10. Индивидуальные задания

10. Индивидуальные задания
Решить задачу двумя способами – с применением рекурсии и без нее.
Выполнение задания подразумевает использование рекурсии, как для
определенной части задачи, так и для ее общего решения в зависимости от
условия. Возможно применение нескольких рекурсий.
1. Вычислить значение выражения при заданном положительном n:
( n  2 )( n4 )
( n 6 )...
S n
. Последнее значение должно быть равно 0 или 1.
2. Вычислить произведение элементов трехмерного массива.
3. Подсчитать количество цифр в двух заданных целых числах. Не
использовать функции работы со строками.
4. В упорядоченном по убыванию массиве положительных чисел ai,
i = 1 ... n найти номер элемента c методом бинарного поиска, используя
очевидное соотношение: если c  an / 2 , тогда c   a1...an / 2  , иначе
c   an / 2 1...an  . Если номер элемента c не найден, то все элементы увеличить
в 2 раза.
5. Найти наибольший общий делитель (НОД) чисел M, N и K, используя
метод Эйлера: если все K, M, N делятся на Z = min(K, M, N), то НОД (K, M,
N) = Z, иначе НОД (K, M, N) = НОД (A % Z, B % Z, Z), где A и B – не равные Z
числа.
6. Вычислить значение x  8 a , используя формулу вычисления
1
2
a
) , в качестве начального приближения для
xn 1
1 a
данной формулы использовать значение x0 
.
2
квадратного корня xn   ( xn 1 
7. Найти минимальный элемент в массиве a1, ..., an, используя метод
деления пополам min (a1, ..., an) = min (min (a1, ..., an/2), min (an/2+1, ..., an)).
8.
1
Вычислить y( n ) 
для
1
n
1
( n  2 )
( n  4 )
1
y( n ) 
для нечетных чисел.
1
n
( n 1) 
1
...
1
4
2
1
( n  2 )
1
...
1
2
1
9. Вычислить значение суммы S  1!
1
1
 3!...
2!
k!
четных
чисел
и
10. Проверить, является ли заданная строка палиндромом (как обычным
палиндромом, так и читаемым в прямом направлении).
11. Подсчитать количество цифр в заданном числе с фиксированной
точкой. Не использовать функции работы со строками.
12. Вычислить число Фибоначчи Fb(n). Числа Фибоначчи определяются
следующим образом: Fb(0)=1; Fb(1)=1; Fb(n)=Fb(n-1)+Fb(n-2).
1
1
13. Вычислить значение выражения X   25   7 , используя для
12
3
подсчета целых чисел сумму чисел 2 в положительных степенях, а для
дробей - в отрицательных степенях. Число
1
3
разлаживается в ряд

2 2   ( 1 )n 1 2 n .
n 3
14. Вычислить значение
x  9 a , используя формулу вычисления
1
a
кубического корня xn   ( 2  xn 1  2 ) , в качестве начального приближения
3
xn 1
1 a
для данной формулы использовать значение x0 
.
3
15. Реализовать вычисление натурального числа, которое может стать
палиндромом с помощью итеративного процесса «отразить и сложить».
Например: 53+35=88. Для разных чисел требуется разное количество
итерацией. Алгоритм будет корректно работать до числа 195 включительно.
15. Индивидуальные задания
Необходимый вариант для данной лабораторной работы определяется
как остаток от деления на 6 номера варианта, выданного преподавателем в
начале семестра (если остаток 0, то номер работы будет 6).
Требуется реализовать в программе 2 метода, указанных в задании, и
сравнить результаты их работы.
1. Метод Зейделя и Гаусса
2. Метод простой итерации и квадратного корня
3. Метод Зейделя и прогонки
4. Метод простой итерации и Гаусса
5. Метод Зейделя и квадратного корня
6. Метод простой итерации и прогонки
16. Индивидуальные задания
Требуется реализовать в программе 2 метода, указанных в задании, и
сравнить результаты их работы.
1. Аппроксимация общего вида и методом Гаусса с тремя узлами
2. Аппроксимация полиномом Лагранжа и метод Гаусса с двумя узлами
3. Аппроксимация полиномом Ньютона и метод с автоматическим
выбором шага
4. Аппроксимация методом наименьших квадратов и метод Симпсона
5. Линейная аппроксимация и метод трапеций
6. Квадратичная аппроксимация и метод средних прямоугольников
7. Аппроксимация общего вида и метод трапеций
8. Аппроксимация полиномом Ньютона и методом Гаусса с тремя
узлами
9. Линейная аппроксимация и метод Гаусса с двумя узлами
10. Квадратичная аппроксимация и метод средних прямоугольников
11. Аппроксимация полиномом Лагранжа и метод Симпсона
12. Аппроксимация полиномом Ньютона и метод трапеций
13. Квадратичная аппроксимация и методом Гаусса с тремя узлами
14. Аппроксимация методом наименьших квадратов и метод средних
прямоугольников
15. Квадратичная аппроксимация и методом Гаусса с тремя узлами
17. Индивидуальные задания
Требуется реализовать в программе 2 метода, указанных в задании, и
сравнить результаты их работы.
1. Метод простой итерации и метод деления отрезка пополам
2. Метод Ньютона и метод Вегстейна
3. Метод секущих и метод парабол
4. Метод Вегстейна и метод простой итерации
5. Метод парабол и метод деления отрезка пополам
6. Метод деления отрезка пополам и метод Ньютона
7. Метод простой итерации и метод секущих
8. Метод Ньютона и метод парабол
9. Метод секущих и метод деления отрезка
10. Метод Вегстейна и метод деления отрезка пополам
11. Метод парабол и метод деления отрезка
12. Метод деления отрезка пополам и
13. Метод простой итерации и метод парабол
14. Метод Ньютона и метод простой итерации
15. Метод секущих и метод Вегстейна
18. Индивидуальные задания
Требуется реализовать в программе 2 метода, указанных в задании, и
сравнить результаты их работы.
1. Метод золотого сечения и метод последовательного перебора
2. Метод Фибоначчи и метод квадратичной параболы
3. Метод последовательного перебора и метод кубической параболы
4. Метод квадратичной параболы и метод деления отрезка пополам
5. Метод кубической параболы и метод Фибоначчи
6. Метод деления отрезка пополам и метод золотого сечения
7. Метод золотого сечения и метод квадратичной параболы
8. Метод Фибоначчи и метод последовательного перебора
9. Метод последовательного перебора и метод золотого сечения
10. Метод квадратичной параболы и метод последовательного перебора
11. Метод кубической параболы и метод золотого сечения
12. Метод деления отрезка пополам и метод последовательного
перебора
13. Метод золотого сечения и метод Фибоначчи
14. Метод Фибоначчи и метод деления отрезка пополам
15. Метод последовательного перебора и метод деления отрезка
пополам
19. Индивидуальные задания
Составить программу
решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных
уравнений
одним из методов по указанию
преподавателя. Метод решения оформить в виде подпрограммы. Построить
графики полученного и точного решений. С помощью этой программы
решить задачу для системы двух уравнений в соответствии с вариантом из
таблицы 19.1.
du1
 f1 ( x, u1, u2 ),
dx
du2
 f 2 ( x, u1, u2 ),
dx
a  x  b,
u1 (a )  u10 ,
u2 (a )  u20
Точное решение для всех вариантов: u1  2 x, u2  e x .
Методы решения задачи Коши:
1. Метод Эйлера
2. Неявная схема 1-го порядка
3. Неявная схема 2-го порядка
4. Метод Рунге-Кутта 2-го порядка
5. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
6. Явная экстраполяционная схема Адамса 2-го порядка
7. Явная экстраполяционная схема Адамса 3-го порядка
8. Неявная схема Адамса 3-го порядка
[a;b] u1(a) u2(a) Метод
[2;4]
2
2.71
8
N
1
f1 ( x, u1, u2 )
f 2 ( x, u1, u2 )
u1 / x  u2 / e x  1
u1 /(2 x)  u2  1
2
u1  u2  2 x  e x  2
u1  u2  2 x
[1;2]
2
2.71
6
3
u1  2u2 / e x  2 x
u1 /(2 x)  e x / u2  u2
[2;3]
4
7.34
3
4
(u1  e x ) /( x  u2 )
2u1  u2  4 x
[1;4]
2
2.71
2
5
2u1  (u2  e x ) / e x  4 x
2 x  u2 / u1
[1;4]
4
7.34
5
6
u1  u2 /(e x  x)
2 x / u1  2u2  e x  1
[1;4]
2
2.71
7
7
u1 / 2 x  u2 / e x
u1  u2 / 2 x
[2;4]
4
7.34
4
8
u1 / x  u2  e x
2 x / u1  u22 / e x  1
[2;4]
2
2.71
1
9
u1  2e x / u2  2 x
u12 / x 2  u2  4
[1;2]
2
2.71
6
10
4 x / u1  u2  e x
u1 / 2 x  u2 / e x  e x
[2;4]
4
7.34
7
11
2 x / u1  u2 / e x
u1  e 2 x /(u2  2 x)
[3;4]
6
19.9
2
12
u1  u2 /(2e x )  x  2
u1  2u2  2 x  e x
[2;4]
2
2.71
6
13
u 21 u2  4 x 2  e x  2
u1  e x / u2  u2  2 x
[1;3]
2
2.71
7
14
u12 / 2 x 2  u2  e x
u1  e x / 2 x  u2 / e x  1 [2;4]
4
7.34
3
15
u1  e x /( x  u2 )
6
19.9
8
2 x / u1  u2  1
[3;4]