Аппроксимация функций Понятие о приближении функций.

Аппроксимация функций
Понятие о приближении
функций.
• Пусть дискретному множеству значений
аргумента xi поставлено в соответствие
множество значений функции yi (i = 0,1,..., n).
• задача о приближении (аппроксимации)
функции:
• данную функцию f(x) требуется
аппроксимировать некоторой функцией  ( x )
так, чтобы отклонение  ( x ) от f(x) в заданной
области было наименьшим.
•  ( x ) - аппроксимирующая функция.
• Точечная аппроксимация.
• интерполирование:
• состоит в следующем: для данной функции
у = f(x) строится интерполирующая функция  ( x )
принимающая в заданных точках xi те же
значения yi, что и функция f (x), т. е.
 ( xi )  yi , i  0,1,..., n.
• ( например  ( x)  Pm ( x)  a0  a1x 
 am xm )
• При этом предполагается, что среди значений xi
нет одинаковых, т. е. xi  xk при i  k.
• Точки xi - узлы интерполяции.
• Интерполирующая функция может строиться
сразу для всего рассматриваемого интервала
изменения х (глобальная интерполяция)
или отдельно для разных частей этого
интервала (кусочная или локальная
интерполяция).
• Если интерполирование применяется для
приближенного вычисления функции вне
рассматриваемого отрезка (x  x0 , x  xn ), то
это приближение называют экстраполяцией.
• Мерой отклонения функции (  ( x) от заданной
функции f(x) на множестве точек ( xi , yi )(i = 0,1,..., n)
величина S
n
S   [ ( xi )  yi ]
2
i 0
• Аппроксимирующую функцию нужно
подобрать так, чтобы величина S была
наименьшей.
• Непрерывная аппроксимация. (равномерное
приближение).
• говорят, что функция  ( x) равномерно (непрерывно)
приближает (аппроксимирует) функцию f(x) с
точностью   0 на отрезке [a, b] если во всех точках
этого отрезка выполняется:
f ( x )   ( x)  
• Абсолютное отклонение:
  max f ( x)   ( x)
a  x b
• среднеквадратичное отклонение:
  S /n
• Теорема (Вейерштрасса ). Если функция f(x)
непрерывна на отрезке [a, b] , то для любого   0
существует многочлен Pm ( x) степени m ,
абсолютное отклонение которого от функции f(x)
на отрезке [a, b] меньше  .
• В частности, если функция f(x) на отрезке [ a, b]
разлагается в равномерно сходящийся степенной
ряд, то в качестве аппроксимирующего
многочлена можно взять частичную сумму этого
ряда.
• многочлен Pm ( x) фиксированной степени m
является наилучшим приближением функции
f(x), если коэффициенты многочлена выбраны
так, чтобы на заданном отрезке [a, b] величина
абсолютного отклонения  минимальна.
• Теорема(Существование и единственность многочлена
наилучшего равномерного приближения ). Для любой
функции f (x), непрерывной на замкнутом
ограниченном множестве G, и любого целого m  0
существует многочлен Pm ( x) степени не выше m ,
абсолютное отклонение которого от функции f (x)
среди всех многочленов степени не выше m
минимально, т. е.    min , причем такой многочлен
единственный.
Множество G обычно представляет собой некоторый
отрезок [a, b]
• Вычисление многочленов.
Pn ( x)  a0  a1x 
 an x
n
• Если проводить вычисления непосредственно, то при
больших n потребуется выполнить большое число
операций (n 2 + n/2 умножений и n сложений).
• для исключения возведения х в степень в каждом
члене многочлен целесообразно переписать в виде
Pn ( x)  a0  x(a1  x(a2 
 x(an1  xan ) )
• Прием, с помощью которого многочлен
представляется в таком виде, называется схемой
Горнера.
Ввод n, {ai}, x
P = an
для i = n - 1 до 0
с шагом -1
P = ai + x P
Вывод P
• Линейная интерполяция.
• заданные точки ( xi , yi ) соединяются
прямолинейными отрезками, и функция f (x)
приближается ломаной с вершинами в данных
точках.
• для i-го интервала можно написать уравнение
прямой, проходящей через точки ( xi , yi ), ( xi 1 , yi 1 )
y  yi 1
x  xi 1

yi  yi 1 xi  xi 1
• Отсюда т.к.
получаем
y  ai x  bi для xi 1  x  xi
yi  yi 1
ai 
, bi  yi 1  ai xi 1
xi  xi 1
• Таким образом, при использовании
линейной интерполяции сначала нужно
определить интервал, в который попадает
значение аргумента х, а затем подставить
его в формулу и найти приближенное
значение функции в этой точке.
• квадратичная интерполяция.
• В качестве интерполяционной функции на
отрезке [ xi 1 , xi 1 ] принимается квадратный
трехчлен (параболическая интерполяция).
• Уравнение квадратного трехчлена
y  ai x  bi x  ci ,
2
xi 1  xi  xi 1
• Для определения коэффициентов
используются условия прохождения
параболы через три точки
2
ai xi 1
 bi xi 1  ci  yi 1 ,
ai xi2  bi xi  ci  yi ,
2
ai xi 1
 bi xi 1  ci  yi 1.
• Интерполяция для любой точки x [ x0 , xn ]
проводится по трем ближайшим к ней узлам.