Элементар математематика Комбинаторика и арифметика_ИМ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ
ДИСЦИПЛИНЫ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА:
АРИФМЕТИКА И КОМБИНАТОРИКА
ДЛЯ СТУДЕНТОВ,
обучающихся по специальности
050202.65 – Информатика с дополнительной специальностью Математика
Автор: доцент кафедры МиММЭ Иванчук Н.В., канд. пед. наук, доцент
Учебный курс «Элементарная математика: Арифметика и комбинаторика» является одним из базовых в системе профессиональной подготовки учителя математики. В государственном образовательном стандарте ей отведено место в федеральном компоненте цикла «Дисциплин предметной подготовки». Умение решать задачи является одним из важнейших элементов
математической подготовки будущего учителя. Программа дисциплины «Элементарная математика» направлена на подготовку студентов к преподаванию математики в общеобразовательной
школе, обучение поиску решения задач школьной математики, формирование системы математических знаний для продолжения образования. Курс дополняет, расширяет и углубляет
школьные курсы математики, способствует формированию основ теоретического и практического характера по этой дисциплине, играет важную роль для развития профессиональных
навыков будущего специалиста.
Цели изучения дисциплины
Основной целью изучения элементарной математики является обеспечение студентов
знаниями, необходимыми для квалифицированного преподавания математики в средней школе.
Заложить фундаментальные знания, необходимые для применения математических методов.
Все эти методы должны базироваться на прочной основе математических дисциплин. Развивать
профессиональную компетентность, определяемую как совокупность теоретических и практических навыков, способность осуществлять профессиональные функции, в рамках одного и более видов деятельности. В школе изучается в основном элементарная математика. Таким образом, от того насколько успешным будет подготовка выпускников педагогических университетов в
области элементарной математики, во многом зависит успешность их работы учителем математики в
школе.
Задачи
- сформировать у студентов базовые представления об основных математических понятиях школьного курса;
- обогатить опыт решения стандартных задач по основным содержательным линиям
школьного курса математики;
- дополнить знания новыми фактами, необходимыми для решения задач школьного курса математики;
- выработать у студентов интерес к вопросам элементарной математики, создать у них содержательную основу для:
а) работы в школе по различным учебникам математики;
б) работы в классах различной профильной направленности и индивидуальной работы с учащимися;
в) проведения со школьниками кружков, спецкурсов, факультативных занятий и олимпиад по математике.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины
2
В результате изучения курса студенты
должны знать:
- теоретические основы элементарной математики,
- понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины,
- алгоритмические и эвристические приемы решения задач,
- доказательства теорем,
- приемы конструирования различных учебно-исследовательских задач.
должны владеть:
- навыками практического использования базовых знаний и методов,
- приемами правильного письменного и устного изложения решения задач,
- методами решения задач разного характера;
должны уметь:
- решать задачи по разделам курса,
- применять теоретический материал,
- творчески подходить к решению профессиональных задач,
- ориентироваться в нестандартных условиях и ситуациях, анализировать возникающие
проблемы.
Объем дисциплины и виды учебной работы
№
п/
п
1
Шифр и наименование
СеКурс
специальности
местр
050202.65
Информатика
с дополнительной
специальностью
Математика
4
Вид
итогового
контроля
Виды учебной работы в часах
Трудоем- Всего
ПР/
Сам.
ЛК
ЛБ
кость аудит.
СМ
работа
7
100
50
26
–
24
50
экзамен
Разделы дисциплины и виды занятий (в часах).
Примерное распределение учебного времени
п/п
1.
2.
Наименование раздела, темы
Арифметика.
1.Свойства делимости.
2.Основная теорема арифметики.
3. НОД и НОК.
4. Алгоритм Евклида.
5. Представление рациональных чисел в виде
g-ичной дроби.
Комбинаторика.
1. Метод математической индукции.
2. Бином Ньютона.
3. Сочетания, размещения и перестановки.
4. Комбинаторные задачи на вычисление вероятности.
5. Комбинаторные тождества.
Всего
ауд.
24
4
4
4
4
8
Количество часов
ЛК
ПР
ЛБ
Сам.
раб.
26
6
4
4
4
8
12
2
2
2
2
4
12
2
2
2
2
4
–
–
–
–
–
–
26
4
2
4
14
2
2
4
12
2
2
2
24
4
2
4
8
4
4
–
–
–
–
–
4
2
2
–
4
6
3
ИТОГО
50
26
24
–
50
Содержание разделов дисциплины
Арифметика
§1. Натуральные числа и их свойства.
Числа. Натуральные числа и их свойства. Сложение, умножение, отношение порядка. Математическая индукция. Бесконечность множества простых чисел. Существование в натуральном
ряду отрезков произвольной длины, не содержащих простых чисел. Решето Эратосфена. Каноническое разложение натурального числа. Основная теорема арифметики.
§2. Отношение делимости.
Целые числа. Отношение делимости. Признаки делимости на 3, 5, 7, 9, 11. Теорема о делении с
остатком. Методы сокращенного умножения, деления и извлечения корней. НОД и НОК, их
свойства. Каноническое представление НОК и НОД.
§3. Неопределенные уравнения первой степени.
Алгоритм Евклида и его приложения. Неопределенные уравнения первой степени. Необходимое и достаточное условие их разрешимости. Формула всех целочисленных решений. Способы
решения неопределенных уравнений. Пифагоровы тройки и треугольные числа.
§4. Числа Мерсена. Числа Ферма.
Классические задачи, связанные с числами Мерсена. Совершенные числа. Теоремы Евклида и
Эйлера о четных совершенных числах. Числа Ферма и их свойства. Теорема о простых делителях чисел Ферма. Числа Ферма и задача построения правильных многоугольников.
§5. Целые систематические числа.
Арифметические операции над целыми числами в различных системах счисления. Способы перевода из одной системы счисления в другую. Признаки делимости в различных системах счисления.
§6. Систематические дроби.
Определение g-ичной дроби. Представление рационального числа в виде g-ичной дроби. Перевод обыкновенных дробей в g-ичные и обратный перевод. Критерий обращения обыкновенной
дроби в конечную, чисто периодическую и смешанную периодическую g-ичную дробь. Вычисление длин периода g-ичных дробей.
§7. Олимпиадные задачи по арифметике.
Комбинаторика
§1. Основные комбинаторные объекты.
Правила сложения и умножения. Формула включений и исключений. Сочетания, размещения,
перестановки (без повторений) и формулы для вычисления их числа. Сочетания, размещения,
перестановки (с повторениями) и формулы для вычисления их числа.
§2. Комбинаторика и вероятность.
Вероятность события. Комбинаторные задачи на вычисление вероятности.
§3. Полиномиальная теорема.
Полиномиальная теорема, бином Ньютона. Количество решений уравнений вида
x1    xn  m в целых неотрицательных и натуральных числах.
§4. Производящие функции.
Производящие функции. Комбинаторные тождества.
§5. Олимпиадные задачи по комбинаторике.
Темы для самостоятельного изучения
4
№
п/
п
Наименование раздела
дисциплины.
Тема.
1 Арифметика.
1.Свойства делимости.
2.Основная теорема арифметики.
3. НОД и НОК.
4. Алгоритм Евклида.
5. Представление рациональных чисел в виде gичной дроби.
2 Комбинаторика.
1. Метод математической
индукции.
2. Бином Ньютона.
3. Сочетания, размещения и
перестановки.
4. Комбинаторные задачи на
вычисление вероятности.
5. Комбинаторные тождества.
Форма самостоятельной работы
Форма контроля выполнения самостоятельной работы
Количество
часов
- вопросы для самостоятельного
изучения,
- домашние работы
- контрольная работа
- проверка домашних работ,
проверка
контрольной работы,
10
- вопросы для самостоятельного
изучения,
- домашние работы
- контрольная работа
- проверка домашних работ,
- проверка контрольной работы,
10
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
1. Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу
(планы последовательного проведения занятий: ПР, СМ, ЛБ)
Практические занятия
Практические занятия по теме
«Свойства делимости. Основная теорема арифметики»
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Объясните, почему число 15 является делителем числа 60 и не является делителем числа
70.
2. Известно, что число 24 - делитель числа 96, а число 96 – делитель числа 672. Докажите,
что число 24 делитель числа 672, не выполняя деления.
3. Запишите множество делителей числа.
а) 24; б) 13; в) 1.
4. На множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} задано отношение «иметь одно и то
же число делителей». Является ли оно отношением эквивалентности?
5. Постройте умозаключение, доказывающее, что:
а) число 19 является простым;
б) число 22 является составным.
6. Докажите или опровергните следующие утверждения:
а) Если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится
на это число.
б) Если одно из слагаемых суммы не делится на некоторое число, то и сумма не делится на
это число.
в) Если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это
число.
5
г) Если одно из слагаемых суммы делится на некоторое число, а другое не делится на это
число, то и сумма не делится на это число.
7. Верно ли, что:
а) a m и b n => ab mn ;
б) a n и b n => аb n ;
в) ab n => a n или b n .
Литература.
1. Зайцев В.В., Рыжков, Сканави М.И. Элементарная математика. – М.: Наука, 1974.
2. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1987.
3. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. – М.: Высшая школа, 1969.
4. Степанова Л.Л. Избранные главы элементарной теории чисел. - М.: Прометей, 2001.
Практические занятия по теме
«Признаки делимости»
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Выпишите из ряда чисел 132, 1050, 1114, 364, 12000 те, которые:
а) делятся на 2;
б) делятся на 4;
в) делятся на 2 и не делятся на 4;
г) делятся и на 2 и на 4.
2. Верно ли утверждение:
а) Для того чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось
на 4?
б) Для того чтобы число делилось на 2, достаточно, чтобы оно делилось на 4?
3. Из ряда чисел 72, 312, 522, 483, 1197 выпишите те, которые:
а) делятся на 3;
б) делятся на 9;
в) делятся на 3 и не делятся на 9; г) делятся и на 3 и на 9.
Сделайте вывод о взаимосвязи делимости на 3 и на 9. Докажите его.
4. Докажите признаки делимости на 5 и на 3.
5. Сформулируйте признак делимости на 25 и докажите его.
6. Не выполняя сложения, установите, делится ли значение выражения на 4:
а) 284 + 1440 + 113;
в) 284 + 1441 + 113;
б) 284 + 1440 + 792224;
г) 284 + 1441 + 113 + 164.
7. Не выполняя вычитания, установите, делится ли разность на 9.
а) 360 – 144; б) 946 – 540; в) 30240 – 97.
8. Верно ли, что для делимости числа х на 8 в десятичной системе счисления необходимо и
достаточно, чтобы на 8 делилось трехзначное число, образованное последними тремя цифрами
десятичной записи числа х?
Литература.
5. Зайцев В.В., Рыжков, Сканави М.И. Элементарная математика. – М.: Наука, 1974.
6. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1987.
7. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. – М.: Высшая школа, 1969.
8. Степанова Л.Л. Избранные главы элементарной теории чисел. - М.: Прометей, 2001.
Практическое занятие по теме
«НОД и НОК»
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Найти НОД и НОК данных чисел, представив их в каноническом виде:
6
а) 948 и 624, б) 120, 540, 418.
2. Используя алгоритм Евклида, найти НОД чисел.
а) 846 и 246, б) 585 и 1960, в) 15283 и 10013.
3. Верно ли, что: а) D (448, 656) = 16, К (578, 8670) = 8670.
4. Докажите, что числа 432 и 385 взаимно простые.
5. Найти НОД всех пятизначных чисел, записанных при помощи цифр 1, 2. 3, 4, 5 (цифры
в записи чисел не повторяются).
6. Даны числа 36 и 45.
а) Найдите все общие делители этих чисел. б) Можно ли назвать все их общие кратные?
в) Найдите три трехзначных числа, которые являются общими кратными данных чисел.
г) Чему равны D(36, 45) и К(36, 45)? Как проверить правильность полученных ответов?
7. Верны ли записи:
а) D(32, 8) = 8 и К(32, 8) = 32;
б) D(17, 35) = 1 и К(17,35) = 595;
в) D(255, 306) = 17 и К(255, 306) = 78030.
8. Найдите К(а, b ), если известно, что: а) а = 47, b = 105 и D(47, 105)= 1;
б) а = 315, Ь = 385 и D(315, 385) = 35.
9. Сформулируйте признаки делимости на 12, 15, 18, 36, 45, 75.
10. Из множества чисел 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 выпишите те, которые делятся на 12.
11. Делятся ли на 18 числа 1548 и 942?
12. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число
делилось на 15.
13. Найдите цифры а и b числа 72а 3b , если известно, что это число делится на 45.
14. Не выполняя умножения и деления уголком, установите, какие из следующих произведений делятся на 30:
а) 105  20; б) 47·12·5; в) 85·33·7.
15. Не выполняя сложения или вычитания, установите, значения каких выражений делятся
на 36.
а)72 + 180 + 252; в) 180 + 252 + 100;
б) 612 - 432;
г) 180 + 250 + 200.
16. Докажите, что при любом натуральном п истинны утверждения:
а) п(п+ l)(п+2) 6;
б) п(п + l)(п + 2)(п + 3) 12.
Литература.
1. Зайцев В.В., Рыжков, Сканави М.И. Элементарная математика. – М.: Наука, 1974.
2. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1987.
3. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. – М.: Высшая школа, 1969.
4. Степанова Л.Л. Избранные главы элементарной теории чисел. - М.: Прометей, 2001.
Практическое занятие по теме
«Алгоритм Евклида»
Литература.
1. Зайцев В.В., Рыжков, Сканави М.И. Элементарная математика. – М.: Наука, 1974.
2. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1987.
3. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. – М.: Высшая школа, 1969.
4. Степанова Л.Л. Избранные главы элементарной теории чисел. - М.: Прометей, 2001.
Практическое занятие по теме
«Представление рациональных чисел в виде g-ичной дроби»
Литература.
1. Зайцев В.В., Рыжков, Сканави М.И. Элементарная математика. – М.: Наука, 1974.
7
2. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1987.
3. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. – М.: Высшая школа, 1969.
4. Степанова Л.Л. Избранные главы элементарной теории чисел. - М.: Прометей, 2001.
Практическое занятие по теме
«Метод математической индукции»
Цель:
- знакомство и овладение методом доказательства утверждений о натуральных числах, называемого методом математической индукции.
- итогом изучения данной темы должно быть усвоение следующих понятии: метод математической индукции, аксиома индукции, начало индукции, индуктивный переход.
- усвоение этих понятий предполагает также умение оперировать ими при решении практических
заданий, в частности, умение доказывать истинность утверждений.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Опишите в общем виде процесс доказательства методом математической индукции. Из скольких
этапов он состоит?
2. Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа п истинны утверждения: 1 + 5 + 9 + . . . + ( 4 n - 3 ) = n ( 2 n - 1 ) ,
1 * 4 + 2 * 7 + 3 * 10 + ... + п(3п + 1) = п(п + 1) 2
Литература.
1. Зайцев В.В., Рыжков, Сканави М.И. Элементарная математика. – М.: Наука, 1974.
2. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1987.
3. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. – М.: Высшая школа, 1969.
4. Степанова Л.Л. Избранные главы элементарной теории чисел. – М.: Прометей, 2001.
5. Кузьмин О.В. Перечислительная комбинаторика. – М.: Дрофа, 2005.
Практическое занятие по теме
«Деление с остатком»
Цель:
- овладеть понятиями: деление с остатком, неполное частное; уяснить, что частное двух натуральных
чисел существует не всегда; условие деления с остатком а = bg + г, где 0 < г < b; деление с
остатком выполняется для любых натуральных чисел однозначно.
- итогом изучения данной темы должно быть усвоение следующих понятий: деление с остатком, неполное частное, остаток, условие выполнения деления с остатком.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Вопросы и задания для самоконтроля
Какие остатки могут получиться при делении числа на 5? При делении на 7?
Запишите общий вид чисел, дающих при делении на 9 остаток 2.
Назовите три натуральных числа, которые при делении на 2 дают в остатке 1. Как называются эти числа и каков их общий вид.
Сформулируйте определение деления с остатком и, используя его, разделите с остатком 37 на
5, 32 на 7, 83 на 4. Выполните соответствующие записи.
При делении с остатком числа а на 15 получили неполное частное 10. Каково наибольшее
возможное значение делимого.
При делении с остатком числа 100 на натуральное число b получили остаток, равный 6.
Найдите число b .
При делении чисел а, b и с на 7 получаются остатки соответственно 1,4 и 5. Какой остаток при делении на 7 дает сумма а + b + с ?
Разбейте множество натуральных чисел от 1 до 27 на классы чисел, дающих одинаковые
остатки при делении на 5. Сколько классов получилось?
8
Практическое занятие по теме
«Бином Ньютона. Сочетания, размещения и перестановки»
Литература.
1. Зайцев В.В., Рыжков, Сканави М.И. Элементарная математика. – М.: Наука, 1974.
2. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1987.
3. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. – М.: Высшая школа, 1969.
4. Степанова Л.Л. Избранные главы элементарной теории чисел. – М.: Прометей, 2001.
5. Кузьмин О.В. Перечислительная комбинаторика. – М.: Дрофа, 2005.
Практическое занятие по теме
«Комбинаторные задачи на вычисление вероятности. Комбинаторные тождества»
Литература.
1. Зайцев В.В., Рыжков, Сканави М.И. Элементарная математика. – М.: Наука, 1974.
2. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1987.
3. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. – М.: Высшая школа, 1969.
4. Степанова Л.Л. Избранные главы элементарной теории чисел. - М.: Прометей, 2001.
5. Кузьмин О.В. Перечислительная комбинаторика.- М.: Дрофа, 2005.
2. Рекомендуемая литература
Основная литература:
1. Зайцев В.В., Рыжков, Сканави М.И. Элементарная математика. – М.: Наука, 1974.
2. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1987.
3. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. – М.: Высшая школа, 1969.
4. Степанова Л.Л. Избранные главы элементарной теории чисел. – М.: Прометей, 2001.
5. Кузьмин О.В. Перечислительная комбинаторика. – М.: Дрофа, 2005.
Дополнительная литература:
1.
2.
3.
4.
5.
Перельман Я.И. Занимательная арифметика. – М.1994.
Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – М.1994.
Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – М.1976.
Коваль С. От развлечения к знаниям. Математическая смесь. – 1972.
Кордемский Б.А. Математическая смекалка. – МДС, 1994.
3. Перечень видео- и аудиоматериалов программного обеспечения
Цифровые образовательные ресурсы по математике
Учебные материалы //
http://school-collection.edu.ru/catalog/pupil/?subject=16
Словарь-справочник понятий и фактов элементарной математики //
http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/637182ba-dacb-8e36-95ad-763207381e44/
Электронная библиотека учебно-методической литературы по математике //
http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/696f5fc4-7f5c-b610-713f-014b7f9c0bc8/
4. Примерные зачетные тестовые задания
Контрольная работа
Вариант 1.
№1. Докажите, что сумма кубов трех последовательных чисел делится на 9.
№2. Найдите 2 натуральных числа, сумма которых 35, а НОК равен 42.
№3. При делении 5-значного числа, состоящего из одинаковых цифр, на 4-значное число, состоящее из одинаковых цифр, получилось частное 16 и некоторый остаток. После отбрасывания
в делимом и в делителе по одной цифре частное не изменилось, а остаток уменьшился на 2000.
9
Найдите эти числа.
№4. Решить диафантово уравнение
31
x
18
y29
.
№5. Докажите, что значение выражения
n

2 n

2 n n
3

2

3
2для любого n  N кратно 10.
№6. Лекции по физике посещают 20 студентов, а лекции по астрономии – 30. Сколько студентов посещают лекции по физике или по астрономии, если:
а) эти лекции проходят в одно и то же время;
б) эти лекции проходят в различное время и 10 студентов слушают оба курса?
№7. У филателиста есть 8 различных марок на космическую тему и 10 различных марок на
спортивную тему. Сколькими способами он может наклеить 3 марки первого вида и 3 марки
второго вида в альбом на 6 пронумерованных мест?
№8. Сколько нечетных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
если любую из них в каждом числе использовать не более одного раза?
5. Примерный перечень вопросов к экзамену
1. Понятие отношения делимости между двумя натуральными числами.
2. Делитель и кратное.
3. Теорема о количестве делителей числа.
4. Простые и составные числа.
5. Свойства отношения делимости.
6. Теоремы о делимости суммы и произведения чисел.
7. Признаки делимости на 2,3,4,5,9.
8. Признак делимости Паскаля.
9. Основная теорема арифметики.
10. Понятие общего кратного и наименьшего общего кратного.
11. Общий делитель и НОД чисел.
12. Свойства НОК и НОД.
13. Теорема о разложении составного числа в произведение простых множителей.
14. Способы нахождения простых чисел.
15. Решето Эратосфена.
16. Способ нахождения НОК и НОД с помощью канонических разложений чисел.
17. Способ нахождения НОД с помощью канонического разложения чисел на простые множители.
18. Способ нахождения НОД с помощью алгоритма Евклида.
19. Представление рациональных чисел в виде g-ичной дроби.
20. Метод математической индукции.
21. Бином Ньютона.
22. Сочетания, размещения и перестановки.
23. Комбинаторные задачи на вычисление вероятности.
24. Комбинаторные тождества.
6. Примерная тематика рефератов
1.
2.
3.
4.
5.
Неопределенные уравнения первой степени.
Числа Мерсена. Числа Ферма.
Систематические дроби.
Олимпиадные задачи по арифметике.
Полиномиальная теорема.
7. Работа с тестовой системой курса
10
Тестовая система курса на данный момент не разработана (находится в стадии разработки).