Свойства типов тетраэдров, аналогичные свойствам соответствующих типов треугольников
advertisement
Свойства типов тетраэдров, аналогичные свойствам соответствующих типов треугольников Рисунок 1 Определение типов треугольников легко обобщаются на тетраэдры Определение: Тетраэдр, вершинами которого служат основания высот исходного тетраэдра DАВС называется его ортоцентральным тетраэдром. Ясно, что ортоцентральный тетраэдр является аналогом ортоцентрического треугольника в пространстве. Поговорим о его свойствах. Поскольку ортоцентральный тетраэдр D1А1В1С1 не рассекает исходный тетраэдр DАВС на тетраэдры, (смотри рисунок 1) как это делает ортоцентрический треугольник со своим исходным треугольником, то вопрос о пособии и прочих свойствах, присущих ортоцентрическому треугольнику, для ортоцентрального тетраэдра отпадает (отметим, что исходный тетраэдр DАВС обязательно ортоцентрический, то- тесть его высоты пересекаются в одной точке) Рисунок 2 Так как тетраэдр DАВС ортоцентрический, то основания его высот АА1 , ВВ1 , СС1 , DD1 падают в ортоцентры соответствующих граней. Поэтому вершины ортоцентрального тетраэдра D1А1В1С1 суть ортоцентры соответствующих граней, а сечение исходного тетраэдра DАВС плоскостью С1В1А1 есть треугольник PQR (смотри рисунок 2) стороны которого проходят как через ортоцентры, так и через основания высот соответствующих граней. Покажем, что грани С1В1А1 , В1А1 D1, С1В1D1 , С1D1А1 ортоцентрального тетраэдра D1С1В1А1 соответственно антипараллельны граням СВА , ВАD, СВD и СDА исходного тетраэдра DСВА. Тем самым мы обнаружим одну из аналогий между свойствами ортоцентрического треугольника и ортоцентрального тетраэдра. Хорошо известен признак параллельности плоскостей: «Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то данные плоскости параллельны» Определение: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно антипараллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то данные плоскости назовем антипараллельными. Теорема 1 Грани ортоцентрального тетраэдра D1А1В1С1 антипараллельны граням исходного тетраэдра DАВС Доказательство: Докажем например. Что грань А1В1С1 ортоцентрального тетраэдра D1А1В1С1 Рисунок 3 антипараллельна грани АВС исходного тетраэдра DАВС. Для этого рассмотрим его грань DВС, в которой отрезок RQ представляет собой часть прямой по которой пересекаются плоскости PQR и DВС и проходит через основания высот BQ и CR грани ДВС (чертёж 3) Тогда ∆CRD ≈ ∆BAD Как прямоугольные треугольники и имеющие общий угол: ∟D, а их стороны, как показывают пропорции (*) пропорциональны. При этом ∟DQR Треугольника DQR Равен углу ∟DBC Треугольника DBC Последнее и означает, согласно определения антипараллельных отрезков, что отрезки RQ и BC антипараллельны. Антипараллельность других нужных нам отрезков доказывается аналогично. Что позволяет нам в конечном итоге доказать антипараллельность рассматриваемых плоскостей. Рассмотрим еще несколько свойств связанных с ортоцентрами тетраэдра и треугольника. Напомним, что для произвольного треугольника имеют место следующие соотношения, связанные с его ортоцентром и описанной вокруг него окружностью а) Если высоты треугольника продлить до пересечения с его описанной окружностью, то отрезок высоты от ортоцентра до основания равен отрезку от основания до пересечения с описанной окружностью. HD=DD1 (смотри рисунок 4) Рисунок 4 б) Окружности, описанные вокруг четырех треугольников АBC, HBC, HAC и HAB имеют один и тот же радиус с) Произведение всей высоты AD исходного треугольника на её отрезок от ортоцентра до основания равно произведению отрезков на которые эта высота делит сторону, на которую она падает: BD ∙ DC= AD ∙ HD Треугольник BHC прямоугольный, поскольку угол ∟BHC = 90°, как опирающийся на диаметр и тогда хорошо известная теорема о высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу в свете вышедоказанного приобретает вид: BD ∙ DC=AD2 С помощью окружности Эйлера красиво доказывается утверждение о том, что: «Произведение частей, на которые ортоцентр делит высоты одно и тоже для всех трех высот треугольника» Рисунок 5 Известно, что окружность Эйлера делит пополам отрезки, соединяющие ортоцентр Н с вершинами А, В, С Треугольника АВС А также учитывая свойства внутренней точки окружности, можем написать P1H ∙ HD = P2 H ∙ HE = P3 H ∙ HF (смотри рисунок 5) Но P1H = 1 AH 2 P2H = 1 BH 2 P3 H = 1 HC 2 То есть, 1 1 1 AH ∙ HD = ВH ∙ HE = CH ∙ HF или AH ∙ HD = ВH ∙ HE = CH ∙ HF и 2 2 2 утверждение доказано. Поскольку окружности девяти точек треугольника соответствует своя сфера двенадцати точек тетраэдра, обладающая аналогичными свойствами, а также своя прямая Эйлера и учитывая, что медианы тетраэдра тоже пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 1:3, то ортоцентр произвольного ортоцентрического тетраэдра обладает тем же самым свойством. «Произведение частей, на которые ортоцентр тетраэдра делит его высоты одно и тоже для всех четырех высот тетраэдра» DABC: AH ∙ HA1 =DH ∙ HD1 = BH ∙ HB1 = CH ∙ HC1 (смотри рисунок 1) Рассмотрим теперь свойство тетраэдра, аналогичное свойству (а) треугольника: Если высоты тетраэдра продолжить до пересечения их с его описанной сферой, то отрезок высоты от ортоцентра до основания равен отрезку от основания до пересечения с описанной окружностью. Рисунок 6 Проведем сечение тетраэдра DABC Плоскостью проходящей через ребро DA и высоту основания AA1 (смотри рисунок 6) В плоскости нашего сечения кроме собственно ребра AD и высоты AA1 Окажутся также дуга DAD2 и отрезки DD2 AH и AD1 Равно как и все треугольники DAD2 , DAH, DAD1 То-есть, мы имеем ту самую плоскостную конфигурацию, для которой наше утверждение уже было доказано. Дальнейший сопоставительный анализ свойств треугольников и тетраэдров лучше оформить в виде упражнения. Упражнение 1. Ниже приведены некоторые свойства треугольников, связанные с ортоцентром. Определите, какие из этих свойств справедливы и для тетраэдров. Для каких типов тетраэдров они справедливы? (справедливость здесь понимается с точностью до аналогии. Так формуле площади треугольника S= ah 2 Соответствует аналогичная формула объема для тетраэдра V= 1 H ∙ S осн.) 2 а) если высоты треугольника поделить до пересечения описанной вокруг него окружностью, то расстояние от ортоцентра до основания высоты окажется равным расстоянию от ее продолжения с окружностью. b) Описанные окружности четырех треугольников: ABC, HBC, HAC и HAB имеют один и тот же радиус. с) Произведение все высоты треугольника на ее части от основания до ортоцентра равно произведению отрезков, на которые эта высота делит противолежащую сторону d) Ортоцентр треугольника делит его высоты в одном и том же отношении е) Радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, проведенный в его вершины перпендикулярен соответствующей стороне его ортоцентрического треугольника. д) Если два треугольника BA1C и BA2 C с одинаковым основание ВС вписаны в одну и ту же окружность и Н1 , Н2 их ортоцентры, то четырех угольник H1A1 A2H2 параллелограмм h) Для произвольного треугольника АВС существует окружность Эйлера о) Пусть H – ортоцентр треугольника АВС Тогда треугольники АВС, НВС, АНС и АВН имеют общую окружность девяти точек. и) В условиях пункта о) доказать, что прямые Эйлера соответствующих треугольников пересекаются в одной точке. Упражнение 2. а) Определения эксцентрального медианного, инцентрального, тангенциального треугольников следующие: Определение 1. Треугольник вершинами, которого служат центры вневписанных окружностей треугольника АВС называется его эксцентральным треугольником. Определение 2. Треугольник вершинами, которого служат основания медиан исходного треугольника АВС называется его медианным треугольником. Определение 3. Треугольник вершинами, которого являются точки касанию вписанной в треугольник АВС. Окружности, называется его инцентральным треугольником. Определение 4. Треугольник вершинами, которого служат точки пересечения касательных, проведенных к описанной окружности треугольника АВС. Определение 5. Точка пересечения отрезков соединяющих вершины треугольника АВС с точками касания его вписанной окружности называется точкой Жергонна треугольника АВС. Сформулируйте соответствующие определения 1-5 для тетраэдров. Упражнение 3 Какие из следующих утверждений верных для треугольника оказываются справедливыми и для тетраэдра? Докажите эти утверждения. а) точка Жергонна треугольника АВС существует б) Перпендикуляры, опущенные из вершин эксцентрального треугольника на стороны исходного треугольника АВС пересекаются в одной точке. с) Описанная окружность треугольника АВС является окружностью девяти точек его эксцентрального треугольника. d) Стороны тангенциального треугольника исходного треугольника АВС параллельны сторонам его ортоцентрического треугольника. е) Средина отреза соединяющего ортоцентр исходного треугольника с центром описанной окружности его эксцентрального треугольника есть инцентр медианного треугольника. д) Ортоцентрический и медианный треугольники имеют общую описанную окружность h) Инцентр J исходного треугольника АВС является ортоцентром Не его эксцентрального треугольника.
