Лек20_Комп2А

Садово – парковое и ландшафтное строительство
Лекция №20. Переменный электрический ток
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Переменный электрический ток
Действующее значение переменного тока
Электрическая цепь с резистором
Электрическая цепь с катушкой индуктивности
Электрическая цепь с конденсатором
Закон Ома для цепи переменного тока
Мгновенная мощность
Резонанс в электрических цепях. Резонанс напряжений
Переменный электрический ток
1
Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в цепи с
резистором, катушкой индуктивности и конденсатором можно рассматривать как
переменный электрический ток. Если подводимые к контуру внешняя ЭДС или напряжение
периодически изменяются по гармоническому закону, то переменный ток называют
синусоидальным (рис. 20.1):
i  I m sin( t   ),
или
i  I m cos( t   1 ),
где i – мгновенное значение силы тока, то есть значение тока для каждого момента
времени; I m – амплитудное значение силы тока.
При частоте   50 Гц (промышленная частота) период электромагнитных колебаний
составляет Т  0 ,02 с .
i
Im
I эфф
O
t
T
Рис.20. 1
Ввиду того, что в течение периода сила переменного тока изменяется, о величине такого
тока судят не по мгновенным значениям, а по действующему или эффективному значению
I эфф . При этом действие переменного тока оценивают по тепловому эффекту, который
сравнивают с тепловым эффектом постоянного тока.
1
Садово – парковое и ландшафтное строительство
Действующее значение переменного тока
2
Действующим (эффективным) значением переменного тока называют такую величину,
которая равна силе постоянного тока, выделяющего в проводнике такое же количество
теплоты, что и данный переменный ток за одно и то же время. Действующее значение
переменного синусоидального тока связано с его амплитудным значением соотношением
I
I  I эфф  m .
2
(20.1)
Для мгновенных значений синусоидальных токов выполняются закон Ома и правила
Кирхгофа.
Рассмотрим цепи, содержащие резистор, катушку индуктивности, конденсатор и все три
элемента, соединенные последовательно, на зажимах которых приложено переменное
напряжение
u  U m cos t ,
где U m – амплитудное значение напряжения.
Электрическая цепь с резистором
3
Сила тока, протекающего через резистор (рис. 20.2), определяется законом Ома
u U
i   m cos t  I m cos t ,
R
R
(20.2)
U
где I m  m – амплитуда силы тока. Очевидно, что при чисто активном (R) характере цепи
R
сдвиг фаз колебаний тока и напряжения равен нулю (рис.20. 3).
R
u, i
u  f (t )
i
i  f (t )
u
Рис.20. 2
t
O
Рис. 20.3
2
Садово – парковое и ландшафтное строительство
Электрическая цепь с катушкой индуктивности
4
В катушке без потерь ( R  0 ) будет протекать ток, если напряжение на ее
выводах компенсирует ЭДС самоиндукции (рис. 20.4), то есть
di
u   s  L ,
dt
(20.3)
откуда ток
U
1

i   U m cos tdt  m sin t  A  I m cos( t  ).
L
L
2
(20.4)
Постоянная интегрирования А=0, так как ток изменяется по гармоническому закону, то
есть не имеет постоянной составляющей. Очевидно, что амплитуда тока в цепи с катушкой
U
Im  m ,
L
(20.5)
где x L  L – индуктивное сопротивление, зависящее от частоты. При   0 (при
протекании постоянного тока) x L  0 .
Таким образом, в цепи с катушкой индуктивности колебания силы тока отстают по фазе
на

от колебаний напряжения (рис. 20.5).
2
L
u,
i
u  f (t )
i
i  f (t )
u
Рис. 20.4
t
O
Рис. 20.5
Электрическая цепь с конденсатором
5
Если пренебречь активным сопротивлением соединительных проводов и
q
обкладок конденсатора (рис. 20.6), то напряжение на конденсаторе u c  будет равно
C
напряжению на зажимах цепи, то есть
3
Садово – парковое и ландшафтное строительство
U m cos t 
откуда заряд конденсатора
q
,
C
q  U m C cos t .
Сила тока в цепи конденсатора
dq


i
 U m C sin t  U mC  cos( t  )  I m cos( t  ),
dt
2
2
(20.6)
U
1
где I m  U m C  m , x C 
- емкостное сопротивление цепи. Чем меньше частота  ,
xC
C
тем больше xC . Поэтому в цепи постоянного тока (  0 ) x C   и конденсатор не
проводит электрический ток.
Таким образом, в цепи с конденсатором колебания силы тока опережают по фазе на
колебания напряжения (рис. 20.7).
С
u,
i

2
u  f (t )
i
u
Рис.20.6
t
O
Рис.20.7 i  f ( t )
Закон Ома для цепи переменного тока
6
Рассмотрим теперь электрическую цепь из последовательно соединенных
резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рис. 20.8).
R
L
u
U L
С
Рис. 20.8
U p
U C
U

U R
I
Рис. 20.10
4
Садово – парковое и ландшафтное строительство
По второму правилу Кирхгофа для мгновенных значений напряжение на зажимах цепи
равно сумме напряжений на отдельных элементах
u  u R  u L  uC .
Построим векторную диаграмму цепи с учетом полученных ранее фазовых
соотношений: а) напряжение на резисторе совпадает по фазе с током; б) напряжение на
катушке индуктивности опережает по фазе ток на
отстает по фазе от тока на

(рис. 20.9).
2

; в) напряжение на конденсаторе
2
Из векторной диаграммы найдем модуль действующего значения напряжения
U  U R2  U p2  U R2  ( U L  U C ) 2 ,
(20.9)
где U p – реактивная составляющая напряжения.
Учитывая, что U R  IR , U L  Ix L , U C  Ix C , получим:
U  I R 2  ( L 
где Z – полное сопротивление цепи. Выражение
U
I 
Z
1 2
)  IZ ,
C
U
(20.10)
1
R 2  ( L 
)2
C
называется законом Ома для цепи переменного тока.
1
Разность x p  L 
называют реактивным сопротивлением. Из векторной диаграммы
C
следует, что угол сдвига фаз между током и напряжением для рассматриваемой схемы
1

L

Up
U UC
C .
(20.11)
  arctg
 arctg L
 arctg
UR
UR
R
Если x L  x C , цепь имеет индуктивный характер,   0 ; если x L  x C , цепь имеет
емкостный характер,   0 ; если x L  x C , то реактивное сопротивление цепи x p  0 ,   0 и
цепь имеет активный характер даже при наличии в ней L и C.
Мгновенная мощность
7
Мгновенная мощность, развиваемая в цепи переменного тока, равна
произведению мгновенных значений силы тока и напряжения:
p( t )  i( t )u( t )  I m cos( t   )U m cos t .
(20. 12)
Среднее за период значение мгновенной мощности называют активной мощностью
T
1
P   p( t )dt .
T0
(20.13)
5
Садово – парковое и ландшафтное строительство
Из-за наличия сдвига фаз  знаки у тока и напряжения в данный момент времени могут
быть разные. Поэтому мгновенная мощность может быть отрицательной в некоторые доли
периода переменного тока, что означает возвращение
энергии из цепи источнику тока.
p, i, u
На рис.20.10 приведены графики изменения
p
мгновенной мощности при различных углах сдвига фаз
u
между колебаниями напряжения и тока.
i
t
При   0 в любой момент времени мощность
 0
положительна, она расходуется в цепи на совершение
различных видов работы. При 0     / 2 в отдельные
p
промежутки времени мощность отрицательна. Это
объясняется тем, что при наличии в цепи катушки
u
i
t
индуктивности возрастание тока приводит к созданию в
ней магнитного поля, которое обладает запасом энергии.
0   / 2
При уменьшении силы тока магнитное поле исчезает и
запасенная в нем энергия возвращается к источнику тока
p
(генератору). Аналогичный процесс происходит при
наличии в цепи конденсатора: в течение той четверти
i
t
периода, когда происходит зарядка конденсатора, энергия
u
в нем запасается, а когда конденсатор разряжается, он
отдает в цепь запасенную энергию.
При    / 2 положительная мощность равна
  / 2
отрицательной мощности, работа тока за период равна
Рис. 20.10
нулю, следовательно, средняя мощность также равна
нулю. При этом периодически энергия запасается в магнитном и электрическом полях, а
затем снова передается генератору. Последний случай возможен лишь при R=0.
Подставив (20.12) в (20.13) и выполнив преобразования, найдем среднее значение
мощности переменного тока:
1
P  I mU m cos   UI cos  ,
(20.14)
2
где cos  – косинус угла сдвига фаз, который называется коэффициентом мощности.
Формула (20.14) показывает, что развиваемая в цепи переменного тока мощность
зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между напряжением и
током.
Коэффициент мощности cos  характеризует потери энергии в цепи и, следовательно,
является важнейшей технико-экономической характеристикой при проектировании
электрооборудования переменного тока. Если нагрузки в цепи имеют большие емкостные и
индуктивные сопротивления, то   0 и cos  может быть много меньше единицы. В этих
случаях для передачи требуемой активной мощности Р (при заданном напряжении)
необходимо увеличивать силу тока, что приводит к выделению в цепи большого количества
теплоты. Поэтому приходится либо увеличивать сечение проводов (R1/S), либо
распределять реактивные нагрузки так, чтобы cos  был по возможности ближе к единице.
6
Садово – парковое и ландшафтное строительство
Резонанс в электрических цепях. Резонанс напряжений
8
Резонансом в электрической цепи называется режим участка, содержащего
индуктивный и емкостный элементы, при котором угол  сдвига фаз колебаний
напряжения и тока равен нулю. Резонанс характеризуется рядом особенностей, которые
обусловили его широкое применение в радиотехнике, электротехнике, измерительной
технике и других областях.
Различают несколько видов резонанса: резонанс напряжений (при последовательном
соединении элементов), резонанс токов (при параллельном соединении элементов),
резонанс в магнитно-связанных цепях и др.
Резонанс напряжений. Из выражения (1) следует, что при последовательном
1
соединении R , L , C ток в цепи приобретает максимальное значение при L 
 0 , то есть
C
1
при L 
. Этому условию удовлетворяет частота
C
1
(20.15)
 рез   0 
.
LC
В этом случае   0 , Z  R  min , падения напряжения на
U L
катушке индуктивности и конденсаторе одинаковы по величине и
противоположны по фазе (рис. 20.11). Таким образом, при
I резонансе напряжений
U R
U C
Рис. 20.11
U L  UC ,
и
L
U L
(20.16)
I
 UQ,
C
R C
LC
где Q – добротность контура. Так как добротность колебательных контуров больше
единицы, то напряжение, как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает
напряжение U, приложенi
ное к цепи. Из выражения
(20.16) следует, что добротI
i1
i2
I р
ность контура показывает,
R2
R1
во сколько раз при
резонансе напряжение на
u
реактивных элементах
C
L
больше по величине

входного напряжения.

I а
U
Явление резонанса
Рис. 20.12
Рис. 20.13
напряжений используется в
U L   рез LI 
1
LI 
7
Садово – парковое и ландшафтное строительство
радиотехнике и электронике для усиления колебаний напряжения какой-либо определенной
частоты. В электроэнергетике явление резонанса напряжений необходимо учитывать при
выборе изоляции высоковольтного оборудования, так как иначе может произойти ее
пробой.
8