(х+у) 2 +

Решения и ответы математической олимпиады для 9 класса
Федорова Максима Ивановича
ученика 9 класса МБОУ Нагадакская СОШ
1) Определить несократимую дробь, которая не изменяет своей величины от
прибавления к числителю 21, а к знаменателю 28.
х- числитель, у- знаменатель
х х  21

у у  28
По свойству пропорции х(у+28)=у(х+21).
Раскрываем скобки ху+28х=ху+21у, 28х=21у, делим на 7 и получим 4х=3у.
Делим обе части на 4у и получим
Ответ:
х 3
 искомая несократимая дробь.
у 4
3
.
4
2) Дано
x
b2  с2  a2
(a  с  b)( a  b  c)
; у
.
2bc
(a  b  c)(b  c  a)
Вычислить произведение (x+1)(y+1)
При решении применяем формулы сокращенного умножения (а+в)(а-в)=а2-в2;
(а-в)2=а2-2ав+в2; (а+в)=а2+2ав+в2
(х+1)(у+1)=
(
в2  с2  а2
(а  с  в)( а  в  с)
в 2  с 2  а 2  2вс а 2  (в  с) 2  (в  с) 2  а 2
=
 1)(
 1) 
*
2вс
(а  в  с)(в  с  а)
2вс
(в  с ) 2  а 2
(в  с) 2  а 2  в 2  2вс  с 2  в 2  2вс  с 2 4вс
*

 2.
2вс
2вс
(в  с ) 2  а 2
Ответ: 2.
3) Разложить на множители выражение
А=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15
(х+1)(х+7)(х+3)(х+5)+15=(х2+7х+х+7)(х2+5х+3х+15)+15= (х2+8х+7)( х2+8х+15)+15
Обозначим а= х2+8х и заменим выражение (а+7)(а+15)+15=а2+15а+7а+120=
а2+22а+120=(а+10)(а+12)=( х2+8х+10)( х2+8х+12)
Найдем корни трехчлена а2+22а+120=0;
Д=222-4*1*120=484-4*420=484-480=4=22
а1 =
 22  2
 10;
2
а2 =
 22  2
 12
2
Найдем корни трехчленов:1) х2+8х+10=0;
Д=82-4*1*10=64-40=24
 8  24  8  2 6

 4  6 ;
2
2
 8  24
х2 
 4  6 .
2
х1 
2) х2+8х+12=0
Д=82-4*1*12=64-48=16=42
8 4
 2;
2
84
х2 
 6 .
2
х1 
Продолжим разложение выражения на множители:
( х2+8х+10)( х2+8х+12)=(х+4-√6)(х+4+√6)(х+2)(х+6).
Ответ: (х+4-√6)(х+4+√6)(х+2)(х+6).
4) Найти все корни уравнения
x2 
25 х 2
74

0
2
49
(5  2 х)
(5  2 х) 2 * х 2  25 х 2 74
;

49
(5  2 х) 2
х 2 ((5  2 х) 2  25) 74
;

49
(5  2 х) 2
х2*((5+2х)2+25)=74,
(5+2х)2=49;
х2(49+25)=74;
5+2х=7; 5+2х=-7 ;
х2*74 = 74;
х=1; х=-6;
х2=1;
х=1; х=-6;
х=1; х=-1
х=1; х=-6;
Общее решение х=1.
Ответ: х = 1.
5) Дано, что медианы mа , mс треугольника АBC образуют со стороной АС
углы, дающие в сумме 60 ̊ и произведение mamc= . Найти площадь
треугольника ABC.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой
пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.
Три медианы, проведенные в одном треугольнике, делят этот треугольник на 6
маленьких треугольников, чья площадь будет равна. Поэтому найдем площадь
маленького треугольника.
В
С1
А1
О
А
С
 АСО+  САО=60º по условию, следовательно  АОС=180º-60º=120º. Значит,
 АОС1=60º . АА1*СС1= 3 по условию.
1
2
По свойству медиан ОС1= СС1 и АО= АА1. Площадь треугольника АОС1
3
3
1
вычисляем по формуле S АОС1 = ОС1 * АО * sin 60º =
2
1 1
2
3 1
3
3 1
 СС1 * АА1 3 
* 3

= * СС1 * АА1 *
2 3
3
2 18
18
18 6
1
SABC=6*S АОС1 = 6* =1
6
Ответ: 1.
6) Найдите все целые числа n, для которых сумма 1!+2!+3!+…+n! является
полным квадратом.
n=1; 12=1!
n=3; 32=1+1*2+1*2*3=1+2+6=9
7) Из чисел 1, 2, 3, …, 100 составлены всевозможные парные произведения.
Сколько среди полученных чисел таких, которые кратны трем?
Каждый третье число кратен 3. Их 33. Произведение делится на 3, если хотя бы
один множитель кратен 3. Возьмем число 3 и с ним можно составить 99 пар из
чисел 1, 2, 4, 5, … 100. Число 6 может составить 98 пар с числами 1, 2, 4, 5, 7, 8,
…, 100 и т.д. Число 99 может составить 67 пар. Значит, таких парных
произведений может быть 99+98+97+…+67=((99+67)/2)*33=83*33=2739
Ответ: 2739 пар.
8) Для нумерации страниц книги потребовалось 6857 цифр. Сколько страниц в
книге?
Для нумерации страниц книги потребуется
однозначные 9 цифр (9 страниц),
двузначных 180 цифр (90 страниц),
трехзначных 2700 цифр (900 страниц),
четырехзначные 6857-2700-180-9= 3968 цифр. Это 3968/4=992 страниц.
Значит 999+992=1991 страниц.
Ответ: 1991 страниц.
9) Найти при каких значениях x и y выражение А= x2+2xy +2y2+2x +4y+3
принимает наименьшее значение.
А= x2+2xy +2y2+2x +4y+3=(х+у)2+у2+4у+4+2х-1=(х+у)2+(у+2)2+2х-1
(х+у)2≥0 и (у+2)2≥0. Наименьшее значение при х+у=0 и у+2=0. Отсюда у=-2,
х=2. Следовательно, 2х-1=2*2-1=3.Значит Наименьшее значение выражения
А=0+0+3=3.
Ответ: при х=2 и у=-2.
10) Сколькими способами можно составить разведывательную группу из трех
офицеров и семи солдат, если всего 10 офицеров и 20 солдат?
Из 10 офицеров можно составить группы из трех человек =
Семерых
солдат
из
20
можно
выбрать
10!
 120 способами
3!*7!
20!
=77520
7!*13!
способами.
Для каждого из 120 способов выбора трех офицеров существует 77520
способов выбора семерых солдат, поэтому всего способов 77520•120=9302400.
Ответ: 9302400.