реферат ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

IХ городской конкурс реферативно-исследовательских работ
для учащихся 1-8 классов «Интеллектуалы ХХI века»
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ
( Математика. Информатика)
Автор: Кузнецова Анастасия,
3 класс, МАОУ СОШ №67,
Научный руководитель:
Страту Инна Владимировна, учитель
начальных классов высшей категории
Челябинск, 2014
2
Содержание
стр.
Введение
1. Основная часть
Признаки делимости чисел натуральных чисел
2
3
2. Мои исследования
8
2.1. Задание и содержание социологического опроса
8
2.2. Анализ результатов социологического опроса
9
Заключение
9
Библиографический список
11
Приложения
3
Введение
Математика выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного
Аристотель
Одним из важнейших общих свойств предметов является то, что все
предметы можно считать и измерять. Мы отражаем это общее свойство
предметов в понятии числа. Числа нас окружают повсюду, с ними мы можем делать различные действия. Идя по улице, переходя дорогу, разгадывая кроссворд, делая уборку, загадывая загадки – мы применяем неосознанно математические действия с числами. Некоторые из них бывают
сложными и для их осуществления необходимы калькулятор, и даже мощный компьютер. А можно ли не прибегая к помощи умной техники выполнять математические действия, к примеру, деление больших натуральных
чисел?
Для ответа на эти вопросы я попыталась узнать о признаках делимости
натуральных чисел, т.е. правилах, по которым, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое. А как можно использовать эти правила для создания математических загадок я заинтересовалась
после знакомства в январе 2012 года с Николаем Христофоровичем Волковым, который показал мне и моей маме рукопись своей книги «Задачник
ГИБДД», которая была издана через год под названием «Вовкин задачник.
Тема: признаки делимости», и передоложил мне ответить на вопрос: «Хозяин Балды совершил ДТП. Номер его машины из одних четверок составлен, которых не счесть. Свидетельница Кикимора уверяет, что номер
тот делится на восемь. Обманывает Кикимора работников ГИБДД или
правду говорит?».
Я долго думала, права ли Кикимора или нет. Николай Христофорович
дал мне подсказку, что надо знать признаки делимости на 8 и рассказал
мне, что собой представляют признаки делимости и как можно без трудных математических вычислений получать ответы на подобные математи-
4
ческие загадки. Данный математический метод мне понравился. Я решила:
 изучить, какие признаки делимости в математике еще существуют;
 потренироваться применять их к математическим загадкам;
 самой попробовать придумать на основе признаков делимости математические загадки, предложить решить простые математические загадки, сконструированные на основе признаков делимости одноклассникам;
 провести социологический опрос одноклассников с целью узнать их
мнения о признаках делимости.
Объект моего исследования – изучение возможностей использования
признаков делимости в математических загадках.
Предмет исследования – математические загадки на применение признаков делимости.
Цель исследования – найти и систематизировать признаки делимости,
позволяющие создавать и решать математические загадки, не прибегая к
громоздким вычислениям.
Гипотеза: я предполагаю, что использование признаков делимости способствует не только быстрому и рациональному решению математических
загадок без громоздких вычислений, но и созданию таких загадок.
Методы исследования: анализ, синтез, сравнение.
Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и дополнительных занятий. Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к олимпиаде по математике, разработке заданий командам соперников в
интеллектуальных играх.
1. Признаки делимости чисел натуральных чисел
Делимость – одно из основных понятий арифметики и теории чисел,
связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств делимость является отношением, определённым на множестве целых чисел.
5
Признак делимости – алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление.
Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только
в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие
остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится
на это число.
Например: число 29 443 680 100 257 (двадцать девять триллионов четыреста сорок три миллиарда шестьсот восемьдесят миллионов сто тысяч
двести пятьдесят семь) делится на 3, так как сумма всех его чисел делится
на три. 2 + 9 + 4 + 4 + 3 + 6 + 8 + 0 + 1 + 0 + 0 + 2 + 5 + 7 = 51. Теперь находим сумму цифр числа 51 (пятьдесят три): 5 + 1 = 6. А 6 делится на 3 без
остатка.
Делители и кратные
Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.
Простые и составные числа
Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других
натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя. Например, число 11 – простое, т.к. делится на 1 и само на себя. Числа, которые
имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя, называются
составными. Например, число 81 – составное, т.к. имеет более двух делителей: 1; 3; 9; 81. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.
Делимость чисел обладает свойствами:
1. Если а и р – натуральные числа, причем р – простое, то либо а делится
на р, либо а и р взаимно просты. Например: 15 и 11; 15 и 5.
2.Если М – общее кратное а и b, а т – их наименьшее общее кратное, то
М делится на т. Например: 3 и 5. Их кратное 90, наименьшее общее кратное 15, тогда 90 делится на 15.
6
3. Транзитивность: если а делится на b и b делится на с, то и а делится
на с.
Например: 36 делится без остатка на 12, а 12 делится без остатка на 4,
тогда и 36 делится без остатка на 4. Кроме того, нетрудно заметить, что делимость чисел практически никак не связана с их величиной: существуют
маленькие числа, которые делятся на сравнительно большое количество
чисел. Например, 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12. И число 43 имеет только
два делителя: 1, 43.
Признак делимости на 2
Необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра была четной. Например: в числе 2968 последняя цифра 8 – она четная, значит, число делится
на 2.
Признак делимости на 3
Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы
сумма его цифр делилась на 3. Например: число 213 делится на 3, так как
2+1+3=6, а 6 делится на 3 без остатка.
Признаки делимости на 4
Для определения делится ли число на 4, надо проверить делится ли на 4
последние две цифры данного числа. Например: число 1812 делится на 4,
так как 12 делится без остатка на 4. Кроме этого на 4 делятся числа, запись
которых оканчивается двумя нулями. Например: 1500.
Признаки делимости на 5
Число делится на 5 в том, и только в том случае если оно оканчивается
на 5 или на 0. Например: число 2125 делится на пять.
Признаки делимости на 6
Чтобы проверить делимость числа на 6, надо:
1) Число сотен умножить на 2,
2) Полученный результат вычесть из числа стоящего после числа
сотен.
Если полученный результат делится на 6, то и все число делится на 6.
7
Например: число 138 делится на 6, так как выполняется выше описанное
правило. В данном числе умножим число сотен равное 1 на 2 получим 2,
вычтем его из числа стоящего после числа сотен 38-2=36. А 36 делится на
6 без остатка.
Признаки делимости на 7
Чтобы узнать делится ли число на 7, надо:
1. Число, стоящее до десятков умножить на два,
2. К результату прибавить оставшееся число.
3. Проверить делится ли полученный результат на 7, или нет.
Например: число 4690 делится на 7. Используя правило делимости на 7
проверим это утверждение. 46·2=92, 92+90=182, 182:7=26, значит, 4690
делится на 7.
Признаки делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число из трех последних
цифр делится на 8. Например: число 6709112 делится на 8, так как последние цифры – 112 делится на 8 без остатка.
Признаки делимости на 9
Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы
сумма его цифр делилась на 9. Например: число 598455 делится на 9, так
как 5+9+8+4+5+5=36:9=4.
Признаки делимости на 10
Число делится на 10 в том, и только в том случае, если число оканчивается на 0. Например: число33312890 делится на 10 без остатка.
Признаки делимости на 11
Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных
местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11. Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно
должна быть кратной 11. Например: число 100397 делится на 11 без остатка, докажем это. Нумерация идет слева направо.
1+0+9=10
8
0+3+7=10
10-10=0, 0 кратно 11, значит, 100397 делится на 11.
Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:
Испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в
каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то
испытуемое число кратно 11. Например: число 15235 делится на 11 без
остатка, докажем это. Разбиваем на группы
1 52 35 и складываем их:
1+52+35=88.
88 делится на 11, значит, 15235 делится на 11.
Признаки делимости на 12
Проверьте делимость интересующего нас числа на 3 и 4. Число делится
на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4.
Например: число 12653400 делится на 3 и 4, а значит и на 12. Установим
этот факт, используя признаки делимости на 3 и 4. 1+2+6+5+3+4+0+0=21,
2+1=3, а 3 делится на 3. 00 делится на 4.
Признаки делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания
последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры
делится на 13. Например: число 858 делится на 13, так как 85  9  8  13 , 13
делится на 13 без остатка.
Признаки делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
Например: число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.
Установим этот факт, используя признаки делимости на 2 и на 7. Данное
число четное значит, оно делится на 2. Число, стоящее до десятков умножим на два: 456·2=912 и прибавим к результату оставшееся число
912+12=924, полученный результат поделим на семь 924:7=132.
Признаки делимости на 15
9
Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы
оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой
и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3. Например: число 1146795 делится на 5, так как оно заканчивается на 5, а сума его цифр равна
1+1+4+6+7+9+5=33, значит, число кратно 3.
Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков,
сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17. Например:
29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34.
Поскольку
34 делится на 17, то и 29053 делится на 17. Признак не всегда удобен, но
имеет определенное значение в математике. Есть способ немного проще –
число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его
десятков
и
упятерённым
числом
единиц
кратна
17.
Например:
32952→3295–10=3285→328–25=303→30–15=15; поскольку 15 не делится
на 17, то и 32952 не делится на 17.
Признаки делимости на 19
Число делится на 19 без остатка тогда, когда сумма последней цифры
умноженной на 2 и числа, оставшегося без последней цифры, делится на
19. Например: требуется определить, делится ли на 19 число 1026. Применим правило 2·6+102=114, 2·4 +11=19, а 19 делится на 19 без остатка.
Числа кратные 19 всегда делятся на 19. Например: 19, 38, 57, 76, 95, 114,
133, 152, 171, 190, 209, 228. Применим последовательно признак делимости. Число десятков в признаке надо считать не цифру в разряде десятков,
а общее число целых десятков во всем числе. В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19,
следовательно, число 1026 делится на 19.
Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23. Например:
10
28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414; продолжаем: 4 + (3 * 14)
= 46 – очевидно, делится на 23.
Признаки делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25. Например: число
34650 делится на 25, т.к. 50 делится на 25.
Признаки делимости на 50
Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы на конце записи числа две последние цифры делились бы на 25 и представляли бы четное число. А этому условию удовлетворяют только числа 50 и 100, но 100 – трехзначное
число, значит, запись числа должна оканчиваться на 00 или 50. Например:
6957200; 67906850.
Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой
группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда
само число делится на 99.
Признак делимости на 100
Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.
Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой
группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101
тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например: 590547
делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101.
Признак делимости на 1000
Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.
2. Мои исследования
2.1. Задание и содержание социологического опроса
Среди учащихся и учителей 2-х классов нашей школы я провела не-
11
большое исследование на основе ниже приведенных анкет.
Анкета для учащихся: ответь на вопросы
№
1.
Вопрос
Ответ
Каким для тебя является  интересным
предмет математика?
 трудным
 неинтересным
2.
Что такое признак делимо-  действия с делимым и делителем
сти
 алгоритм, позволяющий определить,
является ли число кратным заранее
заданному числу, без необходимости
выполнять деление
 алгоритм, позволяющий производить
операцию деления
3.
Перечисли, какие признаки
делимости тебе известны
4.
Шофер зебру не заметил.
При
опросе
свидетелей
выяснилось, что регистра-
Определи регистрационный номер
машины, шофер, которой зебру не заметил – 82*
ционный номер делиться
на девять и является четным.
Анкета для учителя: ответьте на вопросы
№
1.
Вопрос
Ответ
Нужно ли учащимся 2 класса
 Да
знать признаки делимости?
 Нет
Для каких целей во втором  для повышения интереса к математике
2. классе
можно
использовать  для подготовки к олимпиадам и кон-
признаки делимости?
курсам
12
3.
Знание признаков делимости
 Да
учащимися
 Нет
способствует
вторых
классов
повышению
успеваемости по математике?
2.2. Анализ результатов социологического опроса
В опросе приняло участие 30 учащихся из 2б классов. Анализ анкет для
учащихся и учителей позволяет сделать следующие выводы:
1. На первый вопрос анкеты для выявления отношения учащихся вторых классов к занятиям по математике: «Каким для тебя является предмет
математика?» в процентном соотношении мнения разделились следующим
образом:
интересным
70 %
трудным
50%
неинтересным
30%
Как видно из приведенных данных подавляющее большинство учащихся считают, что занятия по математике трудны, но интересны.
2. Только 20 % учащихся знают точное определение понятия «признаки
делимости».
3. Все учащиеся приводят признаки делимости на 10 и на 2; 10% учащихся знают признаки делимости на 9.
4. 50% учащихся справились с четвертым вопросом.
5. На первый вопрос анкеты для учителей положительный ответ дали
все опрошенные учителя, отметив, что знание признаков делимости необходимо учащимся вторых классов для подготовки к олимпиадам и конкурсам, для формирования интереса к математике.
Анализ анкетирования позволяет мне сделать вывод, что большая часть
учащихся с интересом изучают математику. Но во втором классе с признаками делимости еще не все знакомы. В связи с этим я решила выступить со
своим проектом не только в своем классе (как было задумано ранее), но и в
других классах. И предложить учащимся вторых классов поучаствовать в
13
соревновании по решению математических загадок на применение признаков делимости, подобранных из книги Николая Христофоровича Волкова
«Вовкин задачник. Тема: признаки делимости» (приложение 1) и составленных мной (приложение 2).
Заключение
С математической точки зрения раздел признаков делимости в
школьной математике является простейшим. Однако при выполнении заданий часто встречаются большие числа, когда нужно определить делится
на данное число или нет, для этого и пригодятся знания признаков делимости.
Научиться быстро, выполнять деление натуральных чисел способствует применение знаний признаков делимости, которые в ходе моего исследования я смогла классифицировать следующим образом:
Признаки делимости
Делимость по последним цифрам
числа
Делимость по
сумме цифр числа
Делимость составных чисел
В результате выполнения данной работы у меня расширились знания
по математике. Я узнала, как, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое и как эти признаки использовать в математических загадках. Поняла, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.
Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.
Считаю, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение
многих математических загадок, а где-то даже является единственным
14
способом получения ответа. Предложенный материал «Признаки делимости чисел в математических загадках» можно использовать как на уроках
математики, так и во внеклассных занятиях, при подготовке к олимпиадам,
интеллектуальным конкурсам.
В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости чисел.
Для решения этих проблем ставлю следующие задачи:
 более глубокое изучение литературы по теме «признаки делимости чисел;
 самостоятельно составить математические загадки, решаемые с
помощью признаков делимости;
 провести для учащихся моего класса, на основе составленных
мной математических загадок и заимствованных из книги Н.Х. Волкова
«Вовкин задачник. Тема: признаки делимости» математический конкурс
«Что? Где? Когда?».
Библиографический список
1. Ванцян А.Г. Математика. 5 класс. Учеб. пособ. – М.: Просвещение,
2009 – 256 с.
2. Волков Н.Х. Вовкин задачник. Тема: признаки делимости. – Челябинск. Издательство Игоря Розина, 3013. – 48 с.
3. Воробьев К.Н. Признаки делимости. – М.: Наука, 1974. – 76 с.
4. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы. – М.: Просвещение, 1982. – 180 с.
5. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для
учащихся 4-8 кл. сред. шк. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988. – 160 с.
6. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – М.: Триада-Литера, 1994. –
199 с.
7. Рассел Кен, Картер Филипп Оригинальные головоломки с числами. –
М.: Эксмо, 2007. – 192 с.
8. Фарков А.В. Внеклассная работа по математике 5-11 классы. – М.:
Айрис-пресс, 2007. – 288 с.
9. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П.Савин. –
М.: Педагогика, 1989. – 352 с.
10. 1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний. – М.: Мир книги, 2004.
– 440 с.