Рис.1

КОМИТЕТ АДМИНИСТРАЦИИ ПЕРВОМАЙСКОГО РАЙОНА ПО
ОБРАЗОВАНИЮ
МОУ «Первомайская средняя общеобразовательная школа»
части программы курса по выбору
по математике для 9 класса
«Исследование квадратного уравнения
с параметрами»
Выполнили: учащиеся 10 «А»
класса Егорова Елена, Трошина
Елена, Сердюкова Ольга.
Проверила: учитель математики
Нагуманова Светлана Петровна.
Оценка:____________________
С. Первомайское
2008 г.
План:
I.
Введение
II.
Основная часть
1. Квадратный трехчлен
2. Теорема Виета
3. Исследование корней квадратного уравнения
4. Решение квадратных уравнений с параметрами
lll. Задачи для самостоятельного решения
lV. Обоснование актуальности выбранной темы
V. Содержание
Vl. Список используемой литературы
2
ВВЕДЕНИЕ
Если вспомнить некоторые основные уравнения (например,
ах 2  вх  с  0 ),
кх  в  0 ,
то нужно обратить внимание на то, что при поиске их
корней значения остальных переменных, входящих в уравнения,
считаются
фиксированными
существующей
литературе
или
заданными.
связаны
с
Все
разночтения
толкованием
того,
в
какими
фиксированными и заданными могут быть эти значения остальных
переменных.
Например, в уравнениях
х  а 1
и
ах  1
при
а0
равенства не
выполняются при любых значениях переменной х , а в уравнениях
а 1  х2
при
а0
х
2
а
и
их левые части не определены. Есть авторы,
допускающие рассмотрение значения
а0
во всех приведённых случаях,
и есть авторы, исключающие его в двух последних, вводя понятие
допустимых значений переменной а .
Параметром называется независимая переменная, значение которой
в задаче считается заданным фиксированным или произвольным
действительным
числом,
или
числом,
принадлежащим
заранее
оговорённому множеству.
Решить задачу, содержащую параметр – это, значит, выполнить
ветвление всех значений параметров на отдельные классы, при которых
задача имеет решение. При этом всегда следует помнить о сохранении
равносильности решаемых уравнений с учётом области определения
выражений, входящих в эту задачу.
3
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Квадратный трёхчлен
Уравнение вида ах 2  вх  с  0 , где а, в, с  действительные числа,
причём а  0 , называют квадратным уравнением. Если а  1 , то квадратное
уравнение называют приведённым; если а  1 – то неприведённым. Числа
а, в, с носят следующие названия:
а - первый коэффициент,
в - второй коэффициент,
с - свободный член.
В зависимости от величины дискриминанта Д: Д= в 2  4ас квадратное
уравнение может иметь различное количество корней:
если Д>0, то существуют два различных действительных корня
трёхчлена,
если Д=0, то уравнение имеет два одинаковых корня,
если Д<0, то не существует действительных корней уравнения.
Корни уравнения ах 2  вх  с  0 находят по формуле:
х
Если
в  2к ,
 в  в 2  4ас
2а
то формула корней принимает вид:
 к  к 2  ас
х
,
а
где
к
в
2
Формула особенно удобна в тех случаях, когда
в
2
– целое число, т.е.
коэффициент в – чётное число.
Графиком квадратичной функции у  ах 2  вх  с является парабола:
если а  0 , то ветви параболы направлены вниз (рис.1),
если a  0 , то ветви параболы направлены вверх (рис.2).
х
х
Рис. 1
Рис 2.
При этом возможны три случая расположения параболы к оси Ох:
1. Парабола пересекает ось О х (т.е. уравнение ах 2  вх  с  0 имеет два
различных корня).
2. Парабола имеет вершину на оси О х (т.е. уравнение ах 2  вх  с  0
имеет один корень)
4
3. Парабола не пересекает ось О х (т.е. уравнение
имеет корней)
ах 2  вх  с  0
не
Теорема Виета
Наиболее важной и главной теоремой, помогающей в решении
квадратных уравнений, является теорема Виета.
Если приведённое квадратное уравнение х 2  вх  с  0 имеет
действительные корни, то их сумма равна  в , а произведение равно с ,
т.е.
х1  х2  в
х1 х2  с
(1)
(сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму
коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение
корней равно свободному члену).
Квадратное уравнение ах 2  вх  с  0 имеет корни х1 и х2 . Равносильное
ему приведённое квадратное уравнение имеет вид
в
с
х2  х   0 .
а
а
По теореме Виета
в
с
х1  х2   , х1 х2 
а
а
С помощью этих соотношений решаются многие задачи и, в
частности, исследуются знаки корней (или формулируются условия,
определяющие знаки корней) квадратного трёхчлена.
Выведем ещё некоторые соотношения между корнями и
коэффициентами приведённого квадратного уравнения х 2  вх  с  0 .
Найдём сумму квадратов корней:
х12  х 22  ( х12  2 х1 х 2  х 22 )  2 х1 х 2  ( х1  х 2 ) 2  2 х1 х 2
Воспользовавшись формулами (1), получим:
(2)
х12  х 22  в 2  2с
Рассмотрим сумму кубов корней. Имеем:
х13  х 23  ( х1  х 2 )( х12  х1 х 2  х12 )  ( х1  х 2 )(( х1  х 2 ) 2  3х1 х 2 )
Воспользовавшись формулами (1) и (2), получим:
х13  х 23  в(в 2  3с)
Справедлива теорема, обратная теореме Виета.
Если числа m и n таковы, что их сумма равна –в, а произведение
равно с, то эти числа являются корнями уравнения х 2  вх  с  0 .
5
Исследование корней квадратного уравнения.
1. При решении многих задач требуется знание трёх основных теорем о
расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой.
2. Пусть f x   ax 2  bx  c имеет действительные корни x1 и x2 , а x0 - какоенибудь действительное число. Тогда:
Теорема 1.
Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были меньше, чем
число х0 ( т. е. лежали на координатной прямой левее, чем точка х0 ),
необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 1):
a0
a>0
x1

b
2a
f(x0)
x2
x2
x0

x0
b
2a
f(x0)
Рис.1
при а>0,
при а<o,
Д  0,
в

< х0 ,
2а
f x0  >0.
Д  0,
в

< х0 ,
2а
f x0  <0
Теорема 2.
Для того чтобы один из корней квадратного трёхчлена был меньше,
чем число х0, а другой больше числа х0 (т.е. точка х0 лежала бы между
корнями), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 2):
a0
a>0
x0

x1
x2
x1
а)
x2

x0
б)
Рис.2
6
при а>0,
f(x0)<0.
при a<0,
f(x0)>0.
Теорема 3.
Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше, чем
число х0 (т.е. лежали на координатной прямой правее, чем число х0),
необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 3):
a0
a>0
x0
x1

b
2 a x2
x0 x1

b
2a

а)
Рис. 3
при а>0,
x2

б)
при а<0,
Д  0,
в

>x0,
2а
Д  0,

f(x0)>0.
в
2а
>x0,
f(x0)<0.
3. Во всех вышеперечисленных соотношениях f(x0) представляет собой
выражение ах0 2  вх0  с.
4. Кроме того, приведём наиболее часто встречающиеся следствия из
этих утверждений.
Следствие 1
Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше,
чем число М, но меньше, чем число А (М<А), т.е. лежали в интервале
между М и А, необходимо и достаточно (рис. 4):
a0
a>0
М

x1
b
2 a x2

М x1  x2 А
А
а)

Рис. 4
б)
при а>0,
при a<0,
Д  0,
Д  0,
f(M)>0,
f(A)>0.
f(M)<0,
F(A)<0.
7
b
2a
Следствие 2.
Для того чтобы только больший корень квадратного трёхчлена лежал в
интервале МА (М<A), необходимо и достаточно (рис. 5):
a0
a>0
x1
х1
x2
М

А
а)
М
Рис.5
x2
А
б)
при а>0,
при а<0,
f(M)<0,
f(M)>0,
f(A)>0.
f(A)<0,
при этом меньший корень лежит вне
отрезка МА .
Следствие 3.
Для того чтобы только меньший корень квадратного трёхчлена лежал
в интервале МА (M<A), необходимо и достаточно (рис. 6):
a0
a>0
М
x 1А

а)
при а>0,
f(M)>0,
f(A)<0.
отрезка МА .
х1
x2
Рис. 6

x2
б)
при а<0,
f(M)<0,
F(A)>0, при этом больший корень лежит вне
Следствие 4.
Для того чтобы один корень квадратного трёхчлена был меньше, чем
М, а другой больше, чем А(М<A), т.е. отрезок МА целиком лежал внутри
интервала между корнями, необходимо и достаточно (рис. 7):
8
a0
a>0
x1
М

А
а)
х1
x2
Рис.7

А
x2
б)
при а>0,
при а<0,
f(M)<0,
f(M)>0,
f(A)<0.
f(A)>0.
Эта группа теорем и следствий очень часто применяется при решении
задач с параметрами и поэтому имеет большое значение.
9
Решение квадратных уравнений с параметрами.
Решение
квадратных
и
дробно-рациональных
уравнений,
содержащих параметры - один из труднейших разделов школьной
математики. Здесь, кроме использования определённых алгоритмов
решения уравнений, приходится думать об удачной классификации.
Квадратные и дробно- рациональные уравнения с параметрами – это тема,
на которой проверяется не натасканность ученика, а подлинное
понимание им математики.
Пример 1.
При каких к уравнение ( к  2 ) х 2  4  2к  х  3  0 имеет единственное
решение?
Решение: в условии не сказано, что уравнение – квадратное.
1. Ясно, что надо начинать решение со случая а  0 , т.е. к  2  0 или
к  2.
2. Но при к  2 уравнение не имеет решения , так как - 3  0
3. Если а  0 , т.е. к  2  0 или к  2 , то уравнение квадратное:
Д= 4  2к 2  12к  2  4к 2  28к  40
Д= к 2  7к  10 .
Исходные значения параметра – это корни дискриминанта
Д  49  40  9
73
к
2
к  2 или к  5 ,
но
к2
не подходит.
Ответ: к  5
Пример 2.
При каких значениях параметра а , корни уравнения
таковы, что сумма их квадратов равна 7 ?
4
Решение:
По теореме Виета:
х1  х 2  
в
а
с
а
х1  х2  3а
х1 х 2 
10
х 2  3ах  а 2  0
х1 х 2  а 2
Возведём в квадрат первое условие:
х1  х2 2  3а 2
х12  2 х1 х 2  х 22  9а 2
7
 2а 2  9а 2
4
7
7а 2 
4
а12  0,5
Ответ: а  0,5
Пример 3.
Дано уравнение к 2  5к  3 х 2  3к  1 х  2  0 .
Определить к так, чтобы один из корней был вдвое больше другого.
Решение:
По теореме Виета:
х1  х2 
1  3к
к  5к  3
к 2  5к  3  0
2
Д  25  12  13
2
х1 х 2  2
к  5к  3
к12 
5  13
2
2х1  х2
т.к. один из корней вдвое больше другого, то имеют место только
положительные корни:
3х1 
1  3к
к  5к  3
2
2 х12 
2
к  5к  3
2
2 х1  х2
х1 

1  3к

3 к  5к  3
2
2


1  3к
2
  2
2
2
к  5к  3
 3 к  5к  3 
2
21  3к 
2
 2
2
2
к  5к  3
9к  5к  3


1  3к 2

 1
9 к 2  5к  3
1  6к  9к 2  9к 2  45к  27
39к  26
2
к
3
11
Вернёмся к исходному уравнению и, подставив значение
дискриминант: если Д  0, то к соответствует условию задачи.
к,
найдём
Проверка:
 4 10
 2
   3  х  2  1х  2  0
9 3

1 2
х х20
9
х 2  9 х  18  0
Д  81  72  9
93
х
2
х1  6
х2  3
Корни отрицательные, значит кратно не сравниваются
решения.
Ответ: пустое множество.
Пример 4.
Даны уравнения 7 р  3х  35 р  2 
х5
р оба
р2  3

нет
и  р  3х2  2 х р  9  27  0 .
При каких значениях
уравнения имеют по одному различному
корню?
Решение:
1. Решаем второе уравнение:
Если р  3  0 , т.е. р  3 , то уравнение обращается в линейное:
2х 3  9  27  0
27
9
х
  - единственный корень
12
4
Исследуем другое уравнение при
7 3  3х  35 3  2  9  3
р  3
х5
х  5
17
30
единственное решение
Значит: при р=-3 оба уравнения имеют по одному различному корню.
2. Если р  3  0 т.е. р  3 , тогда уравнение обращается в квадратное, и
количество корней зависит от дискриминанта, а именно, при Д=0 –
уравнение имеет один корень.
2
Д  2 р  9  4 * 27 р  3  4 р 2  72 р  324  108 р  324
4 р 2  36 р  0
12
4 р р  9  0
или р  9
при р=0 другое уравнение не имеет смысла,
при р=9 другое уравнение имеет корень х=1,5,
значит и при р=9 оба уравнения имеют по одному различному корню.
Ответ: -3; 9.
ро
Пример 5.
При каких значениях параметра а корни квадратного трёхчлена
2  а х 2  3ах  2а действительны и оба больше, чем 1 ?
2
Решение:
f х   2  а х 2  3ах  2а
1. 2  а  0 , т.е. а  2
2. Первый случай: 2-а>0
Второй случай: 2-а<0
х1 > х0 и х2 > х0
Исходя из теоремы 3 о расположении корней квадратного трёхчлена на
координатной прямой, составляем систему неравенств:
а.  0
D0
f x   0

в
 x0
2а
2  а >0
 3а 2  42  а 2а  0
2
2  а  1   3а  1  2а >0
2
2
3а
>1
22  а  2
a<0
17a2-16a  0
1 1
 а >0
2 4
4а  2 1
>
2а
2
Общее решение:
a<2
16
а0
17
-2
13
0
1 16
2 17
+
2
а
a>-2
0,5  a  2
Ответ: а  16 ;2 .
17

Задачи для самостоятельного решения
№1
При каких значениях к уравнение имеет единственное решение?
кх 2  х  3  0
Ответ: к=0 или к=
1
.
12
№2
При каких значениях а квадратное уравнение имеет действительные
корни?
а  1х2  2а  1х  а  5  0
Ответ: при
 21 
а   ;1  1; .
 20 
№ 3*
Для каких значений а один из корней уравнения
меньше 1, а второй – больше 2?
Ответ:
2
х 2  2ах  2а 2  4а  3  0
2
 a  2.
2
№ 4*
Для каких значений m уравнение
заключённые между –1 и 1?
Ответ:  2 <m< 1 .
4х2  2х  m  0
имеет корни,
4
№ 5*
При каких значениях параметра р уравнение 1  р х2  3 рх  4 р  0 имеет
хотя бы один корень, причём все корни больше 1 ?
Ответ:  16 ;1.

7

14
Обоснование актуальности выбранной темы.
Задачи с параметрами часто встречаются на вступительных экзаменах
по математике и столь же часто оказываются не по силам абитуриентам.
Это, вообще говоря, неудивительно, поскольку у большинства учащихся
нет должной свободы в общении с параметрами. Несмотря на то, что
программа по математике средней общеобразовательной школы не
упоминает в явном виде о задачах с параметрами, было бы ошибкой
утверждать, что вопрос о решении задач с параметрами никоим образом
не освещается в рамках школьного курса математики. Достаточно
вспомнить,
знакомые
нам,
х 2  а, ах 2  вх  с  0, sin x  a, cos x  a, tgx  a, ctgx  a ,
школьные
в которых
уравнения:
а, в, с
есть не что
иное, как параметры. Но нам кажется, что задачам с параметрами,
следовало бы уделять больше внимания. Несмотря на то, что часто они
нелегко
входят
представляют
в
понимание
чисто
учащихся,
математический
задачи
интерес,
с
параметрами
способствуют
интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для
обработки навыков.
Поэтому предлагаем в курс по выбору для предпрофильной
подготовки учащихся в 9-х классах включить тему «Исследование
квадратного уравнения с параметрами».
15
Содержание
План-----------------------------------------------------------------------стр.2
Введение------------------------------------------------------------------стр.3
Основная часть-----------------------------------------------------стр.4-14
Квадратный трёхчлен----------------------------------------------------------стр.4
Теорема Виета--------------------------------------------------------------------стр.5
Исследование корней квадратного уравнения------------------------стр.6-9
Решение квадратных уравнений с параметрами------------------стр.10-13
Задачи для самостоятельного решения------------------------стр.14
Обоснование актуальности выбранной темы----------------стр.15
Содержание ------------------------------------------------------------------ стр16
Список используемой литературы------------------------------стр.17
16
Список используемой литературы.
1. В.С. Крамор. «Повторяем и систематизируем школьный курс
алгебры и начал анализа». Москва, издательство «Просвещение»,
1990 г.
2.
В.А.
Гусев,
А.Г.
Мордкович.
«Математика.
Справочные
материалы». Москва, издательство «Просвещение», 1992 г.
3. В.С. Крамор. «Примеры решения задач с параметрами». Москва,
издательство «Просвещение», 1997 г.
17