X - Высшая школа экономики

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ОПТИМАЛЬНОСТЬ И
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ НЕДОМИНИРУЕМОСТЬ
В ЗАДАЧАХ ВЫБОРА
POTENTIAL OPTIMALITY AND
POTENTIAL NON-DOMINANCE
IN CHOICE PROBLEMS
Подиновский В.В. (НИУ ВШЭ)
Podinovski V.V. (NRU HSE)
1
Описание предпочтений
Бинарные отношения
- предпочтения: xPy  x предпочтительнее,
x
y
чем y;
- безразличия: xIy  x и y одинаковы по
x
y
предпочтительности, или безразличны;
- несравнимости: xNy  x и y несравнимы
x
y
по предпочтительности;
- нестрогого предпочтения: xRy  xPy или xIy.
R порождает I и P :
xIy  xRy  yRx, xPy  xRy   yRx
Отношение R – квазипорядок: оно рефлексивно (xRx )
и транзитивно (xRy  yRz  xRz).
2
Оптимальные и недоминируемые варианты
< X, R >
X – множество вариантов (альтернатив, стратегий, …)
R – отношение нестрогого предпочтения ЛПР на X.
Вариант x* называется оптимальным (по R), если для
любого варианта x верно x*Rx. Оптимальный вариант
существует, если X конечно, а квазипорядок R полный.
Вариант x* называется недоминируемым (по P), если
не существует варианта x, для которого верно xPx*. В
противном случае x*называется доминируемым (по P).
Множество недоминируемых вариантов X*(P) называется
внешне устойчивым, если для любого варианта xX*(P)
найдется вариант x*X*(P) такой, что верно x*Px.
Если X конечно, то X*(P) внешне устойчиво.
3
Оптимальные и недоминируемые варианты
Множества X*(P3) и X*(P4) являются внешне устойчивыми.
4
Потенциально оптимальные и
потенциально недоминируемые варианты
< X,  >,  – семейство квазипорядков R на X.
 – множество отношений P, порождаемых R из .
Вариант x* называется потенциально оптимальным
(для ), если существует R, по которому x* оптимален.
Вариант x* называется потенциально недоминируемым
(для ), если найдется P, по которому x* недоминируем.
Множество потенциально оптимальных для  вариантов
X*() [соответственно множество потенциально
недоминируемых для  вариантов X*()] называется
покрывающим (множество X), если для любого xX*() и
любого R [соответственно если для любого xX*() и
для любого P] найдется x*X*(R) [соответственно
x*X*(P)] такой, что верно x*Px.
5
Потенциально оптимальные и
потенциально недоминируемые варианты
X*( ) = {x1, x2}
Эти множества являются покрывающими.
6
Пример использования потенциальной
оптимальности (постановка задачи)
В трехкритериальной задаче шкала критериев f1, f2 и f3
содержит три градации 1, 2 и 3. Имеется три варианта
x1, x2 и x3 с такими векторными оценками:
y1 = f(x1) = (2, 1, 3), y2 = f(x2) = (3, 2, 1), y3 = f(x3) = (1, 2, 3).
Полученная качественная информация о важности
критериев состоит из единственного сообщения: «Второй
критерий важнее третьего»:  = {2  3}.
Любые два варианта несравнимы по отношению R,
порождаемому этой информацией.
7
Пример использования потенциальной
оптимальности (продолжение)
За счет получения дополнительной качественной
информации о важности критериев, согласованной с
информацией  = {2  3}, можно получить одну из пяти
ранжировок – упорядочений всех критериев по важности:
1 = {1  2 3}, 2 = {1  2 3}, 3 = {2  1 3},
4 = {2  1 3}, 4 = {2  3  1}.
Каждая возможная информация 1, …, 5 порождает
на множестве вариантов соответствующее отношение
нестрогого предпочтения R1, …, R5. Графы взаимосвязи
вариантов этими отношениями представлены на рисунке на
следующем слайде.
8
Пример использования потенциальной
оптимальности (окончание)
Множество потенциально оптимальных для  = {R1, …, R5}
вариантов X*() = {x2, x3}. Оно является покрывающим.
9
Пример использования потенциальной
недоминируемости (постановка задачи)
В трехкритериальной задаче шкала критериев f1, f2 и f3
содержит три градации 1, 2 и 3. Имеется три варианта
x1, x2 и x3 с такими векторными оценками:
y1 = f(x1) = (1, 3, 2), y2 = f(x2) = (3, 3, 1), y3 = f(x3) = (1, 2, 3).
Полученная качественная информация о важности
критериев состоит из единственного сообщения: «Первый
и второй критерии равноважны»:  = {1~ 2}.
Любые два варианта несравнимы по отношению R,
порождаемому этой информацией.
10
Пример использования потенциальной
недоминируемости (продолжение)
За счет получения дополнительной качественной
информации о важности критериев, согласованной с
информацией  = {1 ~ 2}, можно получить одну из трех
ранжировок – упорядочений всех критериев по важности:
1 = {1 ~ 2 3}, 2 = {1 ~ 2 ~ 3}, 3 = {3  1 ~ 2},
Каждая возможная информация 1, 2, 3 порождает на
множестве вариантов соответствующее отношение
нестрогого предпочтения R1, R2, R3. Графы взаимосвязи
вариантов этими отношениями представлены на рисунке на
следующем слайде.
11
Пример использования потенциальной
недоминируемости (окончание)
Графы без петель
x2
x2
x2
x3
x1
x3
R1
x1
x1
x3
R2
R3
Множество потенциально оптимальных вариантов {x2}
не является покрывающим.
Множество потенциально недоминируемых вариантов
{x2, x3} является покрывающим.
12
Заключение
Понятия потенциальной оптимальности и
потенциальной недоминируемости 
обобщение понятий оптимальности и
недоминируемости на случай, когда
предпочтения моделируются с использованием
семейств отношений предпочтения.
Оба эти понятия, наряду с понятиями
оптимальности и недоминируемости, являются
базовыми для теории выбора.
13
Публикации
Подиновский
В.В. О взаимосвязи
понятий потенциальной
В. В. Подиновский,
“О взаимосвязи
понятий
оптимальности и недоминируемости. Автоматика и телемеханика.
потенциальной оптимальности и недоминируемости”,
2012. № 1. С. 184 - 187.
Автоматика
и телемеханика,
№ 1,optimality
С. 184-187,
2012.
Podinovski
V.V. Non-dominance
and potential
for partial
preference relations. European Journal of Operational Research. 2013. V.
229. P. 482 – 486.
Podinovski V.V. Potential optimality in multicriterial optimization.
Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2014. V. 54. P. 429
– 438.
Подиновский В.В., Нелюбин А.П. Потенциальная недоминируемость
в задачах выбора при неточной информации о предпочтениях.
Искусственный интеллект и принятие решений. 2014. № 4. С. 83 – 95.
Подиновский В.В., Нелюбин, А.П. О построении множества
потенциально недоминируемых вариантов”. В сб. Информационные
технологии в науке, образовании и управлении, Материалы XLII
Международной конференции IT + SE`15 (22.05 – 01.06. 2015 г.).
Москва: ИНИТ, 2015, С. 67 – 71.
14
Выражение благодарностей
Доклад подготовлен в ходе проведения работы в рамках
Программы фундаментальных исследований Национального
исследовательского университета “Высшая школа экономики”
(НИУ ВШЭ) и с использованием средств субсидии на
государственную поддержку ведущих университетов Российской
Федерации в целях повышения их конкурентоспособности среди
ведущих мировых научно-образовательных центров,
выделенной НИУ ВШЭ.
Благодарю за внимание!
15