Расстояния в пространстве

Расстояния
в
пространстве
Расстояние между
двумя точками
Найдите расстояние между точками Р и Н –
серединами скрещивающихся рёбер:
а) куба с ребром, равным а;
Задача 1.
Решение.
а) (рис. 1)
РК  АD, АK =
KD
∆РКН
K = 90, РK = а
KH 
1
a 2
DB 
2
2
2
2
a
a 6
2
a PH
2


P
,
H

a


B
4
2
2
2a 2 a 6
H  a 

Ответ:4
2
2
Найдите расстояние между точками Р и Н –
серединами скрещивающихся рёбер:
б) тетраэдра, все рёбра которого равны а.
Задача 1.
AOS , O  90
AOS ,ASOa, 90AO 
o
AS  a,
a
AO 
2
2 3 a
o
a
3
AOS , O  90 o
AS  a,
AO 
a
3
2
a
a 2
a 2 SO  a 2 

SO  2 a 

3
3
a
a 23
3
2
SO  a 

o
o
3

PKH
,

K

90
3
PKH , K  90
PKH , K1 90o
1
a
a
PK

SO

1PK  aSO 
2
6
PK  SO  2
6
2
6
a
a
KH

AO

KH  aAO 
KH  AO 
3
3
3
2
2
2
a
a
a
2
2a 2
a PH 
a
a
aa



PH  PH 

 
6
3
Ответ:
2
6
3 6 23
2
Найдите расстояние между точками Р и Н –
серединами скрещивающихся
рёбер:
DB 3 a 2  3 a 6
Задача 1.
SO 

со стороной основания,
в) правильной четырёхугольной
пирамиды
2
2
2
равной а, и правильнымKP
треугольником
в ,диагональном
сечении.
 ( ABC ), K  DB
DK  KO,
DB 3
a 2 3
a 6
DB 13 a 2a 36 a 6
SOPK
  SO
 

22
24
2
KP  ( ABC ), K  DB , DK  KO
,
KP2) (ABCD
ABC ), , KKF
 DB
, DK
 KO, FH
 CB
, CF
1
a 6
1
a 6
PK  SO 
3
PK  SO 
o
2
4
KFH
,

F

90
,
KF

a
2
4
4
2) ABCD , KF  CB, CF  FH 2) ABCD , KF  CB, CF  FH
1
3
FH, Fa, 90 o , KF  3 a
KFH , F  90 o , KF  a KFH
4
4
4
1
1
FH  a,
FHKH
 
a, 9 a 2  1 a 2  a 10
4
4
SO  – правильный,


1) ∆SDB
2
2
2
16
9 2 1 2 a 10
KH 
a  a 
16
16
4
16
4
9 2 1 2 a 10
KH 
a  a 
a 6
16 , 16K  904o , PK 
3) PKH
,
4
a 6
a 6
3) PKH , K  90 o , PK  3) ,PKH , K  90 o , PK  2 ,
a 10
6a4 10a 2
4
a 10
KH 
, PH 
4
Ответ: а
KH 
, PH 

16
a 10 4
6a 2 1016
a2
6a 2 10a 2
KH
, PH 

a

 a
4
16
16
16
16
a
Задача №2. На рёбрах А1В1 и В1С1 прямоугольного параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 соответственно точками М и L отмечены середины, на
ребре AB взята точка K такая, что AK : AB = 3 : 4. Считая AB = AA1 = 1,
AD = 2, найдите расстояние от точки P – точки пересечения диагонали
B1D с плоскостью KLM до точки: a) D; b) D1; c) B.
(Рис.4) Построение сечения:
1) ML,
2) MK,
3) KN||ML, N= KN∩BC
4) NL,
5) LMKN – сечение
Нахождение точки P, где
P= B1D∩(KLM)
B1D  (DBB1)
(DBB1)∩(KLM) = EF, E = B1D1∩ML,
F = KN∩DB,
B1D∩(KLM) = B1D∩EF = P
Нахождение расстояний
D1E : EB1 = 3 : 1, DF : FB = 7 : 1,
DB  5
a)DP-?
EPB1 подобен DPF
(по 2м углам),
DP : PB1 = DF : EB1 = 7 : 2,
7
DB1 ;
9
7
DP 
6
9
DP 

DB1  5  1  6 , ,
,
б) D1P - ?
в) BP - ?
Проведем через точку P прямую
TW || DB, TDD1, WBB1.
TP
DP 7
7
7

 , TP  DB 
5,
PW PB1 2
9
9
2
5.
9
TD1 2
2
2
 , TD1   1  ,
WB 7
9
9
7
7
WB   1  .
9
9
4 49  5
TD1 P : D1 P 


81
81
PW 
PWB : PB 
7
DP

6;
Ответ:
9
249
9
20 49
69


81 81
9
D1 P 
249
;
9
PB 
69
.
9
Координатный метод
В(х2; у2; z2)
А(х1; у1; z1)
AB  ( x1  x2 )  ( y1  y2 )  ( z1  z2 )
2
2
2
Задача 3. (МФТИ)
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1, точки Е, F и К –
середины рёбер АА1, ВС и СD соответственно, а точка М расположена на
диагонали В1D1 так, что В1М = 2МD1. Найти расстояние между точками:
а) Е и К;
б) Е и М;
в) М1 и К1, где М1 – середина отрезка КМ, К1 –
середина ребра С1D1;
г) F и Р, где Р – середина отрезка А1К.
z
B1
K1
M
A1
C1
Е
1
1
1
(0;0; ), K (1; ;0). F ( ;1;0), M (
2
2
2
1
1
1
2 1
0; ), K (1; ;0). F ( ;1;0), M ( ; ;1), C1 (1;1;1), D1 (1;0;1)
2 1 1

2
2
2
3 3
D1
P
2 1 1

 1
1




B
F
C
3 2
0

1
3
2
3
 1 5 ; 5 ; 1 ;
M
M1 K ;
;
2
2  6 12
2
 2x
A
D
  2


4 1 1
29
EM 
  
1 1
6
EK  1   
,
9 9 4
6
M
1
E
y
4
FP  0 
4
2
9 1
13
 
16 4
4
Ответ: EK 

A1 (0;0;1)

0

1
3 ; 1   1 51; 51 ; 1 
K 1 (1; ;1) P( ; ; ) 
2
2 2
2 2  2 64 12


M 1 K1 
1
1
1
41

 
36 144 4
12
6
29
41
13
, EM 
, M 1 K1 
, FP 
2
6
12
4
Расстояние между фигурами
Если среди всех расстояний между точками, одна из
которых принадлежит фигуре F1, а другая - фигуре F2,
существует наименьшее, то его называют расстоянием
между фигурами F1 и F2.
Расстояние от точки до прямой
A
a
B
C
Расстояние от точки до прямой – длина отрезка
перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную
прямую.
AB   A, a
Задача №4. (рис.7) В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит
равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С, боковое
ребро призмы равно меньшей стороне основания. В грани AA1C1C
точкой O отмечен центроид этой грани. Считая AC = a, найдите
расстояние до прямой BO от точки:
A1
a) A1; b) B1; c) C1.
B1
C1
1)AC = BC = AA1 = а, ACB=90,
O
AA1C1C, C1CBB1 – квадраты
A
2) (рис.8)
AC1 B,
AB  AC1  C1 B  a 2
тогда BO – медиана и
высота,
C1O  BO , C1O   C1 , BO 
B
a
C
C1
Рис.7
O
a 2
2
A
Рис.8
B
3)(рис.9)
B1
A1
AC  BC

  A1C  BC , т.е.
AC  пр( АВС ) А1С 
C1
A1CB  прямоуголь ный.
O
A1 N  BO ,
A1 N   A1 , BO
A
B
a
2
S A1CB
S A1OB
1
a 2
 aa 2 
2
2
1 a2 2 a2 2
a 2
 A

, CO 
2
2
4
2
Рис.7
C
S A1OB
1 a2 2 a2 2
a 2
 

, CO 
2
2
4
2
1
2
2
a
a 6
BO  N a 

4
2
1O
S A1OB   BO  A1 N 
2
a2 C 2
B
Рис.9 a
2
A1 N 

a 6
3
2
2
2a 2 a 6
BO  a 

4
2
1
S A1OB   BO  A1 N 
2
a2 2
2
4  a
A1 N 
a 6
3
2
2
4) (рис.10)
1
S MM1B1B  2 S OB1B  2   OB  B1 K , где B1 K  OB , B1 K   B1 , OB
2
A
B
S MM1B1B
a 6 M
B1 K 
, OB 
OB
2
O
S MM1B1B  BB1  MB  a  MB
1
1
M
2
a
a 5
MB  a 

4
2
2
a2 5
S MM1B1B 
2
a2 5
a 30
B1 K  2 
6
a 6
2
M
Рис.10
B
B
C
Рис.11
Ответы :  A1 , BO 
a
3
a 30
6
a 2
 C1 , BO 
2
 B1 , BO 
Расстояние от точки до плоскости
A

B
C
.
pис.12
Расстояние от точки до плоскости – длина отрезка
перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную
плоскость.
 A,   AB
Пусть надо найти расстояние от точки А до плоскости β и
пусть точка А лежит в плоскости α, α∩β= с.
Проведём АВс, ВPc, (α,β) = PBC, ANPB.
c  AB


c  PB
  c  ( PBA),
AB  PB  B 
AN  c
AN  ( PBA), , c  AN


AN  PB   AN   , ,  A,   AN
c  PB  B 
На рёбрах АВ и АD куба ABCDA1B1C1D1 соответственно
точками P и Q отмечены середины. Считая ребро куба равным а, найдите
расстояние до плоскости С1PQ от точки:
а) С; б) А1; в) D.
Задача № 5 (рис.14 )
а) С(АВС),
AC  DB 
  AC  QP , QP  AC  E
QP // DB 
C1
D1
B1
A1
ЕС  пр( АВС) ЕС1 
  EC1  QP
ЕС  QP

N
EC1  QP


EC  QP
  C1 EC  ((C1 PQ), ( ABC ))
EC  ( ABC )  (C1 PQ)

D
Q
A
CN  EC1  CN   C; (C1 PQ)
C
E
P
CC1 E


C  90 0

CE  CC1

CN



CC1  a
EC
1

3
3
CE  AC  a 2 
4
4

a
3a 2
a
3a 2 2  4
3a
4


17
9a 2  2 4  a 2 17
2
a 
16
B
б) (рис.15) А1(А1В1С1), (А1В1С1)∩(С1PQ)=b, b // QP, C1E ∩ AA1 = A2,
AA2 : A1A2=AE : A1C1=1:4, , A1A2 =
b
C1
D1
4a
3
A1
B1
A1C1  b 
  A1C1 A2  (( A1 B1 C1 ), (C1 PQ))
A2 C1  b
a
M
D
A1M  A2C1  A1M = ρ/A1,( С1PQ)/
Q
A
C1 A1 A2
C
E
P
A


4a
A1  900 
a 2
4a  a 2
4a

3


A1C1  a 2   A1M 
2
a
17
16a

2
3

34
 2a
4a 
3
9
A1 A2 
3 
2
B
в) (рис.16) D(ABC), (ABC)∩(C1PQ)=PQ, PQ ∩ DC = T, TD : DC= 1 : 2,
TC1 ∩ DD1 = D2,
DD2 : DD1 = 1 : 3, DD2= a/3.
DR  PQ 
  D2 RD  (( ABC ), (C1 PQ))
RD 2  PQ
D1
B1
A1
a
DF RD2 , DF = ρD,(C1PQ)
D2 DR
C1
D2


a a
a a
D  90 0 



3
3
2 2 
2 2  a
a

DF


DD 2 
a 17
17
3 
a2 a2

a 
3 2 2
9
8
DR 

2 2
F
T
D
C
Q E
R
A
Рис.16
3a
Ответ:
B
P
17
;
4a
17
;
a
17
Задача №6. (рис. 17). В основании пирамиды МАВСD лежит прямоугольник,
её боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания и АВ : АD : МВ =
= 1 : 2 : 1. Считая АВ = а, найдите расстояние до плоскости МСD от точки Р,
где точка Р лежит на диагонали ВD и отношение ВР : ВD равно:
а) 1 : 4;
б) 1 : 2;
в) 3 : 4.
M
АВ = МВ = а, АD = 2а.
Рис.17
a
E
C
B
a
BC  DC
N


MC  DC
  MCB  (( ABC ), ( MDC ))
DC  ( ABC )  ( MDC )
Р = |Р,(МСD)|.
K
P
а) ВР : ВD = 1 : 4.
A
2a
D
3
3
3a
9 2 9 2 3a
EPK , P  900 , PE  a, PK   2a  , EK 
a  a 
5
4
4
2
16
4
4
3 3
a a
3a 5
 P, ( MCD)  4 2 
10
3a 5
4
б) ВР : ВD = 1 : 2
1
1
1 2
a
EPK , P  900 , PE  a, PK   2a  a, EK 
a  a2 
5
2
2
4
2
1
aa
a 5
 P, ( MCD)  2

5
a 5
2
в) ВР : ВD = 3 : 4
1
1
a
1 2 1 2 a
EPK , P  900 , PE  a, PK   2a  , EK 
a  a 
5
4
4
2
16
4
4
1 1
a a
a 5
 P, ( MCD)  4 2 
10
a 5
4
Ответ:
3a 5
,
10
a 5
,
5
a 5
10
Координатный метод
β
ах + bу + сz + d = 0,
М (х , у0, z ),
0
 , M0 
0
0
ax0  by0  cz0  d
a b c
2
2
2
Задача №7. (МИФИ). Длина
ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 12. На
рёбрах АА1, В1С1, СD взяты точки Е, F1 и G такие, что АЕ : ЕА1 =
1 : 3, В1F1 : F1С1 = 1 : 1, СG : GD = 1 : 1. Найти расстояние от
точки В1 до плоскости (ЕF1G).
z
F1
B1
Е(12;0;3), G(6;12;0), F1(0;6;12)
C1
(ЕF1G):
A1
E
12a  3c  d  0
6b  12c  d


6
a

12
b

d

0


6a  24c  2d  d  24c  d
6b  12c  d  0
48c  2d  3c  d  0


3d
d
y
12
24
d33)cd6b
7dd d d 
7d5d
3
d
c





11)) 51
51cc2)G

3
d


6a  
 d  17 , a  
17
17 51
17
102
51
1717
B
C
A
D
x
ах + bу + сz + d = 0
D1
Рис.18
В1(0;0;12)

b
5d
102
7d
5d
6d
x
y
z  d  0 7 x  5 y  6 z  102  0
102
102
102
 B1 , ( EF1G) 
0  0  6  12  102
49  25  36

30
110

3 110
11
Расстояние между двумя
прямыми
 a, b  0
 a, b  MN
Скрещивающиеся прямые
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми –
длина их общего перпендикуляра.
Заметим, что расстояние между скрещивающимися прямыми
равно
расстоянию
между
параллельными
плоскостями,
содержащими данные прямые.
Задача № 7. (рис.19) Дан куб ABCDA1B1C1D1. Постройте общий
перпендикуляр прямых A1D и ВС1.
Найдите расстояние между прямыми, если ребро куба равно а.
D1
C1
B1
A1
MN  AD1, MN B C1,
N
M
D
A
AD1 ∩ DA1 = M, BC1 ∩ CB1 = N,
C
B
MN = |A1D,BC1|, MN = a.
Задача № 8. (рис.20) (Новосибирский государственный университет).
Найдите расстояние между диагоналями AD1 и DC1 двух
смежных граней куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а.
z
А(0;0;0), D(0;а;0), D1(0;а;а), С1(а;а;а).
D1
A1
B1
MN  AD1, MN  DC1.
C1
M
N
AD1 (0; a; a),
D
A
a
DC1 (a;0; a),
D1 D(0;0;a)
y
C
B
x
Рис.20
MN  MD1  D1 D  DN  x AD1  D1 D  y DC1  x(0; a; a)  (0;0;a )  y (a;0; a) 
 ( ya; xa; xa  a  ya)
MN  AD1  MN  AD1  0  0  xa 2  xa 2  a 2  ya 2  0
MN  DC1  NM  DC1  0  ya 2  xa 2  a 2  ya 2  0
2
2
2
2
2
2


 x  y,
1
 xa  xa  a  ya  0,
 xa  ya  0,



x

y

 2


2
2
2
2
2
2
2
2
3


ya

xa

a

ya

0
2
ya

xa

a

0
3xa  a  o


a a a
MN ( ; ; ), , NM 
3 3 3
a2 a2 a2 a 3



9
9
9
3
Ответ:
 AD1 , DC1 
a 3
4
Ещё один подход к вычислению
расстояния между скрещивающимися
прямыми.
a  q, c – прqb, A – прqa, ABc, AB = a,b 
В сферу радиуса R вписана
пирамида ТАВС, основанием которой служит прямоугольный
треугольник АВС, а высота пирамиды совпадает с ребром ТА. Боковое
ребро ТВ образует с высотой пирамиды угол 60. А угол между ТВ и
медианой основания СD, проведённой к гипотенузе АВ, равен 45.
Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через медиану СD и пересекающей ребро ТВ?
Задача № 9 (рис.21) МГТУ им. Н.Э. Баумана.
T
60
(ОDК), BK  (ОDК), , СD  (ODK)
R
D  пр (ODK ) CD 

   CD; TB   D; OK  OE
OK  пр (ODK ) OB 

O
E
D
A
R
45
B
K
C
F
ODB
D  90 0 , B  30 0 , OD 
OKB OK  KB 
ODK
DK 
2
2
R
R 3
, DB  R  cos 30 0 
 CD
2
2
R
2
R
R
R


2
4
2
R R

OD  DK
2
2 R 2
DE 

R
OK
4
2
T
R
S min
1 R 3 R 2 R2 6
 


2 2
4
16
O
E
R
D
B
A
K
Ответ:
S min
R2 6

16
C
F
Расстояние от прямой до
плоскости

За расстояние от прямой до параллельной ей плоскости
берут расстояние от любой (наиболее удобной для решения
задачи) точки прямой до плоскости,
Основанием пирамиды ТАВС служит
равносторонний треугольник со стороной, равной 8, а её высота
проходит через середину стороны основания АВ. Найдите площадь
сечения пирамиды плоскостью, проходящей через боковое ребро ТА,
если известно, что прямая, проходящая через середину высоты
пирамиды и середину стороны основания ВС, параллельна секущей
плоскости и находится от неё на расстоянии, равном 1.
Задача № 10. (МГТУ им. Н.Э. Баумана).
T
ТХ || КN, Х=ТХ ∩ DN. АХ ∩ СВ=Р,
ΔАРТ – искомое сечение.
E
ТFD=((АТР),(АВС)),
K
КЕ  ТF, , KE = К,(АТР)= КN,(ТАР)=1.
R
A
DR  ТF, DR = 2.
D
B
N
F
P
C
X
S TAP 
1
AP  TF
2
BР : РC = 2 : 1,
B
S ABP
D
N
X
A
F1
S ABP
60
AP  64 
64
8 1 8 7
 28  
9
3 2
3
1
32
 AP  BF 1
2
3
Δ
FDТ:
2
2
D
BF1 
2  32  3
3 8 7
16  3
FR 
4 
7
16  3
FD
TF 
 7 
FR
2 5
R
F
АРС, АС = 8, РС=8/3, С=60, по теореме косинусов
C
T
4 3
7
2
32
 S ABC 
3
3
Δ
P
F
S ABC
64 3

 16 3
4
7
24
7 5
S TAP 

8 3
DF 
7
48  28 2 5

7
7
1
24
8 7 32



2 7 5 3
5
Ответ:
4 3
7
Расстояние между параллельными
плоскостями


Расстояние между двумя параллельными плоскостями
равно расстоянию от произвольной точки одной плоскости
до другой плоскости
В кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние
между плоскостями АВ1D1 и ВDС1, если АВ = а. (рис.27)
Задача № 11.
D1
C1
(АВ1D1 ) (ВDС1).
P
А1С  D1В1 и А1С  АD1, D1В1 ∩ АD1=D1, ,
А1С  (АВ1D1), , А1С  (ВDС1)
A1
M
N
D
C
Докажем, что А1С  D1В1
(остальное доказывается аналогично)
A1C1  пр ( A D B ) A1C 

  A1C  D1 B1

A1 C1  D1 B1

1 1 1
A
B
А1С∩(АВ1D1) = М, А1С∩(ВDС1) = N, МN = (АВ1D1),(ВDС1),
1
a 3
MN  A1C 
По теореме Фалеса А1М = МN = NС 3
3
Ответ: (АВ1D1),(ВDС1)=
a 3
3
Если через прямую, параллельную плоскости, провести
плоскость, параллельную данной плоскости, то можно находить
расстояние между прямой и плоскостью как расстояние между
параллельными плоскостями.


а  , построим плоскость β , а  β.
а, = ,β 
(СРА1) (МNС1), А1С  (СРА1), ,
А1С, (МNС1) = (СРА1),(МNС1) = K,(СРА1)

N
B
B
N
C
M
C
A
M
P
A
D
B1
C1
F
E
F1
B1
C1
A1
T
O
M1
D1
O1
K
A2
Задача № 12. (МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004 год).
A1
Найдите площадь сечения правильной
треугольной призмы АВСА1В1С1 плоскостью, которая параллельна
диагонали А1С боковой грани АА1С1С, проходит через середину
стороны ВС основания АВС и точку М, лежащую на стороне АВ, если
АМ = 2МВ, расстояние между А1С и секущей плоскостью равно 2, а
высота призмы равна 2
B
2) Пусть АВ = 6х, тогда МВ = 2х, ВN = 3х.
ΔМВN: (рис.30)
МN2 = 4х2 + 9х2 – 2  2х  3х  cos60
MN2 = 13x2 – 6x2 = 7x2, MN = x 7
PC = 2x 7
2x
3x
M
N
P
6x
A
C
3) ΔM1 B1N1: (рис.32)
.
N1
B1
1
3x 2 3
0
S M 1 B1 N1   2 x  3x  sin 60 
2
2
1
B O x 7
S M 1 B1 N1   M 1 N1 B1O2  1 2
2
2
M1
O2
O
K
O1
A1
B1O2 
3x 3
 KO1
7
C1
T
4) ΔРКО1 (рис.33):
3x 3
KP  KO1
KP  KO1
7  9 x  MO
KF1 
, , PO1 

PO1
KF1
2
7
4
PF1  12  4  2 2 , PF1  F1O1  KF12 , F1O1 
 2
2 2
2 3
PO1  2 2  2  3 2 
5) Sсеч=
P
2 3
F1
2
K
9x
2 7
, x
3
7
MN  KC1
x 7  2 x 7 9 x 27 x 2 27  2  7
 MO 



 21
2
2
2
29
7
Ответ: Sсеч=21
3x 3
7
O1