Основные понятия алгебры логики

Логические основы
построения компьютера
Логика – наука, изучающая законы и
формы мышления.
Формы мышления
Основные формы мышления:



Понятие;
Высказывание (суждение);
Умозаключение.
Понятие
Понятие
– это форма мышления,
отражающая
наиболее
существенные
признаки
объекта, отличающие его от
других объектов.
Понятие характеризуется
объемом.
содержанием
и
Содержание понятия – это совокупность
существенных
признаков
объекта,
отраженных
в
понятии.
Пример 1: Понятие «Квадрат».
Содержание: - все углы прямые
- все стороны равны
Объем
понятия – это совокупность
(множество)
объектов,
которым присущи признаки,
составляющие
содержание
понятия.
Пример 2: Понятие «Источник информации».
Объем: - книги
- газеты
- журналы
- телепередачи и т.д.
Пример 3: Понятие «Компьютер».
Содержание:
- электронное устройство
- предназначен для хранения, обработки и
передачи информации
- обладает монитором и клавиатурой
Объем:
- персональный компьютер
- лэптоп
- ноутбук
- палмтоп
Отношения
между
объемами
понятий
представляются в виде диаграмм (кругов)
Эйлера-Венна:
1.
Отношение
«тождество» –
одного понятия
объему другого.
A=B
объем
равен
2. Отношение «пересечение» – объемы
двух понятий совпадают
частично, т.е. содержат
общие элементы.
A
F
B
3. Отношение «подчинение» – объем
одного понятия полностью
входит в объем другого
понятия,
но
не
исчерпывает его.
B
A
4. Отношение «соподчинение» – объемы
нескольких
понятий
принадлежат более общему
понятию и не пересекаются.
B
A
C
D
F
E
5. Отношение «противоположность» –
антонимы, объемы понятий
разделены объемом третьего
понятия.
A
F
B
6.
Отношение
A
«противоречие»
отрицание.
B
–
Задание:
отобразить
с
помощью
диаграмм Эйлера-Венна соотношение
между объемами понятий.
1) A – «натуральные числа»
B – «четные числа»
2) A – «конструктор»
B – «игрушка»
С – «заводная игрушка»
D – «заводной автомобиль»
3) A – «птица»
B – «воробей»
С – «перелетная птица»
D – «ласточка»
E – «аист»
4) A – «вселенная»
B – «Земля»
С – «Марс»
D – «Солнце»
E – «планета»
F – «Солнечная система»
Высказывание
Высказывание – это форма мышления,
выраженная
в
виде
повествовательного
предложения, в котором чтолибо
утверждается
или
отрицается
об
объектах,
признаках или отношениях
объектов.
Высказывание может быть истинным
ложным (истина – 1, ложь – 0).
или
Установите какие из следующих предложений
являются логическими высказываниями, а
какие – нет (объясните почему):







Солнце есть спутник Земли
6:2+9
Санкт-Петербург расположен на Неве
как вас зовут?
музыка Баха очень сложна
запишите в тетради определение
если сумма квадратов катетов равна
квадрату
гипотенузы,
то
это
прямоугольный треугольник
Даны логические высказывания.
Определить истинны они или ложны.







Земля – планета Солнечной системы
за зимой наступает весна
3+6 > 10
квадрат это ромб
в городе Иваново живут только
граждане России
после вторника будет воскресенье
все мальчики любят играть в футбол
Простое
высказывание
–
это
высказывание,
которое
содержит
только
одну
простую мысль.
Например: Все квадраты являются прямоугольниками.
Сложное
высказывание
–
это
высказывание, которое состоит
из
простых
высказываний,
соединенных
логическими
операциями.
Например: Лил дождь, и дул холодный ветер.
Если ласточки летают низко, то скоро будет дождь.
Умозаключение
Умозаключение – это форма мышления,
с помощью которой из одного
или нескольких высказываний
(посылок)
может
быть
получено новое высказывание
(вывод)
по
определенным
правилам логического вывода.
Умозаключения бывают:
1) дедуктивными – рассуждение ведется
от общего к частному
2) индуктивными – рассуждение ведется
от частного к общему
3) аналогичными – рассуждение ведется
от общности одних свойств и
отношений у сравниваемых
объектов к общности других
свойств и отношений.
Алгебра логики
Алгебра – это наука об общих
операциях, аналогичных сложению и
умножению,
которые
могут
выполняться
над
различными
математическими объектами.
Алгебра логики – это наука об
операциях,
выполняемых
над
логическими высказываниями.
Простые высказывания в алгебре логике
обозначаются
прописными
латинскими
буквами.
Логические операции
Значения логических
таблицами истинности.
операций
задаются
Таблица истинности – это таблица, в
которой
перечислены
все
возможные
значения
входящих
простых логических высказываний и
соответствующие
им
значения
сложного логического высказывания
Количество строк (q) в таблице можно определить по
формуле: q = 2n, где n – это количество простых
высказываний, входящих в сложное высказывание
1. Инверсия (логическое отрицание) – если
высказывание истинно, то инверсия
ложна и наоборот, если высказывание
ложно то инверсия истинна.
Обозначение:
Таблица истинности:
не A, not A,
A, A
Логическая схема:
Инвентор
A
F=A
A
0
1
A
1
0
2. Конъюнкция (логическое умножение) –
конъюнкция истинна только тогда, когда
истинны оба высказывания.
Обозначение:
и, &, and, ×, ·,
Логическая схема:
Конъюнктор
A
B
&
F=A·B
Таблица истинности:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A
B
0
0
0
1
3.
Дизъюнкция (логическое сложение) –
дизъюнкция ложна только тогда, когда
ложны оба высказывания.
Обозначение:
или, or, +, v, |
Логическая схема:
Дизъюнктор
A
B
1
F=A+B
Таблица истинности:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
AvB
0
1
1
1
4. Импликация (логическое следование) –
импликация ложна только тогда, когда
условие истинно, а следствие ложно.
Обозначение:
, =>
Таблица истинности:
Логическая схема:
A=>B = ¬ A v B
A
В
¬A
1
A
0
B
0
A => B
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
F=¬A v B
5. Эквивалентность (логическое тождество) –
эквивалентность истинна только тогда,
когда оба высказывания одновременно
либо истинны либо ложны.
Обозначение:
Таблица истинности:
, <=>, =, ~,
A
B
A
B
Логическая схема:
A
B = (¬AvB)&(¬BvA)
A
B
¬A
¬B
¬AvB
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
&
¬ВvА
1
0
F=(¬AvB)&(¬BvA)
Задание 1: Запишите в виде логической
формулы следующие высказывания:
а) Если Иванов здоров и богат, то он здоров.
б) Число является простым если оно делится
только на единицу и само на себя.
в) Произвольно взятое число либо делится на
2 либо делится на 3.
г) Если у меня будет свободное время и не
будет дождя, то я не буду писать сочинение,
а пойду на дискотеку.
Задание 2: Даны простые ЛВ. Определить
значение сложных ЛВ.
A={2x2=4}, B={2=3}, C={4<2}
а) ¬A
б) ¬(A&B)
в) (AvB)&C => (A&C)v(B&C)
г) (A&B)vC <=> (AvC)&(A&B)
Задание 3: Найдите значение логического
выражения не (X>Z) и не (X=Y) при:
а) X=3, Y=5, Z=2
б) X=0, Y=1, Z=19
в) X=5, Y=0, Z=-8
г) X=9, Y=-9, Z=9
Задание 4: Определить при каких значениях
числа
X
логическое
высказывание
не((X>8)или(X<-3)) примет значение:
а) ложь
б) истина
Построение таблицы истинности
сложных ЛВ:
 1)
определить число простых ЛВ (n)
 2) определить число строк в таблице
истинности (q=2n)
 3) записать все возможные значения
простых ЛВ
 4) определить количество логических
операций и их порядок
 5)
записать логические операции в
таблицу истинности и определить для
каждой значение
Задание 5: Постройте таблицу истинности
сложного ЛВ.
а) X · Y v X v Y v X
ЛВ является тождественно истинным, т.к. при всех
значениях X и Y принимает значение истина.
б) X v Y · (X · Y)
ЛВ является тождественно ложным, т.к. при всех
значениях X и Y принимает значение ложь.
в) X v Y v X · Z
ЛВ является выполнимым, т.к. в некоторых случаях
принимает значение ложь, а в некоторых – истина.
Задание 6: Постройте таблицы истинности
сложных ЛВ и сравните их:
1)
2)
3)
4)
5)
А и В или С и А
(А или В) и (А или С)
А и (В или С)
А или (не В или не С)
не (не A и не (B и C))
ЛВ, у которых таблицы истинности
называются равносильными.
совпадают,
Задание 7: Определите с помощью таблиц
истинности, какие из ЛВ являются
тождественно-истинными
или
тождественно-ложными,
а
какие
равносильными:
1) А и А или В и (А и В или В)
2) ((А или В) => В) и (А или В)
3) А и В <=> (A или B)
4) А и B и (А и В)
5) A и (B и (А или В))
Построение ЛВ по таблице истинности:


1) записать логическое умножение всех
простых ЛВ для каждой строки, где
сложное ЛВ = 1 (если значение
простого ЛВ = 0, то берется его
отрицание)
2) логически сложить, полученные
выражения
А)
Задание 8: Составьте сложное ЛВ по
таблице истинности
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
F
0
1
1
0
0
1
0
0
не A и не B и С
не A и B и не С
A и не B и С
(не A и не B и С) или (не A и B и не С) или (A и не B и С)
Б)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
F
1
0
0
1
0
0
0
1
не A и не B и не С
не A и B и С
AиBиС
(не A и не B и не С) или (не A и B и С) или (A и B и С)
Построение логических схем по
логическому высказыванию




1) определить число простых ЛВ
2) определить количество логических
операций и их порядок
3) построить для каждой логической
операции схему
4) объединить логические схемы в
порядке
выполнения
логических
операций
Задание 9: Постройте логическую схему
по логическому высказыванию.
1
3
2
1) (A v B) & не C
A
B
С
1
А или В
не С
&
(A или B) & не C
4
3
2
1
2) не (A v B & не C)
А или В & не C
A
B & не C
B
1
&
С
не С
не (А или В & не C)
1
3
2
3) A & B v C & A
С
&
СиА
&
AиВ
A
B
1
A и B или С и А
4
1
3
2
4) A v (не B v не C)
A
B
С
1
не В
не С
1
не B или не C
А или (не B или не C)
Построение логического
высказывания по логической схеме


1) на выходе каждого логического
элемента
записать
результат
логической операции
2) записать получившуюся формулу на
выходе последнего элемента
Задание 10: Постройте ЛВ по логической
схеме:
1)
A
B
C
&
1
B или C
A и (B или C)
2)
A или (не A и B)
A
не A
не A и B
1
&
&
B
не B
(A или (не A и B)) и не B
3)
X
не X
не X & не Y
&
&
не Y
Y
(не X & не Y) & (XvZ)
Z
1
XvZ
4)
X
Y
Z
не X
не X v не Y
1
1
не Y
&
X & не Z
не Z
(не X v не Y) v (X & не Z)