Логические основы ЭВМ

Логические основы
Алгебра логики
Основным математическим аппаратом, используемым при
анализе и синтезе дискретных элементов и устройств является
алгебра логики (булева алгебра). В алгебре логики широко
используется понятие «высказывание», о котором можно сказать,
что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно.
Любое высказывание можно обозначить символом Х и считать,
что Х=1,если высказывание истинно, а Х=0, если высказывание
ложно.
Английский математик Джордж Буль (1815-1864 ) в начале XIX
века создал логическую алгебру, в которой высказывания
обозначены буквами.
Алгебра логики
Алгебра логики  раздел математики, изучающий высказывания,
рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или
ложности) и логических операций над ними.
Логическое высказывание  это любое повествовательное
предложение, в отношении которого можно однозначно сказать,
истинно оно или ложно.
Высказывательная форма  это повествовательное предложение,
которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и
становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими
значениями.
Пример: «в городе А более миллиона жителей», « у него голубые глаза»
Алгебра логики
Употребляемы в обычной речи слова и словосочетания «не», «и»,
«или», «если …то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из
уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова
и словосочетания называются логическими связками.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью
логических связок, называются составными. Высказывания, не
являющиеся составными, называются элементарными.
Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с точки
зрения  является ли оно истинным или ложным.
Таблица истинности  это таблица, описывающая логическую
функцию. Количество входных наборов зависит от количества входных
переменных, и выражается по формуле Q=2N , где N  кол-во
переменных.
Инверсия
(от лат. inversion – переворачиваю)
Название
Логическое отрицание
Соответствует союзу
Не А
Обозначается знаками
А
Ā
Таблица истинности
А
Ā
0
1
1
0
Если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет
ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат
отрицания будет истинным. Данная операция означает, что к исходному
логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО,
ЧТО.
Конъюнкция
(от лат. conjunction – связываю)
Название
Логическое умножение
Соответствует союзу
АиВ
Обозначается
знаками
А В
АВ
Таблица истинности
А
В
АВ
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Новое сложное выражение будет истинным только тогда, когда
истинны оба исходных простых выражения. Конъюнкция определяет
соединение двух логических выражений с помощью союза И.
Дизъюнкция
(от лат. disjunction – различаю)
Название
Логическое сложение
Соответствует союзу
А или В
Обозначается знаком
АВ
Таблица истинности
А
В
АВ
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Новое сложное выражение будет истинным тогда и только тогда,
когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений.
Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений с
помощью союза ИЛИ.
Импликация
(от лат. implication – тесно связывать)
Название
Логическое следование
Соответствует союзу
Если А, то В
Когда А, тогда В
Обозначается знаком
АВ
Таблица истинности
А
В
АВ
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Связывает два простых логических выражения, из которых первое
является условием (А), а второе (В) – следствием из этого условия.
Результатом импликации является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А
истинно, а следствие В ложно. Обозначается символом
«следовательно» и выражается словами ЕСЛИ … , ТО …
Эквивалентность
(от лат equivalents  равноценность)
Название
Логическое равенство
Соответствует союзу
А тогда и только тогда,
когда В
Обозначается знаком
АВ
А
0
В
0
АВ
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Таблица истинности
Определяет результат сравнения двух простых логических
выражений А и В. Результатом эквивалентности является новое
логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда,
когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны.
Приоритет
выполнения логических операций
1. Инверсия  самая сильная логическая связка, выполняется в
первую очередь;
2. Конъюнкция;
3. Дизъюнкция;
4. Импликация и эквивалентность имеют равный приоритет, они
выполнятся в порядке следования в логическом выражении.
Для изменения указанного порядка выполнения логических
операций используются круглые скобки.
Сложные высказывания можно записывать в виде формул. Для
этого простые логические высказывания нужно обозначить как
логические переменные буквами и связать их с помощью знаков
логических операций. Такие формулы называются логическими
выражениями. Например: (A  B) & (A  B)
Логические законы
и правила
Равносильности формул логики высказываний часто называют
законами логики. Законы логики отражают наиболее важные
закономерности логического мышления:
АА
АВ  ВА
А В  В А
закон двойного отрицания
(А  В)  С  А  (В  С)
(А  В)  С  А  (В  С)
А  (В  С)  (А  В)  ( А  С)
А  (В  С)  (А  В)  ( А  С)
ассоциативность конъюнкции
АА  А
АА  А
коммуникативность конъюнкции
коммуникативность дизъюнкции
ассоциативность дизъюнкции
закон дистрибутивности
закон дистрибутивности
закон идемпотентности
закон идемпотентности
Логические законы
и правила
Аи  и
А л  А
АА  А
Ал  л
АА и
АА  л
АВ АВ
закон де Моргана
закон де Моргана
АВ АВ
А В  АВ
А  В  (А  В)  (В  А)
закон поглощения
А  (А  В)  А
закон поглощения
А  (А  В)  А
Логические элементы
Логические элементы — это электронные устройства,
которые преобразуют проходящие через них двоичные
электрические сигналы по определенному закону.
Логические элементы имеют один или несколько входов, на
которые подаются электрические сигналы, обозначаемые
условно 0, если отсутствует электрический сигнал, и 1, если
имеется электрический сигнал.
Также логические элементы имеют один выход, с которого
снимается преобразованный электрический сигнал.
Было доказано, что все электронные схемы компьютера
могут быть реализованы с помощью трёх базовых логических
элементов И, ИЛИ, НЕ.
Логический элемент НЕ
(инвентор)
Простейшим логическим элементом является инвертор,
выполняющий функцию отрицания (инверсию). У этого элемента
один вход и один выход. На функциональных схемах он
обозначается:
A
Ā
Если на вход поступает сигнал, соответствующий 1, то на выходе
будет 0. И наоборот.
Логический элемент И
(конъюнктор)
Логический элемент, выполняющий логическое умножение,
называется конъюнктор. Он имеет, как минимум, два входа. На
функциональных схемах он обозначается:
A
B
&
AB
На выходе этого элемента будет сигнал 1 только в том случае, когда
на все входы поступает сигнал 1. Когда хотя бы на одном входе будет
ноль, на выходе также будет ноль.
Логический элемент ИЛИ
(дизъюнктор)
Логический элемент, выполняющий логическое сложение,
называется дизъюнктор. Он имеет, как минимум, два входа. На
функциональных схемах он обозначается:
A
B
1
AB
Если хотя бы на один вход поступает сигнал 1, то на выходе будет
сигнал 1.
Логический элемент
И-НЕ
Логический элемент И-НЕ выполняет логическую функцию
штрих Шеффера (И-НЕ), он имеет, как минимум, два входа. На
функциональных схемах он обозначается:
A
B
&
(A  B)
Логический элемент
ИЛИ-НЕ
Логический элемент ИЛИ-НЕ выполняет логическую функцию
стрелка Пирса (И-НЕ), он имеет, как минимум, два входа. На
функциональных схемах он обозначается:
A
B
1
(A  B)
Последние два логических элемента играют роль базовых при
создании более сложных элементов и схем.
Функциональные схемы
Функциональная (логическая) схема – это схема, состоящая из
логических элементов, которая выполняет определённую функцию.
Анализируя функциональную схему, можно понять, как работает
логическое устройство, т.е. дать ответ на вопрос: какую функцию
она выполняет.
Важной формой описания функциональных схем является
структурная формула.
Пример:
A
&
В
C
Элемент «&» осуществляет логическое умножение значений Ā и В.
Над результатом в элементе «НЕ» осуществляется операция
отрицания, т.о. структурной формулой данной функциональной
схемы является формула: C  A & B
Функциональные схемы
Таблица истинности функциональной схемы  это табличное
представление логической (функциональной) схемы в котором
перечислены все возможные сочетания значений входных
сигналов вместе со значением выходного сигнала для каждого из
этих сочетаний.
Пример составления таблицы истинности для данной схемы:
A
C
&
В
А
В
Ā
ĀВ
С
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
Логическая реализация
типовых устройств ЭВМ
Обработка любой информации на компьютере сводится к
выполнению процессором различных арифметических и логических
операций. Для этого в состав процессора входит так называемое
арифметико-логическое устройство (АЛУ). Оно состоит из ряда
устройств, построенных на рассмотренных выше логических
элементах. Важнейшими из таких устройств являются триггеры,
полусумматоры, сумматоры, шифраторы, дешифраторы,
счетчики, регистры.
Регистр  это устройство, предназначенное для хранения
многоразрядного двоичного числового кода, которым можно
представлять и адрес, и команду, и данные.
Сумматор  это электронная логическая схема, выполняющая
суммирование двоичных чисел поразрядным сложением. Сумматор
является центральным узлом АЛУ процессора.
Логическая реализация
типовых устройств ЭВМ
Полусумматор  логическая схема, имеющая два входа и два выхода
(двухразрядный сумматор, бинарный сумматор). Полусумматор
используется для построения двоичных сумматоров.
Триггер  электронная схема, применяемая для хранения значения
одноразрядного двоичного кода.
Счетчики  схемы, способные считать поступающие на вход
импульсы.
Шифратор (кодер)  это логическое устройство, которое преобразует
единичный сигнал на одном из входов в n-разрядный двоичный код.
Дешифратор (декодер)  это логическое устройство, преобразующее
двоичный код, поступающий на его входы, в сигнал только на одном
из его выходов.
Блок контроля
1. Пример:
Составить таблицу истинности для формулы:
Переменные
x&y x y x
Промежуточные логические формулы
х
у
x
x&y
0
0
1
0
xy
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
Результат
xy x&y x y x&y x y x
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
Блок контроля
2. Составить таблицу истинности для формулы: x  y & (x & y)
x
y
0
0
0
1
1
0
1
1
F
3. Составить таблицу истинности для формулы: x  y  x & z
x
y
0
0
0
1
1
0
1
1
F
Блок контроля
4. Составить таблицу истинности
x
y
для формулы: F  x  y & (x & y)
0
0
0
1
1
0
1
1
5. Составить таблицу истинности
для формулы: F  x  y  x & z
F
x
y
z
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
F
Блок контроля
6. Построить таблицу истинности для данной логической схемы и
записать её формулу:
A
1
В
F
&
&
С
7. Приведенный на рисунке логический элемент
0
1
?
0
реализует логическую операцию…
1.
2.
3.
4.
Отрицание;
Конъюнкцию;
Дизъюнкцию;
Импликацию;