Презентация Г.Г. Малинецкого

Математика и будущее
Г.Г. Малинецкий
Клуб инновационного развития,
Семинар «Будущее математики»,
Институт философии РАН
17.03.2009
Институт прикладной
математики
им.М.В.Келдыша РАН
Главные решенные задачи
Совершенствование атомной и
водородных бомб
• Обеспечение космических полетов
• Разработка систем управления
сложными объектами
•
С.П.Королев,
И.В.Курчатов,
М.В.Келдыш
Институт прикладной
математики
им.М.В.Келдыша РАН
Главные направления
М.В. Келдыш
Небесная механика и системы
управления
•Численный анализ задач
математической физики
•Основы кибернетики и системного
программирования
•
С.В. Яблонский
О.Б. Лупанов
Д.Е. Охоцимский
Т.М. Энеев
А.А. Ляпунов
К.И.Бабенко
А.Н. Тихонов
А.А. Самарский
И.М. Гельфанд
Особая роль математики
•Непрерывность развития
•Объект, метод, результат
Евклид
ок. 300 г.д.н.э.
•Теория = внешнее оправдание +
+ аппарат +
+ внутреннее совершенство
Трисекция угла
Удвоение куба
Квадратура круга
Схема описания реальности
Центральный момент:
Введение фазового пространства
Описание процессов с помощью
динамических систем
И. Кеплер
(1571-1630)
T12 a13
 3
2
T2
a2
 

dx
 F ( x,  )
dt

mM 

mr  G 3 r
R
И.Ньютон
(1642-1727)
«Полезно изучать
дифференциальные
уравнения»
«Гипотез не
измышляю»
Механицизм. Идеал
классической науки
И.Ньютон
(1642-1727)
«Я никогда не испытываю чувства
полного удовлетворения до тех
пор пока не построю
механическую модель изучаемого
объекта»
Лорд Кельвин
И. Кант
(1724-1804)
«Математика наука точная потому
что математика наука тощая»
Г.В.Ф. Гегель
Г.В.Ф. Гегель
(1770-1831)
У. Томсон,
лорд Кельвин
(1824-1907 )
Механика и детерминизм
«Ум достаточно
мощный, чтобы
принять во внимание
скорости и положения
всех частиц во
Вселенной, сможет
заглянуть как угодно
далеко в прошлое и
как угодно далеко в
будущее»
  
 
x  f ( x )  g ( x )



n
S N    hn (t )
n 0


x (t )  S N (t )  0
  0, N  
Пьер-Симон
Лаплас
(1749-1827)
Наполеон: «я не вижу в
вашей книге Бога»
Лаплас: «я не нуждаюсь
в этой гипотезе»
Нептун
У. Леверье, 1846
Плутон
К. Томбо, 1930
Бифуркации в развитии
математики
Прикладная математика
Эйлер, Пуанкаре
Естествознание
Научное познание
Ньютон, Лейбниц,
Декарт
Чистая математика
Вейерштрасс,
Гильберт
Гуманитарные науки
Строгость математических
рассуждений
Гипотеза о дифференцируемости:
каждая дифференцируемая функция
непрерывна почти всюду
Л.Эйлер
(1707-1783)
К. Вейерштрасс
(1815-1897)
W ( x)   a n cosb nx 

z  z2  c
n 1
Математический оптимизм
«Весь предшествующий опыт убеждает нас,
Что природа представляет собой реализацию
простейших математически мыслимых
элементов»
А.Эйнштейн
А.Эйнштейн
(1879-1955)
«Математика – основа всего точного
естествознания»
«После строгой постановки все математические
задачи окажутся разрешимыми»
«Мы должны знать. Мы будем знать!»
Д.Гильберт
(1862-1943)
Д.Гильберт
Прогноз развития математики на
XX век А. Пуанкаре
Неклассический период
«Будущее связано с синтезом математики и
физики (теория относительности, квантовая
механика)»
«Самое главное не в том, чему мы учимся, а в
том, от чего откажемся»
А. Пуанкаре
А. Пуанкаре
Проблема математической интуиции
Р. Фейнман
(1918-1988)
«Электромагнитное поле – это всего лишь
шесть чисел в каждой точке пространства. Вы
представляете это? Я – нет!»
Р. Фейнман
«Внутреннее совершенство».
Математика как задачник для
математиков
Математический конгресс 1900 года
– 23 проблемы Гильберта
 «Аксиоматизация теоретической
физики»
Д.Гильберт
(1862-1943)
15 проблем Стивена Смейла, 2000 г.
 «Пределы искусственного и
естественного интеллекта»
С. Смейл
Тупик классификации
Эрлангенская программа
Ф. Клейн
Р. Том
Теория катастроф
С. Смейл
Невозможность
классификации
динамических
систем
Аттрактор Уэда
1993
Катастрофа
«ласточкин хвост»
Математика как метанаука
И. Кант
«Учение о природе будет
содержать науку в собственном
смысле лишь в той мере, в какой
может быть применена в ней
математика»
И. Кант
«Математика – служанка и царица
всех наук»
К. Маркс
К.Маркс
К. Гёдель
Теорема
о неполноте
Главные технологии
XX век
• Ядерное оружие
• Космические технологии
• Надежные шифры
XXI век
• Проектирование
будущего
• Высокие гуманитарные
технологии
• Технологии сборки и
уничтожения субъектов
Основные достижения XX века





Расцвет геометрической
теории и дифференциальной
топологии
Геометризация всех ветвей
математики
Их слияние с теоретической
физикой
Открытие алгоритмически
неразрешимых проблем
Появление компьютера
В.И. Арнольд
(1937)
Концепция пределов науки
Евгений Вигнер
- разделение на «естественников» и
«гуманитариев» в новое время привело
к тому, что одни должны знать «что»,
а другие - «как»
- увеличение пути до переднего края на
снижение экономической эффективности
фундаментальных исследований, утрата
общего языка учеными
«Эра великих географических
открытий» кончилась?
по О.В. Крылову
18
Новые проблемы небесной
механики и теории управления
М.В. Келдыш
Запуск космических
аппаратов
потребовал
Л.С. Понтрягин
увеличения точности Принцип
максимума
расчетов более чем в
1000 раз
Д.Е. Охоцимский
Разработка дискретных моделей
физических процессов
А.Н. Тихонов
К.И.Бабенко
А.А. Самарский
u  0
Успешные испытания «Бурана»
прошли 15 ноября 1988 года
ut  u xx
utt  u xx  0
Корректные задачи по Адамару
• Решение существует:
x  x 2 , x(0)  a
• Решение единственно:
x  x1/ 2 , x(0)  0
x(t )  0, x(t ) ~ t 2
• Решение устойчиво по
начальным данным и
входящим параметрам:
xn1  1  2 xn
Жак Адамар
(1865-1963)
Некорректные
задачи
А.Н. Тихонов
Задача о производной таблично
заданной функции
ε
Принципы
• регуляризация
• учет априорной информации
1
y
Корректность задачи по Адамару
• решение существует
• решение единственно
• решение устойчиво относительно
параметров задачи
Простейший путь
• метод подбора
3
2
0
x
A
Задача о тепловом режиме Земли
Прямая задача
r
0
Обратная задача
Tt  aTrr
T

aT
,T

t
0
t
rr
T(r,0) T0 (r)
T
(
r
,0
)
F
(
r
)
T(0,t)  R(t)
Найти T
(r,t),
0t
Найти
R(t),Tt 0
22
Идея русел и джокеров
Д. Сорос
(1930)
XXI век – век нелинейных
уравнений математической
физики
«Грядущая эра пробуждения человеческого разума –
эра понимания качественного содержания
нелинейных уравнений. Сегодня еще мы не способны
на это»
Р. Фейнман
ut  uu x  u xxx  0
Метод обратной
задачи теории
рассеяния
И.М. Гельфанд
ut  div (u  grad u )  u 
Модель тепловых
структур.
Самоорганизация
С.П. Курдюмов
Барьеры компьютерной
математики
Иерархия упрощенных
математических моделей
Д. фон Нейман
(1903-1957)
Н.Н. Моисеев
(1917-2000)
Понять:
• построить иерархию
• изучить модели нижнего уровня
• подняться вверх к исходному объекту
Барьеры научных
технологий



Барьеры вычислений –
невозможно отладить программу
более чем в 1 млн. команд (в
СОИ – 1 млрд.)
Барьер имитации – модель
сложной системы нельзя
собрать как мозаику.
Барьер понимания – человек
может учесть лишь 5-7
переменных и работать лишь с
5-7 людьми
П.О. Сухой
(1895-1975)
Междисциплинарные
математические теории

Теория катастроф

Теория самоорганизации
 

u ( x ,  )
x
x
ut  D1u xx  f (u, v),
vt  D2vxx  g (u, v)

Р. Том
А. Тьюринг
Теория клеточных
автоматов
Д. фон Нейман
(1903-1957)
Сверхзадачи науки XXI века –
основа постнеклассической
математики



Теория управления рисками
Нейронаука
Математическая история
«Мечты требуют большой
ответственности – они
имеют обыкновение
сбываться»
С.Лемм
Гипотеза Р.Пенроуза

Задача о непериодическом
замощении плоскости.
• Открытие квазикристаллов.
• Al72Ni20Co8
• AlkPdlMnm
• Невычислимость сознания ?
• Объективная квантовая редукция?
Гипотеза
С. Хаммерофа





Загадка сознания кроется во внутренней структуре клетки.
Ключевую роль в процессах обработки информации в клетке
играет цитоскелет.
«Строительная единица» цитоскелета – тубулин – имеет
размер 8 nm.
«Классической» работой нейронов управляют возникновение
и схлопывание когерентных состояний больших наборов
молекул в микротрубочках цитоскелета нейронов.
Ключ к проблеме – самоорганизация на квантовом уровне
в живых клетках.
Биовычисления,
нейронаука
•Многоагентные системы
•ДНК-вычисления
ТЦГА
ГЦГЦ
•Нейронные сети
АГ ЦТ
ЦГЦГ
•Генетические алгоритмы
•Клеточные автоматы
•Иммунные сети
ТЦГЦ
ГЦГА
АГЦГ
ЦГЦТ
31
Искус имитации – искусственная жизнь
Математика как искусство
«Проблема состоит в том, чтобы
оставить человеку
человеческое, а машине –
машинное. Но для этого надо
понять, что же является
человеческим»
Н. Винер
Г.К. Каспаров
Прогнозы на XXI век
«Единственная проблема заключается в том,
что через 500 лет у Mathematische Annalen
появится столько редакторов, что они не
поместятся на обложку»
Д.Гильберт
Д.Гильберт
(1862-1943)
«Конец математики в XXI
веке наступит из-за
социальных потрясений и
из-за всевластья
бюрократических структур»
А.Н. Колмогоров
А.Н. Колмогоров
(1862-1943)
Наши надежды
«Общие утверждения проще, чем их
частные случаи»
«Математическая идея не должна
застывать в аскиоматической
форме, а должна течь подобно
реке»
Д.Д. Сильвестр
«Развитие математики было
обусловлено не столько
техническим прогрессом, сколько
установлением взаимосвязей
между ее областями»
В.И. Арнольд
Д.Д. Сильвестр
(1814-1897)
В.И. Арнольд
(1937)
Что сделать?



Очертить область нашего незнания
Очертить сферы, где необходимо
междисциплинарное общение
Заглянуть в будущее