Практическая работа

Практическая работа
Действия над матрицами. Решение систем линейных уравнений с помощью
обратной матрицы.
Сложение матриц.
Складывать можно матрицы только одинаковой размерности.
Опр. Суммой двух матриц А и В называется матрица С (той же размерности, что и
матрицы А и В), элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и
В:
 a11 a12  a1n   b11 b12  b1n   a11  b11 a12  b12  a1n  b1n 


 
 
 a 21 a 22  a 2 n   b21 b22  b2 n   a 21  b21 a 22  b22  a 2 n  b2 n 
      +     = 


 


 
 

a
 b
 a  b
a

b

a

b
a

a
b

b
m1
m1
2
2
mn 
m1
m2
1
m2


m
m
mn



mn m

mn 
A
C
B
Пример 1. Сложите матрицы А и В
3 7
 1 2 4
0
 , В= 

а) А= 
 1 5 7 
  1 0,5 3 
 0 3

 2 1 

б) А=  4 7  , В 
3

5


1 5


Решение.
а) Согласно определению сложения матриц имеем
3 7  1 0
2  3 4  7  1
5 11 
 1 2 4  0
 + 
 = 
 = 
 .
А+В= 
  1 5 7    1 0,5 3    1  (1) 5  0,5 7  3    2 5,5 10 
б) Данные матрицы А и В сложить невозможно, так как их размерность различна, точнее,
матрица А имеет размерность 3 х 2, а матрица В – 2 х 2.
Умножение матрицы на число.
Опр. Для того, чтобы умножить число k (k  R ) на матрицу А нужно это число k
умножить на каждый элемент матрицы А, в результате мы получаем матрицу той же
размерности, что и матрица А:
 a11 a12  a1n   k  a11

 
 a 21 a 22  a 2 n   k  a 21
k∙ 
=
     

 
a
a m 2  a mn   k  a m1
m1


k  a12
k  a 22

k  am2
A
 1 4 
1
Пример 2. Вычислить: 3∙ 
3  
3

 k  a1n 

 k  a2n 

 

 k  a mn 
Решение.
  1 4    1  3 4  3    3 12 
1=
1  =

3∙ 
 3    3  3   3   9  1
3 
3 

Умножение матриц.
Опр. Произведением матрицы А, имеющей размерность m х n, на матрицу В имеющей
размерность n x p называется матрица С, имеющая размерность m x p, и элементы
матрицы С определяются следующей формулой:
n
Cij   аik  bkj , i=1,2, … , m, j=1,2, … , p.
k 1
 a11

 a 21


a
 m1
a12
a 22

am 2
mxn
 a1n   b11 b12
 
 a 2 n   b21 b22
∙
    
 
 a mn   bm1 bm 2
 b1n   c11
 
 b2 n   c21
=
  
 
 bmn   cm1
nxp
c12
c22

cm 2
 c1n 

 c2 n 
 

 cmn 
nxp
Для обозначения произведения матрицы А на матрицу В используют запись: С=А∙В.
Очень важное замечание; матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В. Для того
чтобы можно было перемножить матрицы А и В нужно, чтобы число строк матрицы В
совпадало с числом столбцов матрицы А, а в результате произведения мы получаем
матрицу, которая имеет столько строк, сколько матрица А и столько столбцов сколько
матрица В.
Пример 3.
Выполните умножение матриц:
 1 2 4
 2


 
а) А   2 0 1  , В   1  ;
1 2 0
0


 
 1 2 4
1 3 0




б) А   2 0 1  , В   0 2 2  .
1 2 0
1 1 0




Решение.
1  2  2  1  4  0   4 

  
а) А  В   2  2  0  1  1  0    4 
1  2  2  1  0  0   4 

  
1  1  2  0  4  1 1  3  2  2  4  1 1  0  2  2  4  0   5 11 4 

 

б) А  В   2  1  0  0  1  1 2  3  0  2  1  1 2  0  0  2  1  0    3 7 0 
1  1  2  0  0  1 1  3  2  2  0  1 1  0  2  2  0  0   1 7 4 

 

Для того, чтобы матрицу А возвести в степень n, ее нужно n раз умножить саму на себя
 2 4

Пример 4. Найдите А4, если А= 
 1 0 
Решение.
8   2 4  2 4
 2 4  2 4  2 4  2 4  0
 ∙ 
 ∙ 
 ∙ 
 = 
 ∙ 
 ∙ 
 =
А4= 
 1 0   1 0   1 0   1 0    2  4   1 0   1 0 
  8 0   2 4    16  32 
 ∙ 
 = 

= 
0 
 0  8  1 0   8
Матрицу, обратную к матрице А, обозначают А-1.
Рассмотрим квадратную матрицу А порядка n:
 a11 a12  a1n 


 a 21 a 22  a 2 n 
А= 
   


a

 m1 a m 2  a mn 
Пусть DA=det A (определитель А), тогда обратная матрица к матрице А задается
формулой:
 a11 a12  a1n 


1  a 21 a 22  a 2 n 
1
. (4)
A 

DA      


a

a

a
m2
mn 
 m1
Аij=(-1)i+j∙Mij, i=1, 2 …, n; j=1, 2 …, n.
Аij – алгебраическое дополнение элемента аij в матрице А,
Mij – минор – определитель, полученный вычеркиванием iой строки jого столбца в матрице
А.
Замечание: первый индекс элемента обратной матрицы показывает на то, к какому
столбцу принадлежит данный элемент, второй – к какой строке
принадлежит данный элемент.
Правило нахождения обратной матрицы к квадратной матрице второго порядка:
Чтобы найти обратную матрицу к квадратной матрице второго порядка нужно поменять
местами элементы, стоящие на главной диагонали и приписать знак минус к элементам,
1
стоящим на побочной диагонали и полученную матрицу умножить на
.
DA
Пример 5. Найдите обратную матрицу для квадратной матрицы третьего порядка
 3  4 5


А=  2  3 1 
 3  5 1


Решение.
 A11 A21 A31 

1 
1
A 
  A12 A22 A32  ;
DA 

 A13 A23 A33 
3 4
5
DA  2  3 1 =3∙(-3)∙1+2∙(-5)+3∙(4)∙1-(5∙(-3)∙3+1∙(-5)∙3+1∙(-4)∙2)=9-50-12+45+15+ +8=-1.
3  5 1
Далее находим элементы обратной матрицы:
3 1
2 1
А11=(-1)1+1∙М11=
=3+5=8, А12=(-1)1+2∙М12==-(-2-3)=5,
 5 1
3 1
2 3
4 5
А13=(-1)1+3∙М13=
=-10+9=-1, А21=(-1)2+1∙М21=
=-(4+25)=-29,
3 5
 5 1
3 5
3 4
А22=(-1)2+2∙М22=
=-3-15=-18, А23=(-1)2+3∙М23=
=-(4+25)=-29,
3 1
3 5
4 5
3 5
А31=(-1)3+1∙М31=
=-4+15=11, А32=(-1)3+2∙М32=
=-(3-10)=7,
3 1
2 1
3 5
А33=(-1)3+3∙М33=
=-9+8=-1.
2 3
 8  29 11 


1
Имеем, A1     5  18 7 
1 
 1
 1 3
Проверка: А∙А-1=Е
 3  4 5   8  29 11   1 0 0 

 
 

 2  3 1  ∙  5  18 7  =  0 1 0 
 3  5 1  1 3
 1  0 0 1 

 
Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы рассмотрим на
примере.
Пример 6.
Решите систему
 х  2 у  3z  6

2 x  3 y  4 z  20
3x  2 y  5 z  6

Решение.
1  2 3 
 х
6


 
 
А   2 3  4  , Х   у  , В   20 
 3  2  5
z
6


 
 
Запишем систему в матричном виде: А  Х  В . Найдём Х, получим
Х  А 1  В .
Найдём обратную матрицу
 A11 A21 A31 

1 
1
A 
  A12 A22 A32  .
DA 

 A13 A23 A33 
1 2
3
3 4
2 4
2 3
DА  2 3  4  1
 (2) 
 3
 1  (15  8)  2  (10  12)  3  (4  9) 
2 5
3 5
3 2
3 2 5
 23  4  39  58 .
3 4
А11=(-1)1+1∙М11==
 15  8  23 ,
2 5
2 4
А12=(-1)1+2∙М12= 
 (10  12)  2 ,
3 5
2 3
А13=(-1)1+3∙М13=
 4  9  13 ,
3 2
2 3
А21=(-1)2+1∙М21= 
 (10  6)  16 ,
2 5
1 3
 5  9  14 ,
А22=(-1)2+2∙М22=
3 5
1 2
 (2  6)  4 ,
А23=(-1)2+3∙М23= 
3 2
2 3
 8  9  1 ,
А31=(-1)3+1∙М31=
3 4
1 3
 (4  6)  10 ,
А32=(-1)3+2∙М32= 
2 4
1 2
 3 4  7 .
А33=(-1)3+3∙М33=
2 3
  23  16  1
 23 16 1 
 1 

1 
А     2  14 10    2 14  10 
58 
 58  13 4  7 
  13  4 7 


 23 16 1  6 
 
1 
Х   2 14  10  20 
58 
 
 13 4  7  6 
 23  6  16  20  1  6 
 464   8 
 1 
  
1 
 2  6  14  20  10  6    232    4 
58 
 58  116   2 
 13  6  4  20  7  6 

  
1
8
 
Х   4
 2
 
Ответ : х=8, у=4, z=2.
Задания для самостоятельного решения
1. Выполните действия над матрицами
А+В, -2,5В, АВ, АС
  3 7 2
 4 3 0 
  2




 
а) А=   7 6 3,5  , В=   6  7 4  , С=   4  .
 3
3  2 4 
 3 
5 2 



 
2  3 1 
5  2 1
  1




 
б) А=  0 6,5 3  , В=  1  7 6  , С=  3  .
 2 1  2
 0  3 2
2




 
4 0
  2 1 2
 1 
 1




 
в) А=   2,5  2 3  , В=  5  3 4  , С=  2  .
 1
  3
 3
5 0 
5 1 

 

 4 1 3 
  4  3 3
 4




 
г) А=  1,5 0  6  , В=   1 0 4  , С=  1  .
 3 2 1 
 2  3 1
0




 
2. Решите систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы
2 х  у  2 z  1

а) 3x  y  2 z  1
4 x  y  5 z  3

3x  2 y  z  3

б) 2 x  y  3z  21
 x  y  z  5

2 x  y  3z  0

в)  x  3 y  4 z  11
3x  2 y  z  7

4 x  3 y  2 z  1

г) 2 x  5 y  3z  16
3x  2 y  4 z  4
