Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Министерство образования и науки РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Самарский государственный университет»
Механико-математический факультет
«Утверждаю»
Проректор по научной работе
______________А.Ф.Крутов
____________________2011 г.
Программа
вступительного экзамена в аспирантуру
по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения,
динамические системы и оптимальное управление
Самара 2011
Программа вступительных испытаний в аспирантуру по специальности 010102 –
«Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»,
разработана
Самарским государственным университетом в соответствии с
государственными образовательными стандартами высшего профессионального
образования по направлению специальности 01.01.01 – «Математика», утвержденного
15.03.2000 (номер государственной регистрации 414 ЕН/СП) Советом по математике и
механике УМО по классическому университетскому образованию.
Программа утверждена на заседании совета
Механико-математического факультета
Протокол №_____от____________2011 г.
Декан механико-математического факультета
___________________С.Я.Новиков
«Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное
управление» - лежат в основе основных моделей, которые рассматриваются в
естественных науках. Уровень развития современного естествознания требует
постановки и исследования новых задач и разработки методов их исследования.
Необходимо отметить, что требования к уровню специалистов в области
дифференциальных уравнений, динамических систем и оптимального управления
постоянно повышаются.
1. Понятие
топологического
пространства.
Непрерывные
отображения
топологических пространств. Компактность в топологических пространствах.
2. Понятие метрического пространства. Полные метрические пространства. Принцип
сжимающих отображений и его применения.
3. Мера Лебега. Измеримые функции и их свойства. Теорема Д.Ф.Егорова. интеграл
Лебега и его основные свойства. Предельный переход под знаком интеграла
Лебега.
4. Гильбертовы пространства. Ортогональные системы функций. Полные системы,
критерий полноты. Неравенство Бесселя. Сходимость рядов Фурье в
гильбертовом пространстве. Равенство Парсеваля.
5. Линейные интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода. Теоремы Фредгольма.
6. Линейные пространства и их подпространства. Базис, размерность. Теорема о
ранге матрицы. Системы линейных уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли.
7. Билинейные и квадратичные формы в линейных пространствах. Приведение
квадратичных форм к нормальному виду. Закон инерции.
8. Линейные отображения в линейных пространствах. Собственные векторы и
собственные значения. Приведение матрицы линейного оператора к жордановой
форме.
9. Группы. Подгруппы. Порядок элемента. Циклические группы. Факторгруппы.
Теорема о гомоморфизме.
10. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и
единственности решения задачи Коши.
11. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными
коэффициентами.
12. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго
порядка, их классификация. Задача Дирихле для уравнения Лапласа.
13. Элементарные функции комплексного переменного и связанные с ними
конформные
отображения.
Дробно-линейные
функции.
Простейшие
многозначные функции.
14. Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру. Интеграл Коши. Ряд Тейлора.
Ряд Лорана. Изолированные особые точки аналитических функций.
15. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Нормальная кривизна
поверхности. Геодезические линии. Формула Эйлера. Гауссова кривизна
поверхности.
16. Понятие о простейшей проблеме вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
17. Схема Бернулли. Теорема Муавра-Лапласа.
18. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
19. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема о продолжении
решения. Случай линейных уравнений.
20. Теорема о непрерывной зависимости и дифференцируемости решений по
начальным условиям и по параметру. Уравнения в вариациях.
21. Линейные системы. Определитель Вронского. Теорема Лиувилля. Метод
вариации постоянных.
22. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Краевые задачи
для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
23. Устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость. Теорема об
устойчивости по первому приближению.
24. Особые точки линейных систем на плоскости.
25. Первые интегралы. Теорема о существовании полной системы первых
интегралов. Квазилинейные уравнения с частными производными 1-го порядка.
Задача Коши.
26. Обобщенные функции. Действия над обобщенными функциями.
27. Задача Коши для волнового уравнения. Энергетическое неравенство.
Единственность решения задачи Коши. Формула Кирхгофа и Пуассона для
волнового уравнения.
28. Смешанная задача для волнового уравнения, единственность решения задачи,
решение ее методом Фурье.
29. Фундаментальное решение оператора Лапласа. Функция Грина для задачи
Дирихле и ее свойства. Функция Грина для шара. Решение задачи Дирихле для
шара.
30. Свойства гармонических функций: теорема о среднем, принцип максимума,
теорема Лиувилля, теорема об устранимой особенности.
31. Задача Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. Единственность. Условие
разрешимости задачи Неймана. Внешние задачи. Сведение их к внутренним
задачам.
32. Уравнение теплопроводности. Первая краевая задача. Принцип максимума.
Единственность. Метод Фурье. Задача Коши. Интеграл Пуассона.
33. Принцип максимума Понтрягина.
34. Предмет и основные понятия теории управления.
35. Основные виды управления. Принцип теории управления.
36. Полная управляемость стационарных линейных систем.
37. Теорема Калмана.
38. Полная управляемость линейных нестационарных систем.
39. Наблюдаемость линейных стационарных систем. Критерий полной
наблюдаемости системы.
40. Двойственность задач управления и наблюдения.
41. Наблюдатели полного и пониженного порядка.
42. Канонический вид не вполне управляемых линейных стационарных систем.
43. Инвариантность свойств полной управляемости системы относительно
невырожденной замены переменных.
44. Стабилизируемость линейных стационарных систем.
45. Оптимальное управление в смысле различных критериев качества.
46. Принцип оптимальности Беллмана. Эвристическое обоснование принципа
оптимальности.
47. Метод динамического программирования Беллмана для непрерывных систем.
48. Синтез оптимального регулятора для линейных систем с квадратным критерием
качества.
49. Задача быстродействия.
50. Оптимальная стабилизация для линейно – квадратических задач.
Список рекомендуемой литературы
1. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория
конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003.
2. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.:
Физматлит, 2000.
3. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004.
4. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.:
Наука, 1983.
5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,
1998 (и последующие издания).
6. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.:
ГИТТЛ, 1953 (и последующие издания).
7. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,
1980.
8. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью.
М.: Физматлит, 1985.
9. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.:
КомКнига, 2007.