1_03

1.3. Квантовые одночастичные
задачи. Потенциальная яма
Уравнение Шредингера. Бесконечная
потенциальная яма. Конечная
потенциальная яма
Уравнение Шредингера
 Квантово-механическая задача о движении частицы в потенциальном
поле. Нестационарное уравнение Шредингера:
 Для независящего от времени потенциала:
 Стационарное уравнение Шредингера:
 Число собственных значений и функций гамильтониана может быть
2
конечным и бесконечным; собственные значения могут быть
дискретными (дискретный спектр) или непрерывными (непрерывный
спектр), некоторые значения могут совпадать (вырожденные состояния).
Состояние с наименьшей энергией называется основным состоянием
системы
Бесконечная потенциальная яма
 Гамильтониан системы:
 Безразмерная система единиц:
 Решение уравнения Шредингера
существует только внутри ямы:
 Трехточечная аппроксимация:
3
Бесконечная потенциальная яма
 Ортонормированный базис:
 Любая волновая функция может быть разложена по базисным
функциям:
 Задача сводится к системе линейных уравнений:
4
Бесконечная потенциальная яма
 Процесс
перехода к собственному базису называется
диагонализацией
гамильтоновой
матрицы.
Результатом
процедуры диагонализации будет вектор-столбец собственных
значений гамильтониана, или спектр системы
 Результатом процедуры диагонализации будет также матрица,
состоящая из вектор-столбцов, отвечающих
собственных функций по исходному базису:
5
разложению
Бесконечная потенциальная яма
 Первые четыре собственные функции частицы в бесконечной
потенциальной яме
6
Бесконечная потенциальная яма
 Точное аналитическое решение задачи:
 Сравнение результатов численного расчета с аналитическим
решением, n=100
Точное значение энергии
7
Значение энергии,
полученное численным
расчетом
Относительная разница,
Конечная потенциальная яма
 В яме конечной глубины состояния частицы
делятся на связанные состояния и состояния
непрерывного спектра
 Собственные волновые функции, отвечающие
значениям энергии из непрерывного спектра,
за пределами ямы ведут себя как плоские
волны:
 Собственные волновые функции, отвечающие
связанным состояниям, за пределами ямы
затухают экспоненциально:
 При численном расчете волновых функций
8
связанных состояний недостаточно
ограничиваться лишь размерами ямы, так как
волновые функции существуют и за ее
пределами
Конечная потенциальная яма
 Спектральная задача:
 Трехточечная аппроксимация:
 Гамильтонова матрица:
9
Конечная потенциальная яма
 Волновые функции частицы в конечной потенциальной яме:
10