kombinatorika52901b0005f64
реклама
Краснощёкова Светлана Викторовна, ст. методист ХК ИРО Вводная задача Задача 1. В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет ровно 6 дорог, а из города Б в город В – 4 дороги (см. рис.). Сколькими способами можно проехать из А в В? Усложним задачу Задача 2. В Стране Чудес построили еще один город – Г и несколько новых дорог (см. рис.) Сколькими способами теперь добраться из города А в город В? Решение задач Задача 3. Назовем натуральное число «симпатичным», если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует 4значных «симпатичных» чисел? Ответ: 5 однозначных, 5*5 двузначных, 5*5*5 трехзначных, 5*5*5*5 = 5^4=625 Решение задач Задача 4. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить? Ответ: 2^3=8 Задача 5. Каждую клетку квадратной таблицы 2×2 можно покрасить в черный и белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы? Ответ: 2^4=16 Правило суммы и произведения Правило суммы: если элемент А можно выбрать m различными способами и независимо от него элемент В можно выбрать n различными способами, то выбрать все различные элементы комбинации элементов «А или В» можно сделать m+n способами. Правило произведения: если элемент А можно выбрать m различными способами, то все различные комбинации элементов «А и В» можно выбрать m×n способами. Комбинация: n1+n2×n3+n4×n5×n6+… Задача для самостоятельного решения Задача 6. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б, В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? Указание: сосчитайте отдельно количества одно-, двух-, трех- и четырехбуквенных слов. Перестановки Задача 7. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики? Решение. На первое место можно положить любой из четырех шариков, на второе – любой из трех оставшихся, на третье – любой из двух оставшихся, а на четвертое – последний оставшийся шарик. Тогда решение предстанет в виде : 4×3×2×1=4! Перестановки без повторений Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n без повторений. Pn=n! - Задача 8. Необходимо выяснить, сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова: ВЕКТОР ЛИНИЯ ПАРАБОЛА МАТЕМАТИКА Решение задачи Задача 9. Бусы – это кольцо, на которое нанизаны бусины. Бусы можно поворачивать, но не переворачивать. Сколько различных бус можно сделать из 13 разноцветных бусин (см. рис.)? Решение задачи Решение: 1. Пусть бусы нельзя поворачивать. Тогда их можно сделать 13! различными способами. 2. 2. Однако любое расположение бусин и 12 вариантов, получающихся из него поворотами, являются одним и тем же вариантом бус. 3. 13!/13=12! Перестановки с повторениями Пусть даны n1 элементов первого типа, n2 — второго типа, ..., nk— k-го типа, всего n элементов. Способы разместить их по n различным местам называются перестановками с повторениями. Число сочетаний Задача 10. Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать? Число сочетаний Сочетания – это выборка k-элементов из n различных элементов. Число сочетаний Задача 11. На лотерейном билете требуется отметить 8 клеточек из 64. Какова вероятность того, что после розыгрыша, в котором также будет выбрано 8 каких-то клеток из 64 (все такие возможности равновероятны), окажется, что угаданы а) ровно 4 клетки? б) ровно 5 клеток? в) все 8 клеток? Число сочетаний Решение. 1. 8 клеток из 64 могут быть выбраны способами. 2. вероятность того, что выпадет какой-то один определенный способ, равна 3. число случаев, в которых оказались угаданными ровно k клеток равно числу способов, при которых выбираются k клеток из 8 отмеченных и 8–k клеток из 56 неотмеченных, то есть 4. вероятность угадать ровно k клеток равна Число сочетаний В задачи: а) ровно 4 клетки? б) ровно 5 клеток? в) все 8 клеток? Р= Число сочетаний Задача 12. В школе изучают 2n предметов. Все ученики учатся на 4 и 5. Никакие два ученика не учатся одинаково, ни про каких двух нельзя сказать, что один из них учится лучше другого. Доказать, что число учеников в школе не больше . (Будем считать, что ученик p учится лучше ученика q, если у p оценки по всем предметам не ниже, чем у q, а по некоторым предметам – выше.) Число сочетаний 1. в школе учатся 22n учеников со всевозможными наборами пятерок и четверок. Выберем из них максимальную группу A попарно несравнимых учеников (в смысле условия задачи). Докажем, что эта группа состоит в точности из всех учеников, которые имеют ровно n пятерок (их ровно ). Отсюда, очевидно, Немного изменим условие: пусть следует утверждение исходной задачи. 2. 3. Выделим в A подгруппу B, состоящую из учеников с наименьшим числом k пятерок. Пусть k < n. Рассмотрим группу C всех учеников, каждый из которых имеет пятерки ровно по k +1 предмету, причем он (учится) лучше одного из учеников группы B. Очевидно ни один из них не входит в A, и можно заменить группу B на группу C. 4. Докажем, что число c учеников группы C больше, чем число b учеников группы B. 5. Пусть каждый ученик группы B пожмет руку всем ученикам из C, которые лучше него (таких учеников ровно 2n – k). Всего будет сделано (2n – k)b > (k + 1)b рукопожатий. 6. Действительно, 2k + 1 ≤ 2(n – 1) + 1 < 2n. 7. С другой стороны, каждый ученик из C пожал руки не более, чем k + 1 ученику, следовательно, (k + 1)c > (k + 1)b, то есть c > b. 8. Итак, заменив группу B на группу C, мы увеличим группу A, что противоречит ее максимальности. Противоречие доказывает, что k ≥ n. 9. Симметричным образом, доказывается, что в A нет учеников с числом пятерок, большим n. Следовательно, A состоит только из учеников с n пятерками, и (снова в силу максимальности) туда должны попасть все такие ученики.
