Т.А.Орехова, заместитель директора по УВР, учитель математики
advertisement
Заместитель директора по УВР, учитель математики Т.А. Орехова Размышляя над ошибками учащихся Необходимость изменений в сфере образования уже никто не оспаривает. Вместе с тем, нельзя категорично отрицать преимущества, имеющие место в Российской системе образования, которая обеспечила нашей стране достаточно высокий интеллектуальный, научный и технический потенциал, позволила России занять достойное место в сфере высоких технологий. Конечно, не все так гладко, но надо иметь в виду, что те недостатки, которые мы имеем сегодня в образовании – это непосредственное отражение проблем самого общества. Решение же этих проблем государством естественным образом затрагивает и сферу образования, что и выражается в его реформировании. Именно на наши учительские плечи падает этот нелегкий труд по внедрению требований ФГОС в систему школьного образования. Хотелось бы, чтобы этот процесс проходил без «революционного энтузиазма», а такие тенденции имеют место быть. Казалось, еще вчера все было просто и понятно. Учитель имел четкое представление, чему и как учить. Сегодня на смену привычным для нас знаниям, умениям и навыкам пришли универсальные учебные действия, так называемые УУД. Планируя урок сегодня, учителю предстоит определить не только предметные, но и метапредметные, и личностные результаты учащихся, продумать, как и какие УУД (регулятивные, информационные, познавательные коммуникативные) он будет формировать на уроке. Порой, в этой «массовой гонке за УУД», ценность самого учебного предмета теряется, уходит на второй план. Вместе с тем, трудно переоценить значение УУД. Современное общество предъявляет молодому специалисту достаточно высокие требования. В постоянно нарастающем информационном потоке необходимо уметь быстро отобрать нужную информацию, суметь ее проанализировать, переработать, преобразовать в требуемый формат. Развитие и применение современных технологий в научной и технической деятельности требует интеграции различных областей знаний, для достижения результата необходимы усилия целого коллектива, поэтому от современного специалиста требуется умение работать в команде. Современный человек не сможет преуспеть сегодня, если не умеет ставить цели, планировать и организовывать свою деятельность по достижению этих целей, критически и конструктивно оценивать полученный результат. Если же наши ученики овладеют в некоторой степени такими умениями, то будут более успешно продвигаться в освоении предметных знаний и умений, и процесс обучения будет более результативен. Желательно, чтобы каждый педагог, глубоко осмыслив новые требования, органично включал в урок работу по формированию УУД, используя потенциальные возможности конкретного учебного предмета. Уже не один раз на лекциях по ФГОС слышала фразу: «Ваша математика никому не нужна, я могу вымыть окно и сделать уборку в квартире без ваших логарифмов». На самом деле, это абсурдно. Нельзя недооценивать мощную развивающую роль математики. Думаю, образовательная стратегия учителя должна строиться на основе фундаментального характера предметных знаний и умений. Профессиональный педагог сумеет определить разумность, своевременность и последовательность формирования УУД, понимая их важность для образовательного процесса и для дальнейшей деятельности выпускника. Предметные знания и 1 умения могут служить достойным материалом для успешного формирования различных универсальных учебных действий. Органично вплетаясь в образовательный процесс, освоение УУД поможет учащимся в достижении личностных, предметных и метапредметных результатов. Учитель же получит возможность привести результаты своего труда в соответствие с требованиями ФГОС. На вопрос, чему сегодня я должна учить моих учеников, отвечаю однозначно: математике. На вопрос: «Как?», - однозначного ответа нет. Чтобы ответить на него учитель должен в корне пересмотреть свою профессиональную деятельность, организацию своего труда, проанализировать потенциал своих профессиональных и интеллектуальных возможностей, систему имеющихся в его арсенале технологий. Эффективность учительского труда определяется многими аспектами. Не берусь в рамках этой статьи рассмотреть столь сложный и многогранный вопрос. Остановлюсь только на одном аспекте деятельности учителя – аналитической. В своей трудовой практике учитель постоянно анализирует результаты урока, качество усвоения той или иной единицы программного материала учениками, уровень остаточных знаний и умений, отслеживает изменение уровня обученности и успеваемости класса, отдельного ученика. Результаты урока могут быть отслежены посредством самоанализа по любой из известных учителю схем, в форме творческих отчетов групп, работавших непосредственно на уроке, посредством проверки домашнего задания, проведения теста, с помощью фронтальной работы в начале следующего урока. Качественным показателем усвоения конкретного материала (изученного на уроке, за определенный период, по пройденной теме и т.п.) могут быть результаты проведения теста, проверочной, самостоятельной работы. Журнал, тетради учащихся, их творческие и проектные работы, итоги участия в различных конкурсах и олимпиадах дают возможность учителю отследить изменение уровня обученности и успеваемости класса, а также каждого ученика отдельно. Все это, несомненно, важно. Однако, часто из нашего поля зрения ускользает анализ ошибок, допущенных учениками. Сосчитали пятерки, четверки, тройки, двойки, вычислили процентные показатели, основные ошибки нам примерно понятны, и на этом мы останавливаемся. А почему бы не посмотреть на тенденции в допускаемых ошибках, на причины их повторения нашими учениками, на взаимосвязь ошибок между собой? Как часто, работая над формированием определенного навыка, мы сталкиваемся с тем, что ученики, не смотря на все наши усилия, продолжают делать одни и те же ошибки. Как же так? Удивляемся мы. Ведь практически на каждом уроке мы повторяем и разбираем соответствующий материал, а ошибок не становится меньше. Скорее наоборот, все новые и новые ошибки попадают в разряд «любимых». Здесь учителю недостаточно просто выявить конкретные ошибки, важнее понять, почему они допускаются учениками. Именно выявление проблемы, которая влечет за собой ту или иную ошибку, позволит учителю спланировать работу по борьбе с этой ошибкой. Например, пятиклассники допускают достаточно много вычислительных ошибок. Как велик соблазн просто зачеркнуть неверный ответ и списать все ошибки на незнание таблицы умножения учениками, на неумение складывать и вычитать двузначные числа. Несомненно, эти пробелы имеют место, но хотелось бы, чтобы учитель более внимательно изучал причины ошибок. Если приглядеться более внимательно, то можно заметить, что школьники допускают также ошибки непосредственно на применение алгоритмов действий с натуральными числами. Например, при умножении чисел в столбик забывают сдвинуть на одну цифру влево очередное произведение, особенно при умножении на число с нулем в середине, много ошибок при делении 2 с нулем в середине, а также при делении числа, оканчивающего нулями, когда на конце частного получаются нули. Затем добавляются ошибки на постановку запятой при выполнении различных действий с десятичными дробями. Можно сколько угодно тренировать детей на выполнение данных алгоритмов, но некоторые ученики через какое-то время вновь и вновь повторяют эти ошибки. Это связано с тем, что отдельные учащиеся очень плохо представляют структуру нашей системы счисления. То, что наша система счисления является десятичной и позиционной, им ни о чем не говорит. Эти сведения они восприняли формально и никаким образом не применяют их при проведении вычислительной работы. Именно поэтому учителю очень важно выделить на уроке время для более детального знакомства со структурой десятичной позиционной системы счисления, а также провести ее сравнение с другими системами счисления, не десятичными и не позиционными. Особое внимание необходимо уделить записи натуральных чисел, а затем и чисел, записанных в формате десятичных дробей, в виде суммы разрядных слагаемых. Очень полезно выполнять действия с числами, записанными в виде суммы разрядных слагаемых. Ошибки на нарушение алгоритмов действий, необходимо отрабатывать и с точки зрения позиционности десятичной системы счисления. Например, при умножении с нулем в середине учеником допущена ошибка, он не сдвинул второе произведение еще на один разряд влево. х 348 403 1044 1392_ 14964 Ребенок явно не понимает, а, скорее, не задумывается, что во второй строке умножает на четыре сотни и результат получит в сотнях, поэтому подписывать число надо начинать под разрядом сотен, а не десятков: х 348 403 1044 1392__ 140244 Именно, исходя из этих соображений, должны строиться объяснения учителя. Надо отучать детей действовать формально, для этого и сам учитель не должен формально относиться к ошибкам учащихся. Внимательно изучая причины ученических ошибок, я заметила, как часто их природа связана с распределительным законом умножения относительно сложения. Школьная программа уделяет на его изучение относительно немного времени. Однако умение его применить значительно упрощает вычислительную работу ученика. Ученик, не владеющий им свободно, часто допускает ошибки в приведении подобных слагаемых, в разложении на множители выражения, при раскрытии скобок со знаком минус перед ними. Все это очень усложняет освоение алгебраических преобразований выражения и, в дальнейшем, вызывает массу затруднений при решении уравнений и неравенств. Где же взять время на практическое освоение распределительного закона? Конечно, включать упражнения на его применение в устную работу на уроке. А самое главное, постоянно использовать его, да и другие свойства действий, для рационализации вычислений. Посчитали пример в столбик – спросите: «Кто может выполнить вычисления проще?». Или же учитель может сказать: «Смотрите, я уже давно сосчитала и жду вас. Сейчас покажу, как я это сделала». Детям нравится считать быстро, еще больше им понравится, 3 если рутинная вычислительная работа превратится в творческий процесс. Если вам удастся «заразить» учащихся творческим подходом к выбору приемов рационального счета, то скоро вы заметите, как дети сами начнут пытаться применять разные свойства для упрощения и ускорения вычислений. Приведу несколько простейших примеров, которые можно встретить в школьных учебниках или в дидактических материалах. Ученики начнут в этих случаях считать в столбик, в принципе, именно этого от них и требуют. Объясните им, как можно сосчитать устно: Не пропускайте ни одного примера, ни одной возможности показать своим ученикам красивый прием счета, способ решения задачи, учите их смотреть и при этом видеть, слушать и при этом слышать. Пусть привыкают отыскивать, замечать и запоминать все интересное. Еще одной из острых проблем для учащихся является сокращение дробей. Это умение изучается в программе шестого класса, после прохождения делимости чисел и алгоритмов нахождения НОД и НОК двух и более чисел. Как правило, школьники плохо понимают, на что можно сократить дробь и как это сделать. Некоторые почему-то считают, что они должны что-то перечеркнуть в числителе и знаменателе и, обязательно, крест на крест, большинство же ошибок заключается в том, что ученики сокращают дробь на множитель одного из слагаемых числителя или знаменателя. Это говорит о том, что правила и алгоритмы действий были заучены учащимися формально. Времени на отработку вышеуказанных умений программой предусмотрено мало и, как правило, учителю остается надеяться, что в процессе дальнейшей работы, эти навыки постепенно отшлифуются. К сожалению, формальное усвоение материала никогда не позволит свершиться этому чуду. Выход из создавшейся ситуации я вижу в серьезной пропедевтической работе, и начинать ее надо в пятом классе. Изучая деление и его свойства необходимо отработать с учащимися определение действия деления, а именно понимание того факта, что число делится только на свой множитель и в результате деления получается второй множитель. Например, 12 делится на 3 и при этом получается 4, так как ; 12 делится на 6, так как ,и потому при делении двенадцати на 6 получается 2. Двенадцать не делится на 5, так как нет такого натурального числа, которое будучи умножено на 5 даст нам 12. Нам это может казаться элементарным, а детям именно это и трудно понять. Само определение выучили наизусть, а как и для чего применить не понимают. Уже в пятом классе школьники должны уметь представить число в виде произведения множителей различными способами, определить все делители числа. На этом этапе необходимо отработать ошибки типа: , вместо . Кстати, очень частая ошибка. Особое внимание надо уделить свойству деления: если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то частное не изменится. После того, как дети научатся записывать деление с помощью дробной черты, полезно еще раз поработать с этим свойством, показать ученикам, как при его применении упрощается дробь. Можно сказать, что такое упрощение и называется сокращением дроби. В пятом классе для отыскания общего множителя 4 числителя и знаменателя полезно числитель и знаменатель раскладывать на множители и делать это постоянно, каждый раз показывая, какие общие делители «прячутся» в разложении на множители числителя и знаменателя. Какой общий делитель вы видите у числителя и знаменателя дроби? На какое число можно разделить и числитель и знаменатель? Правильно, на 7, давайте посмотрим, где же семерка от нас прячется? В шестом классе, при прохождении темы «Делимость чисел», а также при прохождении основного свойства дроби и сокращения дробей остается вспомнить этот материал и использовать в работе. Чтобы проверить качество усвоения материала учащимися, учителю достаточно провести проверочную работу. Ее можно выбрать уже в готовом виде из соответствующего сборника дидактических материалов, скомбинировать из разных работ, составить самому. Выбирая или составляя ту или иную работу, учитель должен четко представлять с какой целью он ее проводит, на каком этапе прохождения темы, какой материал, какие умения и навыки будут проверяться посредством данной работы. Заранее должны быть продуманы критерии оценивания и, конечно же, параметры анализа результатов работы, те ошибки, на которые будет обращено особое внимание. В заключение приведу примеры самостоятельной работы, составленной в форме теста, по теме «Простые и составные числа. Разложение на простые множители», а также контрольной работы по теме «Делимость чисел». Кстати, в контрольной работе шестое задание предусматривает два подхода: в одном случае дети не знакомы с сокращением дробей, в другом случае они уже в пятом классе познакомились с этой темой. В соответствии с этим в работе приведены две трактовки этого задания. Самостоятельная работа. 6 класс «Простые и составные числа. Разложение на простые множители» Цель работы: Проверить уровень усвоения учащимися понятий делителя и кратного, простого и составного числа, как учащиеся понимают, что значит разложить число на простые множители. На сколько прочно они освоили непосредственно алгоритм разложения числа на простые множители, уверенно ли применяют признаки делимости, делят число на его множитель. В какой мере учащиеся готовы изучать понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Задание А1 позволяет проверить усвоение учащимися понятия разложения числа на простые множители; Задание А2 позволяет проверить усвоение учащимися понятий простого и составного числа; Задание В1 проверяет умение учащихся находить делители числа, выстраивать их в определенном порядке, выделять простые делители; 5 В задании В2 проверяется усвоение алгоритма разложения натурального числа на простые множители; С помощью задания С1 проверяется понимание учащимися того, что число делится только на один из своих множителей. В результате деления числа на его множитель получается второй множитель; Задание С2 проверяет усвоение учащимися действий с десятичными дробями, усвоение понятия четного числа, признаков делимости. Критерии оценивания выполнения работы учениками: Каждое задание А оценивается одним баллом, каждое задание В – двумя, каждое задание С – тремя баллами. Всего учащийся может набрать 12 баллов. За 5 – 6 баллов ставится отметка «3», за 7 – 9 баллов ставится отметка «4», за 10 – 12 баллов ставится отметка «5» I вариант А1. Разложите число 84 на простые множители: 1. 2. 3. 4. А2. Выберите верное высказывание: 1. 2. 3. 4. Произведение двух простых чисел является простым числом, Единица является наименьшим простым числом, Все четные числа составные, Произведение двух простых чисел составное число. В1. Запишите все делители числа 52 в порядке возрастания. Подчеркните те из них, которые являются простыми числами. В2. Разложите на простые множители число: 312 С1. Найдите частное от деления числа а на число b, если: а) , b) , b = 980. ; С2. Найдите значение выражения: . Проанализируйте результат и ответьте на вопросы: 6 а) четное ли это число? б) кратно ли оно 3? в) делится ли оно на 10? II вариант А1. Разложите число 350 на простые множители: 5. 6. 7. 8. А2. Выберите верное высказывание: 5. 6. 7. 8. Сумма двух нечетных чисел является простым числом, Единица является наименьшим составным числом, Два является наименьшим простым числом, Квадрат простого числа является простым числом. В1. Запишите все делители числа 44 в порядке возрастания. Подчеркните те из них, которые являются простыми числами. В2. Разложите на простые множители число: 392 С1. Найдите частное от деления числа а на число b, если: а) b) , ; , b = 390. С2. Найдите значение выражения: . Проанализируйте результат и ответьте на вопросы: а) четное ли это число? б) кратно ли оно 9? в) делится ли оно на 10? 7 Анализ работы: Количественный анализ можно оформить в виде следующей таблицы: Писали работу Кол-во по списку Класс Получили оценку «5» «4» «3» Кач-во знаний (%) Успеваемость (%) Средний балл «2» 6а 6б 6в 6г Качественный анализ позволяет выявить конкретные проблемы в усвоении тех или иных понятий, алгоритмов, формул и т.п. в целом и в каждом отдельно взятом классе: Класс: А1 А2 В1 В2 С1 С2 6а 6б 6в 6г А Не различают понятия разложение на множители и разложение на простые множители Не усвоили понятия простого и составного числа, и способ проверки будет ли число составным В Допустили ошибки в нахождении делителей числа Путают простые и составные числа Ошибки в применении алгоритма разложения числа на простые множители Ошибки в записи разложения числа на простые множители С Не использовали определение действия деления. Перемножали простые множители и после этого выполняли деление уголком Допустили ошибки на действия с десятичными дробями Допустили ошибки на знание признаков делимости Другие ошибки (заполняется после проверки работ): Контрольная работа №1 Тема: Делимость чисел Цель работы: Проверить уровень усвоения учащимися данной темы и готовность к изучению следующей: умение находить НОД и НОК, осознанные навыки нахождения делителей числа, 8 умение представить число в виде произведения различных множителей, в том числе простых. Данные навыки являются актуальными при выполнении различных действий с обыкновенными дробями, а в дальнейшем при работе с алгебраическими дробями. Работа предусматривает возможность логичного перехода к изучению следующей темы: основного свойства дроби и сокращения дробей. Разбор ошибок, ответы на вопросы, подведение итогов данной работы с учащимися могут стать своеобразным «мостиком к новым знаниям». Первое задание проверяет умение ученика представить число в виде произведения, с помощью полученных разложений определить делители данного числа; Во втором задании проверяется освоение учащимися алгоритмов нахождения НОД и НОК. Им представится возможность продемонстрировать умение находить НОД и НОК взаимно простых чисел и чисел, из которых одно делится на другое; Задание №3 проверяет знание признаков делимости; Задание № 4 проверяет, знают ли ученики свойства действия деления, позволяющие решать различные задачи на делимость чисел; В задании №5 проверяется, насколько глубоко ученик понимает определение действия деления, того факта, что число делится только на свой множитель. Также, насколько свободно он применяет распределительный закон умножения, в данном случае для разложения выражения на множители. Шестое задание является дополнительным и проверяет готовность учащегося применить полученные знания в новой для него ситуации. Причем, если учитель с целью пропедевтики уже работал с понятием сокращения дробей, и дети уже получили возможность овладеть таким навыком, то можно предлагать это задание в редакции «6*». Если, такой практики не было, то это задание предлагается как «6». Оценка за невыполнение этого задания не снижается, учитель может предложить учащимся подумать над ним дома. При этом на следующем уроке его можно использовать для создания проблемной ситуации при изучении новой темы. Критерии оценивания. Оценка «3» ставится, если ученик в первом задании представил данное число в виде произведения не менее, чем тремя способами, указал не все делители этого числа, расположил их в произвольном порядке, во втором задании нашел НОД и НОК хотя бы для одной пары чисел, третье задание выполнил на 50%. Оценка «4» ставится если ученик в первом задании пропустил одно разложение на множители, потерял 1-2 делителя, во втором задании полностью справился с нахождением НОД И НОК для двух пар чисел, в третьем задании допустил 1-2 ошибки. Оценка «5» ставится, если ученик полностью и верно выполнил 1,2 и 3 задания. За выполнение 4, 5, 6 заданий ставится отдельная поощрительная оценка на усмотрение учителя. На самом деле, каждое из этих заданий заслуживает, чтобы его отметили. «Делимость чисел» I вариант 1. Представьте число 60 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами. Разложения, отличающиеся только порядком II вариант 1. Представьте число 90 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами. Разложения, отличающиеся только порядком 9 следования множителей, не записывать дважды. Запишите все делители числа 60 в порядке возрастания. 2. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел: а) 12 и 18; б) 13 и 39; в) 11и 24 3. Из чисел 325, 729, 256, 428, 720, 1233 выберите числа, кратные: а) 2, б) 3, в) 5, г) 9, д) 10 4. а) Делится ли сумма 324 + 891 на 9; б) Делится ли разность 3210 -1230 на 3 5. Докажите, что выражение делится на 49 6. Найдите наибольший общий делитель чисел 24 и 36. Запишите частное от деления 24:36 в виде дроби. Вспомните свойство действия деления о том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, то частное не изменится. Внимательно изучите пример: 72:24 = (72:6):(24:6) = 12:4 = 3. С другой стороны – 72:24 следования множителей, не записывать дважды. Запишите все делители числа 90 в порядке возрастания. 2. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел: а) 10 и 15; б) 19 и 57; в) 8 и 27 3. Из чисел 415, 963, 128, 624, 420, 1923 выберите числа, кратные: а) 2, б) 3, в) 5, г) 9, д) 10 4. а) Делится ли сумма 3295 + 4890 на 5; б) Делится ли разность 7470 -333 на 9 5. Докажите, что выражение делится на 17 6. Найдите наибольший общий делитель чисел 40 и 64. Запишите частное от деления 40:64 в виде дроби. Вспомните свойство действия деления о том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, то частное не изменится. Внимательно изучите пример: 72:24 = (72:6):(24:6) = 12:4 = 3. С другой стороны – 72:24 = = Попробуйте применить это свойство для упрощения Попробуйте применить это свойство для упрощения дроби дроби . 6*. Найдите наибольший общий делитель чисел 24 и 36. Запишите частное от деления 24:36 в виде дроби. Упростите полученную дробь, сократив ее на наибольший общий делитель. . 6*. Найдите наибольший общий делитель чисел 40 и 64. Запишите частное от деления 40:64 в виде дроби. Упростите полученную дробь, сократив ее на наибольший общий делитель. Анализ работы: Количественный анализ можно оформить в виде следующей таблицы: Писали работу Класс Кол-во по списку Получили оценку «5» «4» «3» Кач-во знаний (%) Успеваемость (%) Средний балл «2» 6а 6б 6в 6г Качественный анализ позволяет выявить конкретные проблемы в усвоении тех или иных понятий, алгоритмов, формул и т.п. в целом и в каждом отдельно взятом классе: 1 Допустили ошибки: Не все разложения на множители представили 6а 6б 6в 6г 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Допустили ошибки в определении делителей (не все делители указали, или указали числа, не являющиеся делителями) Ошибки в нахождении НОД Ошибки в нахождении НОК Ошибки на знание признаков делимости В задании №4 не обосновали свой ответ В задании №4 для обоснования ответа на вопрос о делимости суммы или разности на число не разложили выражение на множители, не выделили данное число как множитель В задании №5 не обосновали свой ответ В задании №5 для обоснования ответа на вопрос о делимости выражения на число не разложили это выражение на множители, не выделили данное число как множитель Правильно выполнили задание №6 Не приступили к заданию №6 Сократили дробь на другой общий делитель, а не на НОД Другие ошибки (заполняется после проверки работ): 11
