kombinatorika52901b0005f64

Краснощёкова Светлана Викторовна,
ст. методист ХК ИРО
Вводная задача
Задача 1. В Стране Чудес есть три города: А, Б и В.
Из города А в город Б ведет ровно 6 дорог, а из
города Б в город В – 4 дороги (см. рис.). Сколькими
способами можно проехать из А в В?
Усложним задачу
Задача 2. В Стране Чудес построили еще один
город – Г и несколько новых дорог (см. рис.)
Сколькими способами теперь добраться из города
А в город В?
Решение задач
Задача
3.
Назовем
натуральное
число
«симпатичным», если в его записи встречаются
только нечетные цифры. Сколько существует 4значных «симпатичных» чисел?
Ответ: 5 однозначных, 5*5 двузначных, 5*5*5
трехзначных, 5*5*5*5 = 5^4=625
Решение задач
Задача 4. Монету бросают трижды. Сколько
разных последовательностей орлов и решек можно
при этом получить?
Ответ: 2^3=8
Задача 5. Каждую клетку квадратной таблицы 2×2
можно покрасить в черный и белый цвет. Сколько
существует различных раскрасок этой таблицы?
Ответ: 2^4=16
Правило суммы и произведения
Правило суммы: если элемент А можно выбрать m
различными способами и независимо от него элемент
В можно выбрать n различными способами, то
выбрать все различные элементы комбинации
элементов «А или В» можно сделать m+n способами.
Правило произведения: если элемент А можно
выбрать m различными способами, то все различные
комбинации элементов «А и В» можно выбрать m×n
способами.
Комбинация: n1+n2×n3+n4×n5×n6+…
Задача для самостоятельного
решения
Задача 6. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит
из трех букв А, Б, В. Словом является любая
последовательность, состоящая не более, чем из 4
букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?
Указание: сосчитайте отдельно количества одно-,
двух-, трех- и четырехбуквенных слов.
Перестановки
Задача 7. Сколькими способами можно
выложить в ряд красный, черный, синий и
зеленый шарики?
Решение. На первое место можно положить
любой из четырех шариков, на второе – любой из
трех оставшихся, на третье – любой из двух
оставшихся, а на четвертое – последний
оставшийся шарик. Тогда решение предстанет в
виде : 4×3×2×1=4!
Перестановки без повторений
Перестановкой из n элементов называется
размещение из n элементов по n без повторений.
Pn=n!
-
Задача 8. Необходимо выяснить, сколько различных слов можно
получить, переставляя буквы слова:
ВЕКТОР
ЛИНИЯ
ПАРАБОЛА
МАТЕМАТИКА
Решение задачи
Задача 9. Бусы – это кольцо, на которое
нанизаны бусины. Бусы можно поворачивать, но не
переворачивать. Сколько различных бус можно
сделать из 13 разноцветных бусин (см. рис.)?
Решение задачи
Решение:
1. Пусть
бусы
нельзя
поворачивать. Тогда их можно
сделать
13!
различными
способами.
2. 2. Однако любое расположение
бусин
и
12
вариантов,
получающихся
из
него
поворотами, являются одним и
тем же вариантом бус.
3. 13!/13=12!
Перестановки с повторениями
Пусть даны n1 элементов первого типа, n2 —
второго типа, ..., nk— k-го типа, всего n элементов.
Способы разместить их по n различным местам
называются перестановками с повторениями.
Число сочетаний
Задача 10. Из класса, в котором учатся 30
человек, нужно выбрать двоих школьников для
участия в математической олимпиаде. Сколькими
способами это можно сделать?
Число сочетаний
Сочетания – это выборка k-элементов из n
различных элементов.
Число сочетаний
Задача 11. На лотерейном билете требуется
отметить 8 клеточек из 64. Какова вероятность
того, что после розыгрыша, в котором также будет
выбрано 8 каких-то клеток из 64 (все такие
возможности равновероятны), окажется, что
угаданы
а) ровно 4 клетки? б) ровно 5 клеток? в) все 8
клеток?
Число сочетаний
Решение.
1. 8 клеток из 64 могут быть выбраны
способами.
2. вероятность того, что выпадет какой-то один
определенный способ, равна
3. число случаев, в которых оказались угаданными
ровно k клеток равно числу способов, при которых
выбираются k клеток из 8 отмеченных и 8–k клеток
из 56 неотмеченных, то есть
4. вероятность угадать ровно k клеток равна
Число сочетаний
В задачи: а) ровно 4 клетки? б) ровно 5 клеток?
в) все 8 клеток?
Р=
Число сочетаний
Задача 12. В школе изучают 2n предметов. Все
ученики учатся на 4 и 5. Никакие два ученика не
учатся одинаково, ни про каких двух нельзя сказать,
что один из них учится лучше другого. Доказать, что
число учеников в школе не больше
.
(Будем считать, что ученик p учится лучше ученика q, если у p оценки по
всем предметам не ниже, чем у q, а по некоторым предметам – выше.)
Число сочетаний
1.
в школе учатся 22n учеников со
всевозможными наборами пятерок и четверок. Выберем
из
них
максимальную
группу
A
попарно
несравнимых учеников (в смысле условия задачи). Докажем, что
эта группа состоит в точности из всех учеников, которые
имеют ровно n пятерок (их ровно ). Отсюда, очевидно,
Немного изменим условие: пусть
следует утверждение исходной задачи.
2.
3.
Выделим в A подгруппу B, состоящую из учеников
с наименьшим числом k пятерок. Пусть k < n.
Рассмотрим группу C всех учеников, каждый из которых
имеет пятерки ровно по k +1 предмету, причем он
(учится) лучше одного из учеников группы B. Очевидно
ни один из них не входит в A, и можно заменить
группу B на группу C.
4. Докажем, что число c учеников группы C больше,
чем число b учеников группы B.
5. Пусть каждый ученик группы B пожмет руку всем
ученикам из C, которые лучше него (таких
учеников ровно 2n – k). Всего будет сделано
(2n – k)b > (k + 1)b рукопожатий.
6. Действительно, 2k + 1 ≤ 2(n – 1) + 1 < 2n.
7. С другой стороны, каждый ученик из C пожал
руки не более, чем
k + 1
ученику,
следовательно, (k + 1)c > (k + 1)b, то есть c > b.
8. Итак, заменив группу B на группу C, мы увеличим
группу A, что противоречит ее максимальности.
Противоречие доказывает, что k ≥ n.
9. Симметричным образом, доказывается, что
в A нет учеников с числом пятерок, большим n.
Следовательно, A состоит только из учеников
с n пятерками, и (снова в силу максимальности)
туда должны попасть все такие ученики.