Во время шторма капитан корабля приказал выбросить за борт половину из 30 тюков с
товарами, которые везли два купца. Купцы были в нерешительности: каждому было жаль
выбрасывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так: матросы расставят 30 тюков по
кругу, а мы будем ходить по кругу и выбрасывать каждый девятый тюк, пока не выбросим половину
тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на
палубе тюков оказались с товарами этого купца. Как были расставлены тюки?
Задача 911. Ребята стоят по кругу. Им нужно выбрать водящего, и они считаются следующим
образом: первый остается в круге, следующий за ним по часовой стрелке - второй - выходит из круга,
следующий за ним - третий - остается, четвертый выходит и т.д., через одного по кругу. Круг все
время сужается пока в нем не останется один человек. Определите, кто именно останется (на каком
месте он стоял первоначально, считая от первого по часовой стрелке), если вначале стояло 2002
человека.
Задача 912. k-рукий игрок с закрытыми глазами и правильный n-угольный стол играют в такую игру.
На всех углах стола стоит по стакану в нормальном положении или вверх дном. Игрок на ощупь
проверяет, в каком положении на любых k углах стоят стаканы, и может их поставить в любое из
двух положений. После этого стол (он вращается на одной ножке) поворачивается на некоторый угол.
Игрок выигрывает, если он может за несколько ходов установить все стаканы в одно положение
(нормальное положение или вверх дном). Как только все стаканы оказываются в одном положении,
звенит колокольчик. Докажите, что игрок выигрывает при
а) n=6, k=4; б) n=4, k=2.
Теорема. Наименьшее k, гарантирующее выигрыш игрока в условиях задачи 912, равно:
k=n-n/d, где d – наибольший простой делитель n.
Задача 913. Агент 007 хочет предотвратить взрыв, который может уничтожить Англию и полЕвропы. Он знает, что для этого необходимо каждый из шести рычагов, связанных со взрывателем,
перевести в одно из пяти положений (крайнее левое, левое, среднее, правое и крайнее правое); в
какое именно - неизвестно. Время до взрыва - 27 минут. За одну десятую секунды Джеймс успевает
перевести любой рычаг в соседнее положение и посмотреть, не остановился ли таймер. Доказать, что
он может спасти Англию.
Задача 914. Как отмерить 15 минут, необходимых для варки вкрутую яйца, при помощи песочных
часов, отмеряющих 7 минут и 11 минут?
Задача 915. Есть пять лошадей и четыре кузнеца. Один кузнец подковывает лошадь на одну ногу за 5
минут. За какое минимальное время все лошади будут подкованы, если каждая лошадь может стоять
не меньше, чем на трех ногах?
Задача 916. В лагере появились два привидения. Одно из них поёт, другое хохочет. В течение каждой
минуты каждое из них либо звучит, либо молчит. Поведение же их в последующую минуту зависит
от событий предыдущей минуты следующим образом: Пение в последующую минуту ведет себя так
же, как и в предыдущую, если только в предыдущую минуту не было игры на гитаре при молчащем
Смехе. В противном случае оно меняет свое поведение на противоположное. Если в предыдущую
минуту горела свеча, то Смех будет звучать или молчать в зависимости от того, звучало или молчало
Пение. Если свеча не горела, то Смех будет делать противоположное тому, что делало Пение. В
настоящую минуту Смех и Пение оба звучат. Какие действия со свечой и гитарой нужно совершить,
чтобы установить и поддерживать тишину в лагере?
Задача 917. Пятнадцать спичек лежат в ряд. Спички собираются в группы, состоящие из одной или
более спичек. За один ход можно переместить любую отдельно лежащую спичку в группу,
180
перескакивая ровно через 3 спички, лежащие отдельно или в группах. Соберите спички в пять групп
по три в каждой.
Идея. Изобразите граф. Если вершины графа, соответствующие начальной и конечной ситуации, не
связаны (в разных компонентах), то получить конечную ситуацию нельзя.
Задача 918. За один ход число, написанное на доске, разрешается либо заменить на удвоенное, либо
стереть у него последнюю цифру. В начале на доске написано число 458. Можно ли за несколько
ходов получить число 14?
Задача 919. В трех кучках 22, 14 и 12 орехов. Требуется путем трех перекладываний уровнять число
орехов в кучках. Перекладывать из одной кучки в другую можно только так: класть столько орехов,
сколько их уже было во второй кучке.
Задача 920. В 20-этажном доме испорчен лифт: он может либо подниматься на 11 этажей, либо
спускаться на 14 этажей. Можно ли с 7 этажа попасть на 16-й?
Задача 921. У Змея Горыныча 12 голов и 1 хвост. Иван-Царевич волшебным мечом может отрубить
Змею одним ударом некоторое число голов и хвостов, в сумме не более двух. После удара у Змея
вырастает несколько голов и хвостов.
Если отрубить одну голову – вырастет три хвоста.
Если отрубить один хвост – вырастет две головы.
Если отрубить два хвоста – вырастет одна голова.
Если отрубить один хвост и одну голову – ничего не вырастет.
Если отрубить две головы – вырастет четыре хвоста.
Можно ли за несколько ударов отрубить Змею все головы и все хвосты?
Задача 922. В трёх коробках находятся карандаши – в первой 11 штук, во второй 7 штук, в последней
6 штук. За один ход разрешается переложить из любой коробки в любую другую столько
карандашей, сколько там уже есть. Ни в одну коробку не поместится больше 12 карандашей. Можно
ли добиться того, что во всех коробках карандашей будет поровну?
Задача 923. В 20-этажном доме испорчен лифт. Он может подниматься на 12 этажей, спускаться на
11 или на 15 этажей. Можно ли с 12 этажа в лифте попасть на 9-й?
Задача 924. На одном первобытном базаре шкура мамонта обменивалась на две шкуры тигра, а юбка
из павлиньих перьев – на три копья. На другом базаре, который находился в одном дне пути от
первого, шкура мамонта обменивалась на три юбки, а шкура тигра - на четыре копья. Охотник принёс
на базар шкуру мамонта и хочет выменять её на четыре тигровых шкуры. Успеет ли он это сделать за
33 дня?
Задача 925. Тома детской энциклопедии стоят в таком порядке: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 11. С
ними разрешается проделывать следующую операцию: взять любые три стоящих подряд тома и
поставить их между любыми двумя томами, а также в начало или в конец ряда, не меняя при этом
порядка этих трех томов. Докажите, что повторив эту операцию, можно поставить тома в порядке
возрастания номеров.
Задача 926. Натуральное число можно умножать на два и произвольным образом переставлять в нем
цифры (запрещается лишь ставить нуль на первое место). Докажите, что превратить число 1 в число
74 с помощью таких операций невозможно.
Задача 927. На полке в библиотеке стоят первые n томов энциклопедии. С ними можно проводить
следующую операцию: взять любые три рядом стоящих тома и поставить их между любыми двумя
томами, а также в начало или в конец ряда, не меняя при этом порядка этих томов. Можно ли
независимо от первоначальной расстановки томов поставить их в порядке возрастания номеров,
применив несколько раз указанную операцию?
Задача 928. Группа самолетов базируется на небольшом острове. Баки каждого самолета вмещают
столько топлива, что его хватает на облет половины земного шара. При заправке в воздухе из баков
одного самолета в баки другого можно перекачать любое количество топлива (естественно, не более
чем вмещает бак заправляемого самолета). На земле можно заправляться только на острове. Заправка
происходит мгновенно, без потерь времени. Чему равно минимальное количество самолетов, которые
смогут обеспечить полет одного самолета вокруг земного шара, если считать, что скорость и расход
топлива у всех самолетов одинаковый и все самолеты благополучно возвращаются на базу?
Задача 929. На базе, расположенной на экваторе, 1000 самолетов, каждый из них может во время
полета практически мгновенно заправить другой самолет, т. е. передать любое количество топлива из
своего бака. Емкость топливного бака каждого самолета такова, что он может пролететь без
дозаправки одну треть экватора Земли. Самолеты не могут совершать посадку нигде, кроме своей
181
базы. Можно ли организовать кругосветное путешествие одного из самолетов так, чтобы все
самолеты вернулись на базу?
Задача 930. Путешественник оказался в пустыне в семи днях пути от ее границы с запасом воды,
которого хватит на 125 дней. Вдоль его пути расположены шесть цистерн, в каждую из которых
поместится весь запас воды. Цистерны делят весь путь на 7 равных частей по одному дню пути. С
собой путешественник может взять воды не более чем на три дня. Без воды он не проживет и минуты.
Сможет ли путешественник выйти из пустыни?
Задача 931. На базе 100 самолётов. Топлива в баке хватает на 1000 км. Самолёты, израсходовав
топливо, могут садиться в любом месте. Как необходимо действовать, чтобы флагман улетел как
можно дальше?
Взвешивания.
Идея. Если каждое взвешивание имеет k результатов, то для определения одной из n возможностей за
m взвешиваний необходимо выполнение неравенства kmn. (Если одно взвешивание имеет k
результатов, то m взвешиваний могут различить не более km результатов.)
Теорема. Количество взвешиваний, достаточных для сортировки n предметов попарно разного веса с
помощью чашечных весов без гирь, не меньше log2(n!).
Задача 932. С помощью 5 взвешиваний на весах с 2 чашками без гирь расположить 4 пакета разного
веса по весу.
Задача 933. За наименьшее число взвешиваний расположите 5 орехов разной массы, имея чашечные
весы без гирь, в порядке возрастания масс.
Задача 934. Из 12 монет одна фальшивая, причем неизвестно, легче она или тяжелее настоящих. За
какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах можно найти фальшивую монету и
определить, легче она или тяжелее остальных?
Задача 935. 3 тяжелых гири (синяя, зеленая и красная) весят одинаково и 3 легких гири (синяя,
зеленая и красная) весят одинаково. За какое наименьшее число взвешиваний на рычажных весах
можно определить все тяжелые гири?
Задача 936. Из четырех деталей одна отличается по весу от остальных, имеющих одинаковый вес.
Как выделить ее двумя взвешиваниями на весах с двумя чашками без гирь? Можно ли при этом
выяснить, легче ли она остальных?
Задача 937. У адвоката есть 14 монет, из которых 7 фальшивых и 7 настоящих. Сам адвокат знает,
какие из них настоящие, а какие фальшивые. Как ему убедить в том же суд за 3 взвешивания на
чашечных весах без гирь? Фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково и
фальшивые монеты легче настоящих.
Задача 938. Из трех лимонов два имеют одинаковый вес, а третий более легкий. Как при помощи
одного взвешивания на чашечных весах определить, какой лимон более легкий?
Задача 939. Из 81 монеты одна легче остальных. За какое минимальное число взвешиваний на
чашечных весах можно найти фальшивую монету?
Задача 940. 68 алмазов различны по весу. За 100 взвешиваний на чашечных весах без гирь найдите
самый легкий и самый тяжелый алмаз.
Задача 941. Имеются весы с двумя чашами без гирь и 20 яблок. Любые два яблока отличаются по
весу. Можно ли за 28 взвешиваний найти самое тяжёлое и самое лёгкое яблоко?
Задача 942. Владелец монетного двора имел 100 рабочих. Каждому утром он выдавал 1 кг золота для
изготовления 100 монет по 10 г. Наблюдая несколько дней, он установил, что кто-то из рабочих
изготовляет монеты по 9 г, а сэкономленное золото присваивает. Подумав, он нашел способ
определить нечестного рабочего за одно взвешивание. Что это за способ?
Задача 943. Среди 101 одинаковых монет одна отличается по весу. Как с помощью весов с двумя
чашками без гирь выяснить, легче или тяжелее фальшивая монета, за наименьшее число
взвешиваний?
Задача 944. Антиквар приобрел 99 одинаковых по виду старинных монет. Ему сообщили, что ровно
одна из монет фальшивая – легче настоящих (а настоящие весят одинаково). Как, используя
чашечные весы без гирь, за 7 взвешиваний выявить фальшивую монету, если антиквар не разрешает
никакую монету взвешивать более двух раз?
Задача 945. Есть пять монет достоинством 1, 2, 3, 5 и 10 пиастров. Одна из них фальшивая, то есть
вес ее в граммах не равен ее достоинству. Как при помощи чашечных весов без гирь определить
фальшивую монету?
182
Задача 946. Имеется семь внешне одинаковых монет, среди которых пять настоящих (все пять
одинакового веса) и две фальшивые (одинаковые между собой, но легче настоящих). Как с помощью
двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить три настоящие монеты?
Задача 947. Надо развесить 2 кг сахарного песка на 200-граммовые пакеты. Имеется только одна 500граммовая гиря, да еще молоток, весящий 900 г. Как получить все 10 пакетов, пользуясь этой гирей и
молотком?
Переправы.
Задача 948. Небольшой воинский отряд подошел к реке, через которую необходимо было
переправиться. Мост сломан, а река глубока. Офицер замечает у берега двух мальчиков, катающихся
на лодке. Но лодка так мала, что в ней может разместиться только один солдат или два мальчика – не
больше. Однако все солдаты переправились через реку именно в этой лодке. Каким образом?
Задача 949. Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке с
человеком могли поместиться только один волк, либо одна коза, либо одна капуста. Если оставить
волка с козой без человека, то волк съест козу; если оставить козу с капустой без человека, то коза
съест капусту; в присутствии человека никто никого не ел. Человек все-таки перевез свой груз через
реку. Как он это сделал?
Задача 950. Добрыня Никитич везет домой пленного Змея Горыныча. У берега реки он встречает
старых друзей – Илью Муромца и Алешу Поповича, и они вместе решают переправиться через реку в
двухместной лодке. Змей занимает одно место. Если Илья Муромец окажется в обществе Змея
Горыныча без Добрыни Никитича, то Добрыня не довезет домой Змея: Илья так зол на Горыныча,
что срубит ему все головы. Если Алеша Попович окажется в обществе Змея Горыныча без Добрыни
Никитича, то Змей из вредности съест Алешу, и Добрыня потеряет друга. Помогите компании
переправиться.
Задача 951. Трое каннибалов и трое миссионеров решили переправиться на другой берег реки в
двухместной лодке. Если в какой-то момент на одном из берегов каннибалов оказывается больше,
чем миссионеров, то они съедают всех миссионеров, находящихся на этом берегу. Пассажиры лодки
в моменты отплытия и причаливания считаются находящимися на берегу. Как им всем переправиться
живыми?
Задача 952. Гуляли три девочки, каждая со своим папой. Все шестеро подошли к реке и пожелали
переправиться через нее в двухместной лодке. Переправу было бы нетрудно осуществить, если бы
девочки не заявили, что ни одна из них не согласна ехать в лодке или быть на берегу с одним или
двумя чужими папами без своего папы. Девочки были не очень маленькие, и каждая из них могла
вести лодку самостоятельно. Как они переправились?
Задача 953. Решите предыдущую задачу с изменениями: девочек и их пап было по четыре, в лодку
помещалось трое. Посреди реки остров, на который можно высаживаться. Ни одна девочка не желает
находиться ни в лодке, ни на острове, ни на берегу с чужими папами без своего папы. Чужой папа не
должен даже проезжать мимо девочки, если она находится на острове без своего папы.
Задача 954. Три японских господина и их самураи решили переправиться через реку на двухместной
лодке. У первого господина было пять самураев, у второго три, у третьего один. Самураи получили
приказ не находиться ни на берегу, ни в лодке в присутствии чужого господина без своего господина.
Помогите компании переправиться.
Задача 955. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама за 2, малыш за 5, а бабушка - за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им
перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться
по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Кидаться
фонариком нельзя.)
Переливания.
Задача 956. Есть три бидона емкостью 14, 9 и 5 литров. В большом бидоне 14 л молока, остальные
пусты. Как с помощью этих бидонов разделить молоко пополам?
Задача 957. Двенадцативедерная бочка наполнена керосином. Разлить его на две равные части,
пользуясь пустыми пятиведерной и восьмиведерной бочками.
Задача 958. Имеются три бочонка с квасом: 16, 11 и 6 - ведёрные. 16 - ведёрный бочонок полон, 11 и
6 - ведёрные пусты. Требуется разделить квас поровну, используя только эти бочонки.
Задача 959. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как
разделить это молоко на две равные части, используя остальные сосуды?
183
Задача 960. В бочке находится не менее 13 ведер бензина. Как отлить из неё 8 ведер бензина с
помощью девятиведерной и пятиведерной бочек?
Задача 961. В бочке не менее 10 литров бензина. Как отлить из неё ровно 6 литров бензина с
помощью девятилитрового и пятилитрового вёдер?
Задача 962. Имеется три сосуда без делений объемами 4л, 5л, 6л, кран с водой, раковина и 4л сиропа
в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 8 л смеси воды с сиропом,
так чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну?
Задача 963. Имеется три сосуда без делений объемами 6л, 7л, 8л, кран с водой, раковина и 6л сиропа
в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 12 л смеси воды с сиропом,
так чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну?
Практические задачи.
Задача 964. Альпинист должен спуститься с вершины отвесной скалы высотой 800 м. На высоте 200
м, 400 м и 600 м есть площадки, на которых он может остановиться. В его распоряжении есть веревка
длиной 380 м, нож, набор крючьев и карабинов. Разработайте план действий альпиниста.
Идея решения задачи 964. Пусть перед последним спуском остается веревка 200 м. Мы можем
спуститься.
Пусть перед предпоследним спуском осталось 300 м, мы делим верёвку на части 100 и 200 м,
привязываем на конец 100-метровой веревки петлю, в неё вставляем 200-метровую верёвку,
спускаемся сначала по 100-метровой, затем по 200-метровой (сразу по двум концам).
Пусть мы на высоте 600 м и есть веревки 50 и 300 м. Привязываем на конец 100-метровой веревки
петлю и так далее.
Задача 965. Бикфордов шнур горит неравномерно и сгорает ровно за 1 мин. Можно ли при помощи
двух таких шнуров отмерить 45 с?
Идея решения задачи 965. Можно. Подожжем один из шнуров с обоих концов и одновременно –
другой с одного конца. Первый шнур сгорит через 30 с, в этот момент подожжем другой шнур с
другого конца.
3.5. МНОЖЕСТВА.
Мощность множества.
Определение. Два множества называются равномощными, если существует взаимно однозначное
соответствие между их элементами.
Замечания. 1. Два конечных множества являются равномощными тогда и только тогда, когда они
содержат одинаковое количество элементов.
2. Если множества A и B равномощны, множества B и C равномощны, то множества A и C
равномощны.
Определение. Класс множеств, состоящий из всех равномощных между собой множеств, называется
мощностью множеств.
Замечания. 1. Таким образом, каждое конечное множество попадает в один из следующих классов:
пустое множество, 1-элементные множества, 2-элементные множества и так далее.
2. Никакое бесконечное множество не равномощно никакому конечному: при любой попытке разбить
элементы того и другого множеств на пары в бесконечном множестве останутся лишние элементы.
То есть в бесконечном множестве элементов «больше», чем в конечном.
Определение. Множество называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел
(т. е. если множество бесконечно и его элементы можно занумеровать натуральными числами).
Задача 966. Дед Мороз выдает Вам занумерованные конфеты: за 1 час до Нового года - конфеты с
номерами от 1 до 10 и забирает обратно конфету №1; за полчаса до Нового года выдает с №11 по
№20 и забирает №2, и так далее, за 1/n часа до Нового года выдает конфеты с номерами от 10n-9 до
10n и забирает конфету с номером n, ... Выдача конфет продолжается до Нового года. Сколько
конфет будет у Вас в Новый год?
Решение задачи 966. У Вас не будет ни одной конфеты. В самом деле, проследим маршрут какойнибудь конфеты, например, 2008-й. Она один раз выдается (на 201 минуте) и один раз забирается (на
2008 минуте), в итоге оказывается у Деда Мороза. И это несмотря на то, что после каждой операции
количество конфет увеличивается на 9.
Задача 967. На одной планете построили гостиницу, в которой было бесконечное число номеров, все
номера одноместные. На двери каждой комнаты была табличка с номером этой комнаты -
184
номер комнаты
натуральным числом. Все натуральные числа встречались на табличках по одному разу. В какой-то
момент гостиница оказалась переполнена, то есть в каждом номере кто-то жил. И вдруг в гостиницу
хочет заселиться еще один постоялец. Как его туда поселить?
Решение задачи 967. Каждый жилец должен прибавить 1 к номеру своей комнаты и перейти в
комнату с получившимся номером. Освободится первая комната, в каждой из остальных будет жить
кто-то один, "последней" комнаты нет, места всем хватит. (Продолжение сюжета см. задачи 968-970).
Теорема 1 (критерий бесконечности множества).
1. Любое бесконечное множество содержит счётное подмножество.
2. Множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно равномощно некоторому своему
собственному подмножеству (то есть подмножеству, не совпадающему с самим множеством).
Идея доказательства. 2. Выбираем в исходном множестве M счётное подмножество N, выбрасываем
из него элемент x. Как разбить на пары элементы M и все элементы M, кроме x? Все элементы,
входящие в разность множеств M и N (то есть содержащиеся в M, но не содержащиеся в N) – одни и
те же. В счётном множестве нетрудно «сдвинуть нумерацию» на 1 (см. решение задачи 967).
Теорема 2. 1. Любое подмножество счётного множества конечно или счётно.
2. Если множества A, B, C таковы, что A и C счётны, A является подмножеством B, и B является
подмножеством C, то множество B счётно.
Замечание. В некотором смысле счётные подмножества – «самые маленькие по числу элементов»
среди бесконечных множеств.
Задача 968. На планете решили заняться строительством и построили еще одну гостиницу, такую же,
как и в предыдущей задаче. В какой-то момент обе они оказались переполнены. От перенаселения
поверхность планеты не выдержала, началось планетотрясение. В итоге одна из гостиниц
разрушилась, и оставшиеся жильцы, конечно же, отправились жить не в обычные дома (куда
помещается конечное число жителей), а в оставшуюся гостиницу. Администратор оставшейся
гостиницы с ужасом видит из окна бесконечную очередь и понимает, что не может поступить так же,
как в предыдущей задаче. Как поместить всех желающих?
Решение задачи 968. Всем, кто уже живет в гостинице, следует занять четные номера, умножив
номер комнаты на 2. Все, кто жили в разрушенной гостинице, занимают нечетные номера, они
должны умножить номер своей комнаты на 2 и из результата вычесть 1.
Задача 969. На этой же планете было решено построить бесконечно много гостиниц с номерами 1, 2,
3, … по проекту из предыдущих задач. В итоге каждая из гостиниц получила свой номер натуральное число, и все натуральные числа были использованы под номера гостиниц по одному
разу. В какой-то момент все они оказались заполнены, т. е. в каждом номере каждой гостиницы ктото жил. Началось планетотрясение, и все гостиницы, кроме одной, оказались разрушены. Конечно же,
все жильцы этих гостиниц устремились в единственную оставшуюся гостиницу, которая была
переполнена. Как всех разместить?
Решение задачи 969. Один из способов: если кто-то жил в гостинице n в номере k, он должен
перейти в номер 2n3k. Но в этом случае очень много номеров освободится: например, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8,
9, 10, 11, 13, 14, … Будут заняты номера, кратные 6, причем не все.
Еще один способ расселения: в соответствии с таблицей. Каждый из жильцов вычисляет номер
диагонали "сверху справа - вниз влево", в которой находится, его номер (сверху) в диагонали, а также
сколько жильцов всего в предшествующих диагоналях. Теперь уже легко считается номер комнаты, в
которую следует перейти.
номер гостиницы
1
2
3
4
5
6
7
…
1
1
2
4
7
11 16 22 …
2
3
5
8
12 17 23 …
3
6
9
13 18 24 …
4
10 14 19 25 …
5
15 20 26 …
6
21 27 …
7
28 …
…
…
Примеры счётных множеств. 1. Множество чётных или нечётных натуральных чисел (и вообще,
любое бесконечное подмножество множества натуральных чисел).
2. Множества целых, рациональных чисел.
3. Множество конечных десятичных дробей.
185
4. Множество точек плоскости (пространства), все координаты которых целые (рациональные).
5. Множество корней многочленов с целыми коэффициентами.
Задача 970. На этом строительство гостиниц прекратилось, интерес к планете уменьшился, и
единственная оставшаяся гостиница не всегда была заполнена. Администрация гостиницы
вспоминала те дни, когда каждый номер ежедневно приносил доход. Директора заинтересовал
вопрос: чего больше - номеров в гостинице или вариантов заселения? (Назовем вариантом заселения
гостиницы бесконечную (вправо) таблицу из двух строк: в верхней строке выписаны все натуральные
числа, а в нижней стоят знаки "+" или "-" в зависимости от того, планируется ли в этом варианте
номер заселить или не заселять.) Изготовили всевозможные таблички с вариантами заселения, и
стали их наклеивать по одной на каждую комнату. Чего же оказалось больше?
Решение задачи 970. Вариантов заселения больше. В самом деле, их бесконечно много, так что не
может случиться, что варианты заселения закончатся после того, как их наклеили на двери первых k
комнат. Докажем, что, напротив, всегда останутся варианты заселения. Предположим противное:
пусть на дверях комнат все таблицы с вариантами заселения. А сейчас найдем пропущенную, тем
самым показав, что это не так.
Рассмотрим число 1 на двери первой комнаты. Если под ним написан "+", мы у себя в блокноте под 1
пишем "-", и наоборот. Аналогично на двери второй комнаты рассмотрим второй столбец таблицы и
запишем в блокноте под цифрой 2 знак, отличный от того, что на двери второй комнаты под двойкой.
И так далее. Когда мы подходим к k-й комнате, пишем в блокнот не тот знак, что на двери в столбце с
номером k, а противоположный. Что же получилось? В блокноте вариант заселения, который
отличается от всех вариантов заселения, которые наклеены на двери комнат (мы его пропустили). В
самом деле, он отличается, например, от варианта на двери 2008-й комнаты в 2008-м знаке.
Теорема 3.
1. Если конечное множество содержит n элементов, то множество всех его подмножеств содержит 2n
элементов.
2. (Теорема Кантора.) Никакое множество не равномощно множеству всех его подмножеств.
Идея доказательства. 1. Каждый из n элементов можно включать или не включать в очередное
подмножество.
2. Для конечных множеств доказано в п. 1. Рассмотрим бесконечное множество M. Докажем, что при
попытке установить взаимно однозначное соответствие между множеством M и множеством всех его
подмножеств T останутся «лишние» элементы в T.
Пусть при этом соответствии элемент a соответствует подмножеству A. Составим подмножество B
множества M такое, что ему не соответствует ни один элемент. Если aA, то a не включаем в B, в
противном случае включаем. Пусть составленное таким образом подмножество B соответствует
элементу b. Но это невозможно по построению множества b (рассмотрите два случая: b входит или не
входит в B).
Определение. Множества, равномощные множеству всех подмножеств счётного множества,
составляют мощность континуума.
Теорема 4 (Кантора-Бернштейна). Если каждое из множеств A, B равномощно некоторому
подмножеству другого множества, то множества A и B равномощны.
Идея доказательства. Пусть A равномощно B1B, B равномощно A1A. Пусть A1 равномощно
B2B1, B1 равномощно A2A1. Действуя аналогично, можно построить семейства подмножеств
...Ak...A1A и ...Bk...B1B. Пусть A - пересечение всех Ai, B - пересечение всех Bi. Тогда
при взаимно-однозначном соответствии между A и B1 элементы множеств A и B соответствуют
друг другу (докажите от противного!). Также легко строится соответствие между A\A2 и B\B2 и
вообще между A2n\A2n+2 и B2n\B2n+2.
Замечание. Если первое множество содержит «не меньше» элементов, чем второе, а второе – «не
меньше», чем первое, то в них по теореме 4 «поровну» элементов. То есть любые два множества
сравнимы между собой по числу элементов.
Теорема 5. Не существует множества самой большой мощности (то есть такого, что любое
множество равномощно некоторому его подмножеству).
Идея доказательства. Начиная со счётной мощности, можно построить по теореме 3 цепочку
множеств всё большей мощности.
Примеры. 1. Множества мощности континуума – множество действительных чисел, множество
чисел (0; 1), множество чисел [0; 1], множество точек отрезка, множество точек прямой, множество
точек квадрата, множество точек n-мерного пространства.
186
2. Множество всевозможных непрерывных функций f(x), определённых на всей числовой прямой,
имеет мощность континуума.
3. Множество всевозможных функций f(x), определённых на всей числовой прямой, не равномощно
множеству действительных чисел (но равномощно множеству всех подмножеств множества
действительных чисел).
Задача 971. Существует ли бесконечная последовательность действительных чисел такая, что любое
действительное число может быть записано в виде
а) разности двух элементов последовательности;
б) суммы конечного числа элементов последовательности;
в) суммы любого (конечного или бесконечного) числа элементов последовательности?
Указание к задаче 971.
а), б) Множество таких разностей (сумм) счётно, а множество действительных чисел несчётно.
в) Постройте пример. Например, можно взять всевозможные целые степени 2 и числа, им
противоположные.
Замечания. 1. Существуют ли другие мощности бесконечных множеств, кроме цепочки,
построенной в ходе доказательства теоремы 5? В частности, существует ли мощность между счётной
мощностью и континуумом? Ответ на этот вопрос неожиданный. В теории множеств с
«общепринятым» набором аксиом не хватает аксиом как для доказательства существования
«промежуточных» мощностей, так и для доказательства их отсутствия. После добавления новой
аксиомы (утверждающей или отрицающей существование промежуточных мощностей) в том и
другом случае получится непротиворечивая теория, то есть такая теория, в которой нельзя вывести
два утверждения, имеющих противоположный смысл (отрицающих друг друга).
2. Несколько слов о «сравнении» между собой бесконечных подмножеств множества натуральных
чисел. Все они счётны, но в некотором смысле чётные числа встречаются чаще, чем простые числа, а
простые числа – чаще, чем квадраты, так что нужны другие способы сравнения, кроме мощности.
Есть несколько таких способов.
Определение. Пусть X={xn|n=1, 2, ...} - произвольная строго возрастающая последовательность
натуральных чисел. Обозначим через s n; X) число членов последовательности X , не
превосходящих n. Число p=lim s n; X)
n
называется (верхней асимптотической) плотностью последовательности X в множестве натуральных
чисел.
Примеры. 1. Плотность последовательности чётных натуральных чисел, упорядоченной
естественным образом, равна 1/2. Это согласуется с естественными представлениями о том, что
чётных чисел – половина.
2. Плотность последовательности простых чисел, упорядоченных естественным образом, равна 0.
3. Плотность последовательности квадратов натуральных чисел, упорядоченных естественным
образом, равна 0.
4. Аналогично можно определить плотность множества пар натуральных чисел. Согласно теореме
Чезаро, вероятность выбрать из множества натуральных чисел пару взаимно простых чисел равна
6/ 2.
Примеры. 1. Сумма 1+1/2+1/3+...+1/n+... рано или поздно становится больше любого заранее
заданного действительного числа. Аналогично ведёт себя сумма чисел, обратных простым.
2. А вот 1+1/4+1/9+...+1/n2+...= 2/6. Таким образом, ещё один способ сравнивать бесконечные
подмножества натурального ряда – упорядочить их естественным образом и выяснить, чему равен
предел суммы обратных величин lim 1/an.
n
Разбиения множеств.
Теорема 1. 1. Следующие два способа построения бескубного слова Туэ abbabaabbaababbabaababba…
приводят к одному и тому же слову.
Первый способ. Пусть f(a)=ab, f(b)=ba. Если s=x1x2…xk… - конечное или бесконечное слово, а xi при
всех i – одна из букв a или b, то f(s)=f(x1)f(x2)…f(xk)… Тогда последовательность слов a, f(a)=ab,
f(f(a))=f(ab)=f(a)f(b)=abba, f(f(f(a)))=abbabaab, … такова, что каждое следующее слово содержит
предыдущее в качестве начала. Искомое слово Туэ таково, что каждое слово вида f(f(…f(a)…))
является его началом.
187
Второй способ. Рассмотрим слова a, ab, abba, abbabaab, … Каждое следующее слово в этой
последовательности состоит из предыдущего слова, продолженного инвертированным предыдущим
словом (то есть таким, в котором все буквы a заменены на b и наоборот). Так, пятое слово
abbabaab+abbabaab=abbabaab+baababba= abbabaabbaababba. Последовательно увеличивая длину
слова, мы получаем всё больше букв слова Туэ.
2. Бескубное слово Туэ не содержит трёх идущих подряд одинаковых подслов.
3. Существует ровно один способ разбить 2n последовательных натуральных чисел на две группы так,
чтобы количество чисел в группах было одинаково, суммы чисел в группах были одинаковы, суммы
квадратов были одинаковы, …, суммы n-1 степеней были одинаковы. Если занумеровать первые 2n
букв слова Туэ данными 2n числами в естественном порядке, то в одну группу попадают числа,
которыми занумерованы все буквы a слова Туэ, а в другую – числа, которыми занумерованы все
буквы b. Например, 10=20,
10+40=20+30, 11+41=21+31,
10+40+60+70=20+30+50+80, 11+41+61+71=21+31+51+81, 12+42+62+72=22+32+52+82.
Задача 972. Даны 400 квадратов со сторонами 1, 2, 3, ..., 400. Как разделить их на две группы по 200
квадратов в каждой так, чтобы суммы периметров квадратов в обеих группах были одинаковы и
суммы площадей квадратов в обеих группах были одинаковы?
Задача 973. Докажите, что числа 1, 2, …, 400 можно разбить на 100 групп по четыре числа так, что в
каждой группе одно из чисел равняется среднему арифметическому остальных трёх.
Идея решения задачи 973. Сначала разобьем на восьмерки. Каждую восьмерку - на {8n+1, 8n+3,
8n+8, 8n+4} и {8n+6, 8n+7, 8n+2, 8n+5}. Проверьте, что последнее число в каждой группе (оно
выделено) равно среднему арифметическому остальных в своей группе.
Задача 974. Можно ли все десятизначные числа, записываемые при помощи цифр 1 и 2, разбить на
две группы так, чтобы сумма двух любых чисел из одной группы содержала в своей десятичной
записи не менее двух троек?
Идея решения задачи 974. Числа, отличающиеся только в одной цифре, надо поместить в разные
группы. Иначе сумма будет содержать одну тройку.
Если мы знаем, куда поместить какое-нибудь число, то знаем, куда разместить остальные: от любого
числа до любого другого можно перейти за несколько шагов, заменяя каждый раз по одной цифре.
Таким образом, способов распределить числа на группы не более одного.
Для того, чтобы проверить, что числа всё-таки можно распределить по группам, попробуем
придумать хорошее описание чисел из каждой группы. В первую группу отнесём числа, у которых
сумма цифр чётна, во вторую – у которых сумма цифр нечётна. (Или: количество единиц чётно и,
соответственно, нечётно. Или: количество двоек чётно, нечётно.)
Проверим, что при сложении двух чисел из одной группы в сумме не менее двух цифр – тройки.
Задача 975. Можно ли разбить множество натуральных чисел на три непустых попарно
непересекающихся множества так, чтобы для каждой пары чисел x и y, взятых из любых двух разных
множеств, число xy+x+y принадлежало бы третьему множеству?
Решение задачи 975. Обозначим f(x, y)=xy+x+y. Заметим, что f(1, 5)=f(2, 3)=11. Значит, либо 1 и 3 в
первой группе, а 2 и 5 - во второй, либо 1 и 2 - в первой, а 3 и 5 - во второй. Первый случай не
подходит, т.к. f(2, 1)=5. Во втором случае получаем, что f(1, 3)=7 вместе с 11 - в третьей группе, но
тогда f(1, 7)=15 - во второй, и получаем противоречие из f(15, 1)=f(7, 3).
Определение. Говорят, что k множеств образуют разбиение множества М, если они попарно не
пересекаются, а их объединение равно М.
Пример. Множества чётных и нечётных натуральных чисел образуют разбиение множества
натуральных чисел.
Определение. Спектром действительного числа x назовём множество Spec(x)={[x], [2x], …, [nx], …}.
Примеры. 1. Спектр числа 2 – множество {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, …}.
2. Спектр числа 2+2 – множество {3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, …}.
Теорема 2. 1. Спектры разных чисел, больших 1, различны: если xy, то Spec(x)Spec(y).
2. Spec(2) и Spec(2+2) образуют разбиение множества N.
3. Спектры положительных чисел x и y образуют разбиение множества натуральных чисел тогда и
только тогда, когда они рациональны и 1/x+1/y=1.
Доказательство. 1. Пусть x<y. Пусть m целое, m>1/(y-x). Тогда my-mx>1 и [my]>[mx]. Таким
образом, в Spec(y) содержится меньше m элементов, не превосходящих [mx], а в Spec(y) их по
крайней мере m.
188
2. Достаточно посчитать, сколько в каждом множестве элементов, не превосходящих n, и убедиться,
что при всех n их в сумме там и там ровно n. Их в Spec(2) [(n+1)/2], а в Spec(2+2) [(n+1)/(2+2)].
[(n+1)/2]+[(n+1)/(2+2)]=(n+1)/2+(n+1)/(2+2)-({(n+1)/2}+{(n+1)/(2+2)})=(n+1)-1.
Последнее равенство следует из того, что 1/2+1/(2+2)=1 и из того, что если два нецелых числа в
сумме составляют целое, то сумма их дробных частей равна 1.
Разные задачи на множества.
Задача 976. Некоторое множество целых чисел, среди которых есть как положительные, так и
отрицательные, вместе с каждыми своими элементами a и b содержит 2a и a+b. Докажите, что это
множество содержит разность любых двух своих элементов.
Задача 977. В каждой клетке шахматной доски написано целое число от 1 до 64, причем в разных
клетках - разные числа. За один вопрос можно указать любое множество полей и узнать совокупность
стоящих в них чисел. За какое наименьшее число вопросов можно узнать число в каждой клетке?
Задача 978. Дано множество {1, 2, ..., n}. Для каждого его подмножества определим
знакочередующуюся сумму следующим образом: расположим числа подмножества в порядке
убывания и, начиная с большего числа, расставим перед ними плюсы и минусы. (Например, для n=10
знакочередующейся суммой подмножества {1, 2, 4, 6, 9} будет 9-6+4-2+1=6). Найдите сумму
знакочередующихся сумм всевозможных подмножеств множества {1, 2, ..., n}.
Задача 979. Дана функция f(x)=x2-3x+4. Найдите все множества A, состоящие из конечного числа
элементов и обладающие следующим свойством: для любого числа x, принадлежащего множеству A,
число f(x) также принадлежит множеству A.
Идея решения задачи 979. Заметим, что если x>2, то f(x)>x, но так как A - конечное множество, то
таких чисел в нем нет. Аналогично, если 0x<1, то f(x)>2, и таких чисел тоже нет. Кроме того, если
1<x<2, то 1<f(x)<2 и f(x)>x, значит, таких чисел тоже нет. Так как f(x) - четная функция, то все
вышесказанное относится и к соответствующим отрицательным числам. Перебирая оставшийся
набор чисел, получаем ответ: {2}, {1, 2}, {–2, 2}, {–1, 2}, {–2, –1, 2}, {–2, 1, 2}, {–1, 1, 2}, {–2, –1, 1,
2}.
Задача 980. Дано 1995 множеств, причем каждое из них содержит 45 элементов и любые два имеют
ровно один общий элемент. Докажите, что все эти множества имеют общий элемент.
Идея решения задачи 980. Рассмотрим любое множество A. По принципу Дирихле оно содержит
элемент x, входящий не менее чем в 45 других множеств P1, P2, ..., P45. Но тогда множества Pj попарно
не пересекаются ни по каким другим элементам, кроме x. Пусть существует множество B, не
содержащее элемент x. Оно пересекается с каждым из Pj, причем все элементы пересечений
различны. Но тогда оно уже состоит из 45 элементов и не сможет пересечься с множеством A.
Противоречие.
Канторово множество.
Определение. Отрезок числовой оси от 0 до 1 покрашен в зеленый цвет. Затем его средняя треть —
интервал (1/3; 2/3) перекрашивается в красный цвет, потом средняя треть каждого из оставшихся
зелеными отрезков тоже перекрашивается в красный цвет, с оставшимися зелеными отрезками
проделывается та же операция и так до бесконечности. Точки, оставшиеся зелеными, образуют
множество Кантора.
Задача 981. а) Докажите, что число 1/4 останется окрашенным в зеленый цвет.
б) Из суммы 2/3+2/9+2/27+2/81+... произвольным образом вычеркнуты слагаемые. Докажите, что
сумма оставшихся слагаемых — зеленое число.
Теорема. 1. Сумма длин красных интервалов равна 1.
2. Множество Кантора имеет мощность континуума.
Почти определение. При аналогичном построении начиная с единичного квадрата образуются ковёр
Серпинского (серая фигура на левом рисунке) и кладбище Серпинского (белая фигура на правом
рисунке).
189
3.6. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.
Задача 982. В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденном бульоне. На суде
Мартовский Заяц заявил, что бульон украл Болванщик. Соня и Болванщик тоже дали показания, но
что они сказали, никто не запомнил, а запись смыло алисиными слезами. В ходе судебного заседания
выяснилось, что бульон украл лишь один из подсудимых и что только он дал правдивые показания.
Так кто украл бульон?
Задача 983. Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано сто
утверждений: "В этой тетради ровно два неверных утверждения"; "В этой тетради ровно три
неверных утверждения"; ..., "В этой тетради ровно сто неверных утверждений". Есть ли среди этих
утверждений верные, и если да, то какие?
Задача 983. Первый вторник месяца Митя провёл в Смоленске, а первый вторник после первого
понедельника — в Вологде. В следующем месяце Митя первый вторник провёл во Пскове, а первый
вторник после первого понедельника — во Владимире. Сможете ли вы определить, какого числа и
какого месяца Митя был в каждом из городов?
Задача 984. В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно,
что вода и молоко не в чашке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке
не лимонад и не вода; стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из
жидкостей?
Задача 985. На острове живут два племени - аборигены и пришельцы. Известно, что аборигены
всегда говорят правду, пришельцы - всегда лгут. Путешественник нанял туземца-островитянина в
проводники. По дороге они встретили какого-то человека. Путешественник попросил проводника
узнать, к какому племени принадлежит этот человек. Проводник вернулся и сообщил, что человек
назвался аборигеном. Кем был проводник - аборигеном или пришельцем?
Задача 986. На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб. Они
окрашены в разные цвета: красный, синий, жёлтый, зелёный. Известно, что красная фигура лежит
между синей и зелёной; справа от жёлтой фигуры лежит ромб; круг лежит правее и треугольника и
ромба; треугольник лежит не с краю; синяя и жёлтая фигуры лежат не рядом. Определите, в каком
порядке лежат фигуры и какого они цвета.
Задача 987. Федя всегда говорит правду, а Вадим всегда лжёт. Какой вопрос надо было бы им задать,
чтобы они дали на него одинаковые ответы?
Задача 988. Илья всегда говорит правду, но когда ему задали дважды один и тот же вопрос, он дал на
него разные ответы. Какой бы это мог быть вопрос?
Задача 989. Один из пяти братьев испёк маме пирог. Никита сказал: "Это Глеб или Игорь". Глеб
сказал: "Это сделал не я и не Дима". Игорь сказал: "Вы оба шутите". Андрей сказал: "Нет, один из
них сказал правду, а другой обманул". Дима сказал: "Нет, Андрей, ты не прав". Мама знает, что трое
из её сыновей всегда говорят правду. Кто испёк пирог?
Задача 990. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут.
Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: ''Сколько рыцарей среди твоих
спутников?''. Первый ответил: ''Ни одного''. Второй сказал: ''Один''. Что сказал третий?
Задача 991. Во всех зоопарках, где есть гиппопотамы и носороги, нет жирафов. Во всех зоопарках,
где есть носороги и нет жирафов, есть гиппопотамы. Наконец, во всех зоопарках, где есть
гиппопотамы и жирафы, есть и носороги. Может ли существовать такой зоопарк, в котором есть
гиппопотамы, но нет ни жирафов, ни носорогов?
Задача 992. Однажды Алиса оказалась в какой-то из двух стран — А или Я. Она знает, что все
жители страны А всегда говорят правду, а все жители страны Я — всегда лгут. Притом все они часто
ездят в гости друг к другу. Может ли Алиса, задав один-единственный вопрос первому встречному,
узнать, в какой из стран она находится?
Задача 993. 12 кандидатов в мэры рассказывали о себе. Через некоторое время один сказал: "До меня
соврали один раз". Другой сказал: "А теперь - дважды". "А теперь - трижды" - сказал третий, и так
далее до 12-го, который сказал: "А теперь соврали 12 раз". Тут ведущий прервал дискуссию.
Оказалось, что по крайней мере один кандидат правильно посчитал, сколько раз соврали до него. Так
сколько же раз всего соврали кандидаты?
Задача 994. На острове живут два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят
правду, а пришельцы всегда лгут. Путешественник, приехавший на остров, нанял островитянина в
проводники. Они пошли и увидели другого островитянина. Путешественник послал проводника
190
узнать, к какому племени принадлежит этот туземец. Проводник вернулся и сказал: "Туземец
говорит, что он абориген". Кем был проводник: пришельцем или аборигеном?
Задача 995. На острове Невезения живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы,
которые всегда лгут. В Думе острова - 101 депутат. В целях сокращения бюджета было решено
сократить Думу на одного депутата. Но каждый из депутатов заявил, что, если его выведут из состава
Думы, то среди оставшихся депутатов большинство будут лжецами. Сколько рыцарей и сколько
лжецов в Думе?
Задача 996. На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда
говорит правду) либо лжец (который всегда лжет). Однажды, все жители острова разбились на пары,
и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он - рыцарь!", либо "Он - лжец!". Могло ли в итоге
оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?
Задача 997. В Трансильвании живут беспартийные (которые всегда говорят правду) и члены одной
единственной партии (которые всегда лгут). Кроме того, половина трансильванцев не в своем уме, и
считает все истинные утверждения ложными и наоборот. Как с помощью одного вопроса
(допускающего ответ "да-нет") выяснить,
а) в своем ли уме ваш собеседник из Трансильвании; б) является ли он членом партии?
Задача 998. Двум гениям сообщили по натуральному числу и сказали, что эти числа отличаются на 1.
После этого они по очереди задают друг другу один и тот же вопрос: "Знаешь ли ты мое число?".
Докажите, что рано или поздно один из них ответит положительно.
Задача 999. Одного из близнецов зовут Ваня, другого - Витя. Один из братьев всегдв говорит правду,
а другой всегда лжет. Можно задать один вопрос одному из братьев, на который тот ответит "да" или
"нет". Выясните, кого из близнецов как зовут.
Задача 1000. а) Каждому из двух гениальных математиков сообщили по натуральному числу, причем
им известно, что эти числа отличаются на единицу. Они поочередно спрашивают друг друга:
"Известно ли тебе мое число?" Докажите, что рано или поздно кто-то из них ответит "да". Сколько
вопросов они зададут друг другу? (Математики предполагаются правдивыми и бессмертными.) б)
Как изменится число заданных вопросов, если с самого начала известно, что данные числа не
превосходят 1000?
Задача 1001. Ковбоя Джо приговорили к смертной казни на электрическом стуле. Ему известно, что
из двух электрических стульев, стоящих в специальной камере, один неисправен. Кроме того, Джо
известно, что если он сядет на этот неисправный стул, казнь не повторится и он будет помилован.
Ему известно также, что стражник, охраняющий стулья, через день на все вопросы отвечает правду, а
через день — ложь. Приговорённому разрешается задать стражнику ровно один вопрос, после чего
надо выбрать, на какой электрический стул садиться. Какой вопрос Джо может задать стражнику,
чтобы наверняка выяснить, какой стул неисправен?
Задача1002. В компанию из N человек пришел журналист. Ему известно, что в этой компании есть
человек Z, который знает всех остальных членов компании, но его не знает никто. Журналист может
к каждому члену компании обратиться с вопросом: "Знаете ли вы такого-то?"
а) Может ли журналист установить, кто из компании есть Z, задав меньше, чем N таких вопросов?
б) Найдите наименьшее количество вопросов, достаточное для того, чтобы наверняка найти Z, и
докажите, что меньшим числом вопросов обойтись нельзя.
(Все отвечают на вопросы правдиво. Одному человеку можно задавать несколько вопросов.)
Задача 1003. В Пустоземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит
только правду, гоблин всегда лжёт, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды за
круглым столом пировало несколько пустоземцев, и один из них сказал, указав на своего левого
соседа: "Он - хоббит". Сосед сказал: "Мой правый сосед солгал". В точности ту же фразу затем
повторил его левый сосед, потом её же произнёс следующий по кругу, и так они говорили "Мой
правый сосед солгал" много-много кругов, да и сейчас ещё, возможно, говорят. Определите, из каких
племён были пирующие, если известно, что за столом сидело а) девять; б) десять жителей
Пустоземья. Объясните своё решение.
Задача 1004. В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники. Про них известно следующее:
во-первых, не все маги являются чародеями, во-вторых, если волшебник не является чародеем, то он
не маг. Правда ли, что не все маги - волшебники?
Задача 1005. На одном острове живут рыцари и лжецы. Первые всегда говорят правду, вторые всегда
лгут. Однажды ЦРУ заслало на остров шпиона. Шпиона поймали в компании ещё двух местных
жителей, из которых один был рыцарь и один лжец, и отвели в суд. Судья решил узнать, кто из троих
шпион. Кто из троих был рыцарем, кто лжецом и кто из ЦРУ, ему было неизвестно. Будем называть
191
одного из обвиняемых A, второго B, третьего C. Мистер Энтони, присутствовавший на заседании
суда, так описывает этот процесс.
Судья задал вопрос A: "Вы шпион?" Тот ответил односложно (т. е. его ответ состоял из одного слога либо "да", либо "нет", а что именно - мистер Энтони не помнит, суд состоялся много лет назад).
Затем судья обратился к B: "Правду ли сказал A?" Тот ответил односложно (правда, мистер Энтони
не помнит, что). После ответа B судья указал на одного из троих (но мистер Энтони не помнит, на
кого) и сказал, что этот человек - не шпион. Его сразу же освободили, и он покинул зал суда. Судья
обратился к одному из оставшихся обвиняемых (правда, мистер Энтони не помнит, к кому) и
спросил, шпион ли его сосед (т. е. другой оставшийся обвиняемый). Тот ответил односложно, и судья
сразу же выяснил, кто шпион.
Эту историю мистер Энтони рассказал своему другу, адвокату. Тот спросил: "Получил ли судья
одинаковые ответы на все три своих вопроса?" Тот ответил односложно, и узнал ли его друг, кто был
шпион, неизвестно. Затем мистер Энтони рассказал эту историю другому своему другу. Тот спросил:
"Получил ли судья по крайней мере два отрицательных ответа на свои вопросы?" Тот ответил
односложно, и узнал ли его второй друг, кто шпион, неизвестно. Зато известно, что или оба друга
определили, кто шпион, или оба не определили. Кто шпион?
Задача 1006. На острове, население которого составляют только рыцари, всегда говорящие правду, и
лжецы, которые всегда лгут, находится НИИ. Каждый из его сотрудников однажды сделал два
заявления:
а) В институте нет и десяти человек, которые работают больше меня;
б) По крайней мере сто человек в институте получают зарплату большую, чем моя.
Известно, что нагрузка у всех работников разная, как и зарплата. Сколько человек работает в НИИ?
Задача 1007. На одном острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы
всегда лгут. Ты находишься на этом острове. Представь себе, что слова «да» и «нет» на языке
жителей острова звучат как «тип» и «топ», но неизвестно, какое как. Остальные слова обычные
русские. Как, задав жителю острова один вопрос, выяснить, лжец он или рыцарь?
Задача 1008. На одном острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы
всегда лгут. Ты находишься на этом острове. Какой вопрос надо задать жителю острова, чтобы
узнать, живёт ли у него дома ручной крокодил?
Задача 1009. На одном острове живут рыцари и лжецы. Первые говорят всегда правду, вторые всегда
лгут. Вы попали на остров, и перед вами две дороги. Ровно одна из них ведет в столицу. На
перекрестке вы встретили местного жителя. Как, задав один вопрос, выяснить, какая дорога ведет в
столицу?
Задача 1010. За круглым столом сидят 10 человек, занумерованных по часовой стрелке номерами от
1 до 10. Каждый из сидящих либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Первый сказал: «Мой
сосед слева – лжец». Второй сказал: «Два моих соседа слева – лжецы». Третий сказал: «Три моих
соседа слева – лжецы». ... Десятый сказал: «Десять моих соседей слева – лжецы». Сколько среди них
могло быть лжецов?
Задача 1011. В городе Глупове каждый житель – полицейский, вор или обыватель. Полицейские
всегда врут обывателям, воры – полицейским, обыватели – ворам, а во всех остальных случаях
жители Глупова говорят правду. Однажды, когда несколько глуповцев водили хоровод, каждый
сказал своему правому соседу: «Я – полицейский». Сколько в этом хороводе было обывателей?
Задача 1012. На выборах баллотировались два кандидата: Елкин и Палкин. Каждый избиратель был
либо правдистом, либо лжецом. (Правдисты всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.) После
выборов всем избирателям было задано два вопроса: "За кого вы голосовали?" и "Кто победил?".
Большинство заявило, что проголосовало за Елкина. На второй вопрос большинство ответило
"Палкин". Можно ли утверждать, что лжецы составляют большинство?
ЛИТЕРАТУРА
1. Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом. Избранные задачи и теоремы элементарной математики.
Арифметика и алгебра. М.:Физматлит, 2001. 480 стр.
2. В.А.Колосов. Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики. М.: Гелиос АРВ, 2001.
256 стр.
3. Олимпиады. Алгебра. Комбинаторика. Новосибирск, 1979. 176 стр.
4. В.В.Прасолов. Многочлены. М.:МЦНМО, 2003. 336 стр.
5. В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. М.: 2002.
192
6. И.М.Мительман. Раскрасим клетчатую доску. Ижевск, 2002. 56 стр.
7. М.А.Екимова, Г.П.Кукин. Задачи на разрезание. М.:МЦНМО, 2002. 120 стр.
8. Ф.Харари. Теория графов. М., 2003. 296 стр.
9. О.Оре. Теория графов. М.:Наука, 1980. 336 стр.
10. Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике. СПб.:Невский диалект,
2002. 192 стр.
11. Заочные математические олимпиады. М.:Наука, 1981. 128 стр.
12. Физико-математические олимпиады. М.:Знание, 1977. 160 стр.
13. Школьные математические олимпиады. М.: ДРОФА, 2002. 128 стр.
14. А.Я.Канель-Белов, А.К.Ковальджи, Н.Б.Васильев. Подготовительные задачи к LVII Московской
математической олимпиаде1994 года для 8-11 классов. М., 1994. 76 стр.
15. А.Я.Канель-Белов, А.К.Ковальджи. Как решают нестандартные задачи. М.:МЦНМО, 2001. 96 стр.
16. А.С.Мерзляков. Четность и аналоги четности. Ижевск, 2002. 51 стр.
17. С.А.Генкин, И.В.Итенберг, Д.В.Фомин. Ленинградские математические кружки. Киров: АСА,
1994. 272 стр.
18. Батуров Д.П., Ноздрин А.И. Как научиться решать задачи по математике. Орел, 2002. 48 стр.
19. А.В.Спивак. Тысяча и одна задача по математике. М.:Просвещение, 2002. 207 стр.
20. А.С.Мерзляков. Математика. Факультативный курс. Ижевск, 2002. 318 стр.
21. Е.Г.Козлова. Сказки и подсказки. М.:МИРОС, 1994. 128 стр.
193
194