Задачи на построение, метод подобия

Выполнила учащаяся 9 «А» класса
Моденова Яна
Руководитель проекта:
Учитель алгебры и геометрии:
Кускова Н.И.
Содержание:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1.Построение циркулем и линейкой.
2.Задачи:
Биссектриса угла.
Построение угла равного данному.
Построение треугольников.
Построение перпендикулярных прямых.
Построение середины отрезка.
3.Метод подобия.
Построение квадрата вписанного в
треугольник.
• Построение трапеции с помощью подобия.
• Построение треугольника по данным углам и
отрезку, равному биссектрисе третьего угла.
Построение циркулем и
линейкой.
• Многие построения можно выполнять с помощью только
циркуля и линейки без масштабных деталей. Поэтому в
геометрии специально выделяют те задачи на построение,
которые решаются с помощью только этих двух инструментов.
• Линейка позволяет провести произвольную прямую,
проходящие через две данные точки. С помощью циркуля
можно провести окружность произвольного радиуса, а также
окружность с центром в данной точке и радиусом, равным
данному отрезку.
Выполняя эти несложные операции, мы сможем решать много
интересных задач на построение: построить угол, равный
данному; через данную точку провести прямую,
перпендикулярную данной к прямой; разделить данный отрезок
пополам и другие задачи.
• Рассмотрим примеры решения задач на построение с помощью
циркуля и линейки.
Биссектриса угла.
ДАНО:  А,биссектриса а
АНАЛИЗ: построим биссектрису а  А
ПОСТРОИТЬ:биссектрису а А
ИСЛЕДОВАНИЕ: задача имеет одно решение
ПОСТРОЕНИЕ:
B
A
1.из точки А проведем окружность
2.проведем окружность из точки В полученойпри
пересечении окружности и луча1
3.проведм окпужность из точки С полученой при
пересечении окружности и луча2
4.получим точку D при пероесечении двух окружностей
5.поведем бессектрису из точки А и D
Построение угла равного
данному.
B
A
C
B1
A1
C1
B2
k
ДАНО: А
АНАЛИЗ: построить угол равный данному
ПОСТРОИТЬ :отложить угол,равнный А
ПОСТРОЕНИЕ:
1. проведем окружность произвольного радиуса из
вершины А получим точки В и С
2. проведем окружность такого же радиуса в начале
луча k получим точку С1
3. построим окружность из точки С1,радиус которой
равен СВ окружности с центром С1 и А1 пересекутся
в двух точках В1 и В2 В1А1С1-искомый
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: АВС= А1В1С1
1. АС=А1С1-по построению т.к отрезки АС и АВ
равны и являются радиусами окружности с центром
А,а отрезки А1С1и А1В1 радиусами окружности с
центром А1
2. АВ=А1В1-по построению
3. СВ=С1В1-по построению  -ки равны по трем
сторанам значит С1А1В1=САВ т.е мы построили
угол равный данному А.
Построение треугольников.
A
О
дано:окружность(О;R),хорда АВ и ВС,если ВС=АВ.
ПОСТРОИТЬ: АОВ и СОВ.
ДОКАЗАТЬ: АОВ = СОВ.
ПОСТРОЕНИЕ:
B
C
1.)проведем окружность (О;R)
2.)отметим хорду АВ
3.)соединим точку А с центром окружности отрезком.
4.)центр окружности соединим с точкой В.
5.)проведем окружность из точки В получим точку С на пересечении окружностей .
6.)соединим точку В иС.
7.)соединим точку С с центром окружности.
построили АОВ и СОВ.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
из АОВ и СОВ
1.)АВ=ВС-по условию
2.)ОВ-общая сторона
3.)ОА=ОС-т.к. А  окружнасти(О;R) и В  окружности (О;R) 
сторонам.
-ки равны по трем
Метод подобия.
• Метод подобия при решении задач на построение
треугольников с помощью циркуля и линейки состоит в
том, что сначала, используются некоторые данные,
строят треугольник, подобный искомому, а затем,
привлекая остальные данные, строят искомый
треугольник. Этот прием привлекается и при построении
других фигур понятие подобия для произвольных фигур.
Понятие подобия для произвольных фигур вводится на
основе преобразования подобия. Не останавливаясь пока
более детально на этом вопросе на этом вопросе,
отметим лишь. Что любые два квадрата являются
подобными; две трапеции, у которых углы соответственно
равны, а стороны одной пропорциональны сторонам
другой трапеции, подобны; любые две окружности
подобны.
• Рассмотрим примеры решения задач на построение
методом подобия.
Построение квадрата,
вписанного в треугольник.
С
k
E
F
D
G
E1 F1
A
D1
G1
B
ДАНО: АВС
ПОСТРОИТЬ: квадрат так,чтобы две его вершины лежали
на прямой АВ и еще по одной - на сторонах АС и ВС.
АНАЛИЗ: построим квадрат три вершины которого
удовлетворяют условию задачи, а затем - ему подобный
квадрат.
ПОСТРОЕНИЕ:
1.отметим Е1 на стороне АС произвольно
2.из точки Е1 проведем перпендикуляр Е1D1 к прямой АВ
3.из точки D1 и Е1 поведем две окружности радиусом
Е1D1 получим точки G1 и F1
4.из  через точку F1 проведем луч получим точку F
5.из точки перпендикуляр к АВ получим товку G
6.из точек F и G проведем окружности радиусом FG
получим точки Е и D
построили искомый квадрат DEFG
EF
AF
из подобмя AE1Fи AEF
=
,а из подобия
E1F1 AF1
FG
AF
EF
FG
AF1G1и AFG получаем:
=

=
,а
F1G1 AF1
E1F1 F1G1
так какE1F1=F1G1,тоEF=GF.значит DEFG -это квадрат.
Построение трапеции.
n
P
A
Q
m
B1
C1
A
l
D1
C
B
B1
A
C1
E
D1
D
ДАНО:А,отрезок PQ,АВ:СD:AD=1:2:3
ПОСТРОИТЬ:трапецию АВСD по А и основанию ВС, зная, что
AB:CD:AD=1:2:3
АНАЛИЗ:построим трапецию ABCD
ПОСТРОЕНИЕ:примем А=hk,BC=PQ
строим трапецию АВ1С1D1
1.строим А
а)проводим окружность из точки А
б)измеряем растояние от n до m и откладываем его на луче
при пересечении окружностей получим точку через нее
проводим луч
2.на сторанах угла откладываем произвольные отрезки АВ1 и
АD1=3АВ1
3.проводим прямую l,паралельную AD1
4.строим окружность радиуса 2АВ1 в точке D1 она пересечет l
в точках С1 и С1
мы построили две трапеции АВ1С1D1
расмотрим одну из них
1.проведем прямую АС1
2.построим отрезок ВС который паралелен В1С1 и равен PQ
(на луче АD1 откладываем отрезок АЕ=PQ и через точку Е
проводим прямую,паралельную АВ1.Она пересекается с
прямой АС1 в точке С.Через точку С проводим
прямую,паралельную В1С1,и получим точку
ВВС=PQ.проводим через точку С
прямую,паралельнуюС1D1.Она пересекает лучь АD1 в точке
D.трапеция АВСD искомая. значит
АВ
АС
CD
AD
=
=
=
т.к. ABCи AB1C1, ABDи AC1D1
АВ1 АС1 C1D1 AD1
подобны  AB:CD:AD=AB1:C1D1:AD1=1:2:3
ИССЛЕДОВАНИЕ:данная задача имеет два решения
Построение треугольника по
данному углу и отрезку.
С
А
В
D
ДАНО:отрезок СD,А,В
ПОСТРОИТЬ:треугольник по данным углам и отрезку
АНАЛИЗ:построим треугольник
ПОСТРОЕНИЕ:
1.начертим произвольный отрезок А1В1
2.построим трнугольникА1В1С1, у которого А и В равны
даннным
3. построим бессектрису С и отложим на ней отрезок СD
3. через точку D проведем прямую, паралельную А1В1
получим точки А и В. АВС искомый
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:1.АВ А1В1,то А=А1,В=В1
АСD=ВСDт.к построена бессектриса
ИССЛЕДОВАНИЕ:задача имеет одно решение