ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ

ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. ЕЩЁ РАЗ О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ.
С.Ю. Норкина (С/Ш №12 г. Новочебоксарска)
Урок является завершающим по теме «Делимость чисел», поэтому его целью является
повторение простейших понятий – делитель и кратное, простое и составное число, признаки
делимости. Учащиеся приобретают опыт проведения несложных доказательных рассуждений
и получают навыки проведения исследовательской работы. Урок обогащен историческим
материалом о мире простых чисел.
Урок начался с вступительного слова учителя: «Изучение математики начинается с изучения
натуральных чисел. Какие это числа? Назовите самое маленькое натуральное число. А
теперь назовите самое большое. Математики говорят, что эти числа даны богом. Вы изучали
тему «Делимость чисел». С какими понятиями вы познакомились? (Дети называют, учитель
записывает на доске.) Если вы всё это знаете, ответьте мне на несколько вопросов».
Вопрос 1. В группе детского сада 15 ребят. Одной маме поручили приготовить новогодние
подарки. Она решила положить шоколадные конфеты, причём не по одной. Посоветуйте,
сколько ей стоит купить конфет. Сформулируйте ответ, используя какие-нибудь слова,
записанные на доске.
Вопрос 2. Три друга ходили в кафетерий и сделали одинаковые заказы. Официант принёс им
счёт, в котором была сумма в 473 рубля. Один из друзей, взглянув на счёт, сказал официанту,
что тот ошибся. Как он понял, что счёт неверный?
Вопрос 3. Найдите неизвестную цифру числа 318*, если известно, что оно делится на 2; на
9; на 18.
Вопрос 4. Возьмём число 60. Поговорим о его делителях. У него их много, 12. Вы умеете
находить все делители числа, но сейчас мы этим заниматься не будем. Назовите лишь
несколько из них.
Вопрос 5. Назовите общие делители чисел 60 и 15. Сколько их? Назовите наибольший
общий делитель. Назовите общие кратные чисел 60 и 15. Сколько их? Назовите наименьшее
общее кратное.
Вопрос 6. Возьмём число, которое называется «чёртова дюжина». Это 13. Назовите все его
делители. Сколько их? Приведите примеры чисел, у которых только два делителя. Как
называются такие числа?
Учитель записывает на доске: Ещё раз о простых числах.
Вопрос 7. Верно ли следующее утверждение: «Все натуральные числа делятся на простые и
составные»? Найдите ошибку и сформулируйте верное утверждение.
Вопрос 8.
Для участия в праздничном шествии собралось 127 учеников. Предложите
ребятам способ выстроиться в колонну, чтобы в каждом ряду было одинаковое количество
человек.
Далее учитель говорит о том, что во многих математических задачах требуется
определить, является заданное число простым или составным. Поэтому математики составили
специальные таблицы, в которых перечисляются подряд все простые числа, например, первой
тысячи. Ещё в III веке до н.э. древнегреческий математик Эратосфен придумал интересный
способ построения такой таблицы. Учитель предлагает ребятам применить его для поиска
простых чисел до 50.
Учитель работает на доске, а ученики работают по его команде на заранее
подготовленных листочках, в которых записаны числа от 1 до 100. Числа от 1 до 50 отделены
чертой.
Учитель: Мы хотим получить таблицу простых чисел, поэтому будем выбрасывать все
не простые. Зачеркнём число 1. Почему?
Ребята отвечают: Потому что оно не простое.
Учитель: Каким числом является число 2 ?
Ребята: 2-простое число.
Учитель предлагает обвести это число кружком и вспомнить его особые свойства. Ребята
вспоминают, что 2 – это самое маленькое простое число и единственное чётное среди простых
чисел.
Учитель: Зачеркнём каждое второе число, стоящее после 2, т.е. чётные числа. Ребята
хором диктуют: 4, 6, 8 и т.д.
Учитель: Затем возвращаемся к началу числового ряда. Первое незачёркнутое в нём
число – 3. Оно простое.
Ребята сами предлагают обвести его кружком и зачеркнуть каждое третье, стоящее после
него, т.е. зачеркнуть числа, кратные 3. Ребята диктуют учителю числа 6 (оно уже зачеркнуто),
9, 12 (тоже зачеркнуто), 15 и т.д.
Снова вернувшись к началу ряда, находим первое незачеркнутое число 5. Определяем,
что оно простое, обводим кружком и вычеркиваем каждое пятое от него, т.е. кратное 5. И т.д.
Закончив работу с таблицей, учитель приводит историческую справку. Он рассказывает
о том, что Эратосфен записывал числа на восковых табличках специальной палочкой, а число
1 и все составные числа не вычёркивал, а выкалывал острым концом, после чего табличка
напоминала решето. С тех пор, придуманный Эратосфеном способ отыскания простых чисел
называют решетом Эратосфена.
Далее учитель предлагает несколько заданий по работе с таблицей простых чисел.
№1. Какой цифрой не может оканчиваться простое число, большее 10?
Ребята, опираясь на свой, только что полученный опыт построения таблицы простых
чисел, догадываются, что простое число не может оканчиваться любой чётной цифрой и
цифрой 5.
№2. Используя таблицу простых чисел первой тысячи, проведём небольшое
математическое исследование.
Я думаю, что при любой перестановке цифр простого числа 113 опять получается
простое число.
а) проверьте моё утверждение;
б) найдите все двузначные числа, обладающие таким же свойством.
Ребята записывают перестановки 131, 311 и находят эти числа в таблице. Затем находят
четыре пары двузначных простых чисел: 13 и 31, 17 и 71, 37 и 73, 79 и 97.
Необходимо обсудить с ребятами ход решения. Можно спросить: имеет ли смысл
проверять число 41? а число 53? Учитель просит сформулировать установленную
закономерность и добивается, например, такого ответа: «Простое число, в записи которого
используются цифры 1, 3, 7, 9, обладает указанным свойством».
№3. Обратили ли вы внимание на то, что в таблице простые числа записаны двумя
различными цветами? Два простых числа, разность которых равна 2, называют близнецами.
Найдите в таблице простых чисел все пары чисел-близнецов. Какие из них самые большие?
Сколько таких пар среди первых 500 натуральных чисел? среди чисел от 500 до 1000?
Учёные до сих пор не знают, есть ли самая большая пара чисел-близнецов. Существует
гипотеза, согласно которой среди простых чисел имеется бесконечно много пар близнецов.
Ребята, если кто-то захочет узнать больше о мире простых чисел, можно обратиться к
энциклопедическому словарю юного математика.
Домашнее задание.
1. Закончить таблицу простых чисел первой сотни, используя «решето Эратосфена».
2. Задача-исследование: У простого числа 2 делителя. Сколько делителей имеет квадрат
простого числа? куб простого числа?