Исследование функций

Исследование функций
10 класс
Р.О. Калошина,
ГБОУ лицей №533
План урока
y
• Производная и
экстремумы
• Вторая производная
• Исследование функций
• Выпуклость графика
функции
f’’(x)>0
.
М
f’’(x)<0
О
C
X
Производная и экстремумы
Теорема:
В точке экстремума производная функции
либо равна нулю,
либо не существует.
Теорема:
Если функция непрерывна на отрезке
[a;b], то среди её значений есть
наибольшее и наименьшее.
Правило отыскания наименьшего и
наибольшего значения
непрерывной функции на отрезке
1. Найти производную функции;
2. Приравнять производную 0 и найти корни
3.
4.
5.
6.
этого уравнения;
Найти точки, в которых функция не имеет
производной;
Вычислить значения функции на концах
отрезка;
Вычислить значения функции в точках,
найденных в п. 2 и 3;
Выбрать из них наибольшее и наименьшее.
Сопротивление изгибу
балки прямоугольного
сечения пропорционально
ее ширине х и квадрату ее
высоты у :
Р = kxy2
Какое сечение должна
иметь балка наибольшего
сопротивления изгибу,
вырезанная из
цилиндрического бревна
радиуса R?
ПРИМЕР
R
●
x
y
y  4R  x
2
ПРИМЕР - решение
2
Р = k x y2 = k x (4R2 – x2)
Т.О. надо найти наибольшее
значение функции
P(x) = k x (4R2 – x2)
на отрезке [0;R].
P’(x)=4kR2 – 3kx2; P’(x)=0;
4kR2 – 3kx2=0;
k(4R2 – 3x2)=0;
4R2 = 3x2;
2R
x
3
R
●
y
x
2R
x 
3
[0;R]
ПРИМЕР - решение
Сравним значения функции
P(x) = k x (4R2 – x2)
2R
при х = 0; х = R; x 
3
R
P(0)=0; P (R)=0;
2R
2R 2
y  P( ) 
3
3
Т.о. должно выполняться
условие:
●
x
y
7
 2
x
5
y
Вторая производная
• Пусть функция f(x) имеет
производную f’.
• Эта производная является функцией
от х, и если она дифференцируема, то
её производную наз. второй
производной от f :
Пример:
f’’ = (f’)’
f(x) = x4 + 3x2
f’’(x) = (4x3 + 6x)’ = 12x2 + 6
Исследование функций
Теорема:
• Если f(x) непрерывна на
промежутке и f’(x) >0 на этом
промежутке,
то f(x) – возрастает на этом
промежутке;
• если f’(x) <0, то f(x) – убывает на
этом промежутке.
Исследование функций
Теорема:
Если f(x)
непрерывна в
точке c
и слева от нее
f’(x) >0 ,
а справа от c
f’(x) <0 , то
c – точка
максимума f(x)
Теорема:
Если f(x)
непрерывна в
точке c
и слева от нее
f’(x) <0 ,
а справа от c
f’(x) >0 , то
c – точка
минимума f(x)
Пример:
f(x) = x2 +2x +1
f’(x) = 2x +2
f’(x)<0; 2x +2 < 0
f’(x)>0; 2x +2 > 0
x<-1
x>-1
f’(x)
f(x)
–
+
x
8
fx = x2+2x+1
-1
6
4
Точка -1 является
точкой минимума
2
-10
-5
-1
5
-2
Выпуклость графика функции
Теорема:
Если на отрезке [a;b]
функция f(x) непрерывна
и f’’(x) >0
(соответственно f’’(x) <0),
то график функции f(x) –
обращен на этом отрезке
выпуклостью вниз
(соответственно вверх)
f’’(x)>0
a
b
f’’(x)<0
a
b
Точки перегиба графика
Теорема:
Если функция f(x) имеет
вторую производную в
окрестности точки с, и
f’’(x) меняет знак при
переходе через эту точку,
то М(с; f(c)) – точка
перегиба графика
функции f(x).
y
f’’(x)>0
.
М
f’’(x)<0
О
C
X