Действия над векторами

Действия над векторами
Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим
и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные
отрезки»?
А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь,
имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная
величина) его скорости.
Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа,
электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым
значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».
Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление,
называются векторными.
Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например,
ускорение свободного падения
направлено к поверхности Земли, а величина его
2
равна 9,8 м/с . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля —
тоже векторные величины.
Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими.
Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:
Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B. Конечный результат — его перемещение
из точки A в точку B, то есть перемещение на вектор
.
Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец
вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка.
Обозначается:
или
До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики
и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических
объектов. Для них свои правила.
Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах.
Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать
и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.
Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут
быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.
А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это
значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого
равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.
Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой,
в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два
числа — ее координаты по x и y, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:
Здесь в скобках записаны координаты вектора
— по x и по y.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.
Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле
Сложение векторов
Для сложения векторов есть два способа.
1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы
и , помещаем начала обоих
в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ
параллелограмма. Это и будет сумма векторов
и
.
Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз
с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.
2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же
векторы
и
. К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим
начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов
и
.
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим,
а затем соединяем начало первого с концом последнего.
Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем
в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.
При сложении векторов
и
получаем:
Вычитание векторов
Вектор
направлен противоположно вектору
. Длины векторов
Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов
вектора
и вектора
и
и
равны.
— это сумма
.
Умножение вектора на число
При умножении вектора
от длины
на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается
. Он сонаправлен с вектором
противоположно
, если k больше нуля, и направлен
, если k меньше нуля.
Скалярное произведение векторов
Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов
на косинус угла между ними.
Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число.
Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов —
силы и перемещения:
Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов
и
:
Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче С2 нужно найти угол
между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным
методом задача С2 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.
В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате
умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила
Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные
произведения.
Контрольная работа по теме:
«Основы кинематики».
Часть А
А1. Рассчитывают дальность полета снаряда и форму снаряда, обеспечивающую
уменьшение сопротивления воздуха. Снаряд можно принять за материальную точку
1) в первом случае
2) во втором случае
3) в обоих случаях
4) ни в первом случае, ни во втором
А2. Траектория винта самолета относительно Земли
1) окружность 2) винтовая линия
3) прямая
4) винт относительно Земли покоится
A3. На рисунке представлен график зависимости пройденного пути
от времени. Скорость тела в момент времени t = 2 с
1) 50 м/с
2) 5 м/с
3) 2,5 м/с
4) 2 м/с
А4. Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 180 км/ч и 30 м/с. Скорость
первого поезда относительно второго равна
1) 210 км/ч
2) 150 км/ч
3) 80 м/с
4) 20 м/с
А5. Движению автомобиля, подходящего к остановке, соответствует график
1) 1;
3) 3;
2) 2;
4) 4.
А6. На рисунке представлен график зависимости скорости от времени. Ускорение тела в
момент времени t = 1 с равно
1) 2 м/с2
2) 5 м/с2
3) 7,5 м/с2 4) 30 м/с2
А7. По графику зависимости скорости от времени определить
перемещение тела за 4 с
1) 64 м
2) 32 м
3) 16 м
4) 8 м
А8. Покоящееся тело начинает движение с постоянным
ускорением. За 4 с оно прошло 16 м. За последнюю секунду тело проходит путь
1) 1 м
2) 3 м
3) 5 м
4) 7 м
А9. Уравнению перемещения S = 5 – t2 соответствует уравнение скорости
1) V = - 2t
2) V = 5 - 2t
3) V = 5 + t
4) V = 5 + 2t
А10. Трамвай начал двигаться от остановки равноускоренно, затем равномерно и,
подъезжая к следующей остановке, стал замедлять ход. Этому движению соответствует
график
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
А11. При неравномерном движении
1) направление скорости не меняется
2) направление и модуль скорости не меняется
3) направление и модуль скорости непрерывно меняется
4) ускорение постоянно и не равно 0
А12. При свободном падении скорость тела
1) за каждую секунду увеличивается на 10 м/с
2) за каждую секунду увеличивается на 5 м/с
3) за каждую секунду уменьшается на 10 м/с
4) не изменяется
А13. Через 5 с скорость свободно падающего тела равна
1) 5 м/с
2) 10 м/с
3) 50 м/с
4) 75 м/с
А14. Тело свободно падает вниз. Этому движению соответствует график зависимости
модуля скорости от времени
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
А15. Период обращения тела равен 3 мин. 1/5 оборота тело делает за
1) 2,5 мин
2) 1 мин
3) 45 с
4) 36 с
А16. При равномерном движении по окружности
1) модуль и направление скорости не меняется
2) модуль и направление скорости меняется
3) модуль скорости меняется, направление скорости не меняется
4) модуль скорости не меняется, направление скорости меняется
А17. При постоянной скорости 900 км/ч самолет описывает вертикальную петлю.
Центростремительное ускорение равно 5g при радиусе петли
1) 1,25 км
2) 500 м
3) 125 м
4) 50 м
Часть В
B1. За 10 с после начала движения тело приобретает скорость 9 м/с. При этом оно
проходит путь (в м) ......
В2. Камень свободно падал вниз в течение 4 с. Его бросили с высоты … м.
В3. За 3,14 с тело прошло половину окружности радиуса 2 м. Ускорение тела (в м/с2)
равно …