НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ
МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ДВИЖЕНИЯ БЛИЗКИХ И ДАЛЕКИХ
СПУТНИКОВ ЮПИТЕРА
Автор:
Баньщикова Мария Александровна
Научный руководитель:
доцент, к.ф.-м.н., В.А. Авдюшев
2008
АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ



Повышение точности наблюдений;
Увеличение количества наблюдений;
Открытие новых спутников.
Это требует пересмотра существующих и построение новых
эффективных численных орбитальных моделей спутников.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Исследование по данным наблюдениям движения близких и
далеких спутников.
2
СТРУКТУРА РАБОТЫ
1.
2.
3.
4.
Численная модель движения спутников Юпитера.
Методика определения орбитальных параметров спутников
Юпитера из наблюдений и оценивания параметрической
точности.
Моделирование движения близких спутников Юпитера.
Моделирование движения далеких спутников Юпитера.
Объем работы: 125 страниц, 99 наименований используемых
источников, 6 приложений, 48 рисунков, 27 таблиц.
3
СПУТНИКИ ЮПИТЕРА








Группы спутников:
Близкие;
Галилеевы;
Фемисто;
Гималии;
Карпо;
Ананке;
Карме;
Пасифе.
4
СПУТНИКИ ЮПИТЕРА








Группы спутников:
Близкие;
Галилеевы;
Фемисто;
Гималии;
Карпо;
Ананке;
Карме;
Пасифе.
5
СПУТНИКИ ЮПИТЕРА








Группы спутников:
Близкие;
Галилеевы;
Фемисто;
Гималии;
Карпо;
Ананке;
Карме;
Пасифе.
6
СПУТНИКИ ЮПИТЕРА








Группы спутников:
Близкие;
Галилеевы;
Фемисто;
Гималии;
Карпо;
Ананке;
Карме;
Пасифе.
7
СПУТНИКИ ЮПИТЕРА








Группы спутников:
Близкие;
Галилеевы;
Фемисто;
Гималии;
Карпо;
Ананке;
Карме;
Пасифе.
8
СПУТНИКИ ЮПИТЕРА








Группы спутников:
Близкие;
Галилеевы;
Фемисто;
Гималии;
Карпо;
Ананке;
Карме;
Пасифе.
9
СПУТНИКИ ЮПИТЕРА








Группы спутников:
Близкие;
Галилеевы;
Фемисто;
Гималии;
Карпо;
Ананке;
Карме;
Пасифе.
10
ОРБИТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
СПУТНИКОВ ЮПИТЕРА
Близких
Аналитические теории
 Tisserand M.F. (1893)
 Cohn F.
(1897)
 Михальский Н.М.
(1928)
 Van Woerkom A.J.J. (1950)
 Sudbury P.V.
(1969)
 Jacobson R.A.
(1994)
 Кирюшенков В.Н. (1969)
 Аразов Г.Т.
(1972)
 Breiter S.
(1996)
Галилеевых
Аналитические теории
 Sampson R.A. (1921)
 Vu D.T.
(1974)
 Lieske J.H.
(1998)
 Ferraz-Mello S. (1983)
Численное моделирование
 Lainey V. et al. (2004)
Далеких
Аналитические теории
 Crommelin A.G.D. (1905)
 Perrine C.D.
(1905)
 Ross F.E.
(1905-1907)
 Bobone J.
(1935-1937)
 Проскурин В.Ф.
(1955)
 Токмалаева С.С. (1956)
Численное моделирование
 Cowell P.H. et al.
(1909)
 Herget P.
(1968)
 Бордовицына Т.В. Быкова Л.Е. (1972)
 Aksnes K.
(1978)
 Rocher P.
(1983-1990)
 Jacobson R.A.
(2000)
 Sheppard S.S. et al.
(2002)
 Emelyanov N.V.
(2005)
11
МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ
Система координат
 Йовицентр
 Геоэкватор J2000.0
x
S
Jupiter
Силы
 Гравитационное поле Юпитера
 Галилеевы спутники
 Солнце и планеты-гиганты
 Релятивистские эффекты
J0+J2+J3+J4+J6: IAU;
G1+G2+G3+G4: Лейни;
DE405;
Шварцшильда.
12
МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ
Система координат
 Йовицентр
 Геоэкватор J2000.0
x
S
Jupiter
Силы (для БЛИЗКИХ спутников)
 Гравитационное поле Юпитера
 Галилеевы спутники
 Солнце и планеты-гиганты
 Релятивистские эффекты
J0+J2+J3+J4+J6: IAU;
G1+G2+G3+G4: Лейни;
DE405;
Шварцшильда.
13
МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ
Система координат
 Йовицентр
 Геоэкватор J2000.0
x
S
Jupiter
Силы (для ДАЛЕКИХ спутников)
 Гравитационное поле Юпитера
 Галилеевы спутники
 Солнце и планеты-гиганты
 Релятивистские эффекты
J0+J2+J3+J4+J6: IAU;
G1+G2+G3+G4: Лейни;
DE405;
Шварцшильда.
14
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
 PR
(1)
x 0  x(t0 )
x 0  x(t0 )
Гравитационное поле Юпитера
U
(2)
,
x
bJn

U 
J n n 1 Ln (sin  J )

| x | n 0,2,3,4,6 | x |
PJ 
Притяжение галилеевых спутников,
Солнца, планет-гигантов
PG , S , P
 xG , S , P  x
xG , S , P 
 G , S , P 

3
3 
|x


x
|
|
x
|
G ,S ,P
 G ,S ,P

(3)
Релятивистские эффекты
2

PR  4 2 4 x  2 3  4(x  x)x  x 2x  (4)
c |x|
c |x|
15
УРАВНЕНИЯ В ВАРИАЦИЯХ
d 2  x  P x P x



,

2 
dt  x0  x x 0 x x 0
d x
x
 0,
 E,
dt x0 0
x0 0
d  x  P x P x



.

2 
dt  x0  x x 0 x x 0
d x
x
 E.
 0,
dt x0 0
x0 0
2
(5)
ИНТЕГРАТОР ЭВЕРХАРТА
dq
 Q(t , q), q 0  q(t0 ),
dt
1
1 

q h  q 0  h  Q 0  A1   A 7 
2
8 

(6)
16
ПРОБЛЕМА УЧЕТА ВЛИЯНИЯ
ГАЛИЛЕЕВЫХ СПУТНИКОВ
Сложность моделей
движения галилеевых
спутников
Короткопериодические
возмущения
Понижение
быстродействия
численного процесса
Численное
интегрирование с малым
шагом
17
ПРИТЯЖЕНИЕ ГАЛИЛЕЕВЫХ
СПУТНИКОВ






Высокоточная модель Лейни (I);
Упрощенная теория движения галилеевых спутников (II);
Использование гауссовых колец (III);
Мультипольная модель (IV);
Использование модифицированного гравитационного
параметра (V);
Без учета влияния галилеевых спутников (VI).
18
ПРИТЯЖЕНИЕ ГАЛИЛЕЕВЫХ
СПУТНИКОВ






Высокоточная модель Лейни (I);
Упрощенная теория движения галилеевых спутников (II);
Использование гауссовых колец (III);
Мультипольная модель (IV);
Использование модифицированного гравитационного
параметра (V);
Без учета влияния галилеевых спутников (VI).
 xG  x
xG 
PG   

3
3 
|
x

x
|
|
x
|
G
 G

(7)
19
ПРИТЯЖЕНИЕ ГАЛИЛЕЕВЫХ
СПУТНИКОВ






Высокоточная модель Лейни (I);
Упрощенная теория движения галилеевых спутников (II);
Использование гауссовых колец (III);
Мультипольная модель (IV);
Использование модифицированного гравитационного
параметра (V);
Без учета влияния галилеевых спутников (VI).
G x3 E ( )
x1 U
x2 U
1
PG1 
; PG 2 
; PG 3  
;
2
2 x 2  (r  r ) 2
r12 r12
r12 r12
x3  (r12  rG ) 3
12
G
G
U

r12 2r12 x32  (r12  rG ) 2
(8)
 x32  rG2  r122

2
2
E
(

)

K
(

)
;
r

x

x
12
1
2
 2

2
x

(
r

r
)
12
G
 3

20
ПРИТЯЖЕНИЕ ГАЛИЛЕЕВЫХ
СПУТНИКОВ






Высокоточная модель Лейни (I);
Упрощенная теория движения галилеевых спутников (II);
Использование гауссовых колец (III);
Мультипольная модель (IV);
Использование модифицированного гравитационного
параметра (V);
Без учета влияния галилеевых спутников (VI).
G
PG  
K
 x  xK 


3 
|
x

x
|
j 1 
K

K
(9)
21
ПРИТЯЖЕНИЕ ГАЛИЛЕЕВЫХ
СПУТНИКОВ






Высокоточная модель Лейни (I);
Упрощенная теория движения галилеевых спутников (II);
Использование гауссовых колец (III);
Мультипольная модель (IV);
Использование модифицированного гравитационного
параметра (V);
Без учета влияния галилеевых спутников (VI).
PG  0;
4
 mod      Gi
(10)
i1
22
ПРИТЯЖЕНИЕ ГАЛИЛЕЕВЫХ
СПУТНИКОВ






Высокоточная модель Лейни (I);
Упрощенная теория движения галилеевых спутников (II);
Использование гауссовых колец (III);
Мультипольная модель (IV);
Использование модифицированного гравитационного
параметра (V);
Без учета влияния галилеевых спутников (VI).
PG  0
23
ПРИТЯЖЕНИЕ ГАЛИЛЕЕВЫХ
СПУТНИКОВ
Оценка точности упрощенных моделей движения
в сравнении с высокоточной моделью (I)
Амальтея
Гималия
t  1000 î á.
t  10 î á.
Этне
t  10 î á.
24
ПРИТЯЖЕНИЕ ГАЛИЛЕЕВЫХ
СПУТНИКОВ
Оценки быстродействия и методические
ошибки интегрирования различных моделей
Амальтея
Гималия
Этне
Модель
CPU
NS
| x |
CPU
NS
| x |
CPU
NS
| x |
I
II
III
IV
V
VI
67
5
6
6
4
4
14270
14271
14270
14270
14273
14273
6 10-8
6 10-8
6 10-8
6 10-8
6 10-8
6 10-8
11
1
0.2
0.2
0.16
0.16
2347
2378
415
415
415
415
3.0 10-12
4.4 10-12
9.6 10-15
7.8 10-14
2.7 10-14
2.7 10-14
22
1.5
0.28
0.28
0.17
0.17
4645
4616
629
629
629
629
3.8 10-11
5.5 10-11
3.4 10-13
3.4 10-13
5.4 10-11
5.4 10-11
CPU – процессорное время (сек.);
NS – число шагов интегрирования;
| x | – ошибки интегрирования (а.е.)
25
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО
НАБЛЮДЕНИЯМ
ЗАДАЧА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Целевая функция
1 N O
S (q)  | pi  piC |2  min
2 i 1
Наблюдения
p (i  1,..., N )
O
i
(11)
Модель
pCi  p C (ti , q)
(12)
26
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО
НАБЛЮДЕНИЯМ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Схема Гаусса-Ньютона
q k 1  q k  [( AT A)1 ( AT p)](q k )
(13)
S / q
Оценка точности параметров
Среднеквадратическая
ошибка единицы веса
S
 
N K
2
Ковариационная
матрица
C   2 ( AT A ) 1
(14)
27
ПРОБЛЕМА НЕОДНОЗНАЧНОГО
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТЫ
Немногочисленный
ряд
наблюдений
Группы наблюдений
распределены на
длительном интервале
времени
Проблема
неоднозначного
определения орбиты
28
КРУГОВАЯ ЗАДАЧА
Расхождение положений:
x  x(t , a, E0 )  x (t , a , E0 )
pC
(15)
pO
a / a , E0 ,
n / n , (2 3 ),  n ( t t0 ),
3
|x|  a [   2(1 )(1cos  )],  
2
2
2
(16)
Целевая функция:
N
1
2 (, )  | xi |2 , |  i | 0
(17)
N i 1
N
1
3

2
 ~ F(, )  1   cos     
N i 1
2

(18)
29
1 N
F  1   cos [li  l0 ]   ,
(19)
N i 1
  1
3
   ( N  1 ), li  i
, 0  0
2
 N  1
Пример:
N  2,
l0  0.5
F (, )
 / 2
 / 2
30
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 
( )  min F (, ),
[  ,  )
  1  c2  s2 ,
(20)
1 N
c   cos li ,
N i 1
1 N
s   sin li 
N i 1
31
НАБЛЮДЕНИЯ БЛИЗКИХ СПУТНИКОВ
32
Поведение  ( ) для близких спутников
33
СХОДИМОСТЬ СХЕМЫ
ГАУССА-НЬЮТОНА
 1 S 
q k 1  q k  h Q
(q k )

q 

(21)
2 группы наблюдений (Адрастея)
Сходимость < 0.4%
34
Гаусса–Ньютона схема
  2 S 1 S 
q k 1  q k   2 
 (q k )
 q  q 
(22)
Градиентный спуск
(23)
 G G 
q k 1  q k  
G  (q k )
 QG  G 
Проекционная схема
S
i
G
H
(
q


q
k
k )  H (q k )
q
qik1  q ik 
GH
GH GH
(24)
H
GH 
, H
q
энергия
35
КОМПЛЕКСНЫЙ ПОДХОД
Градиен. сп.
Проекц. сх.
27 итераций!
Г–Н
36
НЕВЯЗКИ МОДЕЛИ ДЛЯ БЛИЗКИХ
СПУТНИКОВ
Амальтея
37
НЕВЯЗКИ МОДЕЛИ ДЛЯ БЛИЗКИХ
СПУТНИКОВ
Теба
38
НЕВЯЗКИ МОДЕЛИ ДЛЯ БЛИЗКИХ
СПУТНИКОВ
Адрастея
39
НЕВЯЗКИ МОДЕЛИ ДЛЯ БЛИЗКИХ
СПУТНИКОВ
Метида
40
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ ДЛЯ
БЛИЗКИХ СПУТНИКОВ
Спутник
 (‘’)
N
t (г.)
Амальтея
0.284
707
47.7
Теба
0.161
465
6.4
Адрастея
0.386
90
12.0
Метида
0.333
178
12.0
41
МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ ДЛЯ АДРАСТЕИ
Среднеквадратические ошибки для различных решений (Адрастея)
42
МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ ДЛЯ МЕТИДЫ
Орбитальные элементы Метиды и среднеквадратические
ошибки для смежных решений
 / 2  (‘’)
-11 0.987
0 0.333
11 1.119
43
МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ ДЛЯ МЕТИДЫ
Орбитальные элементы Метиды и среднеквадратические
ошибки для смежных решений в случае двух групп наблюдений
B18
 / 2  (‘’)
-1
0.280
0
0.257
1
0.245
44
Распределение наблюденных (O) и вычисленных (C) положений
Метиды на небесной сфере для третьей группы наблюдений.
45
СРАВНЕНИЕ С JUP230
Ср. кв. ошибки по реальным и
моделируемым наблюдениям JUP230
Спутник
 ('')
 jac ('')
Амальтея
0.284
Теба
0.161
0.076 (0.035)
0.217 (0.037)
Адрастея
0.386
0.333
0.272 (0.036)
0.168 (0.039)
Метида
Для решения  / 2  1
46
НАЧАЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ
ОБЛАСТЬ
1E-005
Моделирование области
5E-006
j
,M )
q  (x0 , x0 )
UUT  C, C  02 ( AT A) 1
: ij  N (0,1)
(25)
x2-x20
q j  U  q ( j  1,
0
-5E-006
j
-1E-005
-1E-005
-5E-006
0
5E-006
1E-005
x1-x10
47
НЕЛИНЕЙНОСТЬ
Нелинейность 
1 S% S

,
2 S  S

2 
S  S 1 

N

K


Спутник
48
ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
49
ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
0.02
2E-005
x2x20 (a.e.)
4E-005
x2x20 (a.e.)
0.04
0
-0.02
-0.04
-0.04
0
-2E-005
-0.02
0
x1x10 (a.e.)
0.02
0.04
-4E-005
-4E-005
S/2003 J04
-2E-005
0
x1-x10 (a.e.)
2E-005
4E-005
Фемисто
Вероятностные области
50
ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
51
4000
2000
 ('')
Jupiter
0
S max
-2000
-4000
-4000
11
-2000
0
2000
4000
cos  ('')
Вероятностная область S/2003 J10 относительно
номинальной орбиты в проекции на геоцентрическую
небесную сферу (через 1 оборот)
52
Спутник
Максимальные угловые отклонения возможных спутниковых
положений от соответствующих номинальных на геоцентрической
небесной сфере через один оборот
53
S/2003 J02: спутник или астероид?
0.4
16
0.2
x 2 (a.e.)
x 2 (a.e.)
12
8
4
0
-0.2
0
-0.4
-4
-12
-8
-4
0
x 1 (a.e.)
4
8
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
x 1 (a.e.)
Вероятностная область спутника S/2003 J02 через 100 лет.
Рисунок справа - увеличенный фрагмент рисунка слева
54
S/2003 J02: спутник или астероид?
0.008
ик
тн
пу
С
0
д
ои
ер
ст
A
x2 (a.e.)
0.004
-0.004
-0.008
-0.008
-0.004
0
x1 (a.e.)
0.004
0.008
Возможные орбитальные параметры спутника S/2003 J02
в плоскости (x1,x2) относительно НК-оценок xˆ 01 и xˆ 02
55
ЗАКЛЮЧЕНИЕ





Построена высокоточная численная динамическая модель
движения спутников Юпитера, причем впервые для близких
спутников;
Исследована и решена проблема численного моделирования
возмущений от галилеевых спутников;
Исследована проблема множества решений в обратных задачах
орбитальной динамики близких спутников;
Исследована эволюция областей возможных движений для
далеких спутников Юпитера;
Получены оценки точности орбитальных параметров для всех
далеких и близких спутников Юпитера (58 объектов).
56
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ
По результатам исследования опубликовано 16 работ: 6 тезисов
и 10 статей, причем 5 из них рекомендуемые ВАК для
публикации научных работ. Результаты исследований
докладывались и обсуждались на 10 конференциях.
Некоторые результаты были включены в отчеты по грантам
поддержанных РФФИ (05-02-17043-а, 08-02-00359-а).
57