ГАОУ ДПО «Саратовский институт повышения квалификации и переподготовки работников образования» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ГАОУ ДПО «Саратовский институт повышения квалификации и
переподготовки работников образования»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ПОДГОТОВКЕ ОБУЧАЮЩИХСЯ
К ГОСУДАРСТВЕННОЙ (ИТОГОВОЙ) АТТЕСТАЦИИ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ЗА КУРС ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
Саратов
2013
Автор-составитель: Алексеев И.Г.
В настоящем пособии представлены методические рекомендации по
подготовке к государственной (итоговой) аттестации по математике за
курс основной школы в 2013 году.
Сборник предназначен для учителей-предметников, участников
предстоящей аттестации, а также их родителей. Материалы сборника
позволят организовать более целенаправленную подготовку обучающихся IX
классов к государственной (итоговой) аттестации в независимой форме по
учебному предмету «Математика» за курс основной школы в 2013 году.
2
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение
4 стр.
2. Общая характеристика экзаменационной работы.
Особенности структуры экзаменационной работы в 2013 году
6 стр.
3. Рекомендации для подготовки к экзамену по математике
9 стр.
4. Список литературы для подготовки к ГИА по математике (9 класс) 20 стр.
5. Список рекомендуемых сайтов
22 стр.
3
Введение
В целях обеспечения единых подходов к проведению государственной
(итоговой) аттестации и объективной оценки качества образовательных
достижений обучающихся IX классов общеобразовательных учреждений
Саратовской области, освоивших образовательные программы основного
общего образования, аттестация по математике в 2013 году проводится в
независимой (письменной) форме. Данная форма является открытой и
объективной процедурой оценивания учебных достижений школьников,
обладающей широкими дифференцирующими возможностями, результаты
которой будут непосредственно учитываться при формировании профильных
классов старшей школы. Основательная и разносторонняя проверка знаний,
умений и навыков на разных уровнях – это существенная и принципиальная
особенность экзаменационных материалов, используемых в данной форме
аттестации. Объем и содержание базовой подготовки наряду с овладением
минимальной
техникой
(владение
простейшими
алгоритмами
математических действий, преобразований и логических рассуждений)
включает также идейно-понятийную и практико-ориентированную
составляющие.
Преподавание математики в 2012 – 2013 учебном году на II ступени
общего образования ведется в соответствии со следующими нормативными
документами:
1. Федеральный компонент государственных образовательных
стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного)
общего образования (утверждён приказом Минобразования РФ от 05.03.2004
г. №1089).
2. Федеральный базисный учебный план и примерные учебные планы
для образовательных учреждений Российской Федерации, реализующих
программы общего образования (утверждены приказом Минобразования РФ
от 09.03.2004 г. № 1312).
3. Приказ Министерства образования и науки РФ от 27 декабря 2011 г.
N2885 «Об утверждении федеральных перечней учебников, рекомендованных
(допущенных) к использованию в образовательном процессе в
образовательных учреждениях, реализующих образовательные программы
общего образования и имеющих государственную аккредитацию на 2012/
2013 учебный год».
4
Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) к
использованию в 2012 – 2013 учебном году, размещен на сайте
http://www.edu.ru/index.php?page_id=5&topic_id=22&sid=20762.
Проведение
аттестации
регламентируется
Положением
о
государственной (итоговой) аттестации выпускников IX и XI(XII) классов
общеобразовательных учреждений Российской Федерации, утверждённым
приказом Минобразования РФ от 3 декабря 1999 г. N 1075 с изменениями,
внесёнными приказом Минобразования РФ от 16 марта 2001 г. N 1022, а
также региональными нормативными документами, регламентирующих
проведение государственной (итоговой) аттестации обучающихся IX классов.
Государственная итоговая аттестация в IX классе продолжает
совершенствоваться. По сравнению с предыдущими годами структура
работы по математике претерпела значительные изменения. Основное
отличие предстоящей экзаменационной работы от модели, действовавшей в
последние годы, заключается в том, что в ней отражены предложения по
раздельному оцениванию алгебраической и геометрической подготовки
учащихся с целью выставления отметок по курсу алгебры и курсу геометрии,
а также усилен блок заданий по использованию приобретенных знаний и
умений в практической деятельности и повседневной жизни. Работа
включает три модуля – «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика».
Фактически оценка по работе будет складываться из оценки трёх
модулей. Баллы, полученные за верно выполненные задания, суммируются.
Для успешного прохождения итоговой аттестации необходимо набрать в
сумме не менее 8 баллов, из них не менее 3 баллов по модулю «Алгебра», не
менее 2 баллов по модулю «Геометрия» и не менее 2 баллов по модулю
«Реальная математика». То есть помимо основного порога в 8 баллов,
устанавливаются промежуточные пороги по модулям, что усложняет и
выполнение и оценивание работы. Практика выполнения тренировочных и
диагностических работ показывает, что возможны ситуации, когда плохо
подготовленный ученик, набирая более 8 баллов за всю работу целиком,
получает оценку «2», так как не проходит порог по одному из модулей
(например, 2 балла по заданиям модуля «Алгебра»).
Эти изменения необходимо учитывать в подготовке к экзаменационной
работе и в процессе информирования обучающихся и их родителей.
Учителям-предметникам и руководителям образовательных учреждений
необходимо
также
своевременно
довести
до
всех
участников
образовательного процесса, что государственная (итоговая) аттестация
проводится в независимой форме, что предполагает более высокую степень
объективности оценки учебных достижений обучающихся. Работа с
5
контрольно-измерительными материалами, бланками ответов, нахождение в
аудитории пункта проведения экзамена в отсутствии привычного учителя
математики – всё это не должно стать неожиданностью для обучающегося, не
должно создавать для него неблагоприятной психологической обстановки в
момент написания аттестационной работы. В процессе подготовки
необходимо уделить внимание указанным технологическим особенностям
проведения экзамена. С обучающимися необходимо провести пробные
письменные работы по математике, приближенные по форме к технологиям
проведения государственной (итоговой) аттестации в независимой форме,
принять участие в пробных работах, проводимых, в первую очередь,
Московским институтом открытого образования (МИОО) на базе
телекоммуникационной системы «Статград». Методическую и дидактическую
помощь при проведении подобных работ и подготовке к государственной
(итоговой) аттестации обучающихся IX классов по математике вам окажут
представленные на стр. 20 и 22 учебные издания и Интернет-ресурсы, а также
методические рекомендации данного пособия.
Общая характеристика экзаменационной работы.
Особенности структуры экзаменационной работы в 2013 году
Содержание экзамена по математике регламентируется следующими
документами:
- Обязательный минимум содержания основного общего образования
по математике (приложение к Приказу Минобразования России от 19.05.1998
№1276 «Об утверждении временных требований к обязательному минимуму
содержания основного общего образования»).
- Федеральный компонент государственного стандарта общего
образования. Математика. Основное общее образование (Приказ
Минобразования России от 05.03.2004 №1089 «Об утверждении
федерального компонента государственных образовательных стандартов
начального общего, основного общего и среднего (полного) общего
образования»).
Структура
работы
отвечает
цели
построения
системы
дифференцированного обучения в современной школе. Дифференциация
обучения направлена на решение двух задач: формирование у всех учащихся
базовой математической подготовки, составляющей функциональную основу
общего образования; создание условий, способствующих получению частью
учащихся подготовки повышенного уровня, достаточной для активного
6
использования математики во время дальнейшего обучения, прежде всего,
при изучении ее в средней школе на профильном уровне. Особое внимание
уделено практической составляющей изучения школьного курса математики.
С этой целью и вводится модуль «Реальная математика», в котором буду
содержаться задания по решению арифметических текстовых задач, по
обработке числовых данных (статистика), чтению диаграмм и графиков
зависимостей, вероятности, выполнению геометрических задач прикладного
характера.
Структура работы предполагает облегчение планирование работы
участником экзамена. Во время выполнения заданий каждого модуля
предполагаются близкие по тематике задания, расположенные по
возрастанию сложности. При выполнении работы следует пропускать те
задания, которые вызывали трудности на этапе подготовки, и вернуться к ним
после того, как выполнены те задания, в решении которых уверен, причём
проведена проверка. Каждый участник во время выполнения заданий каждого
модуля может выделить больше времени на те задачи, которые он может
решить: более подготовленный, быстро решив простые задачи, сможет
сосредоточиться на более сложных, а менее подготовленный сможет всё
время потратить на решение доступных ему заданий.
Каждое задание соотносится также с одной из четырех категорий
познавательной области: знание/понимание; умение применить известный
алгоритм; умение применить знания для решения математической задачи;
применение знаний в практической ситуации. Таким образом, проверке
подлежит не только усвоение основных алгоритмов и правил, но и понимание
смысла важнейших понятий и их свойств, владение различными
эквивалентными представлениями (например, разных форм представления
числа), умение решить несложную задачу, не сводящуюся к прямому
применению алгоритма, способность применить знания и умения в заданиях с
практическим содержанием. При выполнении заданий первой части учащиеся
должны продемонстрировать определенную системность знаний, умение
пользоваться разными математическими языками, распознавать стандартные
задачи в разнообразных формулировках.
В демонстрационном варианте работы 2013 года 26 заданий, из которых
20 заданий базового уровня (1 часть) и 6 заданий высокого и повышенного
уровня (2 часть). Однако в отдельных тренировочных работах и книгах по
подготовке количество заданий увеличивается до 28 [1].
Часть 2 направлена на проверку владения навыками выполнения
заданий высокого и повышенного уровня. Основное ее назначение –
дифференцировать степень математической подготовки участника экзамена
для более точного определения профиля его дальнейшего обучения. В этой
7
части работы содержатся задания модулей «Алгебра» и «Геометрия»,
требующих развернутого ответа (с записью решения). Задания части 2
выполняются на бланках ответов № 2 с записью решения и полученного
ответа. Формулировки заданий и их краткая запись («дано» и т.п.) не
записываются, достаточно указать номер задания.
Все задания этой части носят комплексный характер. Они позволяют
проверить владение формально-оперативным алгебраическим аппаратом,
способность к применению знаний из различных тем школьного курса
математики, владение достаточно широким набором приемов и способов
рассуждений, а также умение математически грамотно записать решение.
Все задания требуют полной записи решения и ответа. Задания части 2
расположены по нарастанию трудности – от относительно простых до
сложных, предполагающих свободное владение материалом и высокий
уровень математической культуры. Уровень трудности заданий второй части
работы устанавливается на результатах мониторинга экзаменов по
математике в IX классе прошлых лет. Уровень трудности двух последних
заданий, включенных в работу в связи с расширением диапазона уровней
проверки математической подготовки учащихся, определяется в ходе
пилотных проверок и уточняется ежегодно по результатам проведения
экзамена.
Учащимся разрешается использовать справочные материалы,
выдаваемые вместе с вариантом: таблицу квадратов двузначных чисел,
формулу корней квадратного уравнения, формулу разложения на множители
квадратного трехчлена, формулы n-го члена и суммы n первых членов
арифметической и геометрической прогрессий, основные формулы из курса
геометрии. Разрешается использовать линейку и циркуль. Учащимся не
разрешается использовать на экзамене калькуляторы. При проведении
экзамена не допускается присутствие в аудитории специалиста по
математическим дисциплинам.
Время выполнения работы - 235 минут. Время выполнения сокращено
по отношению к аттестации прошлых лет в соответствии с требованиями
санитарных норм.
Учащимся в начале экзамена выдается полный текст работы. Ответы на
задания части 1 могут фиксироваться непосредственно в тексте работы, а
затем должны быть перенесены в бланк ответов № 1, а к двум заданиям
ответы должны быть записаны в бланк ответов № 2. Все необходимые
вычисления, преобразования и чертежи учащиеся могут выполнять в
черновике. Черновики не проверяются.
Проверку экзаменационных работ осуществляют специалисты по
математике – члены региональных и муниципальных экзаменационных
комиссий по математике.
8
Задание части 2 считается выполненным верно, если учащийся выбрал
правильный путь решения, из письменной записи решения понятен ход его
рассуждений, получен верный ответ. В этом случае ему выставляется полный
балл, соответствующий данному заданию. Если в решении допущена ошибка,
не носящая принципиального характера и не влияющая на общую
правильность хода решения, то учащемуся засчитывается балл на 1 меньше
указанного.
Требования к выполнению заданий с развернутым ответом заключаются
в следующем: решение должно быть математически грамотным и полным, из
него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Оформление решения
должно обеспечивать выполнение указанных выше требований, а в остальном
может быть произвольным. Не следует требовать от учащихся слишком
подробных комментариев (например, описания алгоритмов). Лаконичное
решение, не содержащее неверных утверждений, все выкладки которого
правильны, следует рассматривать как решение без недочетов.
Непосредственно перед началом работы эксперты, осуществляющие
проверку работ, получают от руководства предметной комиссии по
математике единые критерии оценивания, присылаемыми разработчиками
заданий. С критериями оценивания заданий части 2 можно подробно
познакомиться в демонстрационном варианте экзаменационной работы в
2013 году (сайт ФИПИ: http://www.fipi.ru)/).
Рекомендации для подготовки к экзамену по математике
Подготовка к ГИА – ответственное мероприятие, к которому нужно
отнестись со всей серьезностью. Учителю в первую очередь необходимо
настроить учеников на положительный результат. Однако, они должны
осознавать, каким уровнем знаний обладают и определить для себя
планируемый результат. Но это не означает, что должен устанавливаться
неизменный или заниженный «потолок». Ученик должен стремиться к
лучшему результату.
Каждому педагогу известно, что школьники очень боятся экзаменов,
боязнь может усиливаться столкновением с тестированием с использованием
бланков, незнанием формы правильной записи ответов. Такой страх может
привести к плачевным результатам даже у учеников с хорошими знаниями по
предмету. Педагогу необходимо научить школьника технике сдачи теста. При
этом следует заострить внимание на следующем:
1. Нормы времени. Учащимся необходимо постоянно помнить, что
время экзамена ограничено. На выполнение каждого из заданий первой
части рекомендуется выделять не более 5 минут. Если выполнить
9
задание за это время не удалось, необходимо перейти к следующему.
После завершения работы над 1 частью, можно вернуться к
пропущенным заданиям. Большая часть времени
должны быть
потрачена на выполнение заданий 2 части.
2. Оценка сложности заданий. Открыв экзаменационную работу, ученик
должен просмотреть весь тест и выбрать для себя наиболее посильные
задания, которые можно решить без особых усилий. Именно их
школьник выполняет первыми. Во 2 части также нужно отметить
несколько заданий, решение которых не вызовет затруднений. К ним
ученик приступает после завершения работы над 1 частью.
3. Проверка полученных ответов. Изначально работа выполняется на
черновиках. Учащиеся должны научиться сразу проверять полученный
результат, а не оставлять проверку на «потом». После решения ученики
должны тщательно перечитать условие, обращая внимание на
ключевые слова, задать себе вопрос «что нужно найти?», размерности
величин. В заданиях с выбором ответа из числа предложенных
необходимо научиться исключать явно неверный ответ. Ответы в
соответствии с требованиями бланка и задания заносятся в бланк
только после проверки.
Эти рекомендации по организации работы ученика на экзамене
направлены на то, чтобы школьник смог самостоятельно набрать
максимальное количество баллов.
Успешная сдача экзамена зависит не только от техники выполнения
тестовых заданий, но и от того, насколько хорошо ученик владеет изученным
материалом, знаком ли с процедурой проведения экзамена, готов ли
психологически к нему. Экзаменационная работа состоит как из заданий,
которые постоянно встречаются в учебниках алгебры, так и из заданий,
отличающихся по форме от стандартных или имеющих недостаточное
количество упражнений. К сожалению, в настоящее время пособий,
содержащих задачи, соответствующих по содержанию модулю «Реальная
математика» недостаточно. Поэтому «нестандартным» заданиям зачастую
становятся задачи, в которых предлагается:

выразить из формулы одну величину через другие;
𝑎𝑡 2
Пример 1: Выразите переменную a из формулы s=s0+v0t+
2
.
В данном примере нужно увидеть, что величина s0 (как и v0) просто
содержит индекс 0, а не представляет собой какую-либо сложную
математическую конструкцию.
10

выполнить действия с числами, представленными в стандартном виде;
Пример 2: Население Австралии составляет 1,8∙107 человек, а ее территория равна 7,7∙106
км2. Определите среднее число жителей на 1 км2.
1) 0,23 чел.

2) 2,3 чел.
3) 4,3 чел.
4) 43 чел.
анализировать графики и диаграммы, отражающие реальные процессы;
Пример 3: На графиках показано, как во время телевизионных дебатов между кандидатами
А и Б телезрители голосовали за каждого из них. За кого из кандидатов было подано
больше голосов в период с 45-ой до 60-ой минуты дебатов, и на сколько больше?

ответить на вопросы по теории вероятностей
Пример 4: Ира случайным образом выбирает одну из карточек, на которых написаны
однозначные натуральные числа и ноль. Найдите вероятность того, что Ира
первой выберет карточку, на которой будет написано число «7».
При планировании урока учителю необходимо учитывать специфику новой
формы проведения экзамена и следовать приведенным ниже рекомендациям.
1. Включать в устную работу задания вычислительного характера как по
теме урока, так и связанные с особо трудно усваиваемыми темами
(действия с дробями, процентами, графиками функций).
2. Обобщать и связывать между собой различные темы с помощью
дополнительных вопросов, в том числе и показывать их практические
применения.
3. Подбирать задания, вызывающие трудности у учащихся, и постоянно
решать на уроках эти задания (чтение графиков, неполные квадратные
уравнения, неравенства, упрощение степеней с разными основаниями,
11
задания с арифметическим квадратным корнем, задания с
параметрами).
4. Увеличить количество рассматриваемых на уроке и предлагаемых на
дом заданий на чтение графиков, функциональных и графических
зависимостей.
5. Уделять больше внимания разделу «Числовые функции и их графики»,
расширив подборку заданий на построение графиков элементарных
функций в общем виде, на исследование функций в зависимости от
коэффициентов (в том числе и обратные задания), на построение
графиков функций, область определения которых ограниченное
множество.
6. При решении заданий, в том числе уравнений и систем уравнений
использовать различные способы их решения.
7. Использовать различные формулировки одного и того же задания,
предлагая учащимся составление новых формулировок по заданному
условию, а также восстановление условия задания по первым строкам
его решения.
8. При изучении прогрессий обратить внимание на различные способы их
заданий.
9. Требовать от учащихся записи ответа в каждом номере, применять
элементы бланкового тестирования при выполнении заданий.
10.Включать вопросы курса теории вероятностей, как в устную, так и в
письменную работу на уроках математики.
11.Увеличить количество упражнений на выражение одной переменной
через другую.
12.При решении уравнений, неравенств и систем уравнений обозначать
переменные не только х и у, но и другими буквами. Решив уравнение,
выполнить обязательно проверку.
13.Выполняя действия со степенями, работать с числовыми значениями,
включая числа, записанные в стандартном виде.
14.В заданиях вычислительного характера, использовать запись ответа в
стандартном виде.
15.При изучении геометрии обращать внимание учащихся не только на
свойства и формулы, выведенные в параграфе по рассматриваемой
теме, но и свойства и формулы, выведенные в задачах после изученной
темы.
Главная цель работы любого учителя научить ученика самостоятельно
решать задачу, проанализировать ее:

за нестандартной формулировкой увидеть алгоритм или несколько
алгоритмов решения;
12






четко видеть - что известно и что из этого можно найти (что нужно
найти в задаче и что для этого должно быть известно);
прикинуть количество ответов, а так же в каких пределах они
находятся;
записать решение;
проконтролировать его правильность проверкой, если это возможно;
записать ответ, в соответствии с основным вопросом;
если это задание с выбором ответа, то исключить те варианты, которые
категорически не подходят, а далее либо решить, либо сделать
логическое заключение.
Работу с обучающимися следует строить, консультируя их по заданиям,
в решении которых они испытывают трудности. В течение всего учебного
года в контрольные и самостоятельные работы обучающего характера
следует включать различные формы заданий: задания работы с выбором
ответа, с кратким ответом, а также стандартные для математики задания, в
которых необходимо дать развернутое решение с полным объяснением.
Также учителю необходимо указать на типичные ошибки, которые могут
возникнуть при выполнении заданий. К ним относятся:

Невнимательное чтение условия;
Пример 5: Ответ 0,997 при решении задачи «Из 1000 насосов 997 исправны. Какова
вероятность того, что первый выбранный насос окажется неисправным».


Арифметические ошибки;
Элементарная невнимательность при переносе ответа в бланк.
Задания на составление буквенных выражений и их тождественные
преобразования становятся намного сложнее для учеников, если они
применяются в нестандартной ситуации, например, в геометрической
интерпретации. Это связано с недостаточным вниманием, в первую очередь,
учителей к отработке умений и навыков при решении задач в геометрии.
Ниже приведен пример такого задания.
Пример 6 Чему равна площадь закрашенной части круга? (Составьте выражение
упростите его).
При решении этого задания необходимо было
воспользоваться формулой площади круга и его частей,
известной учащимся с 5-6 классов и актуализируемой в 9
классе, и составить выражение для вычисления площади
закрашенной части круга. Почти треть девятиклассников не
справилась с данной задачей в ГИА 2011.
13
Среди заданий блока «Алгебра» наиболее трудными для
девятиклассников традиционно являются примеры на решение системы
уравнений с двумя переменными с опорой на графическую интерпретацию и
решение системы линейных неравенств.
Пример 7. На рисунке изображены графики функций
y  3  x 2 и y  3  2x .
решения системы уравнений
Используя графики, найдите
 y  3  x2

 y  3  2 x.
Задание является устным и не связано с
выполнением каких-либо вычислений или
преобразований. В то же время результаты
показывают, что только 65% девятиклассников
понимают суть графической иллюстрации
решения системы двух уравнений с двумя
переменными и могут правильно записать координаты точек пересечения,
прочитав графики.
5 x  18  3
Пример 8. Решите систему неравенств 
2 x  5  0.
Номера данного типа, как не покажется странным, дают один из самых
низких показателей выполнения. Анализ результатов выполнения данного
задания на аттестации прошлых лет показал, что верное решение системы
линейных неравенств оказалось посильным преимущественно выпускникам,
сдавшим экзамен на «5». Далеко не все из тех, кто сдал экзамен на «4»,
смогли найти множество решений системы (четверть получивших хорошую
отметку дали неверный ответ или не дали его вовсе).
Задание из блока «Последовательности и прогрессии»
модуля
«Алгебра» вызывают особые трудности в случае задания последовательности
рекуррентной формулой.
Пример 9. Геометрическая прогрессия задана условиями: b1
данных чисел является членом этой прогрессии?
1) 10
2) 16
3) 18
14
 1, bn 1  2bn . Какое из
4) 24
Традиционным в работах является задание на установление
соответствия между графиками и задающими их функциями (уравнениями).
Несмотря на достаточно традиционную для тестов формулировку и базовый
уровень задания, более четверти выпускников основной школы с ним не
справляются. Это вновь подтверждает тезис о необходимости уделить
большее внимание изучению свойств функций и их графиков. Ниже приведен
пример задания одного из вариантов.
Пример 10. График какой из перечисленных ниже
функций изображен на рисунке?
1) у  
3)
1
1
х  2 2) у  х  2
2
2
у  2х  2
4)
у  2х  2
Рекомендации по выполнению заданий второй части
Часть 2 включает 3 задания повышенного и 2 задания высокого уровня
сложности. При их выполнении от обучающихся требовалось
продемонстрировать свободное владение материалом и высокий уровень
математического развития.
Задания II части ожидаемо вызывают наибольшие сложности у
обучающихся. Традиционно вызывают психологический барьер задания,
содержащие параметр. Большинство экзаменуемых, учитывая, что для
получения оценки «5» не нужно выполнять 100% заданий работы, даже не
приступают к решению номеров данного вида. Трудно даются задания на
математическое моделирование по условию текстовой задачи.
Пример 11 Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B,
расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно
в A со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В
результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь
из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.
Рассмотрим решение задачи. Скорость велосипедиста из В в А, которую нужно
найти, обозначим за х (км/ч),
Тогда скорость на пути из А в В составила х-3, так как была меньше на 3 км/ч.
Разница во времени составит 3 часа. Время движения по пути «туда» было на 3 ч
(время стоянки) больше, чем чистое время движения назад с большей скоростью.
𝟕𝟎
70
Поэтому х−𝟑 - х =3. Решим полученное уравнение приведением дробей к общему
знаменателю х(х-3). Получим ответ 10 км/ч.
Пример 12. Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от
А. Пробыв в пункте В 1 час 15 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 14:00
15
того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость катера, если известно, что
скорость течения реки 1 км/ч.
Решим данную задачу, моделируя ситуацию, с помощью уравнения. Весь маршрут
катера занял 14-10=4 часа.
Чтобы найти «чистое» суммарное время движения катера туда и обратно
необходимо вычесть время стоянки 1ч 15минут, то есть 1,25 часа:4 – 1,25 =2,75. Может,
1
удобнее будет сделать это в обыкновенных, а не десятичных дробях: 1ч 15 мин= 14 ч,
1
3
время движения 4 – 14 =24 ч.
Обозначим искомую величину, собственную скорость катера, за х:
Путь S,
км
Направление
Против
течения
15
По
течению
15
Скорость V,
км/ч
х-1
Время t,
часы
15
x 1
х+1
15
x 1
Общее время
движения
15
15
3

2
x 1 x 1
4
Решаем полученное уравнение, приводим дроби в левой части уравнения к общему
основанию:
15(х+1)+15(х−1)
(х+1)(х−1)
15х+15+15х−15
(х+1)(х−1)
30х
11
=
=
11
4
11
4
,
,
= 4 .
Применим свойство пропорции: 30х·4=11(х2 − 1),
11х − 120х − 11 = 0,
1
находим корни квадратного уравнения х=11 и х= - 11. (Отрицательный корень не
удовлетворяет смыслу задачи)
Ответ: 11 км/ч
Пример 13. Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов
винограда требуется для получения 62 килограммов изюма?
За счёт чего из винограда получается изюм? За счёт его высушивания, то есть
испарения влаги, воды. Но минеральные вещества, витамины, назовём всё это «сухим
веществом», не испаряется и сохраняется как в винограде, так и в изюме.
Получаем, что в винограде это «сухое вещество» составляло 10%, а в изюме его
доля возросла до 95%! Подсчитаем:
В изюме от 62 кг «сухого вещества» 95% то есть 62·0,95= 58,9 кг
В винограде это «сухое вещество» составляло 10%, то есть винограда в 10 раз
больше: 58,9·10= 589 кг (или 58,9:0,1 = 589)
Ответ: 589 кг
х2 −1
2
16
При выполнении экзаменационных работ традиционно вызывают
сложности задания с прогрессиями, в которых необходимо использовать
более одного свойства прогрессий. Ниже приведен пример такой задачи.
Пример 14. Найдите суммы всех отрицательных членов арифметической
прогрессии –7,2; –6,9; …
Для верного решения этого задания необходимо
1) найти разность прогрессии: d = –6,9–(–7,2) = 0,3;
2) найти число отрицательных членов прогрессии: составить формулу n-го члена an
= –7,2+0,3(n–1) = 0,3n–7,5 и решая неравенство 0,3n–7,5< 0; получить n< 25; и сделать
вывод, что отрицательных членов 24;
3) вычислить сумму по формуле S24 = –90.
К числу наиболее распространённых относятся следующие ошибки: на 2 шаге
учащиеся вместо неравенства решали уравнение и получив n = 25 считали сумму 25
членов прогрессии, не обратив внимание на то, что a25 = 0 (т.е. к отрицательным не
относится!); на 3 шаге вычисляли сумму 25 и получали при этом верный ответ, т.к. для
данной прогрессии S24 = S25 (т.к. a25 = 0).
К сожалению, ошибки с отнесением числа 0 к различным множествам
чисел остаются типичными. Небрежность в данном вопросе подводит и
достаточно хорошо математически подготовленных учеников.
Для успешной подготовки к выполнению модуля «Геометрия»
рекомендуем учебные пособия списка литературы [1], [6], [17].
Сложными для обучающихся становятся задания на установление
истинности/ложности утверждений. Рассмотрите следующие примеры
подобных заданий по геометрии:
Пример 15
1.Укажите номера верных утверждений.
1) В любом выпуклом четырёхугольнике все углы – острые.
2) Существует выпуклый четырёхугольник, все углы которого – острые.
3) Существует выпуклый четырёхугольник, все углы которого – прямые.
4) В любом выпуклом четырёхугольнике все углы – тупые.
5) Существует выпуклый четырёхугольник, все углы которого – тупые.
2.Укажите номера верных утверждений.
1) Всякий ромб является параллелограммом;
2) Всякий параллелограмм является ромбом;
3) Радиус окружности, вписанной в ромб, равен высоте этого ромба;
4) В любой ромб можно вписать окружность;
5) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
3.Укажите номера верных утверждений.
1) Всякая трапеция является параллелограммом.
2) Диагонали равнобедренной трапеции делятся точкой пересечения пополам.
3) Если в трапеции три стороны равны по длине, то это равнобедренная трапеция.
4) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
5) Длина средней линии трапеции равна полусумме длин её оснований
17
4.Укажите номера верных утверждений.
1) Всякий ромб является параллелограммом.
2) Диагонали ромба делят его углы пополам.
3) Сумма внутренних углов ромба равна 180°.
4) Около любого ромба можно описать окружность.
5) Точка пересечения диагоналей ромба находится на одинаковом расстоянии от его
сторон.
5.Укажите номера верных утверждений.
1) Если один из углов равнобедренного треугольника равен 30⁰, то среди его углов один
равен 120⁰.
2) Если три стороны одного треугольника соответственно в 6 раз больше трёх сторон
другого треугольника, то такие треугольники подобны.
3) Все углы правильного треугольника равны 60⁰.
4) Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и
углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
5) В треугольнике не может быть двух тупых углов.
Наиболее часто встречающимися в части 2 являются примеры на
применение теорем синусов и косинусов, решение треугольников.
Пример 16. Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника АВС
пересекает окружность, описанную около этого треугольника в точке Е. Окружность,
описанная около треугольника ADE, пересекает прямую АС в точке F, отличной от А.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если АС=8, AF=3, а
угол ВАС равен 45⁰.
Ответ:
5√2 11√2
,
2
2
18
Представленные выше данные подтверждают необходимость
дифференцированного подхода к обучению и, в частности, при организации
итогового (перед экзаменом) повторения. Учителю необходимо иметь
реальные представления об уровне подготовки каждого учащегося и ставить
перед ним достижимую цель.
При обучении необходимо обеспечить прочное усвоение основных
формул и правил действий с различными выражениями; организовать
систематическое повторение правил действий с различными числовыми
множествами, преобразование алгебраических выражений с использованием
тождеств, а также повторение основных формул и правил действий с целыми
и дробными рациональными выражениями; добиться прочного овладения
основными приемами решения простейших уравнений и неравенств; при
формировании представлений о свойствах изучаемых элементарных функций
постоянно опираться на наглядное изображение графиков этих функций. При
повторении материала за курс основной школы необходимо уделить особое
внимание отработке решения обязательных, стандартных заданий до
приобретения устойчивого навыка их решения, а это значит систематически
обращаться к таким темам школьного курса математики как: проценты,
дроби, графики линейных функций, решение систем линейных уравнений и
неравенств, чтение графика квадратичной функции, решение простейших
практических задач, задач на применение свойств геометрических фигур.
При подготовке к экзамену следует нацеливать определенную часть
учащихся на безошибочное выполнение первой части, правильно расставляя
акценты и учитывая их реальные возможности: например, имеет смысл
обращать больше внимания на понятийную сторону, конечно, не в ущерб
алгоритмической составляющей.
Особенность подготовки группы «троечников» состоит в том, что они
освоили алгоритмическую составляющую курса, но имеют существенные
пробелы в понятийной стороне. Возможно, отсюда и проблемы с решением
задач, в которых нет четкого алгоритма, а известны лишь общие
соображения, из которых учащийся должен самостоятельно «собрать»
решение задачи.
При проведении тематических контрольных работ, промежуточной
аттестации учащихся использовать задания в тестовой форме, что позволит
психологически подготовить учащихся к сдаче государственной (итоговой)
аттестации по математике, использовать комбинированные тесты,
включающие задания как по алгебре, так и по геометрии, задачи
практического содержания для подготовки к выполнению модуля «Реальная
математика».
19
Методическую помощь учителю и учащимся могут оказать
методические и учебные материалы из представленных ниже списка
литературы, перечня интернет-порталов по вопросам ГИА.
Список литературы
для подготовки к ГИА по математике (9 класс)
Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой
форме. Математика 2013. Учебное пособие/ А.В.Семёнов, А.С. Трепалин,
И.В. Ященко, П.И. Захаров; под ред. И.В. Ященко. – М.: ИнтеллектЦентр, 2013. -88 с.
2. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой
форме. Математика. 2011/ ФИПИ авторы - составители: Е.А. Бунимович,
Т.В. Колесникова, В.Л. Кузнецова, Л.О. Рослова, С.Б. Суворова – М.:
Интеллект-Центр, 2010.
3. Государственная итоговая аттестация 2012. Математика: Типовые
экзаменационные варианты: 30 вариантов. Учебное пособие/
А.В.Семёнов, А.С. Трепалин, И.В. Ященко; под ред. И.В. Ященко. – М.:
Национальное образование, 2011. -160 с.
4. Государственная итоговая аттестация (по новой форме): 9 класс.
Тематические тренировочные задания. Алгебра/ ФИПИ автор составитель: Л.В. Кузнецова – М.: Эксмо, 2010.
5. Методические
рекомендации
для
экспертов
территориальных
предметных комиссий по проверке выполнения заданий с развернутым
ответом
экзаменационных
работ
выпускников
IX
классов
общеобразовательных учреждений //Кузнецова Л.В., Суворова С.Б.,
Рослова Л.О./М.: ФИПИ, 2010.
6. ГИА. Математика. Государственная итоговая аттестация (в новой
форме). 9 класс. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий/
Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. — М.: Издательство «Экзамен».2011.
7. Государственная итоговая аттестация. 9 класс. Математика.
Тематические тестовые задания/ Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. — М.:
Издательство «Экзамен», 2011.
8. Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Математика:
сборник заданий/ Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. — М.: Издательство
«Экзамен», 2010.
9. Глазков Ю.А. Тесты по алгебре: 9 класс: к учебнику Ю.Н. Макарачева и
др. «Алгебра. 9 класс»/ — М.: Издательство «Экзамен», 2011.
10. Тесты по алгебре: 9 класс: к учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра. 9
класс»/ Е.М. Ключникова , И.В. Комиссарова. – М.: Издательство
«Экзамен», 2010.
1.
20
11. ГИА. Алгебра. Тематическая рабочая тетрадь для подготовки к экзамену
(в новой форме). 9 класс/ И.В. Ященко, А.В.Семенов, П.И. Захаров. – М:
МЦНМО, Издательство «Экзамен», 2010.
12. Алгебра. Тематический контроль (в новой форме): 9 класс: к учебнику
«Алгебра»: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений/ под
ред. С.А. Теляковского/ Ю.П.Дудницын, В.Л. Кронгауз. – М:
Издательство «Экзамен», 2009.
13. ГИА. Алгебра. 9 класс. Государственная итоговая аттестация (в новой
форме). Типовые тестовые задания / В.В. Мирошин. — М.: Издательство
«Экзамен», 2010 — 78 с., (Серия «ГИА. 9 класс. Типовые тестовые
задания»);
14. ГИА. Математика. 9 класс. Государственная итоговая аттестация (в
новой форме). Типовые тестовые задания / С.С. Минаева, Т.В.
Колесникова. — М.: Издательство «Экзамен», 2010 — 62 с., (Серия
«ГИА. 9 кл. Типовые тестовые задания»);
15. Алгебра. Тематические тренировочные задания. 9 класс / С.С. Минаева,
Л.О. Рослова. — М.: Издательство «Экзамен»,2011 — 141 с;
16. Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Математика:
сборник заданий / Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. — М.: Издательство
«Экзамен», 2012. — 158 с, (Серия «ГИА. Сборник заданий»).
17. ГИА-2010: Экзамен в новой форме: Геометрия: 9-й кл.: Тренировочные
варианты экзаменационных работ для проведения государственной
итоговой аттестации в новой форме/ Г.К. Безрукова, Н.Б. Мельникова,
Н.В. Шмелёва. – М.: АСТ: Астрель, 2010 -62 [2] с.
18. Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра, 7–9 кл.: Элементы статистики и
вероятность. — М.: Просвещение, 2003.
19. Бунимович Е. А., Булычев В. А. Вероятность и статистика, 5–9 кл. — М.:
Дрофа, 2002.
20. Бунимович Е. А. Вероятностно-статистическая линия в базовом
школьном курсе математики. — Математика в школе, N 4, 2002.
21. Мордкович А. Г., Семенов П. В. События. Вероятность. Статистика:
Дополнительные материалы к курсу алгебры для 7–9 кл. — М.:
Мнемозина, 2002.
21
Список рекомендуемых сайтов
http://edu.seun.ru – портал министерства образования Саратовской области.
http://www.prosv.ru - сайт издательства «Просвещение» (рубрика «Математика»)
http:/www.drofa.ru - сайт издательства Дрофа (рубрика «Математика»)
http://www.center.fio.ru/som - методические рекомендации учителю-предметнику
(представлены все школьные предметы). Материалы для самостоятельной
разработки профильных проб и активизации процесса обучения в старшей
школе.
http://www.edu.ru
Центральный образовательный портал, содержит
нормативные документы Министерства образования и науки РФ, стандарты,
информацию о проведении экзамена.
http://www.internet-scool.ru - сайт Интернет – школы издательства Просвещение.
Учебный план школы разработан на основе федерального базисного учебного
плана для общеобразовательных учреждений РФ и представляет область
знаний «Математика». На сайте представлены интернет-уроки по алгебре и
началам анализа и геометрии.
http://www.intellectcentre.ru – сайт издательства «Интеллект-Центр». На этом сайте
можно найти учебно-тренировочные материалы, демонстрационные версии
экзаменационных работ, банк
тренировочных заданий с ответами,
методические рекомендации для учителей и образцы решений заданий.
http://www.fipi.ru - портал Федерального государственного научного учреждения
«Федеральный институт педагогических измерений» осуществляет
информационную поддержку ЕГЭ и государственной (итоговой) аттестации
за курс основной школы.
http://www.mioo.ru/ogl.php
- портал Московского института открытого
образования и телекоммуникационной системы «СтатГрад»
http://www.mccme.ru
–
портал
Московского
центра
непрерывного
математического образования,
http:/alexlarin.net – сайт информационной поддержки студентов и абитуриентов
при подготовке к ЕГЭ и ГИА по математике, содержит многочисленные
тренировочные работы, демонстрационные варианты, генераторы заданий
ГИА и ЕГЭ
http://ege.yandex.ru/mathematics-gia/- сервис системы «Яндекс» (он-лайн
тестирование по математике для подготовки к экзамену).
22