x - Кафедра Фотоники и Оптоинформатики

Санкт-Петербургский государственный университет
информационных технологий, механики и оптики
Кафедра фотоники и оптоинформатики
А.В.Павлов
Обработка информации оптическими методами
Тема 5
Фракталы и хаос в передаче и
обработке информации
А.В.Павлов ОИОМ
Санкт-Петербург, 2010
Понятие фрактала. Размерность.
N 3
r1
3
Nr  1
N 4
r1
2
Nr 2  1
Nr  1
d
log N
d
log r
А.В.Павлов ОИОМ
Понятие фрактала. Снежинка Коха.
log N
d

log r
log 4

 1, 2618
log 3
Длина «снежинки Коха»
n
4
l  lim n  
3
А.В.Павлов ОИОМ
Итерирующее отображение
Xn+1
(X,d) – метрическое пространство
T:XX сжимающее отображение, если
S, 0<S<1, x,yX, d(T(x),T(y))Sd(x,y)
Если S(0,), то Т – отображение Липшица.
Теорема о сходимости к неподвижной точке.
x0
xn
Паутинная диаграмма
(X,d), T – сжимающее отображение, xf – неподвижная точка, т.е. T(xf)=xf,
T(x) имеет в конечном счете одну неподвижную точку и, кроме того,
x0X,
, где xn = T(xn-1).
lim x  x
n
n
f
А.В.Павлов ОИОМ
Свойство единственности
неподвижной точки
Пусть T(x) имеет две неподвижные точки xf1 и
xf2.
Тогда по определению сжимающего
отображения
d(T(xf1),T(xf2))=d(T(xf1),T(xf2))≤Sd(xf1,xf2),
Так как S<1, то последнее неравенство
выполняется только при xf1 = xf2.
А.В.Павлов ОИОМ
Притягивающие и отталкивающие точки.
Отображение f не предполагается сжимающим,  теорема о
неподвижной точке неприменима. Xf – неподвижная точка.
Разложим f в ряд Тейлора вблизи неподвижной точки
f(x) = f(xf)+(x-xf)(f’(x)).
По определению неподвижной точки f(xf)=xf, то следующий шаг
xn+1=f(xn)  xn+1-xn=(xn-xf)f’(xf)
если f’(xf)>1, то xf - отталкивающая, т.к. с каждым шагом
расстояние увеличивается, орбиты из ее окрестности
расходятся;
если f’(xf)<1, то xf - притягивающая, т.к. с каждым шагом
расстояние уменьшается, орбиты из ее окрестности сходятся.
А.В.Павлов ОИОМ
Периодические точки
Точки 1 и 2 : f(1)= 2; f(2)= 1;
xn 1  f  f  xn    f
Def. Последовательность
2
 xn 
xn n0   f  x0 n0

n

называется орбитой точки x0.
Def. Орбита называется периодической с
периодом р, если xn+p=xn; n=0,1,2…
Если условие периодичности xn+p=xn
справедливо только после некоторого nn0,
то орбита в конечном счете периодическая.
А.В.Павлов ОИОМ
•
•
Примеры итерирующих
отображений, приводящих к
хаосу
модель
ограниченного роста
T: xn+1=axn(1-xn)
(Верхольст, 1845)
10
10
T ( x)
0
x
10
 11
20
xn+1=xn2+a
10
 10
0
x
10
10
1
1
0
x
1
2
1
T ( x) 0
•
x
xn+1=xn(1+a (1-xn))
2
3
4
•
xn+1=xn exp(a(1-xn))
А.В.Павлов ОИОМ
1
Отображение T(x)=x2+a
Неподвижная точка решения x=x2+a, т.е.
1
  (1  1  4 a )
2
1
  (1  1  4 a )
2
T ( x)
T1( x) 3
T2( x)
0
x
Неподвижная точка действительные
числа, только если 1-4а0.
Если а1/4, то <<, T(-)=.
Для x0 >  и x0 <  орбиты стремятся к .
А.В.Павлов ОИОМ
2
2
0
x
2
T(x)=x2+a
Пусть I[-,], если -2а1/4 и x0I, то T(x0)I.
–3/4<a<1/4 .  T’()=1-(1-4a)1/2<1  Неподвижная
точка притягивающая все орбиты с x0I сходятся к .
1
2
1
2
2
0.5[ 1( 2) ]
0.51( 13)
0.5

2
x 0.25
x 0.75
0.5
0
x
x
1
0
0
0
0
0.5
x
1
1
2
1
1
А.В.Павлов ОИОМ
0.5
x
2
2
Зависимость значения неподвижной точки от значения
параметра а в диапазоне –3/4<a<1/4
Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ÈÎ Ò(õ)=à+õ^2
Примеры развития процессов при различных значениях параметра а
1. Конвергентная динамика ( -0.75<a<0.25)
0
xn  1  100
0.2
xn  1  150 0.4
xn  1  190
0.6
0.8
0
20
40
60
n
Неподвижная точка устойчива (а=-3/4 при m=200)
x
А.В.Павлов ОИОМ
80
100
-5/4 < a < –3/4.  T’()>1  Неподвижная точка  отталкивающая. В то же
время, T(2) доставляет пару притягивающих точек, приводящих к появлению
цикла с периодом 2.
a = –3/4 – точка бифуркации
Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ÈÎ Ò(õ)=à+õ^2
2. Циклическая динамика в диапазоне значений параметра -1.401155...<a<-0.7
2.1. m=201 и m=240 - цикл периода 2
2.2. m=310 - цикл периода 4
1
xn  1  201 0
xn  1  240
xn  1  310
1
2
0
20
40
60
n
x
А.В.Павлов ОИОМ
80
100
a=-5/4 – снова бифуркация удвоения периода –цикл с периодом 4.
На рисунке диаграмма для значений 0 < а < -1,4
При а=-2, =2, I=[-2,2], y=x пересекает график Т(n)(x) точно 2n раз, каждая
точка периодическая с периодом n
 существуют периодические орбиты с р=2,3.4,…n
Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ÈÎ Ò(õ)=à+õ^2
А.В.Павлов ОИОМ
Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ÈÎ Ò(õ)=à+õ^2
3. Хаотическая динамика в диапазоне значений параметра a<
-1.401155...:
1
0
xn 1  360
1
2
0
20
40
60
n
x
А.В.Павлов ОИОМ
80
100
Точка Фейгенбаума
a=liman=-1.401155…., где an – значения точек бифуркаций.
¼<a<a - удвоение периода
a<a – область хаоса
в окрестности а=-1.7548777… - окно периода 3.
Отношение длин интервалов между точками бифуркаций имеет предел
an  an1
d  lim
 4.669162...
an1  an
-постоянная Фейгенбаума.
Если значения а для разных ф-ций разные, то значение d
одно для очень многих ф-ций.
А.В.Павлов ОИОМ
Пример построения бифуркационной диаграммы для ИО «кривая
ограниченного роста»
2. Цик лическ
ая динамика :
m=201 идиаграммы
m=240(дерева
- к онверг
ентная динамика
Пример расчета2.1.
бифуркационной
Фейгенбаума)
2.2. m=310
- цик
л периода
2
для ИО "кривая
ограниченного
роста"
вида Т(х)=ах(1-х)
диапазон изменения значений индекса параметра а
m  1  400 0.8
n  1  5000
xn 1  201
диапазон изменения значений индекса переменной х
m 0.6
x  1  240
диапазон изменения значений параметра а
ann
 m 
100
xn 1  310
x1  m  0.01
начальное значение х (точка старта)
xn1  m  an  m  xn  m 1  xn  m
ÈÎ
0.4
0
20
Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà Ò(õ)=àõ(1-õ)
40
60
80
100
n
3. Хаотическ ая динамика в диапазоне значений параметра
a>а
Фейген баума
0.8
xn 1  3600.6
0.4
0.2
0
20
40
60
n
x
А.В.Павлов ОИОМ
80
100
Определение хаоса
Пусть (X,d) метрическое пространство. Отображение T:XX называется
хаотическим, если:
1. Т обладает существенной зависимостью от начальных условий, а
именно: (X,d), xX, U – открытое мн-во, xU, для >0 n>0 и
()yU, что d(T(n)(x),T(n)y))>;
2. Т транзитивно, т.е. для U,V – открытых мн-в n0 такое, что
T(n)(U)V;
3. Периодические точки плотны в Х, т.е. в любой окрестности  точки
в Х существует по крайней мере одна периодическая точка и,
следовательно, бесконечное множество периодических точек.
Это – строгий хаос. Строго говоря, условие (1) избыточно, т.к. оно следует из
2 и 3.
А.В.Павлов ОИОМ
Применение хаоса в передаче
информации.
А.В.Павлов ОИОМ