уравнение движения маятника

Лекция №2
ЭНЕРГИЯ
ГАРМОНИЧЕСКИХ
КОЛЕБАНИЙ
2.1 Энергия гармонических колебаний
Потенциальная энергия тела U, измеряется работой,
которую может проделать возвращающая сила
Fx   kx
x

, отсюда U  k xdx или
dU  Fdx  kxdx
2
kx
U
•Потенциальн
2
ая энергия
1 2 2
U  kA sin (ωt  φ0 )
2
0
•Кинетическая энергия
mυ
1
2 2
2
K
 mω A cos (ωt  φ 0 )
2
2
2
• Полная энергия:
1
1
1 2
2 2
2 2
E  U  K  mω A , или E  mω A  kA
2
2
2
Полная механическая энергия гармонически колеблющегося
тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания.
Колебания груза под действием сил тяжести
(квазиупругих сил).
1 2
Максимум
U max  mgh  kA
потенциальной энергии:
2
Максимум
2
m
υ
1
2
кинетической энергии: K

 kA
max
2
когда K  max , U  0 (и наоборот).
2
При
колебаниях
совершающихся
под
действием потенциальных
(консервативных)
сил,
происходит
переход
кинетической энергии в
потенциальную
и
наоборот. Их сумма в
любой момент времени
постоянна.
На рисунке приведена зависимость потенциальной
энергии U в зависимости от отклонения от
положения равновесия
U
Рисунок 6
1 2
E  kA .
2
К=Е-U
2.2 Гармонический осциллятор
1. Пружинный маятник –
это
груз
массой
m,
подвешенный на абсолютно
упругой
пружине
с
жесткостью k, совершающий
гармонические
колебания
под действием упругой силы
F  kx
Из второго закона Ньютона F = mа; или F = - kx
получим уравнение движения маятника:
d 2x
m 2  kx
dt
или
d 2x  k 
  x  0
2
dt
m
Решение этого уравнения:
x  A cos(ωt  φ)
циклическая частота ω
k
ω
;
m
период Т
m
T  2π
k
2. Математическим маятником –
называется
идеализированная
система, состоящая из невесомой,
нерастяжимой нити, на которую
подвешена масса, сосредоточенная в
одной точке (шарик на длинной
тонкой нити).
При отклонении маятника от
вертикали, возникает вращающий
M  mgl sin α
момент,
Уравнение динамики вращательного
движения :
M  Jε
момент инерции маятника J  ml 2
d 2α
угловое ускорение ε  2
dt
2
2
d
α
d
α
g
Тогда ml 2
 mgl sin α , или
 sin α  0
2
2
dt
l
dt
g
2
sin α  α.
ω
Обозначим :
l
2
d
α
2
Уравнение движения маятника
ω α 0
2
dt
Решение этого уравнения
ω
g
l
α  α m cos( ωt  φ 0 )
l
T  2π
g
Т – зависит только от длины маятника и ускорения
свободного падения.
l
3. Физический маятник – это
твердое тело, совершающее под
действием силы тяжести
колебания вокруг неподвижной
горизонтальной оси, проходящей
через точку подвеса О, не
совпадающую с центром масс С
Вращающий момент
маятника:
M  mgl sin α
l – расстояние между точкой
подвеса и центром инерции
маятника О-С.
Обозначим:
J – момент инерции маятника относит. точки подвеса O.
d 2α
d 2α
ε  2 - угловое ускорение, тогда J 2  mgl sin α
dt
dt
sin   
Уравнение динамики движения маятника
d 2α
2

ω
α0
2
dt
α  α m cos( ωt  φ0 ) здесь:
mgl
 
;
J
2
J
T  2
;
mgl
lпр.
J

;
ml
T  2
lпр. – приведенная длина физического маятника – это длина
lпр.
g
.
такого математического маятника, период колебания которого
совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.
• Точка O' называется центром
качаний
lпр.
• Применяя теорему Штейнера,
получим:
J J C  ml
JC
lпр. 


l l
ml
ml
ml
2
lпр. всегда больше l.
Точки О и О'
всегда будут лежать по обе
стороны от точки С.
• Точка подвеса О маятника и центр качаний O'обладают
свойством взаимозаменяемости
• На этом свойстве основано определение ускорения силы
тяжести g с помощью так называемого оборотного
маятника. Это такой маятник, у которого имеются две
точки подвеса и два груза, которые могут перемещаться
вдоль оси маятника.
• Все приведенные соотношения для математического и
физического маятников справедливы для малых углов
отклонения (меньше 15°), когда x  lα мало
отличается от длины хорды l sin α (меньше чем на 1%).