« Математика для сообразительных Исполнитель проекта

«Математика для
сообразительных» для 5-6 классов
Исполнитель проекта: Любимова Катя, ученица
6 класса МОУ «СОШ №27» г.о.Саранск
Руководитель проекта: Пахнутова Н.В., учитель
математики МОУ «СОШ №27» г.о.Саранск
Задание 1. Развивающий калейдоскоп.
а)
Решение:
Обозначим неизвестное (знак вопроса) за Х.
Если рассматривать задачу как нахождение количества велосипедов из пропорционального
соотношения, то получим:
Х = 1,25 * 3 / 1,5 = 2,5.
Но нам ясно, что этот результат не имеет смысла, поскольку операция деления велосипедов на
части не определена.
Что если определить задачу как процесс сборки (изготовления) велосипедов, для которой будет
определена операция дробного деления? Тогда из условия за единицу работы следует принять 2
готовых велосипеда, а 1,5 и 1,25 – это части выполненной работы. В этом случае получаем
Х = 2,5
– два полностью готовых велосипеда и один велосипед, изготовленный на половину (на 50%).
Рассмотрим 1,5 и 1,25 не как дробные числа, а как пары целых чисел, перечисленных через
запятую.
Пара чисел (a,b) будет соответствовать некоторому количеству велосипедов X (или любых
других условных знаков-рисунков), если ввести некоторую операцию соответствия:
(a,b) → X.
Предлагаем определять это соответствие с помощью одной из подобранных нами формул
(использовано условие (1,5) → 3):
(a + b) / 2
b - 2a
(b^2 - a^2) / 8
Заметим, что таких формул может быть найдено сколько угодно.
Найдём неизвестное Х, применяя все три формулы.
Для первой формулы имеем:
Х = (1+25) / 2 = 13 (велосипедов).
Для второй:
Х = 25 – 2 = 23 (велосипеда).
Для третьей:
Х = (625 - 1) / 8 = 78 (велосипедов).
б)
3х – 1 = 71
20
18 – х = – 10
?
Решение:
Найдём корень первого уравнения:
x = 24.
Круг, разделённый на части, будем использовать для нахождения некоторой части от х.
Эта часть определяется как отношение количества заштрихованных частей к общему
количеству частей круга.
Тогда имеем:
5 * 24 / 6 = 20.
Аналогично найдём то число, которое должно быть на месте вопроса. Корень второго
уравнения равен 28. Тогда
1 * 28 / 4 = 7.
Ответ: 7.
в)
Решение:
Получение числа 60 из первой картинки-кошечки очевидно.
Складываем «ушки» и умножаем на «мордочку»:
(1/5 + 2/5) * 100 = 60.
Поступаем аналогично и для второй кошечки:
(1/8 + 5/8) * 160 = 120.
Таким образом, число 120 должно стоять на месте знака вопроса.
г)
4<x ≤ 5
2х – 3 = 17
x>6
39 – 3х = – 6
x<2
х – 12 = ?
3≤x<4
8 – 5x = ?
Решение:
Нам необходимо установить закономерность, по которой составлены два уравнения в
первом примере, который будем называть «стадион».
Предположим, что два неравенства определяют две буквы в слове «стадион». Тогда из
первого неравенства (4 < x ≤ 5) следует, что х = 5. Пятая буква в слове – это ‘и’. Снова
превратить букву в число возможно, если поставить ей в соответствие её порядковый
номер в алфавите. Получается, что буква ‘и’ десятая в алфавите, и, одновременно,
х = 10 – корень первого уравнения 2х – 3 = 17.
Проведём аналогичные рассуждения для второго неравенства «стадиона». Поскольку
всего букв в слове «стадион» семь, то из неравенства х > 6 следует, что х = 7. Седьмая
буква в слове – это ‘н’, её порядковый номер в алфавите – 15.
Корень уравнения 39 - 3х = -6 тоже 15.
Следовательно, мы выяснили, что корнем уравнения может быть только
натуральное число из отрезка [1;33]. Это число есть порядковый номер в алфавите
некоторой буквы, которая определяется предложенным в примере неравенством.
Сказанное выше приведём в виде схемы:
Неравенств
о
Порядковый номер
буквы в
слове
Буква
Порядковый
номер в
алфавите
Корень
уравнения
Применим эту схему для «трамплина».
Схема
?
х<2
→
х=1
→
т
→
х = 20
→
20 – 12 = 8
8
3≤x<4
→
х=3
→
а
→
х=1
→
8–5=3
3
Итак, получаем:
x – 12 = 8,
8 - 5х = 3.
Задание 2.
Купили несколько одинаковых книг и одинаковых альбомов. За книги
заплатили 10,56 копеек, а за альбомы – 56 копеек. Книг купили на 6
больше, чем альбомов. Сколько купили книг, если цена книги больше,
чем на рубль, превосходит цену альбома?
Решение:
Обозначим за х количество купленных книг. Из условия, что книг купили на 6 больше, чем
альбомов, следует оценка
х > 6.
Далее предложим два способа решения задачи.
Первый способ.
Продолжим поиск ограничений на количество книг. Поскольку цена книги больше чем на рубль (100
копеек) превосходит цену альбома, то цена книги больше 100. Тогда количество книг не превосходит
величины
1056 : 100 = 10,56.
Это значит, что х<10. Таким образом, получаем, что 6 < x < 10.
Учитывая это, заключаем, что решение задачи должно быть выбрано из множества целых чисел
{7;8;9}. Рассмотрим цену одной книги:
1056 / х.
Так как мы выразили цену в копейках, то эта величина никак не может быть дробным числом. Этому
условию удовлетворяет только х = 8:
1056 / 8 = 132.
Заметим, что мы не использовали условие задачи об общей стоимости альбомов. Применим его для
проверки полученного нами решения. Итак, если книг купили 8, то альбомов – 2. Цена альбома:
56 / 2 = 28 (коп.). Действительно, цена книги более чем на рубль превосходит цену альбома:
132 – 28 = 104 (коп.)
Решение задачи – 8 книг.
Второй способ.
Если х – это количество книг, то (х-6) – это количество альбомов.
х
x-6
Разница в цене выражается следующим неравенством:
10,56 / х – 0,56 / (х-6) > 1.
Решение этого неравенства вызывает немалые трудности, поскольку требует знание специального
метода. Однако если уверенно ориентироваться в персональном компьютере (что в условиях
современной жизни просто необходимо), то можно выйти из этого положения. Мы воспользуемся
известной вычислительной системой Mathematica 5.0. Находим шаблон для решения неравенств и
просто подставляем наше неравенство в этот шаблон:
Здесь мы добавили к основному неравенству условие х > 6. Получено решение:
7,2 < x < 8,8,
из которого сразу следует, что х = 8.
Таким образом, мы получили решение задачи, не прибегая к перебору возможных вариантов,
как в первом способе решения.
Ответ: 8 книг.
Задание 3.
Студент за 5 лет учёбы сдал 31 экзамен. В каждом следующем году
он сдавал экзаменов больше, чем в предыдущем. На пятом курсе
экзаменов было втрое больше, чем на первом. Сколько экзаменов
было на четвёртом курсе?
Решение:
Пусть хi (I = 1,…,5) – количество экзаменов, которое сдал студент на i-ом курсе.
а) выразим все неизвестные через х 1:
х2 = х1 + у1 ,
х3 = х1 + у2 ,
х4 = х1 + у3 ,
х5 = 3х1.
Здесь уj > 0 (j = 1,2,3) и у1 < у2 < у3.
Суммируем все экзамены:
7х1 + (у1 + у2 + у3) = 31.
Возьмём минимальные значения для величин у 1, у2 и у3, а именно у1 = 1, у2 = 2, у3 = 3. Тогда получим,
что
7х1 + 6 ≤ 31  х1 ≤ 25/7  х1 ≤ 3.
б) выразим теперь все неизвестные через х 5:
х1 = х5 /3.
х2 = х5 – у4 ,
х3 = х5 – у5 ,
х4 = х5 – у6 .
Здесь уj > 0 (j = 4,5,6) и у6 < у5 < у4.
Снова суммируем все экзамены:
13х5 /3 – (у4 + у5 + у6) = 31.
Возьмём минимальные значения для величин у 4, у5 и у6, а именно у4 = 3, у5 = 2, у6 = 1. Тогда
получим, что
13х5/3 – 6 ≥ 31  х5 ≥ 111/13  х5 ≥ 9.
Сопоставляя результаты пунктов а и б, приходим к выводу, что х 1 = 3, х5 = 9.
Следовательно,
х2 + х3 + х4 = 19,
а значения неизвестных х2, х3, х4 принадлежат множеству {4;5;6;7;8}.
Заметим, что х4 не может быть меньше восьми. Если х 4 = 7, то х2 и х3 не определены, так как
х2 + х3 = 12, и даже при максимально допустимых значениях имеем
5 + 6 = 11 < 12.
Значит, х4 = 8. Тогда
х2 + х3 = 11.
Этому равенству удовлетворяют следующие значения:
х2 = 4, х3 = 7 или х2 = 5, х3 = 6.
Итак, на четвёртом курсе студент сдал 8 экзаменов. Считаем, что задача полностью решена.
Ответ: 8 экзаменов.
Задание 4.
На сколько частей можно разбить плоскость четырьмя прямыми?
Рассмотрите все возможные случаи и для каждого случая сделайте
чертёж.
Решение:
Считаем, что все прямые различны. Рассмотрим возможные случаи расположения четырёх прямых
на плоскости. Части, на которые разбивается плоскость этими прямыми, будем нумеровать и
считать.
а) все четыре прямые параллельны друг другу (5 частей, все неограниченные):
б) только три прямые параллельны друг другу (8 частей, все неограниченные):
в) две пары параллельных прямых пересекаются (9 частей, из них одна ограниченная –
параллелограмм):
г) только две прямые параллельны, две другие пересекаются вне полосы, образованной
параллельными прямыми (10 частей, две из них ограничены – треугольник и трапеция):
д) только две прямые параллельны, точка пересечения двух других прямых лежит на одной из
параллельных прямых (9 частей, одна из них ограничена – треугольник):
е) только две прямые параллельны, две другие пересекаются внутри полосы, образованной
параллельными прямыми (10 частей, две из них ограничены – два треугольника):
ж) все прямые пересекаются в различных точках (11 частей, три из них ограничены – два
треугольника и четырёхугольник):
з) три прямые пересекаются в одной точке (10 частей, две из них ограничены – два
треугольника):
и) все четыре прямые пересекаются в одной точке (8 частей, все неограниченные):
Таким образом, четырьмя прямыми можно разбить плоскость на 5, 8, 9, 10 или
11 частей.
Задание 5.
Квартал города N имеет форму прямоугольника, улицы обозначены линиями, длина каждого участка дороги до
ближайшего перекрёстка – 500 м. Сколько существует различных маршрутов передвижения из точки А в точку
В, если каждый маршрут не должен проходить дважды через одну и ту же точку, а через перекрёсток Х проезд
запрещён – там ведутся ремонтные работы. Укажите самый длинный маршрут и определите его длину.
L
K
M
O
N
B
T
S
A
R
P
Решение:
Для удобства разделим все маршруты на те, второй точкой в которых (после А) является К (первая группа), и
на те, второй точкой в которых является Р (вторая группа).
Первая группа:
• A → K → L → M → N → B
• A → K → O → M → N → B
• A → K → O → P → R → S → T → B
• A → K → L → M → O → P → R → S → T → B
Вторая группа:
•
A → P → O → M → N → B
•
A → P → R → S → T → B
•
A → P → O → K → L → M → N → B
Итак, нами найдены 7 маршрутов передвижения из точки А в точку В. Самый длинный маршрут
принадлежит первой группе:
A → K → L → M → O → P → R → S → T → B
Этот маршрут содержит 9 участков дороги по 500 м, следовательно, его длина:
9 * 500 м = 4500 м = 4,5 км.
Отметим, что другие маршруты содержат либо 5, либо 7 участков дороги по 500 м; их длины, соответственно, 2,5 км и 3,5 км.
Задание 6.
Известно, что 3 гольдера, 6 дриммеров и 2 веллера стоят 2880 у.е.,
а 8 гольдеров, 11 дриммеров и 7 веллеров стоят 6380 у.е. Сколько
следует заплатить за покупку, состоящую из гольдера, дриммера и
веллера?
Решение:
Введём обозначения:
g – стоимость одного гольдера;
d – стоимость одного дриммера;
v – стоимость одного веллера.
Тогда из условий задачи имеем:
3g + 6d + 2v = 2880,
8g + 11d + 7v = 6380.
Вычтем из второго равенства первое. Получим:
5g + 5d + 5v = 3500,
5(g + d + v) = 3500,
g + d + v = 700.
Итак, за покупку, состоящую из гольдера, дриммера
и веллера, следует заплатить 700 у.е.
Ответ: 700 у. е.
Задание 7.
Решение:
Предложенная задача состоит в поиске многоугольника, составленного из нескольких
треугольников таким образом, чтобы он мог быть разделён на эти самые треугольники всего лишь
одной прямой.
Для примера рассмотрим многоугольник, составленный из четырёх треугольников (рисунок 7.1).
Рисунок 7.1
Как видим, зелёная линия разделяет многоугольник на четыре треугольника. Данная фигура является
восьмиугольником.
Рассмотрев пример, можно сделать вывод о том, что в общем случае при составлении многоугольника из n
треугольников каждые соседние треугольники, располагающиеся по одну сторону от разделительной
прямой, имеют по одной общей вершине. Одну общую вершину имеют и крайние треугольники,
располагающиеся по разные стороны от прямой, на рисунке 7.1 такие вершины отмечены жирными точками.
Сказанное выше позволяет нам подсчитать количество вершин у многоугольника, составленного из n
треугольников. Здесь возможны три случая:
а) обе общие вершины крайних треугольников являются вершинами многоугольника (см.
рисунок 7.1).
Количество вершин у n треугольников равно 3n. Поскольку соседние треугольники имеют общую вершину,
то при подсчёте всех вершин многоугольника общие вершины нужно исключить, так как они подсчитаны
дважды:
3n – n = 2n.
Таким образом, мы получаем (2n)-угольник.
б) одна из двух общих вершин крайних треугольников является вершиной многоугольника, а
другая – не является вершиной и лежит на стороне многоугольника (см. рисунок 7.2).
Очевидно, по сравнению со случаем а, количество вершин многоугольника сокращается на одну, поэтому
мы имеем (2n-1)-угольник.
в) обе общие вершины крайних треугольников не являются вершинами многоугольника,
т.е. лежат на сторонах многоугольника (см. рисунок 7.3).
Здесь мы имеем (2n-2)-угольник.
Нам необходимо нарисовать восьмиугольник, составленный из пяти треугольников. Поскольку
2*5 – 2 = 8,
то мы имеем третий случай. Теперь нам не составит труда изобразить такой восьмиугольник. Он может
выглядеть, например, так, как показано на рисунке 7.4.
Задание 8.
Подумайте, как можно разрезать знак «плюс» на четыре части, чтобы из
получившихся частей сложить квадрат.
Решение :
Вначале отметим, что фигура, которую в дальнейшем будем называть «плюс», может быть
составлена из пяти одинаковых квадратов (см. рисунок 8.1).
Примем длину стороны такого квадрата за единицу. Тогда площадь «плюса» равна 5.
Если некоторый квадрат можно сложить из частей «плюса», то его площадь должна быть равна
площади «плюса». Это возможно тогда и только тогда, когда сторона квадрата равна 5 .
Заметим, что «плюс» даёт нам возможность найти отрезок такой длины. Это диагональ
прямоугольника со сторонами 2 и 1 (см. рисунок 8.2).
Действительно, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с катетами 2 и 1 гипотенуза
равна 5 .
Приведём три основных правила, по которым будем разрезать «плюс» на части, чтобы сложить
квадрат:
1) линий разреза должно быть две, и они должны пересекаться, чтобы получить 4 части «плюса»;
2) линии разреза должны быть перпендикулярными, чтобы обеспечить прямые углы квадрата;
3) длина каждой из двух линий разреза должна быть 5 (это диагональ прямоугольника 2×1), чтобы
сохранить площадь.
Рассмотрим примеры.
На рисунках 8.3 и 8.4 жирными линиями показаны линии разреза, а процесс «складывания»
квадрата демонстрируется с помощью анимации.
Рисунок 8.3
Рисунок 8.4
Очевидно, что способов разреза может быть предложено много. Следует отметить, что среди
всех вариантов есть один, с помощью которого «плюс» разрезается на одинаковые части (см.
рисунок 8.5). Однако мы не будем показывать квадрат, т.к. внутри него образуется
недвусмысленный символ, который не обладает для нас привлекательностью, – свастика.
Если рассматривать задачу как получение всего лишь границы квадрата из четырёх частей
«плюса» и не заботиться о том, чтобы вся внутренняя часть квадрата была заполнена (квадрат без
«дырок»), то можно изменить правило №3 (см. правила выше) на следующее:
длина линий разреза должна быть не меньше 5 .
В таком случае могут быть найдены другие решения, два из которых представлены на рисунках 8.6
и 8.7.
Задание 9.
В столбике 14 слов. В каждом слове, начиная со второго, число букв на одну больше, чем в
предыдущем. В последнем слове – «самообразование» – 15 букв. Из всех этих четырнадцати
слов выберите четыре слова так, чтобы были справедливыми следующие равенства:
a  a  b  d,
a  d  b  b  c.
Через a, b, c, d здесь обозначены количества букв соответственно в первом, втором, третьем и четвёртом словах,
выбранных вами. Какие это слова?
Решение:
Данная задача состоит в том, чтобы найти четыре различных целых числа из отрезка
[2;15], удовлетворяющих двум равенствам:
a 2  bd ,
Из этих равенств следует:
ad  b 2c.
a d

d bc
 d 2  abc.
Воспользуемся полученным нами соотношением d 2  abc .
Поскольку число d 2 представляет собой произведение трёх различных чисел, то
число d должно быть произведением как минимум трёх простых множителей.
Ум
Мир
Флаг
Слова
Победа
Свобода
Единство
Социализм
Математика
Размышление
Квалификация
Воодушевление
Электрификация
Самообразование
Действительно, пусть это не так, и d  d1d 2 , где d1 , d 2 – простые числа.
Тогда получаем, что d1d1d 2 d 2  abc .
Отсюда следует, что единственно возможные значения чисел a, b, c при условии
d1  d 2 – это d1 , d1d 2 , d 2.
Но d1d 2  d , а значит, среди искомых чисел есть два одинаковых, а это противоречит условию задачи.
Следовательно, можно утверждать, что d  d1d 2 d 3 , где d1 , d 2 , d 3 – простые числа.
Заметим, что здесь не допускается выполнение условия: d1  d 2  d 3 .
Указанным условиям удовлетворяет только d = 12:
12  2  2  3.
Далее, используя равенство
abc  2  2  2  2  3  3 ,
определяем возможные варианты:
• Вариант 1:
• Вариант 2:
abc  2  8  9
abc  3  6  8
Теперь обратимся к первому равенству из условий задачи. Учитывая d = 12, имеем:
a2
 12.
b
Данному соотношению удовлетворяют числа второго найденного нами варианта, а именно a = 6, b = 3.
Тогда с = 8 . Проверка показывает, что нами найдены верные числа:
6 12  32  8,
72  72.
Итак, осталось восстановить соответствие между количествами букв и предложенными словами из столбика:
a6

Победа
b3

Мир
c 8

Единство
d  12

Квалификация