Элементы комбинаторики

Керченская общеобразовательная школа 1-3 ступеней
№11
Элементы комбинаторики
Составила:
Учитель высшей категории,
Учитель-методист
Пятинская И.В.
.
Раздел математики, в котором изучаются методы решения комбинаторных задач,
называется комбинаторика.
Комбинаторные задачи – задачи, в которых часто приходится отвечать на вопрос :
сколькими способами можно выполнить то, что требуется. Например, сколькими
способами можно составить расписание уроков на день из 5 предметов, если в классе
изучается 10 предметов. Или сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр
четырёхзначного числа и т.д.
При решении таких задач приходится рассматривать конечные множества, состоящие
из элементов любой природы и их подмножества. Такие множества называют
соединениями, а в зависимости от типа задач они получили определенные названия :
перестановки, замещения, сочетания.
1. Перестановки
Задача. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр числа 123, если цифры в
каждом числе не повторяются?
Решение
Составим все эти числа : 123; 132; 213 ; 231; 312; 321. Всего – 6 чисел. Обратим
внимание : взяли первой цифру 1, с ней образовав 2 числа, цифру 2, с ней образовав 2
числа, цифру 3, с ней образовав 2 числа, т.е. общее количество всех чисел 3*2=6.
Напишем по-другому : Pn=n!=1*2*3
Так как цифры в числе переставляли, то логически следует назвать этот тип задач –
перестановкой
Pn=n!
n!=1*2*3*…*(n-1)n
*Любое упорядоченное множество, состоящее из n элементов, называют перестановкой
из n элементов.
Внимание :
1. Количество элементов данного и полученного множества совпадает.
2. Важен порядок в множестве.
a) Факториал и его свойства.
n!=1*2*3*…*(n-1)n
1!=1
0!=1
Например : 4!=1*2*3*4=24.
6!/3! = (1*2*3)*4*5*6/3! = 3! * 4*5*6/3! = 4*5*6 = 120.
(k! – (k+1)!)/k! = (k! – k!(k+1))/k! = k!(1-k-1)/k! = -k
б) Перестановки.
Задача. Сколькими способами можно рассадить 5 гостей вокруг стола, если стоят 5
стульев?
Решение
Количество гостей совпадает с количеством стульев. Каждый гость садится на
определённое место, т.е. в множестве важен порядок значит, это перестановка из 5
элементов. P5=5!=1*2*3*4*5=120
Задачи.
1. a) n!/(n+1)!; б) n!/(n-2)!; в) (n+1)!/(n-2)! ; г) n!/(n-k)! , n>k
2. Упростите :
а) 1/(n+1)! – 1/(n+2)! ; б) n!/(n+1)! – (n-1)!/n!
3. Сократите :
а) (n-1)!/n! б) n!/(n-3)! в) (n-2)!/(n-4)! г) (n+1)!/(n-k+1)! , n>k
4. Упростите :
а) 1/k! – 1/(k+1)! б) (n-2)!/n! – n!/(n+1)!
5. Решите уравнение.
а) (n+2)!/n! = 72 б) (n+1)!/(n-1)! = 30
6. Вычислите :
а) (P5+P4)/P3 б) (P10 - P9)/9P8 в) P3k/P(3k-2)
7. Вычислите :
а) (P6+P5)/P4
б) (P12 – P11)/11P10
в) P(3k+2)/P(3k+1)
8. Сколькими способами можно составить список из 5 учеников?(ответ : P5 = 5!)
9. В школе 17 классов и 17 классных руководителей. Сколькими способами можно
распределить классное руководство между учителями?(ответ : P17 = 17!)
10. Сколько разных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0;2;4;6 , если каждую
из них использовать только один раз(ВНО).
Решение :
Цифр – 4; составить 4-х значных, значит в полученном множестве всех цифр – 4 => всех
4! . Но среди чисел не может быть четырехзначных с первой цифрой “0”, т.е. это –
трёхзначные числа. Из полученного множества – убрать 3! (ответ : 4! – 3!)
11. Сколькими способами можно расставить 6 книжек на книжной полке? (ответ : P6 = 6!)
12. На танцевальной площадке собрались n юношей и n девушек. Сколькими способами
они могут образовать пары для участия в очередном танце? (ответ Pn = n!)
13. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0;1;3;5;7 , если
каждую из них использовать только один раз? (ответ 5!-4! )
14. Сколькими способами можно 8 учеников построить в колону по одному? (ответ P8 )
15. Есть 10 книг, из которых 4 – учебники. Сколькими способами можно поставить эти
книги на полку так, чтобы все учебники стояли рядом?(ВНО)
Решение :
Пусть все 4 учебника как 1 книга. Тогда на полке надо расставить не 10 книг, а 7, т.е.
P7 = 7! В каждом таком наборе книг 4 учебника можно переставлять между собой P4
способами, т.е. P4 = 4!. Значит, P7 * P4 = 7!*4!
16. В шкафу в ряд висят 10 платьев и 3 блузки. Сколькими способами можно развесить
всю одежду так, чтобы блузки висели рядом? (ответ : 11! * 3! )
17. На полке в ряд лежат 5 тюбиков с кремом и 2 тюбика с зубной пастой. Сколькими
способами можно разложить все предметы так, чтобы тюбики с кремом лежали в ряд?
(ответ 3! * 5!)
18. На пляже в ряд загорают 20 человек, среди них – 8 детей. Сколькими способами
можно распределить загорающих так, чтобы дети лежали рядом? (ответ : 13!*8!)
19. Сколькими способами можно 4 мужчин расположить на 4 местной лодке? ( ответ : 4!)
20. Курьер должен разнести пакеты 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может
выбрать?( ответ : 7!)
21. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5,7,8, но забыла в
каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые
ей придется набрать, чтобы дозвонится подруге? ( ответ : 3!)
22. Сколько 6 значных чисел(без повтора цифр) можно составить из цифр :
а) 1,2,5,6,7,8
б)0,2,5,6,7,8
(ответ : а) 6! б)6!-5! )
23. В расписании на понедельник 6 уроков : алгебра, геометрия, иностранный язык,
история, физ-ра, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на
этот день так, чтобы 2 урока математики стояли рядом?
Решение :
5! * 2!(т.к. алгебра и геометрия считаются одним предметом, всего 5 предметов; и между
собой алгебра и геометрия – т.е. 2 варианта) (ответ : 5! * 2! )
24. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду
места с 1 по 10 ? (ответ : 10! )
25. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять места в театре, если
мальчики будут сидеть на нечётных местах, девочки – на чётных ? (ответ : 5! * 5! ).
2. Комбинаторный закон умножения
Если элемент а можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора элемент b
можно выбрать k способами, то пару элементов (a и b) можно выбрать m*k способами.
Задача 1. В вазе 10 конфет и 5 шоколадок. Сколькими способами можно выбрать 1
конфету и 1 шоколадку.
Решение : Возьмем 1 конфету, после этого 1 шоколадку можно выбрать 5 способами.
Конфет 10, значит всех способов в 10 раз больше! 5*10 = 50 (способов)
Задача 2. Даны цифры 0,1,2,3,4. Сколько пятизначных чисел можно составить из данных
цифр. Цифры в числе могут повторятся.
Решение : На первом месте может быть любое число, кроме “0” => для 1 места
существует 4 способа. После этого рассматриваем 2ую позицию – может быть любое
из 5 чисел, значит 5 способов; 3 – позиция : 5 способов; 4ая – 5 способов; 5я – 5 способов.
4 * 5 * 5 * 5 * 5 = 4 * 54 (способов).
3. Комбинаторный закон сложения
Если элемент a можно выбрать m способов, а элемент b – k способами и любой выбор
элемента a отличен от выбора b, то элементы a или b можно выбрать m+k способами.
Задача В вазе лежат 10 конфет и 5 шоколадок. Сколькими способами можно выбрать
одну сладость?
Решение Конфету или шоколадку? “или” означает “+”, => 10+5 = 15 (способов).
Задачи.
26. Есть 5 видов конвертов без марки и 4 вида марок. Сколькими способами можно
выбрать конверт и марку для письма? (ответ 5 * 4 = 20)
27. На полке стоят книги : 100 художественных и 35 учебных. Сколькими способами
можно выбрать : a) 1 книгу б) 1 художественную и 1 учебную?
28. Сколько чётных чисел можно составить из цифр 0;1;3;6.
Решение : 1 позиция 0 3 способа(без нуля); 2 позиция – 4 способа, 3 и 4 – 4 способа.
3 * 4 * 4 = 48 (чисел)
29. Сколько четырёхзначных чисел, кратных 5 можно составить из всех цифр 0,1 … 9 ?
Решение : всех цифр – 10;
1ая позиция – 9 цифр (без 0 )
2, 3 позиция – 10 цифр
4 позиция – 2 цифры (0;5)
9*10*10*2(числа)
30. Сколько 5 значных нечётных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7 ?
(ответ : 5*6*6*6*3 )
3. Перестановки с повторением.
Перестановкой с повторением состава n=k1+ k2 + … + km из m элементов a1 , a2 , … , am
некоторого множества M называется любая конечная последовательность, состоящая
из n элементов, в которую a1 входит k1 раз, a2 входит k2 раз, … , am входит km раз.
Pn = n!/( k1!+ k2 !+ … + km !) ; где, k1+ k2 + … + km = n .
Задача 1. Количество различных 6-значных чисел, которые можно составить из трёх
двоек, двух семёрок и одной пятёрки, равно : P6=6!/3!*2!*1!=720/6*2*1=60(чисел)
Задача 2. Сколько различных слов можно составить из букв слова математика?
Решение. М-2 буквы, а – 3 буквы, Т-2буквы, всего 10 букв. P10=10!/2!*3!*2! (слов)
Задача 3 Найти количество разных четырёхзначных чисел, которые могут получиться
при перестановке 1,1,4,4. Ответ : P4 = 4!/2!*2! = 6.
Задачи.
31. Сколько различных 5-значных чисел можно составить при перестановке цифр
2,2,3,3,5. (ответ : 5!/2!*3!*1! )
32. Сколько 6-значных чисел можно составить : 1)из двух цифр 5 и четырёх цифр 7
2)из трёх цифр 5 и трёх цифр 7? (ответ : 1) 6!/2!*4! 2) 6!/3!*3! )
33. Сколькими способами можно разложить 28 предметов в 4 разных ящика так, чтобы в
каждом ящике было 7 предметов? (ответ 28!/7!)
34. Сколько различных слов можно получить переставляя буквы слова : 1) лицей
2) галушка 3) шаровары 4) мама 5) папа 6) панама
4. Сочетания.
Сочетанием из n элементов по k называют k – элементное подмножество
n – элементного множества.
Главное : 1) кол-во элементов множеств – разное, причём k ≤ n. 2) порядок не важен
Cnk = n!/k!(n-k)!
Свойства :
0
0
n
1. С0 = 1 ; Cn = 1 ; Cn = 1
2) Cnk = Cnn-k
3) Cnk + Cnk+1 = Cn+1k+1
Задача Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из 25 учащихся класса?
Решение. 2≠25. Дежурные – равнозначные. => C252 = 25!/2!(25-2)! = 25!/2!*23! =
= 24*25/2 = 300 (способов)
Задачи.
35. В классе 7 учащихся занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать
двух из них для участия в математической олимпиаде? (ответ C72 )
36. В магазине продаются 8 разных наборов марок на спортивную тему. Сколькими
способами можно выбрать 3 набора? (ответ C83 )
37. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуют прочитать на каникулах.
Сколькими способами можно выбрать 6 из них? (ответ C106 )
38. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории нужно выделить 4
мальчика и 3 девочки. Сколькими способами это можно сделать?( Ответ C164 * C123 )
39. На плоскости даны 25 точек так, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой.
Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
Решение. Так как n=25 , k = 3 и порядок вершин неважен, то C253
40. У одного мальчика – 10 марок для обмена, а у другого – 8. Сколькими способами они
могут обменять 2 марки одного на 2 марки другого? (ответ C102 * C82 )
41. На одной из параллельных прямых отмечены 7 точек, на другой – 12. Сколько
существует четырёхугольников с вершинами в этих точках?
Решение. По 2 точки (вершины) должны лежать на каждой из прямых.(ответ : C72 * C122)
42. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды(52 карты) 10 карт так, чтобы
среди них было 3 туза?
Решение. 3 туза из 4х тузов : C43 . Остальные 7 карт – не тузы. 52-4=48 : C487.
Ответ : C43 * C487.
43. Вычислить : 1) C84 2) C76
44. Решить уравнение : 1) Cx2 = 153 2)Cx+23 = 8(x+1) 3) Cx+12/Cx3 = 4/5
Ответ : 1)18; 2)6; 3)7;
45. Решить уравнение : 1)Cxx-2 = 45 ; 2)3C2xx+1 = 2C2x+1x-1 ; 3) 11C2xx = 6C2x+1x+1 ;
46. Решить уравнение : 1)Cx15 = Cx6 ; 2)C307+C306 = C31x ; 3)C198+C19x = C208 ; 4)Cx2 = 120 ;
5)Cx+23 = 7(x+2) ; 6)Cxx-2 = 66 ; 7)Cx+13/Cx4 = 6/5 ; 8)13C2xx+1 = 7C2x+1x-1 ;
9) 17C2x-1x=9C2xx-1
47. На бригаду рабочих из 8 человек выделили всего 3 путёвки в санаторий. Сколькими
способами можно сформировать группу обиженных?(ответ C85 )
48. На плоскости расположены 20 точек так, что никакие 3 из них не лежат на одной
прямой. Сколько существует прямых проходящих через эти точки? ( ответ C202 )
49. Сколькими способами группу туристов из 10 человек можно разместить в 4х местной
и 6 местной палатке? (ответ C104 )
50. В отряде 7 офицеров и 20 рядовых. Сколькими способами можно сформировать отряд
разведчиков, в который входят 3 офицера и 12 рядовых? (ответ C73 * C2012 )
51. В футбольной команде 11 основных игроков и 8 запасных. Сколькими способами
можно сделать замену сразу двух игроков? (ответ C112 * C82 )
52. На одной параллельной прямой – 7 точке, на другой – 12. Сколько существует
треугольников с вершинами в этих точках? (ответ С72 * С121 + С71 * С122)
53. Сколькими способами можно выбрать из колоды(36 карт) 6 карт так, чтобы среди них
было 2 дамы? (ответ C42 * C324 )
54. В лотерее разыгрываются 5 предметов. Первый, кто подошёл к урне, вынимает 5
билетов из неё. Сколькими способами он может их вынуть, чтобы 3 из них были
выигрышными, если в урне 100 билетов. (ответ : C53 * C952 )
55. На собрании 30 человек, среди которых 2 женщины, избрали 4 сотрудника для работы
на участке. Сколько может быть случаев, когда среди избранных – 2 женщины?
56. 16 экскурсантов разделились на 2 равные группы для поиска пропавшего туриста.
Среди них 4 человека знакомы с местностью. Сколькими способами они могут разделится
так, чтобы в каждую группу вошли 2 человека, знающие местность. (ответ : C42 * C126 )
57. Доказать : Cnm+1 + Cnm-1 + 2Cnm = Cn+2m+1
58. Строительная организация выделила в помощь детскому дому бригаду из 5 рабочих. В
организации работают 20 рабочих, в том числе 5 каменщиков, 4 плотника и 2
штукатурщика. Сколькими способами можно укомплектовать бригаду, чтобы в её состав
входили рабочие всех специальностей по одному?
Решение. С
59. Между четырьмя игроками в домино распределяют 28 костей. Сколькими способами
(N) можно распределить кости? В ответ запишите N:109 и округлите, до единиц.
Решение : 1 игрок может выбрать кости C287 способами, 2 ой игрок : C217 , третий C147 ,
четвертый : C77 .
N = C287 * C217 * C147 * C77 = 21478.
60. Сколькими способами из группы (20 человек) можно выбрать 4 делегата на
конференцию?( C204 .)
61. Сколькими способами можно составить букет из 3 роз, в котором находится 2 красных
и 1 белая розы, если цветы выбирают из 6 белых и 7 красных?(ответ : C72 * C61 ).
Сочетание с повторениями
Пусть дано n – элементное множество, то сочетанием с повторением из n элементов по
k называются наборы, в каждый из которых входит k заданных элементов(не
обязательно разных), отличающихся только составом элементов(хотя бы одним
элементом)
Cnk = Cn+k-1k
Задача. В почтовом отделении продаются открытки пяти видов. Найти количество
способов покупки 7 открыток.
Решение. При выборе открыток порядок их следования не учитывают. По условию не
запрещается покупать одинаковые открытки.
C57 = C5+7-17 = 330.
62. Сколько существует треугольников длины сторон которых принимают любые из 3
следующих значений : 4,5,6,7. (ответ : C43 )
63. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно
купить в отделении : а) 12 открыток ; б) 8 открыток.
(ответ : а) C1012 ; б) C108 )
64. Сколькими способами можно построить прямоугольных параллелепипедов, длины
рёбер которых выраженные натур числами от 1 до 10? (ответ C103 )
65. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают любые 3 из
данных значений : 4;5;6;7 (ответ C43 )
Размещения
Размещением из n элементов по k называют любое упорядоченное множество из k
элементов множества. Ank = n!/(n-k)!
Характеристика :
1) Количество элементов разное
2) Важен порядок во множестве.
Задача. Для дежурства по школе из 10 учащихся выделили 2 учащихся : старшего
дежурного и его заместителя. Сколькими способами?
Решение. Выбор старшего дежурного из 10 возможен 10 способами. После 1 выбора
осталось 9 человек. Из 9 человек выбираем заместителя. Значит, 10*9 = 90. Или
A102 = 10!/8! = 9*10 = 90.
Задача 2. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6,
если цифры не повторяются.
Решение : n = 6, k = 3 ; n ≠ k . Порядок – важен. Тогда A63 = 120.
Задачи.
65. Даны 6 цифр 0,1,2,3,4,5. Сколько трёхзначных чисел можно составить из данных
цифр(без повторения цифр) ? (ответ : n = A63 – A62 = 100)
66. Сколькими способами можно составить расписание на 1 день из 15 предметов, если в
течении дня должно быть 7 уроков? (ответ А157 )
67. На соревнования по лёгкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими
способами тренер может определить, кто из них победит в эстафете 4х100 м на каждом из
4х этапов. (ответ А124 )
68. Сколько 3 значных чисел можно образовать из цифр 1,2,3,4,5,6 (ответ А63 )
69. Сколькими способами можно расположить ….. из 3 человек в 4-х местной ……., если
других пассажиров нет.
70. Из 25 учащихся надо выбрать председателя, заместителя и секретаря.
71. Сколькими способами можно изготовить трёхцветный флаг с горизонтальными
полосами, если есть материал 7 разных цветов? (ответ А73 )
72. Сколькими способами организаторы конкурса могут определить призёров из 15
учениц? (ответ А153 )
73. Для полёта в космос необходимо укомплектовать экипаж, помощников, 2х
бортинженеров и 1 врача. Тройка руководителей полёта выбираются из 25 лётчиков
бортинженеры – из 20 специалистов а врачи из 8 медиков. Сколькими способами можно
укомплектовать экипаж? В ответ записать N:106 и округлить до единиц.
Решение. Т.к. в выборе команды состава важен порядок, то командира и 2х его
помощников можно выбрать А253 способов. Бортинженеры равноценны(II состав), порядок
их выбора не важен, тогда С202 врачи С81 . N = А253 * С202 * С81 = 2097600.
N:106 = 21.
74. Решите уравнение.
1) Ax4/Ax2 = 6 ; 2) Ax2 + Cx1 ; 3) Ax2=20 ; 4) 3Cx+12 - 2 Ax2 = x ; 5) Ax+13 + Cx+1x-1 = 14(x+1) ;
75. Сколькими способами в команде спортсменов из 10 человек можно распределить 3
призовых места? (ответ A103)
76. Вычислить :
1) A133/( A144 – A134 ) ; 2) A1512/( A163 * P12 ) ;
77. Решить уравнение : 1)Ax2 = 42 ; 2) Ax2 = 182 ; 3) Ax-12 - Cx1 = 79 ; 4) 3Cx+12 +2x = 4Ax2
5) Ax-22 + Cxx-2 = 101
78. Сколько существует 3х значных чисел, все цифры которых чётные, различные, не
содержат “0” ?
79. Сколько существует правильных дробей, числитель и знаменатель которых различны
и не содержат “0” ?
Размещения с повторениями
Размещением с повторением из n по k называется конечная последовательность из k
элементов (a1 , a2 , … , ak ) некоторого n – множества.
Главное : n и k – любые. Порядок – важен, могут быть как и незанятые места, так и на
одно место несколько элементов.
Ank = nk
Задача. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр : 1,2,3,4,5,6,
если цифры могут повторятся.
Решение : A63 = 63 = 216
Задачи.
80. Шестерых студентов необходимо распределить по трём разным группам. Сколькими
способами это можно сделать? (A39 = 39 )
81. Найти количество 3х значных чисел, которые можно составить из цифр 3,4,5,6,7,8,9
если а) цифры в числе не повторяются ; б) цифры в 1 числе могут повторится.
(Ответ а)A73 ; б) A73 )
82. Найти количество 3х значных чисел, которое можно составить из цифр 3,4,5,6,7,8,0
если а) цифры не повторяются ; б) цифры могут повторятся.
Решение. а) A73 – A62 ; б) на 1 место можно поставить все цифры кроме “0” ; т.е. 6
способов, а на любое другое место – 7 способов. 6*7*7 = 294 (чисел)
83. Сколько существует 7 – значных телефонных номеров, у которых первая цифра 70.
Решение. Всего цифр 10. На 1 место – 9 цифр(кроме нуля), на 2ое – 10. (9 * 106 )
84. Сколько разных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 так, чтобы
полученные числа были а) четными ; б) кратные 5.
Решение. а) 5 * 5 * 2 = 50(чисел) так как на 1 и 2 место можно поставить любое из 5 чисел,
а на последние только 2. Числа из данных – 2 и 4.
б) 5*5*1 = 25.
86. Сколькими способами можно размешать 12 разных деталей по 3 ящикам? (A312 )
87. Сколько существует 5-значных номеров 1) составленных из цифр 2,3,5,7 ; 2) который
не содержит цифру 8 ; 3) которые не содержат цифру 0 и 8.
Решение. 1) A45 ; 2) A85 ; 3) A95 – A84
88. Имеем набор из 16 карточек на 4х буква А, на 4х буква Б, на 4х – В; на 4х – Г. Сколько
разных наборов можно получить, выбирая из набора 4 карточки и складывая их в
определенном порядке? (44 )
Решение задач.
89. Сколькими способами можно расставить 6 книг на книжной полке? ( 6! )
90. На бригаду рабочих из 8 человек выделили всего 3 путёвки в санатороий. Сколькими
способами можно сформировать группу : a) счастливчиков (С83 ) ; б)неудачников (С85 )
91. В классе изучают 16 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на
1 день из 7 уроков, если все уроки – различные предметы (A167 )
92. Сколько существует четырехзначных чисел, все цифры кот. Различны и четны?
(A54 - A43 )
93. Сколько различных 5 значных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если цифру
в числе можно использовать только 1 раз? ( 5! – 4! )
94. В отряде 7 офицеров и 20 рядовых. Сколькими способами можно сформировать отряд
разведчиков, в который входят 3 офицера 12 рядовых? (C73 * C2012 )
95. Сколько различных слов можно получить переставляя буквы слова : a)школа ( 5!) ;
б)литература (ответ : 10!/(2! * 2! * 2!) )
96. Сколько существует треугольников с сторонами 5см, 6см, 7см, 8см, если :
а) треугольники – разносторонние (С43 ) ; б) любые (С63 )
97. Сколькими способами можно выбрать из колоды( 36 карт ) 6 карт так, чтобы среди
них было 2 туза? (С42 * С324 )
98. Сколькими способами можно разложить 20 мячей по 5 корзинам (A520 )
99. Сколько существует 5 значных номеров телефонов составленных из 4 цифр 1,2,3,8.
(ответ : A45 )
100. В урне лежат 8 красных, 4 синих, 3 желтых шара. Сколькими способами можно
вытянуть : а) 1 красный, 1 желтый, 1 синий шар (ответ : 8*4*3) ; б) 2 красных, 3 синих, 2
жёлтых ( С82 * С43 * С32 ) .
101. Сколькими способами можно заполнить карточки спортлото (зачеркнуть 6 из 49) ?
(ответ С496 )
102. В каких случаях из 6 выбранных номеров игры спортлото 6 из 49 после тиража
а)3 будет угаданы правильно. (С63 * С433 ) ; б) 4 – правильно (С64 * С432 ) ; в) 5 – правильно
(С65 * С431 ) ; г) 6 – правильно (С66 * С430 )
103. Сколько четырёхзначных чисел можно получить из числа 2226 ( P4 = 4!/(3!*1!) = 4 )
104. Сколькими способами можно разложить 28 предметов в 4 разных ящика по 7
предметов ? ( 28!/(7!*7!*7!*7!)
105. Сколькими способами можно разложить 28 предметов в 4 разных ящика? (С428 )
106. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 так, чтобы
полученные числа были : а) чётными (5*5*2) ; б) кратные 5 (5*5*1)
107. Сколькими способами на полке можно расставить 10 книг, среди которых 3 – научно
– популярные, чтобы научно-популярные стояли рядом. (11!*3!)
108. В шкафу вряд висят 6 пиджаков и 10 платьев. Сколькими способами можно развесить
одежду так, чтобы пиджаки висели рядом? (11! * 6!)
109. В шеренге на уроке физкультуры в ряд стоят 15 девочек и 6 мальчиков. Сколькими
способами ребята могут выстроится снова так, чтобы мальчики были рядом?
110. На полке в магазине в ряд лежат 20 булок белого хлеба и 10 – серого. Сколькими
способами можно разложить хлеб так, чтобы булки серого хлеба были рядом? (21!*10!)
111. Сколько слов можно составить из слова переставляя его буквы : а) кружка (6!) ;
б) казак (5!/2!)
112. Даны цифры 1,2,7,8,9. Сколькими способами можно составить из данных цифр :
а) 5 значное число без повторения цифр(5!) ; б) 5 значное число с повторением
цифр(5*5*5*5*5) ; в) трёхзначное число без повторения цифр (A53 ) ; г) трёхзначное число
с повторением цифр (5*5*5) ; д) чётное трехзначное число (5*5*2) ; е) нечетное
четырёхзначное число (5*5*5*3) ; ж) трёхзначное число, все цифры которого – чётные
(2*2*2) ; з) четырёхзначное число, все цифры которого – нечетны(3*3*3*3)
113. В лотерее спортлото вычёркивают 5 из 36 чисел. а) сколькими способами это можно
сделать? (С365 ) ; б) сколько существует способов, чтобы выиграло 3 номера (С53 * С312 ); 4
номера (С54 * С311 ) ; 5 номеров (С55 * С310 = 1)
114. В сказочном королевстве нет двух людей с одинаковым набором зубов. Каково
максимальное количество жителей в королевстве, если у человека 32 зуба.
Решение. пронумеруем зубы от 1 до 32. Если зуб есть, то обозначим его “1”, если нет –
“0”; например если у человека есть все 32 зуба, то его набор зубов – 1,1,1,…,1 – 32 цифры.
Если у него нет только второго зуба то : 1,0,1,1,…,1 ; если у него нет 2-го и 3-го зуба,
то 1,0,0,1,1,…,1 и так далее. Поэтому всех жителей : С232 = 232 = 4*109
115. В инопланетном городе инопланетяне различаются хоботками. Максимальное
количество хоботков на одном – 20, нет 2х одинаковых инопланетян с одинаковым
набором хоботков. Сколько всего жителей в городе? (A220 = 220 = 4096 жителей )
116. Из урны вынимают 5 белых, 4 чёрных шара. Сколькими способами можно выбрать :
а) 1 белый и 1 чёрный шар(5*4) ; б) 2 белых и 3 черных шара (С52 * С43)
117. В колоде 36 карт. 6 участников игры берут по очереди по 6 карт. Сколькими
способами они могут это сделать? (С366 * С306 * С246 * С186 * С126 * С66 )
118. На полке 20 книг, из них 5 по математике. Сколькими способами можно расставить
книги так, чтобы 5 книг по математике стояли рядом?
119. Есть 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок. Сколькими способами можно
выбрать конверт и марку для письма? (5 * 4)
120. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную из слова “паркет” (2*4)
121. Сколькими способами можно указать на шахматной доске а)белый и черный квадрат?
(ответ : 322 = 1024) б) пару белых квадратов (32*31/2)
122. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты,
которые не лежат на одной горизонтали или на одной вертикали.
Решение. Белый квадрат можно выбрать на которой лежит квадрат, останется 64-14 = 48
(квадратов), из них – 24 чёрных, по правилу произведения n = 32*24.
123. Из 3 учебников алгебры, 7 учебников геометрии и 3 учебников физики надо собрать
комплект, содержащий по 1 учебнику каждого вида. Сколькими способами можно это
сделать? (3*7*6)
124. В корзине 12 яблок, 10 апельсинов. Иван берёт себе яблоко или апельсин, после этого
Надя берет из фруктов что остались и яблоко и апельсин. Сколько возможностей такого
выбора?
Решение. Если Иван взял яблоко, то выбор – 12 способов, то Надя – 11*10, после выбора
Ивана. Если Иван взял апельсин – 10 способов, то Надя – 12*9 способов.
Всего 12*11*10 + 12*10*9.
125. Сколькими способами можно обтянуть 6 стульев тканью 6 разных цветов? (6!)
126. Сколькими способами можно сшить трёхцветный полосатый флаг, если есть ткан 5
различных цветов? (A53 )
127. Сколькими способами можно сшить трёхцветный полосатый флаг, если есть ткан 5
различных цветов, но одна из полос должна быть обязательно красной? (3A42 )
128. Есть 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трём из них изготовление
трёх разных деталей(по одной на каждого) (A83 )
129. В профком выбрали 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя,
секретаря и культорга. Сколькими способами это можно сделать? (A94 )
130. Сколькими способами можно бросить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый
ящик можно бросить не более 1 письма? (A115 )
131. На совещании должны выступить 5 человек : А,Б,В,Г,Д. Сколькими способами их
можно разместить в списке выступающих так, чтобы
а) Б не выступал перед А
б) Б должен выступить сразу за А.
Решение.
а) Общее количество всевозможных списков 5! = 120. В половине списков Б выступает за
А. n = 60.
б) А, Б соораторов одного выступления 4! = 24.
132. Из 10 разных книг выбирают 4 для посылки. Сколькими способами? (C104 )
133. Сколькими способами можно выбрать 5 делегатов на конференцию, на которой
присутствует 15 человек? (C155 )
134. Сколькими способами можно поставить 8 шашек на чёрные поля доски? (C328 )
135. Сколькими способами можно поставить на чёрные поля доски 12 белых и 12 чёрных
шашек? (C3212 * C2012 )
136. У одного человека есть 11 книг по математике, а у другого – 15. Сколькими
способами они могут выбрать по 3 книги для обмена? (C113 * C153 )
137. В вещевой лотерее разыгрывается 5 предметов. Первый, кто подходит к урне,
вынимает из неё 5 билетов. Сколькими способами он может их взять, чтобы 3 из их
оказались выигрышными, если в урне 100 билетов? (C53 * C972 )
138. 16 экскурсантов разделились на 2 равные группы для поиска заблудившегося
товарища. Среди них 4 человека знакомы с местностью. Сколькими способами они могут
распределится так, чтобы в каждую группу попало по 2 человека знающих местность?
(ответ C42 * C126 )
139. На собрании присутствует 30 человек, среди которых 2 женщины. На избирательный
участок выбрали 4 сотрудников. Сколько может быть способов, чтобы в числе выбранных
было 2 женщины? (C22 * C282 )
140. Строительная организация выделила для помощи детскому саду бригаду из 5
рабочих. В организации 20 работников, в том числе 5 маляров, 4 столяра и 2 штукатура.
Сколькими способами можно укомплектовать бригаду, чтобы она состояла из работников
всех специальностей по одному? (5*4*2*C92 )
141. 20 пассажиров собираются ехать поездом. В кассе 12 билетов на нижнюю полку и 8
на верхнюю. При этом 4 пассажира не желают ехать снизу, а 5 пассажиров – сверху.
Сколькими способами их можно разместить в поезде если :
а) порядок размещения пассажиров снизу и сверху не учитывается.
Решение. 4 – верхних, 5 нижних – для требовательных пассажиров. Осталось 11 мест.
n = C117
б) порядок размещения учитывается и снизу и сверху.
Решение. Каждому из C117 способов нетребовательных пассажиров на группы верхних и
нижних соответственно P12 сверху и P8 – снизу, n = P12 * P8 * C117
в) учитывается порядок размещения внизу. (n = P12 * C117 )
142. Сколько 6 значных чисел можно составить из цифр 1,2,3,…,9 , если каждое число
должно быть сложено из 3 чётных и 3 нечётных чисел, причём никакие 2 цифры в нём не
повторяются? (P6 * C43 * C53)
143. Докажите, что 77 телефонов не могут быть связаны друг с другом так, чтобы каждый
из них был связан ровно с 15 другими. ( n = 77*15/2 )
144. Сколько нужно взять элементов чтобы Pn = 5040 ? (ответ 7 )
145. В 11 классе 35 учеников. Они обменялись фотографиями. Сколько всего фотографий
роздано? (35*34)
146. Сколько разных прямых можно провести через 10 точек плоскости, причем никакие 3
из них не лежат на одной прямой (10*9/2 = 45 )
147. Сколькими способами можно разместить 12 разных деталей по 3 ящикам? (A312 = 312 )
148. Сколько существует 5-значных номеров :
а) составленных из цифр 2,3,5,7 ( 45 )
б) не содержащие цифру 8 ( 85 )
в) не содержащие цифр 0 и 8 ( 95 – 84 )
149. Имеется набор из 16 карточек. На 4х написана буква А, на 4х – Б, на 4х – В, на 4х – Г.
Сколько разных наборов можно получить, выбирая 4 карточки и раскладывая их в ряд в
некотором порядке? (44)
150. Сколько слов можно получить из слова, переставляя буквы : а) парабола (8!/3!) ;
б) математика (10!/(2!*2!*3!)) ; в) метаморфоза (11!/(2!*2!*2!) .
151. ----152. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из
значений 4,5,6,7 см? (C43)
153. Сколько можно построить прямоугольных параллелепипедов, длины рёбер которых
выражены натуральными числами от 1 до 100.
Решение. Параллелепипед имеет 3 измерения – a, b, c . Тогда n = C103
154. а)Сколькими способами 9 пассажиров можно разместить по 3 вагонам? (A39)
б) сколько способов для размещения в первый вагон 3 пассажира. (C93 * A36)
в) сколько размещений в каждый вагон по 3 человека? (C93 * C63 * 3! )
г) Сколько способов для размещения в 1 вагон – 4 пассажира, во 2 вагон – 3 пассажира, в
третий – 2 пассажира. (C94 * C53 * 3!)
155. Сократить дробь.
а) n!/(n+1)! ; б) n!(n-2)! ; в) (n+1)!/(n-2)! ; г) n!/(n-k)!
156. Упростите :
а) 1/(n+1)! – 1/(n+2)! ; б) n!/(n+1)! – (n-1)!/n!
157. Вычислить :
а) (P5 + P4)/P3 ; б) (P10 – P9)/9P8 ; в) P3k/P3k-2
158. Решить уравнение : (n+1)!/(n-1)! = 30
159. Вычислите : C84 ; C76 ; C62 + C60 ; C271 ; C19991999 + C19991 ;
160. Решить уравнение :
а) Cx19 = Cx6 ; б) C278 + C277 = C28x ; в) C239 + C23x = C249
161. Решить уравнение :
а) Cx2 = 153 ; б) Cx+23 = 8(x+1) ; в) Cxx-2 = 45 ; г) Cx+12/ Cx3 = 4/5 д) 3C2xx+1 = 2C2x+1x-1
е) 11C2xx = 6C2x+1x+1 ;
162. Вычислить а) (A154 + A145)/A153 ; б) A124 * P7/A119
163. Сократить : а) (n-1)!/n! ; б) n!/(n-3)! ; в) (n-2)!/(n-4)! ; г) (n+1)!/(n-k+1)! ; (n>k)
164. Упростить : а) 1/k! – 1/(k+1)! ; б) (n-2)!/n! – n!/(n+1)! ;
165. Вычислить : а) (P6 + P6)/P4 ; б) (P12 – P11)/11P10 ; в) P3k+2/P3k+1 ;
166. Решить уравнение :
а) (n+2)!/n! = 72 ; б) Cx15 = Cx6 ; в) C307 + C306 = C31x ; г) C198 + C19x = C208 ; д) Cx2 = 120 ;
е) Cx+23 = 7(x+2) ; ж) Cxx-2 = 66 ; з) Cx+13/Cx4 = 6/5 ; и) 17C2x-1x = 9C2xx-1 ;
к) 13C2xx+1 = 7C2x+1x-1
167. Вычислить : а) A133/(A144 - A134) ; б) A1512/(A163 * P12)
168. Решить уравнение : а) Ax2 = 42 ; б) Ax2 = 182 ; в) Ax-12 - Сx1 = 79 ; г) 3Сx+12 + 2x = 4Ax2
д) Ax-22 + Сxx-2 = 101 ;