Научно-исследовательская работа на тему "Некоторые

Некоторые применения
дифференциальных
уравнений в биологии
С появлением первых трудов по математике
(Евклид - III в. до н. э., Фалес Милетский – VI в.до
н.э.), эта наука начала широко применятся в
строительстве, в торговле, а в дальнейшем с её
развитием, в естественных науках, в экономике,
в инженерном деле и даже в самых необычных
областях, например, таких как музыка.
Математика в биологии
Взаимодействие видов. Обычно рассматриваются хищники
и жертвы.
Математика в биологии
Модель Лотка — Вольтерры имеет смысл в идеальных
условиях, то есть без учета возмущающих факторов.
 x   a  bx x
 1
2 1
 

 x2   c  dx1 x2
Математика в биологии
Математика в биологии
Система уравнений
Холлинга — Тэннера описывает
взаимодействие двух видов (хищников и жертв). Была
получена путем усовершенствования модели Лотка —
Вольтерры.
 

ax2 

 x2  x2  c 
x1 



 x   x  d  bx  px2 
1
1

 1
q

x
1


Математика в биологии
Другой пример, размножение бактерий с течением
времени.
Математика в биологии
Пусть x – количество бактерий, тогда dx/dt = kx, где k –
коэффициент пропорциональности.
dx
 kx;
dt
dx
 kdt;
x
dx
 x   kdx; ln x  kt  ln C ;
ln x  ln e kt  ln C ;
x  Ce kt ;
Математика в биологии
При C = x0 получим
x  x0 e .
kt
Как видно, бактерии в благоприятных условиях будут
размножаться по экспоненциальному закону. Это можно
применять в практических целях, например, для
выращивания нужных микроорганизмов.
Математика в биологии
«Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии»
Дж. Марри, «Математика в биологии и медицине»
Н. Бейли , «Принцип оптимальности в биологии» Розен Р.