1 Теоретическая механика Лекции 1 ЛЕКЦИИ 1 Литература 1

1
Теоретическая механика
Лекции 1
ЛЕКЦИИ 1
Литература
1 Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М.,
Высшая школа, 1983.
2 Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики,
ч.1 и 2. М., Высшая школа, 1971.
3 Петкевич В.В. Теоретическая механика. М., Наука, 1981.
4 Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Под
ред. А.А.Яблонского. М., Высшая школа, 1985.
5 Видеолекции http://www.youtube.com/user/nwtu/ Часть 1 Статика. Часть
2 Кинематика
ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ.
Современная техника ставит перед инженерами множество задач,
решение которых связано с исследованием так называемого механического
движения и механического взаимодействия материальных тел.
Механическим движением называют происходящее с течением
времени изменение взаимного положения материальных тел в пространстве.
Под механическим взаимодействием понимают те действия материальных
тел друг на друга, в результате которых происходит изменение движения
этих тел или изменение их формы (деформация). За основную меру этих
действий принимают величину, называемую силой. Примерами
механического движения в природе являются движение небесных тел,
колебания земной коры, воздушные и морские течения, тепловое движение
молекул и т. п., а в технике — движение различных наземных или водных
транспортных средств и летательных аппаратов, движение частей
всевозможных машин, механизмов и двигателей, деформация элементов тех
или иных конструкций и сооружений, течение жидкости и газов и многое
другое. Примерами же механических взаимодействий являются взаимные
притяжения материальных тел по закону всемирного тяготения, взаимные
давления соприкасающихся (или соударяющихся) тел, воздействия частиц
жидкости и газа друг на друга и на движущиеся или покоящиеся в них тела и
т. д.
Наука о механическом движении и взаимодействии материальных тел
и называется механикой. Круг проблем, рассматриваемых в механике, очень
велик и с развитием этой науки в ней появился целый ряд самостоятельных
областей, связанных с изучением механики твердых деформируемых тел,
жидкостей и газов. К этим областям относятся теория упругости, теория
пластичности, гидромеханика, аэромеханика, газовая динамика и ряд
разделов так называемой прикладной механики, в частности: сопротивление
материалов, статика сооружений, теория механизмов и машин, гидравлика, а
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
2
Теоретическая механика
Лекции 1
также многие специальные инженерные дисциплины. Однако во всех этих
областях наряду со специфическими для каждой из них закономерностями и
методами исследования опираются на ряд основных законов или принципов
и используют многие понятия и методы, общие для всех областей механики.
Рассмотрение этих общих понятий, законов и методов и составляет предмет
так называемой теоретической (или общей) механики.
В основе механики лежат законы, называемые законами классической
механики (или законами Ньютона), которые установлены путем обобщения
результатов многочисленных опытов и наблюдений и нашли подтверждение
в процессе всей общественно-производственной практики человечества. Это
позволяет рассматривать знания, основанные на законах механики, как
достоверные знания, на которые инженер может смело опираться в своей
практической деятельности.
Общий метод научных исследований состоит в том, что при
рассмотрении того или иного явления в нем выделяют главное,
определяющее, а от всего остального, второстепенного, сопутствующего
данному явлению, абстрагируются. В результате вместо реального явления
или объекта рассматривают некоторую его модель и вводят ряд абстрактных
понятий, отражающих соответствующие свойства этого явления (объекта).
Такие научные абстракции играют при построении науки исключительно
важную роль.
В классической механике научными абстракциями или моделями
являются по существу все вводимые исходные положения и понятия. Они
учитывают то основное, определяющее, что существенно для
рассматриваемого механического движения и позволяет его строго
охарактеризовать и изучить. Так, например, вместо реальных материальных
тел в механике рассматривают такие их абстрактные модели, как
материальная точка, абсолютно твердое тело или сплошная изменяемая
среда, абстрагируясь от учета в первом случае формы и размеров тела, во
втором — его деформаций, в третьем - молекулярной структуры среды. Но
только построив механику такого рода моделей, можно разработать методы,
позволяющие изучать с пригодной для практики точностью равновесие и
движение реальных объектов, проверяя в свою очередь эту пригодность
опытом, практикой.
Роль и значение теоретической механики в инженерном образовании
определяется тем, что она является научной базой очень многих областей
современной техники. Одновременно законы и методы механики как
естественной науки, т. е. науки о природе, позволяют изучить и объяснить
целый ряд важных явлений в окружающем нас мире и способствуют
дальнейшему росту и развитию естествознания в целом, а также выработке
правильного материального мировоззрения.
По характеру рассматриваемых задач механику принято разделять на
статику, кинематику и динамику. В статике излагается учение о силах и
об условиях равновесия материальных тел под действием сил. В кинематике
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
3
Теоретическая механика
Лекции 1
рассматриваются общие геометрические свойства движения тел. Наконец, в
динамике изучается движение материальных тел под действием сил.
В наши дни перед отечественной наукой и техникой стоят важные
задачи по ускорению научно-технического прогресса и дальнейшему
развитию и совершенствованию производства. В числе этих задач такие
актуальные проблемы, как автоматизация производственных процессов и их
оптимизация, создание и внедрение промышленных роботов, эффективное
использование всех конструкционных материалов и многие другие. Для
решения этих задач важное значение имеет дальнейшее повышение качества
подготовки инженерных кадров, расширение теоретической базы их знаний,
в том числе и знаний в области одной из фундаментальных общенаучных
дисциплин - теоретической механики.
Статика
В окружающем нас пространстве тела могут перемещаться или покоиться,
т.е. находиться в равновесии.
В разделе «Статика» устанавливаются условия равновесия сил,
приложенных к твердому телу. Исходя из этих условий рассчитываются
опоры различных конструкций, сооружений, механизмов. Основой для всех
теорем являются аксиомы статики
1 Основные понятия и определения
1.1 Аксиомы статики
1. Аксиома инерции
Под действием уравновешенной системы сил материальная точка (тело)
находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно.
2. Аксиома равновесия двух сил
Абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием двух сил
тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю, действуют по одной
прямой и направлены в противоположные стороны.
3. Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил
Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно
прикладывать или отбрасывать от него уравновешенную систему сил.
4. Аксиома параллелограмма сил
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
4
Теоретическая механика
Лекции 1
Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую,
проходящую через эту точку и равную их геометрической сумме.
5. Аксиома равенства действия и противодействия
Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной
прямой в противоположные стороны.
6. Аксиома о сохранении равновесия сил, приложенных к
деформируемому телу
Равновесие деформируемого тела не нарушится, если это тело отвердеет.
1.2 Связи и их реакции
Тела в природе бывают свободными и несвободными. Тела, свобода
перемещения которых ничем не ограничена, называются свободными. Тела,
ограничивающие свободу перемещения других тел, называются по
отношению к ним связями.
Одним из основных положений механики является принцип
освобождаемости от связей, согласно которому несвободное тело можно
рассматривать как свободное, если отбросить действующие на него связи и
заменить их силами – реакциями связей.
Очень важно правильно расставить реакции связей, иначе написанные
уравнения окажутся неверными. Ниже приведены примеры замены связей их
реакциями. На рисунках 1.1–1.8 показаны примеры замены реакциями сил,
расположенных в плоскости.
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
5
Теоретическая механика
Лекции 1
а – тело весом G на гладкой поверхности;
б – действие поверхности заменено реакцией – силой R;
в – в точке А связь «опорная точка» или ребро;
г – реакции направлены перпендикулярно опираемой или опирающейся
плоскостям
Рисунок 1.1
Реакция гладкой поверхности всегда направлена по нормали к этой
поверхности (рисунок 1.1). Реакция «невесомого» троса (нити, цепи,
стержня) всегда направлена вдоль троса (нити, цепи, стержня) (рисунок 1.2).
а – балка висит на двух тросах;
б – действие тросов заменено силами Т1 и Т2;
в – связь «идеальный стержень»;
г – связь «идеальная нить»
Рисунок 1.2
Шарнирно-неподвижная опора может изображаться по-разному (рисунок
1.3, а или 1.3, б). Она может быть заменена либо силой R с углом
α (рисунок 1.3, в), либо двумя силами, например, XA и YA (рисунок 1.3, г).
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
6
Теоретическая механика
Лекции 1
Рисунок 1.3
Всегда можно перейти от R и α к XA и YA (и наоборот):
XA= Rcosα; YA= Rsinα;
Шарнирно-подвижная опора (рисунок 1.4, а) допускает (в данном случае)
горизонтальное перемещение и не допускает вертикальное. Реакция
направлена по нормали к опорной поверхности (рисунок 1.4, б).
Рисунок 1.4
Связи шарнирно-неподвижной опоры в точке A и шарнирно-подвижной
опоры в точке B отброшены (рисунок 1.5, б), их действие заменено
силами XA , YA и RB .
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
7
Теоретическая механика
Лекции 1
Рисунок 1.5
Соединение стержня и втулки в плоскости (рисунок 1.6) – скользящая
заделка. Отбросим втулку – получим действие на стержень силы RD
и MD момента.
Рисунок 1.6
На рисунке 1.7, а изображена бискользящая заделка. В плоскости данная
опора допускает поступательное перемещение стержня как по горизонтали,
так и по вертикали, но препятствует повороту (в плоскости). Реакцией такой
опоры будет момент MC (рисунок 1.7, б).
Рисунок 1.7
Консоль (глухая или жесткая заделка) не допускает никакого перемещения
детали. Реакцией такой опоры являются неизвестная по величине и
направлению сила RA с углом α (или XA и YA ) и момент ΜA (рисунок 1.8).
Рисунок 1.8
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
8
Теоретическая механика
Лекции 1
На рисунках 1.9 – 1.15 показаны примеры замены сил, расположенных в
пространстве, их реакциями. Шарнирно-неподвижная опора, или
сферический шарнир (рисунок 1.9, а), заменена системой сил (рисунок 1.9,
б) XA , YA и ZA , т.е. силой, неизвестной по величине и направлению.
Рисунок 1.9
На рисунке 1.10, а показан вал, закрепленный в опорах: в точке A –
подпятник или стакан, в точке B – втулка или подшипник. Действие опор
заменено силами XA , YA , ZA и XB , ZB (рисунок 1.10, б).
Рисунок 1.10
На рисунках 1.11 и 1.12 приведены примеры замены различных связей их
реакциями.
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
9
Теоретическая механика
Лекции 1
Рисунок 1.11
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
10
Теоретическая механика
Лекции 1
Рисунок 1.12
1.3 Проекция силы на ось
Проекция силы на ось – это алгебраическая величина, равная
произведению модуля силы на косинус угла между положительным
направлением оси и вектором силы (т.е. это отрезок, откладываемый силой
на соответствующие оси. Рисунок 1.13):
Fx = Fcosα;
Px = Pcosβ= P⋅ cos90o=0;
Rx = Rcosγ = -R⋅ cos(180o-γ).
Рисунок 1.13
Проекция силы на ось может быть положительной, рис. 1.13а (0 ≤ α < π/2),
равной нулю, рис. 1.13б (β = π/2 ) и отрицательной, рис. 1.13в (π/2 < γ ≤ π).
Иногда для нахождения проекции силы на ось сначала нужно найти ее
проекцию на плоскость, а потом проекцию на ось (рисунок 1.14):
Pz = P sinα;
Px = (P cosα)cosβ;
Py = (P cosα)cosγ = P cosα⋅ cos(90o-β).
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
11
Теоретическая механика
Лекции 1
Рисунок 1.14
Моментом силы называют вращательное усилие создаваемое вектором силы
относительно другого объекта.
Размерность - [Н⋅м] (Ньютон на метр) либо кратные значения [кН⋅м]
Обязательным условием возникновения момента является то, что точка,
относительно которой создается момент не должна лежать на линии действия
силы.
Определяется как произведение силы на плечо:
M(F)=F⋅h
Здесь h - плечо момента, определяется как кратчайшее расстояние от точки
до линии действия силы.
Рассмотрим порядок определения плеча h момента на примере:
Пусть заданы точка A и некоторая произвольная сила F. Требуется
определить момент создаваемый силой F относительно точки A.
Покажем линию действия силы F (штриховая линия)
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
12
Теоретическая механика
Лекции 1
Проведем из точки A перпендикуляр h к линии действия силы
Длина отрезка h есть плечо момента силы F относительно точки A.
Момент принимается положительным, если его вращение происходит против
хода часовой стрелки (как на рисунке).
Так принято для того, чтобы совпадали знаки момента и создаваемого им
углового перемещения.
1.4 Момент силы относительно точки
Моментом силы относительно точки O называется результат векторного
произведения радиуса-вектора, проведенного из точки O в точку
приложения силы, на вектор силы:
Mo(F)= r⊗ F.
(1.4)
Вектор Mo(F) (рисунок 1.15) перпендикулярен плоскости, в которой лежат
радиус-вектор r и вектор силы F , и направлен так, что если смотреть
навстречу ему, видно силу, стремящуюся повернуть плоскость, в которой она
лежит, против хода часовой стрелки.
Численно момент силы равен
Mo= r⋅ F sinα; r⋅ sinα = h; Mo= Fh.
(1.5)
На рисунке 1.15 видно, что если силу перенести вдоль линии действия в
другую точку, то величина и знак момента не изменятся:
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
13
Теоретическая механика
Лекции 1
Mo = r⋅ F sinα = r1⋅ F1 sinα1 = Fh = F1h.
(1.6)
Рисунок 1.15
Можно также сказать, что численно момент силы относительно точки
равен удвоенной площади треугольника (OAB), основанием которого
является сила, а высотой – плечо h (рисунок 1.16):
S∆OAB= 1/2 Fh ; Mo(F) = Fh = 2S∆OAB . (1.7)
Рисунок 1.16
1.5 Теорема Вариньона
В некоторых случаях при определении момента силы возникают трудности
в расчете плеча силы.
Решение вопроса упрощает теорема Вариньона, согласно которой момент
равнодействующей системы сил относительно какого-либо центра равен
геометрической сумме моментов составляющих систему сил
относительно того же центра.
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
14
Теоретическая механика
Лекции 1
Рисунок 1.17
Например, момент силы F относительно точки O можно определить как
алгебраическую сумму моментов сил Fx и Fy (на которые можно разложить
силу F ) относительно той же точки O (рисунок 1.17). То есть
Mo(F)= -Fh = -Fx y+ Fy x, (1.8)
где Fx , Fy , x и y – проекции на оси координат силы F и радиуса-вектора r .
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé